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TEORIA GENERA LE
DE L L E
E Q_U A Z I O 1^I I,
IN CUI ai DIMOSTRA UitOWBIlE
I.A SOLUZIONE ALGEJBRAICA DELLE
EQUAZIONI GENERALI DI GRADO
SUPERIORE AL QUARTO
D I
PAOLO RUFFINI.
FAUSTE PRIMA,
BOLOGNA MDCCXCVIIII.
IMLLA STAMPERIA DI S. TOMMASO D' AQUINO,
"""-'DISCORSO PRELIMINARE.
t
i ^* Soluzione algebraica delle Equazio- ni generali di grado superiore al quarto è sempre impossibile . Ècco un Teorema troppo importante nelle Matematiche , che io credo , se pur non erro , di poter asserire , e di cui la dimostrazione quel- la si è , che principalmente mi à spinto alla pubblicazione del presente Volume.
L* immortale de la Urange con le, sublimi sue Riflessioni intorno alle Equa- zioni inserite negli Atti dell* Accademia di Berlino à somministrato il fondamen- to alla mia dimostrazione : conveniva dunque premettere a questa per la mag- giore sua intelligenza un Ristretto di si- mili Riflessioni . ''
Oltre r accennato Teorema varie al- tre cose riguardanti le Equazioni essen-
domi stato dato di determinare ,ed altre di raccogliere specialmente dal chiarissi- mo de la Grange , ò stimato bene il con- giungere tutto insieme , e insieme darlo alla luce . Ma 1* ordine necessario a dar- si a simili materie erigeva una certa di- stribuzione : quella , cne seco porta una Teoria dì Equazioni , sembra certamente k più opportuna -, questa dunque trascel- go , e mi lusingo cosi di presentare al Pubblico una Teoria generale delle Equa- zioni adorna delle più recenti scoperte , e per quanto io sappia , la più comple- ta 6nora . '
Dividesi tutta Y Opera in 20 Capi . Esposte nel Capo i.* alcune nozioni sul- le Funzioni in generale , nei Capi 2.", 3.^, ^.^, e IO.* presentansi le proprietà prin- cipali delle Equazioni. Nei Capi 4.% 5,*, ó.^,7.*> 8. Tengono compresi i metodi di eseguire le trasformazioni , le eliminazio- ni, e le riduzioni . I Capi 11.**, 12.* con- tengono la soluzione e a posteriori , ed s priori delle Equazioni del 3.*, 64.* gra- do. U Capo 13.* dimostra V impossibi-
Htà della soluzione algebraica delle Equa* zioni generali di grado maggiore del 4*. Nei Capi 14.", 15.*', kJ.", e su '1 fine del 20.** parlasi delle Equazioni capaci di essere ridocce ad alcre di grado inferiore, e i mecodi vengono esposti , onde otre- nere un simile abbassamento . I Capi fi- nalmente 17.*, i8.*, i^.*,c 2o.® insegna- no la- maniera di risolvere per approssi- mazione , e per Serie le Equazioni sì nu* meriche , che leccerali , tanco decerminate, che indecerminace .
Le cose , che olcre 1' accennato Teo- rema mi lusingo di presencare, come non prive aflacco di novicà , son le se- guenci .
i.** lillà formola generale delle Fun- zioni esiscence nel Capo i.* , e il meto- do , con cui per mezzo di quesca vengo- no nel Capo 2.^ dimoscrate Cucce le pro- priecà delle Equazioni dipendenci dal rap- porco generale dei Coefficienci con le pro- prie Radici.
2.*" 11 Ristretto delle due famose Me- morie di de la Grange comprendenti le
VI
RiHessioni sovraccennate sulle Equazioni. Questo vicn contenuto nei Capi 5.*, 8", 12.*, ij^A nella prima parte del 13.*, ed è congiunto a dei rischiarimenti , e a del- le riflessioni ulteriori.
3.' la, considerazione nei Capi 7.*, 84*^, 12.**, id.** delle funzioni irrazionali tralasciata dal chiarissimo Autore nelle indicate Memorie .
4." Alcune considerazioni fatte nel Capo 7.** sulla eliminazione di una, due , o. più incognite da un corrispondente nu-^ mero di Equazioni , jper cui mediante il metodo di de la Grange apparisce poter- si sempre determinare con esattezza l'E- quazione finale .
5.° Una dimostrazione nel Capo 8** assai semplice , o indipendente dal Cai-' colo differenziale del come si determini il valore della frazione -f, mentre però essa dipenda da funzioni di una sola va- riabile razionale.
6* La dimostrazione della necessita del Caso irreducibile > qualunque via si tenga nella, soluzione algebraica della £•
VII
qaazioQ generale del 3.* grado; e questa si contiene nel Capo 12.".
7* La soluzione nel Capo 18 • per Se- rie delle Equazioni algebraiche indetermi- nate proposte dal chiarissimo Cramernel- Ul sua Introduzione ali* Analisi delle Li- nee Curve , ma resa pienamente algebrai- ca, escluso il triangolo, ed il parallelo- grammo analitico , e introdottovi il prin- cipio datoci da de la Grange , onde de- terminare gì' infiniti, e gì* infinitesimi dello stesso ordine .
Z° Un Metodo di risolvere per Se- ne le Equazioni algebraiche determinate. Occupa questo il Capo i^.**> e nel Capo istesso contienesi una Formola , ed una manierar spedita , onde etévare ad una potenza qualunque b il polihomio Lx'-f
p.*" Una maniefa nel Capo 20.** di risolvere per Serie col mezzo delle Fra- zioni continue una qualsivoglia Equazio- ne algebraica si determinata , che inde- terminata : coincide però questo metodo con quello, che ci dà il de la Grange per
vili
la integrazione per approssimazione delle Equazioni differenziali .
IO. Una raccolta finalmente , ed una riduzione di quasi tutte le principali os« servazioni, e dimostrazioni , che il nostro immortale de la Grange a sposte in di- verse Memorie rapporto ai diversi Teo- remi generali delle Equazioni.
i ì
TEORIA DELLE EQUAZIONI .
CAPO PRIMO. D^IIc Funzioni in generale .
1. V^ol
nome di Funzione di una , o più varia- bili intendiamo un Espressione analitica qualsivo* glia 9 in cui essa , od ^sst si contengono soie , o congiunte a delle quantità costanti ; così 5 :r* , 6az — h saranno due Funzioni , la prima della
variabile jr > la seconda della »; ed ax ^ — sarà
z»
una Funzione da amendue le variabili x^%.
1. Affine d' indicare in generale unafunzio* ne qualunque di una, o più variabili, siamo so- liti servirci della lettera /, e df ila parentesi ; cosi f(^) significa una qualunque funzione della x; f(x ) (jr ) ne esprime una qualsivoglia delle ^ ,^ ; e fÌx){j)(z)uTìà delle Xyy^z.
^. Considerando però le diverse funzioni par- ticolari siamo soliti neir accennarle servirci in di* verse maniere della parentesi. Imperciochè i.^^ o la Funzione cangia di valore per la permutazio- ne fra loro delle variabili in essa contenute ^ come
succede nella funzione 4 ji^— — , il valore della
z
a qua*
2
quale sì cambia per la permutazione di z in x^ venendone perciò il risultato ax>^'-'—, quantità
generalmente ben diversa dalla ax' ;2.*^ota«
le funzione conserva sempre il medesimo valore, qualunque permutazione si faccia tra le variabi- li, come si vede accadere nelle espressioni axy, jf' + y •+- »' , il valor delle quali resta sempre il medesimo, qualunque permutazione si pratichi fra le indeterminate; 3.' o finalmeme, come vedesi
nelle tre x* 4-»*+ « » — +~ > jf v+ »* , la no-
stra funzione si conserva la medesima sotto alcu- ne permutazioni , e si cambia sotto di altre .
Nel primo di questi casi la funzione si accen* na, come è stato, indicato nel (num.prec.)> on- de la a x^ si accennerà per f(x) (»). Ge-
neralmetate poi non essendo ax^ = 4 »' .^
non avremo corrispondentemente neppure fix) (») =/(*) ix).
Nel caso secondo le variabili frammezzate con ^tigole si pongono fra due parentesi solamente,
ed avremo perciò a xy = fix yy) ; x^-hy'-hz^^ / ( * » J' » * ) > risultando quindi /( *,jr) = /(jr, *• ); /(*,jr, «)=/(», 4r,jp)ec.
Nel terzo caso infine , se h funzione sia cò- me
i
rat la jf'-j-/^- », «• injicherìk ?«'/(*>») (») ^ »c essa è come la — + — , che resta la stessa soltan- . to pel cambiamento simultanea di jr in s » e di • in « , si accennerà per/( (jr) (y) , (e) (*) ) ; e se finalmente h funzione , qua]* è la xy + zu, non cambia valore per la permutazione di amendue le X , jr » in amenduele», *,eper quella di jr in y , e^ì z in ffy essa in allora si esprimerà per
4. Chiameremo funzioni Simili tutte quelle , cbe ci vengono rappresentate da una medesima espression generale; e quelle diremo Dìftimtli y che ci vengotto rappresentate da . espressioni diverse . Saranno perciò simili fra loro le due funzioni
x-hy-^a» fX +y H— — , venendo amendue
rappresentate dall' espression genenile/(;v,j) (s) ( 3.** N.^ prec. ); e saranno fra loro dissimili le due
#* -^y > <*«■ "f-^y» venendo la prima com- presa sotto la / ( *• ) (jr ) ( 1.® N.** prec. ) , e la se- conda sotto la /( *• , jr ) ( 2.* N.* prec,. )
5. Le Funzioni particolari , secondo la diver- sa fórma , sotto cui racchiudono le variabili ,distin- gaonsiin diverse spezie,* altre diconsi Intere, qval' è
hiS4r'+^a»<ela-r- x* y% funzioni atnéndue,
nelle quali le variabili non sono in istato di divi- a z sìo»
il*-/
sionc ,• ed altre si chiamano fratte , come è la ■ , ^
poiché in essa una variabile almeno esiste nel de- liominatore . Distfnguonsi inoltre le funzioni in Ka^ rionali ^tà Ir ra%iondli ^ razionali dicendosi quelle ^ nelle quali non esiste .variabile alcuna sotto di al- cun radicale 5. come sono le precedenti , e le altre
ax^-^ — ^x^\/ a-Aryoi y^ ^ , e chiamandosi irrazio'-
nali quelle , che sotto di un qualche vincolo radicalcf contengono necessariamente una qualche variabile^
come appunto sono ìtéVoe^é^xn^-^^h ^y. Tut* te queste funzioni, la forma delle quali già si co- nosce 5 diconsi Esf licite , dandosi il nome dMi^^/r- eite ^ quelle 9 la forma , e il valor delle quali non ancor conosciuti dipendono dalla soluzione di tt« na Equazione • Data per es. là ^* = 4* — or* , ve»
nendone ^ = — V ^ ^^ ^ la y uguaglici^ una funzióne della ;ir; ma se si consideri la Equazione jr* = 4* — Jt* senza scioglierla , no» sapendosi per anche qual' valore , e forma abbia la funzione del« la X corrispondente ad jf > diremo in tale stato es- sere la nostra^ una funzione Implicita della ar; le daremo poscia il nome di funzione Esplicita , al* lorchè sciolta V Equazione ritroveremo essere
y =i:t\/a^--x\
6. Le Funzioni finalmente dividonsi in UfiU formi , e Multiformi . Uniformi son quelle > che ad
ogni
5 Ogni valore delle variabili contenute ^ mai non ao qutstano , che un solo valore ; nelle Equax. yz=:axy
y = ax la y non è che una funzione Unifor*
me nel primo caso della x , nel secondo della x ,
e della z. Che se ad ogni valore delle variabili, la
funzione acquistaipiù di un valore , essa in allora
- si dice Muhiforme ; poiché nella jr* == a^—x^y e pe*
xònellajf=:3zl/^*— ^*ad ogni valore della Xy U y acquista due valori , essa ne sarà una Fun« zion Multiforme » e più propriamente ne sarà ima Funzione Biforme ; poiché le Funzioni Multifor-. mi dittinguonsi in Biformi , Triformi y Quadrìfòr^ mi ecc. secondochè ad ogni valore delle variabili contenute, la funzione acquista due, tre, quattro ec. valori diversi •
7. Fin' ora abbiamo considerate le funzioni delle variabili , e le loro differenze ; ma se una da- ta Espression Analitica sia composta di sole quan- tità costanti , senza alcuna variabile , come la ^ 4^4" 4^ r, anche ad essa daremo il nome di Fun* zione , ma di Funzione Costante , e denotandola nel- la maniera istessa de* ( N.*. 2 , j ) ne formeremo le sttsx distinzioni degli altri ( N.^ 4 ,5 , 6) , onde la precedente ^a^-\^^bc sarà —f(a} (hyc).
8. Supponghiamo una fonzione qualunque tra le qu^tità rySytyU....Zy che chiameremo Y,onde sia
(A) Y=/(r) (/) it) (u) . .. . (z).
Poi-
y
6
Poiché in esf a , generalmente parlando 5 altri termi- ni contengono la fy ed altri ne sono privi, indi* chiamo la unione di tutti i primi con la espres*.
sione r\Y y e con Y altra Y supponiamo, di rap« prcsenure V unione di tutti i secondi ; in eguaì modo / |Y ci esprima la somma dei termini tut-
ti della Y , che contengono la / , ed Y ci rap presenti tutti gli altri che ne son privi ; la espres* sìone r ^ |Y e* indichi V aggregato di tutti i ter- mini, che insieme contengono e la r^e la /^Tal-
tra r \Y ci rappresenti tutti i termini , che , con* tenendola r, sono privi della SyC così rapporto alle altre variabili.
Se sia per e$. Y= r' ir* -4 r*/fH- rx/if-2 x*/* -4-4#x* ne verrik
r\Y =r'4r* -- 4r"// + r**#.
Y =— 2/*^;i{4-4***» r/|Y = — 4r**/-|-rx/*.
f
rlY~= r*x*,
' m
x/|y =— 4*'*x/— 2**^jf.
$m
x\Y =r';r*. ec. ce.
9. Supposti quetta minieta di scriveie >,giac>
che
7 cM sommando insieme tutti > termini dèlia Y, che sono mancanti della r con quei tutti , che la con* tengono , ne risujta la Y medesima , è chiaro che avremo
( J) Y = Y^-t- r lY . Ora fra i termini, che con- tengono la r espressi da r |Y , altri contengono la j , ed altri ne sono privi ; unendo dunque questi
a quelif , poiché risulta r (Y = r | Y •+• r / |Y , ot- terremo con la so^ituzione
r »
(IT) Y = Y -f-r lY 4-r/|Y-. Di nuovo fra i ter^
mini di rf |Y altri mancano della /, ed altri nò,
*
onde si \r s\i-=:.r$ |Y""+ i* / / jY j dunque so» sbtuendo ricaveremo
UH) Y=iY~"-f-r|Y'~-M'/|Y +rst\Y. In egual modo troveremo essere
(jp) Y=Y +r\Y +r/|Y +rxr|Y'+*'x**|Y; e proseguendo così ad operare fino ali* ultima quantità » , ci risulterà
' ' — JL —
(B) Y-Y' + r\Y'-hrf\Y'+rsf\Y -^stM\Y -^
,»,,, + rf tu x.0»*i>\Y»
IO. Se la supposta funzione Y sia tale, che in tutti i suoi termini contenga la r , come se sia y=£r/*— r*r/+ r/^^r—f'i in allori non esi-
sten"
8
r_
Stendo la quantità Y , la precedente formola (/) diverrà Y = r | Y . Che se tutti i termini della Y oltre la r contengono insieme anche la x^ come se abbiasi Y= r*/^H- r"* j'jr — r/*^, svanendo in
r t
allora le quantità Y ,r|Y la formola (//) di» venterà Y= rs\Y. Egualmente, se nella Y non v' abbia alcun termine privo di una qjualunque delle tre quantità r ys ^ t^ troveremo , che la formola illl) diviene Y=rx/|Y, e cosi di seguito ^ on- de la (B) si cangierànella Y = rx^/ir;r... .a&|Y, se non abbiavi in Y alcun termine > che insieme non contenga tutte le quantità rjSyfy0yX....%.
11. Se una qualunque quantità Z divenga ze« ro y mentre si faccia zero , una variabile qualunque r , dovrà essa Z necessariamente contenere , ed es« sere per conseguenza funzione della variabile r;al« crimenti se la Z fosse indipendente da r ^ come pp« trebbe svanire facendosi r =o?Che se pltrc quel- li di r , anche nella varia supposizione di s ^tyU ec» = o , la Z diventi zero» dovrà per la stessa ra- gióne Z contenere le variabili x , / , # ec 9 e sarà quindi Z =: /(r) (x) (/) (nr) • . . . ec.
12. Abbiasi una quantità Y intiera razionale» e tale che divenga zero » facendosi uguale allo ze- ro una qualunque delle variabili r^s ^t ^u te. z»; in tale supposizione io dico » che dovrà essere Y :=^rsfu.... z\Y ^
Pel ( N.^prec. ) abbiamo Y =/(r) (/) (0 W
m
(»),epcrciòY=Y .H-r|y H-r/|Y +r//
jr
-lY"+r//iir|Y -h....-hrstux...z \Y ÌN."" 9); ma per essere Y quantità intiera > è chiaro essere que-
s t
sta una funzione , in cui i termini r\Y , r x |Y , ec* devono contenere la r in forma di moltiplicazio*
ne ; • i termini r / 1 Y , r / / | Y ce. devono tutti ve- nire moidplicati per /, ,e così in progresso ; dun«
r t t
quese in Y = Y +rlY4-r/|Y -4-ec-si fa- xì r = o s svanendo tutti i termini r\Y > r / |Y ^
r
ec. , otterremo Y = Y ; ma per la ipotesi di r =: o deve seguirne Y = o 5 e frattanto per ta«
r
le supposizione la quantità Y non può giam» mai diventare zero , poiché non contiene la r di sorta, alcuna ; dunque acciocché in realtà > fa- cendosi r = o I risulti Y = o , dovrà la porzione
r
Y mancare affatto dalla proposta Formola , ed a«
vremo perciò Y=r|Y H-rx|Y -hrx/|Y 4- ec. Supponghiamo presentemente x = o ^ ne verrà
Y = r |Y ; ma per tale ipotesi non può essere
rjY =0; e deve intanto risultare Y = o ; dun* b que
IO
9
que,acciocchè questo succ«da>dovrk ì\ termine r j Y mancare anch' esso dalla nostra formola., e perciò
avremo rxjY -hrx/jY -hec. pel valore di Y. Proseguendo neir istesso modo il discorso fino air ultima quantità % , troveremo in egual maniera dovere nella nostra supposizione mancare dalla Y
t u
1 termini tutti /• x |Y , r / / j Y ec. , e quindi re*
sterà Y= rx/«...2&|Y.C.d.d.
13. Dovrà dunque la nostra Y contenere so» lamente dei termini , i quali siano moltiplicati pel prodotto di tutte le sopradette variabili r ^s ^t^u ce. sb , onde avremo Y =irstu...%S y rappre* sentando S f aggregato di tutti i termini sovrac- cennati.
14. Siano ora le variabili r ^s yt ^u....z> ài numero n ^ tà tn rappresenti la massima lor di* mensione in Y. Vedesi, ciò posto, che non pò* tra nella nostra ipotesi essere giammai tn <n . Che se abbiasi m=iny in allora la S non potrà con- tenere alcuna delle variabili r,x,/,iBr. •..»;€«€ sia i« > » , cosicché m — n -4-/, dovrà essere S fun* zione di alcune , o di tutte queste variabili ^ es- primendo p la loro massima dimensione •
1 5 . Supponghiamo » che laY=r///sr...»S, non possa diventare zero , se non quando facciasi zero una qualunque delle n variabili rySytyU..*tf In tale caso io dico ^ che la S ^ o sarà una co- sta»-
/
It
stinte , e ciò se ir = «r ( N.* prcc.) , o sarà ugua* le ad un solo termine formato dal prodotto di tut« te,o di alcune delle supposte « variabili, una ,o più volte replicate di un numero f di dimensio- ni ; e ciò mentre sia i« > » ( N.*^ prec. ) . Difatti se la cosa fosse altrimenti y come se fosse per es# S = r x*/)^ — rx*/ a& , ossia S = rx*/ (/^ — ») ; in allora diventando S = o per una qualche altra supposizione diversa da quella di r y oppure di x^ oppure di / , oppure ec. , o finalmente di « = o^ come nel nostro caso se ledasi 0=z z ; per tale supposizione verrebbe a diventare zero anche la Y; ma questo è contro V Ipotesi . Dunque ec.
1 5. Supposto adunque nel nostro caso in gè*
nerale S = M r' j^ /* i^' a' , essendo tali es- ponenti numeri tutti intieri , e positivi , essendo
k loro somma f-^g + b-\-$ -+-1 = ^ ; ed
essendo M una costante > avremo
Y=rf^u z5 = Mr^+'x^^'/*-*-« ....2&'+» ,
e fatto per maggior semplicità/-!- i=4,^-l-i=:J,
h-i i=^d ec. avremo Y = M r* x* /*»'.... »',
ove a -f- ^ + r4-^'+-ec. = »•
b 1 CA*
tt
CAPO secondo;
Proprietà generali delle EqMa%ion$^
17. O2
lappiamo già dair Algebra , cosa intender si debba col nome di Equazione Algebraica de« terminata , e quali siano quelle quantità > che di« consi sue radici «Venga ora proposta con T incognita X una simile Equazione , e sia questa per esempio Ja
m n p ^ p m n . np
Tolte in essa le frazioni , trasporto tutti i suoi ter- mini nel primo Membro ^ e venendone ( anp — gf^n ) x^^ (ep — hmp)x^^dmnx^ — {cmnf'\'gmnp)x^'{fmnf''hm)^o ^ suppongo
ianf — g^^) =F
( e p — Ì9n n ) =0
dm » =: H
— Ì€f92nf+gmnf) = I
{fmnp — bm ) =K, avremo da ciò V Equazione FAr^4-G;f^4-H;r*-f-I;r-4-K = o, la quale altro non è , che la proposta avente tut* ti i suoi termini intieri, ordinatile collocati nel primo Membro. Ora ciò, che si è detto della precedente Equazione di quarto grado , dicesi e« gualmente dluna qualsivoglia Equazione Algebraica di un grado m , rappresentando m un numero intie- ro ) e positivo qualunque • Dunque una cale Equa»
ZIO»
«3
zione porrli sempre ridursi nel nodo istesso alla forma
(C) F Jr* 4- G *•-'-+- H^-* -4- !;«••-» -4- ce. H- Z*= o, ove i coeffi-rienti F , G , H , ec. , sono tut- ti Numeri intieri. Divìdiamo presentemente que*
sa per F , e avutone il risultato jf* 4- -s- jf*-* +
•|-**^*+Y**~' 4-ec. 4--^ =o> suppon-
ghiaroo j-=r A , -p- = B, j = C ,ec. y = V> sos-
dtuisco » e ne verrà I* Equazione .
(D) jr*-f-A4f^'-t-B**-*-i-C*"-5-f-ec. H-L;r*- (» + '>-f-M Jt"-* +èc. +R x' + S r'+T* 4-V=o , chiamati V, T*, Sjr*,ec.gli ultimi suoi termini, ed espresso per JVf jr*~~' un qualun- qae termine di essale per L;»?'" -<*+*) quello, che a questo precede . Essa non sarà altro, che la (C) medesima ; ma sì V una , che V altra di queste E« quazioni deriva da una qualsivogia Equazione AI- gebraica determinata di un grado qualunque / dun« que sì air una , che ali* altra potrà darsi il nome di Equazione Àlgehraica Defermuata Generale ; e da entrambe egualmente , attribuendo all' esponente «r, ed ai Coefficienti gli opportuni valori , potremo ricavare le diverse particolari Equazioni Algebrai» che determinate , avvertendo, che i Coefficienti del« la prima si possono bensì supporre tanrì Numeri intieri, ma non già così quelli della seconda •
i8. Poiché possono esistere diverse radici di
una
«4 una Equazione data , ossia diverse quantità reali , od immaginarie, le quali poste in essa in luogo della X la facciano verificare, supponghiamo di rap- presentare con le lettere « ,/S , 7,^*, «7, ec, w le »• dici tutte della ( C ) ; cosicché fuori di esse non abbiavi alcun* altra quantità capace di rendere zero con la sostituzione il primo Membro di que> sta Equazione . Ciò presupposto , prendiamo il
{>rimo Membro della (C), senza farlo uguale al- o zero , e chiamatolo Y , consideriamo in essa la AT, come variabile . Avremo così la Funzione Y = Fa-H-G**~'H-H*— •4-Ix— »-+-ec. +Z, ove attribuendo diversi valori- alla 4r, è chiaro che né verranno diversi risultati , e quando giungiamo a fare x — ct^ 4f = iS, jf = 7, ec, la Y diverrà sem- pre , e solamente in tali casi = o.
19. Sia per es. i«= j , F= 5 , G = — 15, H = — 50, I=J2o, onde la (C) riducasi alla %x^ — 15** — jojr-H 120 = 0,
Equazione ,di cui tutte le radici sono i Numeri, 1,4, — 3 . Supponghiamo , come precedentemente, Y= 5x3 — jj jf* — yojfH-iao. Facendo quivi jr = i , otterremo Y=5 — 15 — 50 4- 1 20 = tfo ; facendo * = 3 , otterremo Y= 5.27 — 15.9 — 50.34-120 = 30; e così di seguito, ina mentre supponghiamo jr= 2 , oppure r =: 4 , oppure 4f = — 3, sempre ci risulta Y = o; e ci risulta tale soltanto in quesri casi.
20. Ritenute le precedenti supposizioni, e sottratta dalla variabile x ciascuna delle radici
15
« , ^ , y , ^ , ce. w , onde avere i binom j r — « , «• -/S , x—fyX — J,ec. jf — w, iodico che qualunque siasi la X avremo la funzione Y eguale ad unpro> dotto della forma F(r — «)*<:r~^)* (jr — y )' ( *•— J )^ . . . . ( X — w Y , èssendo F il coefficiente del primo termine in Y, ed essendo tf ,é, r, </, ec. r tutti Numeri intieri, e positivi, de' quali la som- ma è =}» .
Suppongojf— «=:r,Ar — /? = j, jf — y=/^,cc. * — *'=«>» e ciò fatto, poiché la Y diventa sem- pre zerof allorché facciasi jf = « , ovvero a* =:JJ , oppure 4f. = y ce. , e però mentre si supponga *-^* = o, od X — |S = o, od jf— y = o, ec. , os- sia r = o,.od /=o , oppure f=.o ec. » ne vie- ne dal (N.^ii) che dovrà la nostra Y essere =/('■) (0 (')... (*) . Ma-questa per 1* Ipotesi es- sendo una fìjnzione intiera , e razionale della x (N.* 17, i8 ), viene appunto ad essere una fun- zione delle r, / , /, ec. , come quelle dei ( N.' 1 2, 1 5 ); dunque per quanto si é colà dimostrato , dovrà tssttt Y^lAr* ^ t* .,..»'( N." i<? ) , esprimen- do con le lettere ^ , ^, r, ec. « tanti numeri intieri, e positivi ; e però avremo Y= M ( x—tt )• ( x— ^ )*
Ora in Y il numero » è il massimo esponen- te della X , e frattanto é chiaro , che essendo r=;r— «, ' = ■*• — § ft=:x — 7, ec. , la massima dimensione delie ty s ,fy ce. non può che essere la massima di- mensione della X . Dunque pel ( N.* i^ ) sarà
Fi-
j5
Finalmente jupponghiamo * = — » sostituendo nella Y = FA--t-G#— 'H-Hy—»-hI*— '+ ce.
V P H ■ l
tetKmo^'\"^—-\"l^-h-;^-^ ce.
= M (i-~«)'(i-/?/(~yy...(-7-«y. Ma a cagione di i» = /* -+- ^ -H <• -f- ec. -+• e abbiamo
^•_.^*+* +'+'•*•** •*■' = »*»»«* *^ «'. Dun^
que moltiplicando il primo Membro dell* Equazione ottenuta per «"», ed il secondo per *•#*»*... . »* fattore per fattore , otterremo F + G«-4-H»*
_t.I«3-f-ee. = M(i-«*r(i-^«>*
Ora la precedente Equazione Fjf*H-G^-'-+-ec. = M(Ar — «)•(* — ^)*" ••(* — ")' ^ verifica sempre qualunque siasi la *•, dunque anche qucst* ultima dovrà sempre verificarsi, qualunque siasi la », e però ancora, quando facciasi la « = o. Eseguendo pertanto ouesi* ultima supposizidhe, avremo F= M X 1 X ^xVxi ... X I , e quindi M=:F. Sostituisco adunque questo valore in luogo della M , e risultandone Y=F ( x-cc )' ( x^^ )' ( «-y )* .... (*■— w)' , ne siegue , che ec.y
2 1. Pel ( N.® prec. ) avcndofl F** 4- G*"-« H-H*-- *-i-ec.=F(r— «)• (^x—^^ {x-y)\ ....(*•—«)•, se dividerò per F , ne verrà
;».« 4- £ ;e-«+Y-*-'*+ec. = (;r-«)' (jf-jS/
17
{jc — yy * • . • (x — wy 5 e riponendo in luogo dei
G H Coefficienti -^ , "5" ^^* ^^ lettere A ^ B ce. ( N.^ 1 7 ) ,
otterremo jr^-+- A jf^""' + B;r'"^* +CAr"'-3 4-ec. =(r— a)- (jf— /3)* ( jr--7 )'. . . ix—u}y. Ora le Fun-. zioni FAr'"^-GA:«-'+H^^-*+ec.,Jc'^ +Ax«"' + B jc*"*-+- ec. altro non .sono > che i primi Mem- bri delle Equazioni ( C ) , { D ) . Dunque il primo di essi essendo = F (;r — ^)* (;r— /2)* (x— y/ • •...C^— w)%ed il secondo = (jif— a)^(Ar— |J/ ( X — 7)* . . • . ( a: — w )' , qualunque siasi la Jir , ne viene, che le Equa2ioni Algebraiche saranno sem« pre dotate delle seguenti proprietà.
1.® Se, oc, esprime una delle radici di una qual- sivoglia Equazione Algebraica (C), (D), il suo primo Membro sarà sempre divisibile pel bino- mio X — flf , e ciò qualunque valore sì attribuisca alla X.
2 .^ Chiamandosi ^^ , |3 , y , ec. w le radici tut- te della ( C ) , ( D )> il primo suo Membro non so* \o sarà divisibile per ciascuno dei binomj x — ^, X — /?, X — yeci ma anche pel loro prodotto^
3*® Tante saranno le radici della (C),(D ) quanti sono i fattori semplici at — a,A: — /2,jf— 7,, ec. X — w , che entrano nella formazione della quantità F ^•'H- G Jt'*-' H- H ;t"»-* 4- ec. , jr* -f* A;r'*-' + B 0^^'^ + ec. Che se abbiasi /«=r, hzzzi ^ c= 1 ^ ec. ^=1, il numero delle radici irerrà allora espresso dal massimo esponente fn àdr Equazione proposta ^
e 4-''
i8 \
/^."^ Nel i.^ Membro A^"* -+ A x"^-^ -+- B x^'^^tc.
= (x-xy {x-^)' (x-yy ix^u>y ,
come pure neir altro della (C)^ toltane laF,il numero dei Fattori uguali ^ o disuguali fra loro è sempre w; poiché m=:a-^-h-}- c-^ d. ... -f-tf ( N.^ prec. ) . Considerando dunque , che tante sia- no le radici, o uguali fra loro , o disuguali del* la data Equazione , quanti sono i fattori , che la formano , potremo dire in generale , che il suo massimo esponente m cu esprime sempre il nume« ro delle sue radici .
21. Secondo questa considerassione possiamo stabilire adunque , che in una data Equazione e* sistono sempre delle Tadici uguali ^ ogni quaIvol« ta alcuno, o tutti gli Esponenti a^b^c^d ec. e sono maggiori dell' unità ; e che esse appariscono tutte disuguali , se ciascuna delle quantità it^ b^ e yd ec. sia = i • In questo secondo caso però , in cui risulta x'^^k a:*""' 4- B ;r'*-*H-C a^'^^H- ec# = (at — os) (a* — /3) (a*-— 7).... (at — w),. con* viene riflettere , che tutte le ' radici appariscono bensì fra loro disuguali , e tali sono difatti , se tutte le lettere « , jS , y ec. w ci esprimono valori diversi ; ma se abbiasi il valore di ot = a quello di /J , il valore di «= a quello di jS, ed a quel- lo di y,ec.j allora anche in quest' ultima suppo- sizione esisteranno nella Equazione delle radici u« guali. Dunque tanto ne] caso,. in cui gli £spo« nenti a ^byc ec. pongonsi secondo 1* opportunità maggiori > od uguali ad i , quanto neir altro, nel
quale
quale supponesì costantemente 4=i,^=i,f=:i ec. potranno le radici nella data Equazione essere u- gaali,o disuguali fra loro; e quindi saranno sì 1* un caso, che T altro generali egualmente. Ora la supposizione di 4 = i , ^ = i , <• = i ce. riesce molto più comoda alle nostre considerazioni ulte-
- lìori ; per tale ragione adunque sicuri della do- vuta generalità, riterremo in avvenire piuttosto ques^ ultima supposizione , e diremo perciò esse- re iJ primo Membro della data Equazion generale
(E) ;r--|- Ajf— ' -+-B;r*-»4-C;r"-3-h ec.
25. Dividasi per AT — « il primo Membro del- la ( D ) j poiché la divisione deve riuscire esatta , (i.'*N.**2i) ,è chiaro, che il quoto risulterà del- la forma x^-'+A' x^-^^B' x'"-i+ €';*•'"-'» -|- ce. + N' x"- (*-^*) -f- P' x^- (*+0 + ec. -f- R' ;r* H- S' A- -f-T' , chiamati A' , B' , C ec. i suoi Coefficienti , e pel ( N. prec. ) avremo questo uguale ad(;r— ^) C* - y) (a- - ^ . . . (jf - w) . Moltiplico ora da una par- te, e dair altra per ^ , e veggo , che ci risulta x^-\- A';r— '-j-B'*"- *-|-ec.+ N';c"'-<*+*)4- P' x"-* + CC.-+- R' X* H- S'x* -hT' x^xix—^) (x—yy {x—S) .... (jf — w)., Mail prodotto ArC^-r-jS) (*— y)(*'— ^)*«'*(^— w)altrononè,che Taltro ( 4r—« )( jr—^ )( ^—y )( jr—^ )...( jf - w) , toltane la quantità «,dunque4inche la funzione jf'"4- A';t''"-* ■ 4-B'a-»-* 4- ec + N' ;«•'•-<*+') -l-P';e'"-*-f-ec. -+- R' jt' -f- S' jr* 4- T' A- , altro non sarà , che ìa jr*-f- A x*"' -+- B **"*■+- ec, levatine i termini-, che e 2 con»
20
contengono la « 5 e per conseguenza è chiaro dal ( N.** 8 ) , che avremo A ' = A"", B' = B~", C'= C"~
«r «e « tt
ce. , N' = N"" , P' = P ec. R'=R", S'= S~ ec. Nella medesima maniera, diviso il primo Mem« bro della (D) per x—^y e suppostone ;r»-*-4- A"*'"-*4-B";f^J-f- ec. H- N" ;r"-<*+*) -t- P" ***(*+»)+ ce. + R"A-*H-S"jr4-T" il quoto, dovrà essere
L „ _ L „ ±
A =^ A 9 B z^ B 9 C ^^ C ) ec« ^
N" = N ,P" = P^,ec. , R"= R~ S"=S~,ec.
In egual modo esprimendo per A'", B" , C" ,
ec. i coefficienti del quoto ^ xhe risulta dalla di*
visione per a: — y , avremo A" — A , B'"= B ,
C'" = Q , ec. , e così di seguito.
Se ciascuno di questi quoti si uguagli allo ze- ro , avremo così tante Equazioni del grado w — i^ ciascuna delle quali avrà per radici- un numero m- t delle m quantità ^, ^, 7 , 5^ ..•. w.
24, V ultimo termine V della (D) ugua« glia sempre il prodotto dC at/S 7 d" . . • . w , prenden- dosi il segno +) se il grado dell' Equazione è pari, ed il segno — ^ se esso è dispari.
Dovendosi l'Equazione (E) pei (N.* 2 0,22) verificare, qualunque siasi la ;r3 sarà anche, vera ^
allor
21
allor quando si faccia xzno ; eseguisco pertan- to una tale supposizione , e quindi otterremo V = — a x — ^X—rX- ^....X—w, cioè ugua- le al prodotto delle quantità ^^s'f, — j3,— y^ — J", ..•. — w. Ora se il numero dei fattori x — ^, JT — /J , ^ — y > ec. , e però il grado «i dell' E- quazione (D) è pari , simile prodotto viene af« fetto di segno + , e se quello è dispari, viene questo affetto dì segno — . Dunque seguendo V enunciata regola ^ avremo V = — ^|SyJ. ..,(«;• 2j. Il Coefficiente T del penultimo termi- ne Ta: nella ( D) è sempre uguale alla somma dei prodotti adi«— i, ad m — i delle m radici ^f §y 7 y ^<^' ptesà col segno ■+, se m—i èpa- ri , e cól segno — ^ se m — i è dispari .
Applicando ai Quoti del ( N.^ 23 ) quanto sì è detto nel ( N. 24 ) abbiamo
T' =±xyiyi (0
T' = ±où^$r} w
T"" z=::t:a^yri w-
ce. ce. risultati , ne* qìiali^ entrando un numero «? — 1 delle- ^ 5 j^ 5 7 ^c. dovrà apporsi il segno superiore, se m- 1 è pari, 1*^ inferiore, se «1 — i è dispari. Gradai ( N.^ IO ) vedesi , che abbiamo T" = « | T" , r" = «/3|r",T'^ = ^^y| r^ec, onde a ca- gione di r=T~,r' = T~r"x:T^,r^^T",
ec.
22
$ y
ec. (N. 23 ) ci risulta r'=«iT~, T"'=:«|S| T"", 9
T"'= x^y\ T~", ec. . Dunque pel ( N. 9 ) essendo
JL £. JL _L
T=T -f-«|T H-a|S|T 4-a|S7|T -f- ce.
con la sostituzioue otterremo T = T' -h T" + T'" *+- T'^-f- ce, e quindi T = :±: ( |S 7 5* »?.... w -^xyi; yj
• (a-i-ot^^ri w-f-«jS7>9....w-4-«|S7^
....w-+-«j37<y>7 -t-ec. ) Dunque ec.
t6- Supponghiamo -di voler formare la som- ma di tutti i prodotti a* tré a' tré delle cinque ra- dici « , |3 , 7 , ^ , w . Chiamata C una simile somma ,
_1 i- JL
pel (N.p) abbiamo C = C -t-«|C -f-a/SIC
f -f-«/S7jC +e&; ma le radici <x,/3 ,7,^,0» non
si possono contenere nei termini C » 0( | C , ec. , che a' tré a' tré, ed in modo di moltiplicazione; dunque la nostra formola non potrà estendersi » che al termine cc§y\C, essendo quest* ultimo
1. t
= « ^ 7 . Poiché dunque abbiamo C = C +« | C
-f-a/SjC 4-«/S7,è chiaro che otterremo la som- ma domandata , formando da prima tutti i pro- dotti a* tré a' tré, ossia tutti 1 terni fra le radici
«e
f^ 1 7 > ^ > <*> espressi dal termine C , tenendo con- tò in seguito di tutti questi prodotti , che signi- fica-
23
_r
ficati essendo dal termine « ! C , contengono la « , e mancano della ^ , poscia formando , come si ve-
de dal termine «jSjC , tutte le combinazioni a* tré a' tré, che prive della y contengono ed «, e /S, e finalmente formando nel termine «/3y il solo terno , che contiene unite ed- <x , e /J , e y . Così operando adunque avremo la richiesta somma
27. Ciò che si è detto delle combinazioni a* tré a' tré fra cinque radici > dicendosi egualmente di altri prodotti qualsivogliano a* it, a'it di un qua- lunque numero» di radici, se vorremo la Somma dì questi prodotti, chiamata essaM , poiché abbiamo * _£_ X - i.
dalia (B) M=M +«|M +«^|lVf +ot^y\M •4- ce, vedesi , che T otterremo col formare in prin-
«
cipio l'aggregato M di tutti i prodotti a* * , n'i fra tutte le radici date , esclusane la «j coli' unir
i, questo poscia alla Somma «)M dì simili combi> nazioni2, che contenendo la » ,sono mancanti di fi;
«_ jP
unendo in terzo luogo alle precedenti M , « | M
jy_ la somma « ^ | M di tali prodotti , che privi del- la y contengono , ed « , e jS,- e cosi proseguendo secondo le regole accennate nel (N. prec.)»
24
2 8. Se viceversa troveremo essere C = C
Z -H (X ) C -h ec. , od una quantità qualunque
JL A -1
M=M -t-«|M ■+oi^\M. -4- ce. , e se sapre- te
vao d' altronde C uguagliare la Somma di tutti
ec
ì terni fra le /Sj^,^, wj M'~tjguagliare V aggre- gato a* k^ a,* k fra le m radici della data , esclu*
sane la oc;C uguagliare tutti i Terni fra le « ,
i- y , ^ , w , M essere uguale ali* aggregato di tutti i
y_
prodotti a* I , a' i fra le m' radici senza la /2 , C ,
M uguagliare il primo tutti i terni fra le <x , jS , d* , w, il secondo tutte le combinazioni a' i , a' I fra le M radici senza la 7 , e così in progresso ; io dico, che in allora C sarà jiguale ai terni tutti fra le cin- que quantità «y/Sj^^d*,», che M uguaglieià la somma di tutti i prodotti a* ka* k di tutte le m ra- dici proposte.
In questa supposizione la somma delle quan-
JL 1. 2,
titàC , «iC fOt ^\C ec. ci viene-a dare la somma di tutti i terni fra le |S, 7 , d* , w , più la somma di quei terni , che mancano della § , e con« tengono la « , più gli altri , che privi della y con- tengono ot,e§, e così di seguito. Ma questo è
ap-
25
appunto ciò 5 che si richiede per la formazione di tutti i temi delle cinque radici date ( N.® ló). Dun- que la nostra C , che è uguale alla somma delle
quantità C 9 ^ } C , « ^ | C ec. uguaglier!^ ancora V aggregato di tutti i terni fra le ^, jS,
Ora questo stesso dicesi in egual modo delle quan*
JL A, JL -
tìià M ,«|M ^«/3|M ec. apporto alla M^
ed ^i prodotti a kj à k delle m radici proposte. Dunque anche la M sarà uguale alla somma éV tuni questi prodotti. C. d • d.
29. Nella (D) il coefficiente S deir ante- penultimo termine S ;ir* uguaglia la somma di tut- , ti i prodotti ad w — 2 , ad «? — 2 di tutte le m radici dell' Equazione data ; il coefficiente R del termine Rr^ è uguale all'aggregato di tutti i pro« dotti ad m — 3 , ad m — 3 delle radici medesime; il Coefficiente Q^ del termine Qx^ uguaglia la somma di tutti i loro prodotti ad «r — 4 , ad i« — 4, e così dì seguito ; prendendosi ciascuna di queste somme positiva, se i« — 2 rapporto ad S, «? — 3 riguardo ad R , m — 4 rapporto a Q^ ec. , sono pari 9 e prendendosi essa negativa ^ se tai nume* ri sono dispari»
i.^ Nei quoti del ( N.* 23 ) essendo le quan- tità S',S", S"\ S'^ ec. i Coefficienti dei penultimi rispettivi termini S' x^S" x ^ S'" x ^S'^ x ce/, ed essendo m — r il grado di questi quoti considera- d ti
25
ti come Equazioni , pel ( N.' 2 5 ) avremo S' = ± la somma di tutti i prodotti ad w — 2 , ad w — 2 delle radici ^, y, ^ ec, S" = 3: 1» aggregato di tutti i prodotti ad /» — 2 , ad 1» — 2 delle « , y , ^ ce. S'" == dt la somma di tutte queste combinazioni fra le <x , ^ , ^ ec. , e cosi di seguito , pr^endosi il segno superiore , quando nt — 2 è pan , e 1* infe- riore , quando m — 2 è dispari . Ora abbiamo
S' = S", S" = S"", S'" = S , S** = S"" ec ( N.® 23 ) . Duftque nel ( N.** 28 ) posta in luo- go di M la S , ed «? — 2 invece di k troveremo essere S =: alla somma di tutti i prodotti za m - ly ad w — 2 fra le radiai « , ^ > 7 > ^ ec. aflfetta del segno 4- , mentre tn — 2 sia pari , e del segno — in caso contrario .
2.** Quanto si è ora dimostrato dell* antepenul- tìmo Coefficiente S nella ( D ) , applicandosi egual- mente al Coefficiente dell* antepenuliimo termine in ciascuno dei quoti del ( N.** 23 ), ne viene, che sarà R' = all' aggregato dei prodotti tutti ad «» — 3 , ad « — 3 delle /3 , y , J ec. , R" = alla somma di tali combinazioni fra le « , 7 , 5* ec. , R'" = air aggregato di questi prodotti fra le ot , ^, 5* ce , e cosi in progresso, premettendosi a tali somme il segno H- , od il segno — , secondo che i« — 3 è pari , o dispari . Ma pel ( N.* 23 )
g^ et Ai
R' =: R"", R" -VCy R " = R"", ec. Dunque facendo nel ( N.* 28 ) M = R , il = » — 3 "
ri-
27
lisulterlt R = :!: la somma dì tutti i prodotti ad » — j , ad «r — 3 di tutte le « , jS , y , ^^ ec, prenden- dosi essa col segno superiore , se « — 3 è pari , e se jw — J è dispari, con 1* inferiore.
3.* La proprietà dimostrata presentemente nel Coefficiente dell* antepenultimo termine della ( p ) si verifica egualmente nei Coefficienti Q^, Q[', Ql"> Ql', ec. (N.^ij), onde annosi questi rispettiva- mente uguali ai prodotti ad m — 4,adM — 4 fra ^e /^,y><^ec., fra le ci^y^^ ec. fra le«,^,J ec. , presi col segno positivo , o negativo, se- condo che il Numero « - 4 è pari , o dispari. Dunque, replicati gli stessi precedenn discorsi , e supposta nel ( N.** 28 )M=Q^, i = jw — 4, tro» vereroo coisl essere con l' accennata regola dei se- gni Q^=3: 1* unione di tutti i prodotti ad «a —4, ad» — 4 fra le «jlSjy,!? ec.
4.® Lo stesso si dimostra nel Coefficiente del termine Pj:*, e cosi via via degli altri tutti , tro- vandosi per tal modo P = ± T aggregato dei prò» dotti futri ad «? — 5 , ad «b — 5 ; N =: m la som- ma delle combinazioni ad x»-^ 5, ad tn - 6 fra tutte le radici «,|3»y,<J'ec., e così di seguito, prendendosi in tsse il segnò -^, o il segno — , secondo che abbiamo rispettivamente pari , o dis- pari i Numeri m — 5 , tn — 6 ec. Dunque ec.
30. Riduciamola ( D ) alla forma:f'"4- A x'*-^ ^- B ;r— * H-C *"-' + D ;r"-''4-,ec. + L at^-^*-») -f-Mr*-* -+- ec. -f- P;f"-('"-J) -f- Q_;t'»-('»-4) d 2 -4-
28
H- R x^-(r-^) 4. S AT»- <•-*) -+- T ;r»-<— ») •
In questa si vede , che nell' ultimo termine y^i»-m^ ove neir esponente dilla x di m togliesi «f, abbiamo il Coefficiente V= it il prodotto di tutte le m radici ^ > <3 , y , 5* ec. , nel penultimo termine, in cui da m sotrnesi m — i, il Cotflì- ciente, che corrisponde, T uguaglia J- la somma dei prodotti tutti ad w — i , ad w — i delle me- desime ^ , /3 , 7 , <r ec. i laddove da m si toglie m — 2 , si à il Coefficiente S =^ i prodotti tutti ad m — 2, ad j» — 2 ec. Ora io stesso si osserva in tutti gli al- tri termini • Dunque potremo dire in generale y che il Coefficiente di un termine qualsivoglia è sempre uguale ali' aggregato di tutti i prodotti delle ra* dici »y §^ y ^ $ te. combinate a tante fra loro 5 quanto nel rispettivo esponente della ;r è il nu- mero, che si sottrae dalla m; osservando poi , se questo numero , che si sottrae è pari , o dispari ^ poiché nel primo caso air esposto aggregato de- ve apporsi il segno + , nel secondo il segno — • 3 1. Pertanto avremo il Coefficiente del secondo termine A = — (^xH-jS-f-y-f-^-f- ) ugua- le alla somma delle radici tutte presa col segno contrario •
Avremo il Coefficiente del terzo termine B =
H-(«lS + ^yH-«<r-4-/2 7-MS^4-7*H- )
uguale air aggregato di tutti gli Ambi fra le ra« dici preso col segno naturale.
Sarà il Coefficiente del quarto termine
C =
^9
C = — («/Jy4aj8*-h«yJH-/Jr*4-- •.) uguale alla somina di tutti i Terni fra le radici presa col segno Contrario , e così di seguito •
Abbiasi per esempio V Equazione x^ ^^ i x^ — 2 3 jc* — I 2 jur 4- ? ^ = o , di cui le radici sono 1 , 5 , — 2 5 — 3 . Ch amati A , B , C , D i suoi Con efficienti 9 pel dimostrato dovrà essere A=-(i-Htf— 2-3),
B='+-(iXtf-hiX — 2-+-1X— 3+5X— 2
-+-^X-3-2X~3), C=— (i X<5X— 2 4-1 X^X — J-+ i.X— 2
X-34-5X-2X-3), D:= 4-IX5X — 2X— 3;e difatti , eseguito il calcolo si ritrova A=: — 2,B=— 23,C=:— i 2,
32. Se V Equazione proposta manchi di un qualche termine , come è la jr^ — i p jr -+- j o = e, ove manca il secondo termine , ciò indica , che la fomma , la quale corrisponde al Coefficiente del termine mancante , è uguale allo zero ; impercioc« che possiamo sempre. scrivere un tal termine nell' Equazione senza turbarla , apponendovi lo zero per CoeffirientCv L' Equazione precedente riducesi co- sì alla 4r^ + ojr* — 19:^4-30 = 0, ed essendo 2 , j ,— 5 le sue radici, abbiamo difatti la loro som- ma 2 4 J — 5 =^*
33. Nel ( N.^ 23 ) si sono indicati con le let- tere A' , B' , C , D' et, i Coefficienti del quoto , che deve risultare dalla divisione del primo Mem- bro della ( D ) per x-^ oli cerchiamo presentemen-
• te
30 te di determinare, quale sia il valore di questi Coefficienti, mentre- in realtà si effettui una si- mile divisione.
Avendosi pel ( N." 3 1 ) A = - ( «-f-jS+y-M'<4- ce. ) sarà « -HA = — ( ^ •+• y -+- ^ + ec. )• Ma pel ( Nume- ro istesso ) deve essere anche A'=— (/S+y-H^+ec. ). Dunque avremo A' = « + A .
Poiché B uguaglia tutti gli Ambi fra le «)(S, y , ^ ec. , e 6' tutti gì' Ambi fra le /S , y , d* ec. ( N. } I ) , ne segue che sarà B = B' +> la somma di Tutti gli Ambi , che contengono « ; ora quesc' ultima somma è evidentemente eguale ad « ( <5 -4- y+^4- ec.) , e frattanto abbiamo /S 4- y -+- ^ 4- ec. = —A' ,• dunque essendo « ( /3 -hy -h J'+ ec. ) = — « A' , con la sostituzione otterremo B= B— «A'.
Uguagliando C tutti i temi fra le «, ^, y, 5" ec. , e C tutti i terni fra le |S , y t ^ ec. presi col segno — , avremo C = C' — la somma dei terni, che contengono oc ; ma questa somma é uguale ad a ( /3 y + |3^ 4- y d" 4- ec. ') , e però ugua« le ad IX B'; dunque sostituendo avremoC =C'-«B'.
Essendo i Coefficienti D , D' uguali a tutte le quaderne , il primo tra le « , /2 , y , ^ ec. , il se- condo fra le jS , y, d" ec. ( -N.® 31 ), ne verrà D - D' -+- a (|3 7 ^-h ec); e quindi a cagione di ^y^ + cc.= — C' , otterremo D = D' — «C .
Nella maniera medesima sì trova E = E' — «D', F = F — « E' ec. , e il Coefficiente M = M'— x V,
Ciò posto ponghiamo nella Equazione
B=B'
31 B = B' — « A' , ossia nella fi' = <r A' -f- B , il va- lore di A' = <« 4- A i e cosi nelle altre C = C— « B', D = D — « C , E = E' - « D' ce. , ossia nelle C'=«B'+C,D'=«C'-t-D,E' = «D'H-Eec., i valori successivi, che risultano, e otterremo così A' = « + A , B' = «* 4- A« H- B, C = «^ 4-A«* H- B« 4-G, D' = a"» -H A«' -h B«* + Ca H-D, E' = «* -+- A»'» -t- B«»-hC«*4-D« + E, ec. ec. ec. ec. ce. ec. ec.
M'= *» -H A a*-' +B«*-* H-ec.-4-L«-|-M; e questi saranno i valori dei Coefficienti nel quo> to supposto; noi li vedremo risultare attualmen- te , se attualmente divideremo per r — » la quantità *» 4- A *"•-» -f- B ;r"~* + C;c*-* -+-ec. + Ljr^<*"')-hM;tf"'-' H-ec.-f-V.
Dividendo il primo membro dcU' Equazione X* — 2A*' — 23** — lar-i-jtfz: o per x — 6 ; il quoto sarà r» -h A' jr* -+- B' at •+■ C , avendosi A' = <5^ — 2 = 4 , B' =: 6» — i . tf -- 2 3 = 1 , C = <53— 2.6* — 23.5 — 12 =—6,
34. Indichiamo con la lettera S la parola somma ; supponghiamo , che 1' espressione ^ r ci denoti la somma «-f-jS-f-yn-d'H-ec. •+-«, 1* altra Z af* e* indichi la sofnma dei quadrati «* 4- ^*
4- 7* -f- d* -+- ec 4- «' , la terza 2 a-^ ci»es-
prima l' a^regaio dei cubi «^ 4- /S' H- 7' H- ^^ 4- ec. 4-w^ , e così di seguito ; per modo che in ge- nerale Sx* indichi 1' unione di tutte le kesime
pò»
3*
potenze a* H- jS* 4- y* -4- ^* 4- ec. 4- to* . Ciò posto io dico, che avremo
(F) 2;t*+AS:r*-'-f-B2;t*~*-f-CSjr*-JH-
+ H 2 AT^ + I 2;r* + L X^+i M = o .
Affine di avere tutti gli Ambi, che si possono fare con le nostre m radici <« , /2 > 7 > ^ ec. w , sap- piamo dair Algebra non doversi far altro , che combinare ciascuna di tali radici con tutte le al«« tre «2 — I ^e poi prendere la metà del risultato; affine di avere i Terni, sappiamo doversi unire eia* scuna radice con tutti gli Ambi possibili fra ie altre i»— i che restano, prendendone in seguito la terza parte; e in generale , onde ottenere tut- te le combinazioni z k d^k delle m quantità sup- poste^ sappiamo, che ciascuna di esse devesi mol» tiplicare con toitte le combinazioni ai — i,a k — i delle altre m — i radici , e che il risultato devesi. poscia dividere per k • Avendosi dunque pel ( N, 33 ) ciascuna delle quantità A' , A" , A'" , A'^ ec. = — la somma semplice , ciascuna delle B' , B'' , B"' , B'^ ec- = -f- la somma degli Ambi , cadauna delle C , C" , C" , C^^ ec. — - V aggrejrato dei Terni , ed essendo così ciascun Coefficiente L',L">L'', L'^ ec. = :!: r aggregato dei prodotti ai-i,a 4 — i di un numero i«— i fra le 1^ radici «$/3,y,^. • • . • ^ , toltane la ol rapporto alle quantità A' , B' , C ec. L' , toltane la ^ riguardo alle A" , B",C" ec* L" , la 7 relativamente alle A'" ,B'" , C" ce. L'", e così di seguito, ne viene, che sarà
B =
B=— — («Al^^A"-hy.A"'H-<rA'^-Hec.).
C=— ~(«B'4-iSB"4-yB'"4-d'B''H-ec.),
D=-— («C'4-/SC"H-yC".' + ^C'^-+-ec.), 4
ec. ce. ce. ce.
M=--j-(«L'+|3L"+yL"'+JL''-+-cc.). .
Ora tenendo conto soltanto di quest' ultima riga , come del caso generale , da cui tutti gli al- tri possonsi ricayafe , osservo che essa si riduce alla
iMs=-(«L'4-^L"-+-7L"'-+-*L'' + ec.).
Ma pel (N.^gj) abbiamo L' = «*-' -4- A *»-* -h Bflt*-» 4- C a»~4 + .. . .
-f-H<x*-l-I«-f-L, e nel modo medesimo si trova L" =|S*-' -h A |2*-» -hB jS»-5 -+- C /^»-4 4- • • • •
H-H|S*+I|S-4-L, L'" =7*-' -h A y'~* 4- B 7*-» 4-C7*-« -h* • • •
-+-H7* + Iy-+-L, /
V =i»-*H-A^*-» + B^»-J + C^»-'» + ««»«
-+-H^* + U + L, ec. ec.
Dunque sostituendo avremo
iM=— («* 4-^* -h 7* -h ^* + -Hto^)
— Ar<V-'+^*-'+7»-'+ J*-*4-.... +w»-')
— B ( «*-*+^*-*+-7*-*4-5*-*+- . . . . -h w*-*)
— C («»-»+/3*-'»+7*-'-h^*-'-i- . . . .-+'t«i*~»)
ec. ec. ec.
( : -. ■ •
3^
r--I (jc* + 3* -Hr^rl-^* + H-w*)
-L(jc +i3 4-y 4-<? + .j....-hu) ), e quindi ponendo Sjt*, Sat*^', Sjr*-*, ec. in luo20 di queste somme, ne verrà iM = -Sjr*— ASJf*-^-B2A^*-*^CSA^*-^- ....— HSats -.IS;^'* — LSjf^e finalmente
+ HS;c^+lS;r*H;L5;;ir + iM=o. {a)
35*
(tf) Non voglio omettere d' esporre la seguente elegantis* sima dimostrazione del precedente Teorema . V Autore dì que- sta è il eh. Avvocato Paolo Cassiani mio Predecessore , e Mae* stro , del quale i rari talenti , le profonde cognizioni , e T otti- mo carattere superano tutti gli encomi!, che se ne possono fare .
Primo . Sia P il coefficiente di un termine qualunque P x**" dcir Equazione algebra Ica detcrminata x** ■+- A x***^'-»- B x**^* -♦- ec. =; o • Se nel coefficiente medesimo si supporrinno successi- vamente uguali allo zero tutte le radici « , ^, 7 , ^ , ce. , «, ed i risultati di ciascheduna supposizione saranno rappresentati da' ^ y T^ y 7 , ?r ,ec., if^ ' , SI avrà ^' ^VV ir"'-f. tV •••-♦. 9r(^ =(« ^*) P .
(Qualsivoglia termine del coefficiente P espresso per mezzo delle radici dell' Equazione , non è che il prodotto di un nuuie- ro ^ delle stesse radici ; Ora questo prodotto deve necessariamr-n- te svanire, quando si suppongono successivamente uguali alio ^e« ro le k radici in esso contenute i e per l'opposto deve sussste- re, quando si appongono successivamente uguali allo zrr<; 1 al- tre m ^ h ràdici ^le quali non entrano nella sua formazione • Dun-
35 jy Esprimendo m — kV esponente di un ter- mine qualunque della ( D ) , ed M il Coefficien- € i' te
que nella somma dei risultati V -4- ir" -+- ir" -*- 9r'^^ • • • -f. ^r^") ciajcheduQ termine del coefficiente P si troverà replicato m-^ k volte , e conseguentemente sarà
Secondo . Io un* Equazione algcljraica determinata qualun- que x'^ -^ A x"^' -+- Bx*"-* -♦-... -f- p x*"-* -4- ...-+- V=:o , si àSx^-f.ASx*-' +B2x*-* -+-CSx^-"3 -h...^*p-o.
Supposto , che le radici dell' Equazione siano « , (J , 7 , * , ec. , a>, se si dividerà il primo membro per x -- flf,si avrà la nuova Equa- zione x*""' -+- ((X -4- A Ix"""* -f- (oc* -^ A oc -f- B )x'"""3 + (ir^ -4- A«* -^-Bix-^Ox'^-^-t....- 4-(ai* -f- A«*"' +B«*""* -K-Cof*""^ -4....4-P)x'"-(*-*-')^
.... + ^-«4- A«'^~*-hB«'^*'^H-C(x'"""^4. + T=3 o,
la quale comprenderà tutte le radici ^ , Y > ^ > ^c., a> • E^ poi fa- cik il coD^prenderc , che i valori dei coefficienti di questa nuova Equazione saranno affatto gli stessi , che quelli , a' cui si ridur- rebbero i coefficienti A , B > C , ec. , F della proposta per la su^ottziooe di «so. Si avrà dunque «e* -h A«*^' -+i-Bflc*^* -♦- B^*~5 -4- ..•-♦- P =: 9r' , e nella stessa maniera si troverà
?* -4- A P*""' -4- B P*--* H- Cji*--3 H- . -. + P - ;r\
- 7* -4- A 7*"^* H- B 7*' * -^ C7*^^ -f. ...-+- p ss^r'" , ** -4- A ^~' -^ B tf*"* -4- C ^*"^ -*-..• -4- P s 5r'^ , ec. , «* + A o^*""' -4- B «*"'* -4- C ft>*~3 -4- . .. -h P S t(^) • Ora se li sommano tutte' queste Equazioni, il numero delle quali è /», e si farà •«* -i- p* -^ 7Vh- ^* -*- •.. -^ *>* -2x* , "
3«
te, che gli corrisponde , se supporremo successiva- mente ifc= I j 2,3 , ec. , M diverrà in corrispon* denza Aj B , 6 , D , ec. ( N. 17). Ora h prece- dente (P) con r esponente generale k à per ul- timo suo termine^ M; dunque se supporremo successivamente k:=z 1,2, j^ ec, la quantità k M divenendo A , 2 B , 3 C , ec. , dalla ( F ) otterremo corrispondentemente le Equazioni 2 JT 4- A = 0 , S^r^-f-A^jf+i B=:o, S;r^ + A2Ar*+6Sjr4-3Cr:o, 2 x^^A^x^-hB^x^-hCXx+^ D = o, ec. ec. ec, ^
Dalla prima di queste Equazioni ricavo
2;r= — A. Sostituisco questo valore nella seconda, e ne viene
Sjr* = A*-2B . Ripongo i valori di Xx^e 2jr* nella terza
Equa*
«*-» w.p*-'H./-' ^**-' ^...a>*-' e 2x*-' ,
iC
*-* ^i2*-» ^ <..*-» . Jt*-*
H risultato sarà Sx* -fr-ASx*""' -t-fiSx^r* -^CSx*^^ -f- ... ' -+-Ci>P=: t' -f- »'V jf'* -4: 3r'^ H-.... ^irl^) = {jw-,it)P(n.prcc.)* Dunque Sx* -f^ A 2 x*"' -hB S x*^* -4-C 2 x*~^ -^ . . . . -MwP=(i»^i^)P,e quindi X x* + A 2 x*":* -vB 2 x*^* ^-CSx*""^ -♦- .•.-^- frP=: o .
Dorilo stesso Avvocato Cassiani è pur aocbe V ingegnoskaifiiA dimostrAcione del Teorema esposto nel ( H. 51 >•
37 Equazionct e otterremo
Io egual modo ricaveremo
2:e* = A^ — 4A"B4.4 AC+iB* — 4D, e così in progresso. Dunque, data una qualun* que Equazione AJgebraìca , potremo sempre col mezzo delle precedenti Equazioni determinare la somma delle potenze primeT^econde y terze ^ ec. delle ràdici » e ciò fino alle loro potenze M€sìme. ^6. Che se si vogliono le somme delle pò* tenzQ di un grado maggiore di fn , non servendo in tal caso la ( F ) , ricorreremo air Equazione (G)2jr*-^*4AS;r«-^*-' + B2:x"«-»-*-*+ec.+T2jr*+« + VSjr*=:o, di cui imprejndiamo ora a dìmos* trarne la verità*
Pongansi successivamente nella data ;ir*+ A jt^*"' +B x^-^ + C Jt*-^ + ec. + T ;c -|- V = o , in luo- go della X tutte le radici «,i3,7, ^ ^ec; avremo perciò
«* +^ix'» ' + B iX«-*+C a»— 5 + ec- +T «+ V= o, /S* + A/J'«"'-+-B^'»-*+C^"-^+ec. + TjS+V=o, 7* + A7*-' +■ By* -*+C7"'-'-hec. +Ty-hV=o, ^• + A^*-^'-hB<r«-*-f.C<r"~^-hec.+Ttf+V=o, ec. ec. ce. ec.
Moltiplico ora la prima di queste Equazioni per A* ,la seconda per ^* , la terza per y* , la quar- ta per ó*^ ec. , € ciò fatto eseguisco in colonna la somma di tutti i lisulta ti, che abbiamo così ot- tenuti ; è chiara che Jn fine ci risulterà appunto (G) 2 ;r'"-^* + A 2 ;t»-^*-'NkB Z ;c«-^*-^* + ec.
3»
Suppongo presentemente & := i , avendosi quindi
H-T Sjf^-h V2;r = o, sostituisco in luogo di 'Sx^y 2;c*^Sec. i valori rispettivi ottenuti pel ( N- 3 5 ) > ^ otterremo cosi il valore di S x*^-^^ .
Faccio in secondo luo^o i=2, venendone Sat'^-^^H-A Sje«-^«-f.B Sjr** +C2:;r'"~' + ec. •4-TSjr^-hV Sjr* = o, colloco quivi in luogo di Sjr*'*"^ 2!jr^,ec. i valori corrispondenti, e quindi ci risulterà il valore di ^ at'^"*'* . In simil modo ricaveremo i valori di 2 at*^"*"^, S a''*"*"^ ec. . ;j7. Le Equazioni ricavate nel (N.gj ) del* la ( F ) col supporre successivamente iJ = r , 2 ^ 3, ec. , I» , e le altre ottenute dalla ( G ) ( N.® prec. ) col supporre successivamente i& = '> 2f Ji ec, Equa- zioni y mediante le quali possiamo sempre ottene- re le somme di tutte le potenze intiere delle ra* dici, quelle sono, che^ costituiscono i cosi detti dal loro Inventore Teoremi Meutoniani .
Data sia ad esempio T Equazione ;r^ — 4r* — r 4 jr + 2 4 = o , col paragonare questa con la ( D ) ri« cavandosi m^ 3,A= — i,B=: — i4,er ultimo termine V = 2 4 , supponendo successivamente nel- la (F ) i = I -, 2 , 3, otterremo ^x — i = o , 2 or* —2 jr — 28=0, 2;r^ — 2jf» — i ^^ x-h^i^o^ e, supponendo nella ( G ) A = i , 2 , 3, ec, ne verrà ^x^—^xy—i 42:;c*H-2 4 2:r=o,2jr5~2jr^ - i4SjrJ + 2 4SAr* = o, 2;r^— 2rJ -142:^^4 + 2 4 1^ A'3 =o> ec * Ricavo ora dalle prime di que- ste
39
stc Equazioni il valore di 2" jr*, 2 jr* ^ec.; lo sos- tituisco nelle altre successive , e troveremo cosi
2 ;r^ = — 7 4 9^c . Difatri , essendo 2 , 3 , — 4 le radici della supposta Equazione , abbiamo la loro somma 2 +3 — ^^4=:!, la somma dei loro qua- drati 4 + 9-+'i^=j;z9,,la somma dei loro cubi 8 -+-27 — 54 = — 29, r aggregato delle quarte potenze 16 + 81 + 256=353, la somma del* le potenze quinte 32+243 — 1024— -749, ec«, come appunto avevam ritrovato coi Teoremi Neu« toniani , indipendentemente dalle radici medesime • 38. Formare un' Equazione ^ la quale abbia per radici le m quantità date. ^, |S, y ^$ ... .(a. Potremo sciogliere questo Problema in tre ma* niere diverse, mediante i(N.^22,3f,35 ).Im- perciocché pel ( N.® 22 ) non avremo , che a mol- tiplicare insieme i binomii x — a, x — fi^ x — 7, X — ^5 ec. , ed uguagliare il loro prodotto allo ze* ro; pel ( N.^ 31 ) non avremo, che a trovare i valori della somma semplice , della somma degli Ambi, di quella dei Terni , ec, delle date radici, e queste prese nel modo indicato nel ( cit.^'N.® 31) costituiranno i varii Coefficienti della Equazione che si cerca, il grado della quale sarà ;».Fmal« mente dalle radici cognite potendosi immediata* mente determinare la somma di tutte^le loro po- tenze , potremo mediante queste , e le Equazioni del ( N.^ 35 ) determinare i Coefficienti dell* Equa- ziune nchicòta ; poiché chiamati A , B , C , ec. tali
Coef-
40
Coefficienti , dalle Xit+A-o, Xx^-^A ^x •4- 2 B = o , ec. ricaviamo
». 3
Siano per esempio r, J»— ^ le^ radici date* Eseguisco secondo .il primo njetodo la Moltipli^ cazione dei binomii x— i,jr-j,4r4-2,e fac- cio il lorp prodotto ;r5 — ijr* — 5Ar-t-tf = o. Se- guendo il secondo metodo formo la somma sera- plic« I H- 3 — 2 = 2, quella degli Ambi i . j 4- !• — 2 + 3 . — 2 = 3 — 2— tf = ~5 , e il prodotto I ,g. — 2=-5,e prendendo il primo , e T ultimo di questi risultati col segno contrario , ne viene r Equazione a-^ — 2 ;r* ~ j jt + 5 = o . Finalmente, col terzo metodo, avendosi 2^=1+3 — 2 = a, 2jr* = H^^-f-4=i4,2jr5=i +27—8 = 20,
otterremo A = r- 2 , B =liiZli=::iil = -- s >
C_ j.*.i4 -».*o- (1)^ _8 4r4o--8_ 5^ _ ^ .
e quihdi jir^ — 2 :r* — 5 ;r + ^ = o . In tutti e tre i casi abbiamo cosi ottenuta la stessa Equazione, di cui I , j , — 2 sono le radici •
39. Indichiamo con V espressione 2 jr* 4r* la somma di tutti ì prodotti , che si Ìltìtìo moltiplican- do la potenza nesima ài ciascuna radice con la som- ma òì tutte le potenze mesirncK àtìV altre , ondje sig 5:;r'";r'* = a-(|3'»+7» + tf*4- ce)
+ /S-
41
+ /S" («'» 4- 7»» 4-,J« 4- ce. )
H-<J''(a"'4.^'»-+-7'"4- ec.)
ce. ec. ce. , ovvero
S ^K* jf* = a» /S"» + A» 7"" -f-A" ^'" 4- ec.
4- |2« a- H-jS» 7-» + 1?» «J"» + ce. 4-7" *«» 4- 7" ^^ 4 7» d"* 4- ec. 4-3**" + ^-^'" +<J"7"'4-cc. ce. ec. ec.
L'espressione Sat*" *■ jf^ indichi l'aggregato de' prodotti della potenza/ dì ciacuna radice nella som- ma de' prodotti fra le potenze w, n delle altre, e sia "Sx^x^ xf= «/ ( jS" 7" 4, jS" 7'»+/3'» d" 4-/J" ^"•4- 7»d»»4. 7''»<J"4-cc.) 4- jS' ( <x"'7» 4-a" 7»» 4-a'» J» 4-a" J"»-!-
7"<J''4-7"'d»4-ec. ) 4.7/ (a" |S. 4. ^» |3«._j.^»,j»^_^»^«^
^"«r"» + ^«J»4-ec. ) 4- 5' ( ^'•^" 4-a" jS"'4-«'"7'4-a"7«4- /3"7»H-|3»7-4-ec.), ce. ec, ec. • ossia
S ****** = a'iS'»7"4-«^^''7'" 4-«'|2"' J«4a/^»J'»4- a' 7" J» 4- (xf yi" 4- ec. 4 |S/a"'> ''4-i^'«''7'»4-(3^4-«"'<J* 4 ^a*<J"4-
^y-d-4-^.«'<r-'4-ec. 4-7/4'*' ^"4-7^«»|S'"7/4«"'<J"4-7i»W»4-
^»d'»7/4-7/.|3»^-4_cc. 4-^/a"' ^"A-óf»"^" 4-d/j''» 7»4-J/a"7'' ^•y»a/4.^/|S«,^»_l_g^^
ec. ce. ec.
f Nel
42
Nella maniera medesima supponghiaroo ^ S ;c*;c' xfx*— «« ( |3- 7" ^' + ^'' T*^*^ + ec. > H- |S* ( «• 7* «J' 4- jt" 7"» <J' 4- ec. ) 4-7» ( a» (S" d' 4- a* /J" <r^ 4- ec. ) 4- 5« ( «* ^" 7' 4- «" ^*' 7' -*- ec. ) ec. ec. ec.
e così di seguito.
40. Dal ( N. prec. ), e dal ( N.*» 8 ) è chia- ro , che sarà
« # 7
4-^" 2 A''"~"+ ce. ,
+7^ S ;r''A:»""+5^ S r^jc" + ec. ,
* i
'E x'^ x' xf x'' - x^^ x'"x' ;c'"~+^* 2 x'^x" xf
+ 7* 2 ;t* x''xf^+^^ 2 ;t'* ;t'''jf'~'+ ec. , ce. ec.
41. Avremo sempre
(H) 2 x^x' = 2;f" 2 ;r"— 2 Jf"+" , ( I ) 2 A-™ at" at' = 2 Jt' 2 ;r"' ;r* — 2 r"* x'^-f-^ x» r-*', (K) 2 x'^x" A-* a:' = 2 X' 2 at" -r" a:/ - 2 x'^x' jf'+* . — 2**;r'Ar''+«— 2Ar"jf^r"'*« , e in generale (L) 2 A-- x' xf x!*. . . A-'rrS x* ^ Af*^" Af' Jf* . • • •
4} — S x'^x'xf. . . A-*-^" - S X* x* *•«.... ;r'** — Z Af'-jf'jr'. . . ;r"+?-'2 ;c- at^ ;r' . . . . ^"+-
ec. ec. ec. 1. Poiché abbiamo
2 *• = «»4- S ^*» (N. 9, 3 4) moltiplicando per «■
ne vcrA «* 2 ;«•• =««+" + a" S ;«>"^. In cgual modo troveremo essere
&
Y
7" 2 ;r"' = y"*" 4-7" 2 x"^"
i
0*2;^'*=: ^'"+'' H- ^'' 2 x"""
ec. ec. ec.
Dunque sommando in colonna tutte queste E- quazioni , ci risulterà («•+/3"+y"+<r''+ec.) 2;r«= «* + " + /J" ■*■ " 4 y + •
m P 7
+a"2 ;t-""+^"2;r'»-+y''2;c'^
+ a-2;c"'~- + ec.,
e ponendo le rispettive espressioni, otterremo 2x^2:jir*=2;r'"+''-+-2*'';r"(N.34,4o) , e quindi
(H) 2 x^je* = 2 A* 2 ;r* - 2 *•'•+''.
a.*» Essendo 2 ;t* ;e* = « | 2 a-* ;«• » + 2 #-• *"~ (N.^), e come si vede nel (N.39) dalla pri- f 2 ma
44 ma fila orizzontale 5 e dalla prima colonna del
valore di 2 jr'"^:* , essendo ^ | S jr*;r* =a" 2 jr^
H- (at** 2 jt*"" ; ne viene che avremo S ^r* jr*
= «• 2 ;r"""-|- <«• 2 x*~-h S ;«"• r"~ , e in egual modo , cangiata semplicemente la « in /3 , 7 , d" , ec. > trovasi essere
^ ^ ?
7 7 7
2 r» 4?" = 7* 2 x'*~-+- 7* 2 ;c"""-f- 2 ;r'" Jf •" ,
s s s
2 ;t"' jf » = a» 2 ;c'»~-f- ^* 2 ;^"'""-f- 2 ^c* **~ ,
ec. ce. ce.
Moltiplico presentemente queste Equazioni rispet- tivamente per a' , jS' , 7' , ^' j ec. , e venendone
ce et
«^ 2 jt^x" = x^-^f 2 x'^^'-Jf a"-^' 2 ;c"~
H-jS/'2Ar"'A:»~ ,
7 Jl
7' 2 x" *" = 7'»+/ 2 ;«•'»'"+ 7'"*' 2 ;c"
7
-}-7'2A-"';r»~,
i i
èf 2 ;r"';c" =^»+/ 2 ;r"'~-h J**' 2 or»'"
ec. ec ce. som*
45 sommo in colonna tutti questi risultati. Ora la somma della prima colonna è = 2 ;t' Z a-* ;r" , quella della seconda pel ( N. 4o)è = 2 x'^x'"*-^ , quella della terza = 2 at" x'^f^e quella della quar- ta è = 5;Ar'"jr"4f' .Dunque eseguita T operazione otterremo Tx^Xx^x' = 2 x^x* "*' + il ;f" x'"'*'^ 4- S jr" jf" Jf' , e però (I) ^x^x'xf^^xf^x''xf-'Xx'^x^-*-f
j.** Avendosi S;r"'.f"Ar^= a|2;r*x''*' +
' m
S ;r* 4f- jf^~ ( N. 9 ) , e dal ( N. j 9 ) vedendosi essere
« oc
« j 2 ;r*;c* jt' = «^ S ;c"'jt«'~' -h «" 2 x'"xt^
4 A^Sjf' jf^"", ne segue che saia 2 *• "jf" *'
«r ff K
= «* 2 ;«•* jf"""4- «" 2 *«'*^~ -+- a* 2 ;t" x^
H- 2 .r" jf* jf^ , e cangiata la » in |S, 7,5", ce, avremo egualmente
+ ^'" 2 A-" x*~-f- 2 jr^jc" ;r' ,
y 1
2 *»;r'' ;r' = 7' 2 a^a-"~+ 7" 2 jc-jr/"
-+- 7" 2 jr" *'- -h 2 x^x' xf , * i
2;c*;c»;f'=<ì'2A-'»r"""-}-J" 2jr*'jr'""
ec. ec. Mol-
4-^ Moltiplico , come precedentemente , per «* , /5« , 7« , ò« ,ec. queste successive Equazioni ^ ed avuti- ne i risultati
te K
H- ««+* S x" xf~-h a« 2 x" x' xf ^ &i 2 A-"» ;r" A-/ = /3'+* 2 x* x"~ + /3"+« 2 at"» r^-"
-I- 13»+* 2 A-" xf '^§i'Sx'' x" x'~", yf2A-'»;c*x/=7^-M2 A^A* H-7"+«2a--x'
^ y>«+^ S jf" xf -1- y* 2 x" x* xf~- ,
^* 2 A"* x" x' = ^'+« 2 x» x"~ 4- J"+» 2 X* x'"~
_1 '
^-J^+jSx'x' 4-J»2x'»x*x'"',
ec. ec*
li sommo in colonna , ed è chiaro , che , come neir altro caso , ci risulterà pel ( N. 40 ) S x« 2 x^x" x' = 2 x" X" x^+< -H 2 x^x' x*-<-* + 2 X" x^ x-'+'-h 2 x*x" X' X» , onde ricaveremo (K ) 2 x^x" x^ X' = 2 X» 2 x^jc" x' — 2 x^x* x'+-« — 2 x^x' x"+f — 2 jr" x' x*+* .
4.'' Ripetendo gì' istessi discorsi, facilmente vedremo verificarsi sempre proprietà simili alle pre- cedenti rapporto alle sbmme dei prodotti fra le varie potenze delieradici, qualunque queste sian- si, e qualunque si sia il loro numero, ^ndein
47 generale avremo
(L) 'Zx'^x'' x^ x^ ....;r« = Sjr".^jr«jr*;r^;r^^
- ^x^x^'xf ...A^^''— Sjr'';r";r^ xP^""
~ 2;^ JT^ x^ jr"^" — Sjr" xf x^ ;r''^*
ec. ec. ce.
42. Col mezzo delle precedenti formole (H) , (I),(K),(L), data un' Equazione qualunque, potremo sempre determinare le somme dei pro- dotti di qualsivogliano potenze delie sue radici • La formola (H) ci darà la somma dei prodotti fra due sole potenze , la formola ( I ) ci darà la somma dei prodottti fra tre potenze > e così di seguito •
Venga proposta per esempio V Equazione jr^— 2jr* — 5Ar-4-(J = o, e vogliasi V aggregato di tutti ì prodotti fra le potenze seconda , e ter- za delle sue radici. Supposto nella (H) «^=2 , >j= ^ , venendone 2 jt* ar^ = 2 ;r* 2 ;r3 — 2; jr^ , e dalle ( F ) , ( G ) ricavandosi ^x"^ — i 4, ^x^ = 20, 2 :r^ = 2 12, otterremo ^ x^ x^ z=l\ ^.i o— r\ ^ = 280 — 212=68 per la somma richiesta . Ven* ga in secondo luogo domandata la somma di tut- ti i prodotti fra le potenze prima , seconda , e quar- ta delle radici medesime. Suppongo perciò nella ( I ) I» ■=pl\ ,» = 2,/ = 4,e da essa ottenendo r jr* jr» A-^ = 2;;r^ 2 :r' jr* — 2 :r' AT^ — 2 ;c* ^S ritrovo col mezzo della (H) i valori delle quan* tità ^x^ x^^%,^x^ x^ =— 4 7 2, Sjt* x^ =908, ed abbiamo 2;r^,= 98. Dunque sostituendo avre- mo 2. A*' Af* ;r^ = 9 8 • 8 + 4 7 2 - 9 o 8 , e però
2x»
48
2 ;r* ;t* JT^ = 3 4 8 . Difatti essendo i , 3,-2 le radici della proposta ( N.^ 38 ) , è facile il verifi- care da esse medesime i ritrovati valori delle som* me proposteci 'S x^ x^ ^^x^ ^. x^ . •• 43. Data una funzione, per esempio ia/(^)(jS) (7'),supponghiamo di cambiare in essa fra loro le lettere , che la compongono , scrivendo per esem- pio là OL in luogo della |3,e la /3 invece della <k, come nella /(/S )(.«)(y), o siccome nell' altra /(/3)(y)C^)) ponendo la « in luogo di y,Ia ^ in luogo di a , e la y in vece di jg . Questi di- versi collocamenti delle lettere , e quindi i varii risultati , che ottengonsi nella funzione , quelli so- no y che dai Matematici si dicono Fcrmutazioni.
44 Se sia / ( a )( /2 )(y ) = a |S y , al cangiarsi fra loro delle lettere, non cambiando mai il va- lore del prodotto , vedesi che in questo caso, qua- lunque permutazione si faccia , il valore della fun- zione resta sempre il medesimo; ma se abbiasi
/(«)(i3)(7) =^4- ^^7, oppure/(ac)(^)(7)
et = -g-'+-y*, nel primo di questi casi > la funzione
non cambia valore per la permutazione di ot in jS^ ma lo cambia bensì nella permutazione di ^, o di fS in 7 ; neir altro caso poi il valore della f un« zione diviene sempre diverso , qualunque permu« razione si faccia, donde si vede, che una data funzione sotto le varie^ permutazioni o non cam« bia mai di valore, o lo cambia sempre, o alcu* ne volte soltanto.
45*
*,ì
49
45* Proposta una funzione quiilunque di un numero m di lettere , determinare il numero di tutte le sue possibili permutazioni •
Sia primieramente. «I = I ,e/(a) la data fun- zione, in questo caso non potendosi dare^ che una sola posizione alla ol^ non vi sarà, che una sóla permutazione •
2.* Abbiasi i»= 2 , e/(a^) 0^) la funzione pro- posta; in tale supposizione potremo scrivere la/?, o dopOy o prima della «, ed anzi non potremo attribuirle altro collocamento ; due adunque ne sa« ranno i risultati, cioè /(a)(^),/(|2)(^),.c in numero di 2 = a.i per conseguenza le permuta- zioni richieste*
3.^ Supposto ffir = 3 , aggiungasi nella data fun* lione alle due precedenti os , /S la terza lettera 7 « Questa , qualunque collocamento abbiansi le ^ , jS , può sempre avere tre posizioni diverse, poiché può scriversi , e dopo , e in mezzo , e prima di esse; ora pel ( prec. 2.^) due sono i cangiamenti fra le « , e ^ , a ciascuno dunque di questi , tre corrispondendone di 7 , ne viene , che 3 • 2 = 3. 2. i = 6 , sarà il numero delle permutazioni nella pro« posta funzione , e tali saranno le
/(«)(iS)(7)>/(«)(r)(<2),/(r)(«)(^),
/(P)C^)(7),/(|S)(y)(^)>/t7)<^)(^)-
4.^ Essendo i»:=:4, alle « , ^, 7 della prece- dente funzione uniscasi la ^ ; poiché sotto qualsi* voglia posizione delle a, jS,7 può la 5^ evidente- mente occupare quattro luoghi diversi, ne segue, g che
50
che le permutazioni della /(«)(jS)(y)(^) saran- no quattro volte tante , quante sono le permuta- zioni fra le tre quantità ocy fij 7, e quindi sa* ranno in Numero di ^.^.1^1=24.
5.^ Se /(«)((3)(7)(<r)(>7) sia la funzione proposta y troveremo in egual modo 5 • 4 • 3 • 2 . x essere il numero delle sue permutazioni ^ e così di seguito; onde in generale
6.^ Le permutazioni fra m lettere dovendo es- sere m volte tante, quante solfo le permutazioni f ra M^ - I quantità ; il numero delle permutazioni tra queste «^ — i quantità dovendo essere =«i — i replicato tante volte , quante sono le permutazio» ni fra w— 2 delle medesime; il numero di que- ste permutazioni ultime uguagliando x» — 1 molti* plicato pel Numero delle permutazioni fra ^ — 3 di cali lettere y e così in progresso; ne risulta chia-^* ramente» che /il Numero delle permutazioni frale m supposte quantità dovrà essere ^=ifnlm^ i)(i»— 2)(i»— ■3)..«f..j.2.ij OS'*
sia ^^ I •2*3*4******^*
45. SuppoDghiamo nelle formole del ( N.^jp) j« = « ; per tale ipotesi i due termini a*" ^* + a" /?• sì cangeranno nel solo 2 a*" /S*", e così gli altri tutti
^•y'-h^^y", /3''7*-4-|S»7", ec,
^m^n y, ^ ^n ^m^^f ^ ^m^n ^ ^ a" j"^ ^ ^ CC
si cambieranno nei corrispondenti
2 ix»y«', 2 jS'^y*, 2 flt^j5«'7^ , 2 «"•y^/J^ , ec. .
Dunque se supporcemo » che la espressione ^xx
ci
ci rappresenti la «omma «""/S'H- «" y^-f^" y* + ec. ,
è chiaro, che ne verrà i:Sxx = "2 x" x* , In
cgual modo, se le espressioni IL jtjc x^^Xxx xf x^ -+ ce. ci significano le somme a** ^'^ 7^ H- a*" 7"* ^^ H-^*y*«^ H- ce, a«|S'«7^ Jf + *»y»/3^^« 4. *» tf» ^ y« + /S*^ y* a' ^^ -f-ec, avremo
S jc-x» ;c^ = 2 STjt ;r' , 2 x'^x'' x^ x^
= 2 Sxx xf x^ ytc <
2.® Facciamo i«=» = /. Poiché nel valore di 2r*jf*jf^ i termini, ove entrano insieme le tre radia ot^ ^^ y sono tanti evidentemente, quante sono le permutazioni fra gli esponenti m^ n^ f ( N*^ 39 ) » <^ude sono in numero di i • 2 • j ( 3.^ N.*^ 45 ) j e poiché per la nostra supposizio- ne ciascuno di questi termini si cangia nel ot^^^^y^i ne segue chiaramente , che nella quantità 2jr"*x" xf il termine *'"/S"*7" verrà ad essere ripetuto le vol- te I . t • 3 ; ora lo stesso dicesi pure degP altri ter- mini tutti; dunque divenendo ciascuno di essi un termine %m\\t al precedente, e venendo perciò ad essere replicato le volte i • 2 . 3, ne risulta , che se
esprimeremo per ^ x x x la somma a"* ^"^ 7^ H- ofT^"^ J« -|.a«y« J«-f- 13* 7* (J*» + ec. , dovrà essere
Sjt^jr'jr^mi^.i.jSArjfAT . Con lo stesso dis- corso vedremo essere 2) x*' jr" x^ ;r^ =r i . 2 .3
5V
j.* Abbiasi M^nn^f—q^ Essendo in 2; jr** jt* x^ x^ tanti i termini , ne* quali entrano in- sieme le radici ^ » jS » 7 » <^ » quanto è il numero delle permutazioni fra le quantità m^ n^ ? > f 9 vedesi che neir ipotesi fatta, divenendo ciascuno di tali termini =a*i3*y»5^" , verrà questo termi* ne ad essere ripetuto le volte x • 2 • 3 . 4, e Io stes*
so accadendo degli altri, se sia ^ xxxx .r: a" ^"^ ^^ <J«» H-a« §r 7» ff -4- ec. , avremo
S jr** jt» ;r^ r* = 1 . 1 • ^ . 4 2 j^ jc jf X , e così tro- veremo essere 2 x'^x^ x^ x^ x^ := i « 2 • 3 . 4
— m S jf jif X jf X'' , ec«
4.^ Ripetendo il discorso medesimo si vedrà age« volmente , che mentre sia i«=2:»=^=:^=r, otter*
remo ^x'^ x'^ x^ x^ x^=:i .2 •j.j^.^^ x xxx x ,
e così in progresso .
47. Supponghiamo in ( H ) 1» = » , riponendo
in luogo di 2 r*" X" la quantità 2 2 xx (i*®N.'^46),
ci verrà 2 2 jc ;r = S jr"» 2jr'» — 2 jt*** , e pcr(^
2 jt x = ' , — •
2.^ Ponghiamo in ( I ) 1» = « ~ ;; pei ( NA2 .% i, I •, 2.^ 45 ) sostituendo ci verrà
i.i .^^ XXX =1^ x'^:E XX - 2jif *•;!:*»
— 2 x*x»* =: 2 2 ** 2 ;c ;c — 2 S x»*»*», e quin- di
di s:TT7"'-s>'"Sxx*>sx"x"»
}.• Facciasi in (K) »!r = a=/ = ^; colla sosti- tuzione, pei (N.' j.*'4i., I.*, 2.", 3.''4<?. )
avremo t.i .^ .^^xxxx :i:i,t.^'Sx*^xxx — t,2.i'S XX x*" , t però 2 x xlex
Sx*S XXX — S X X X***
4 \.
4* In eguale maniera , allorché m-=.ur=^ p=.q = r, troveremo pei ( N.* 4**:|f., 2.% 3.% 4.* 45)
essere 2^ jr * ;r *• a: = Sx*2xxxx — Sxxx x* ^ ^
così òi seguito .
48. Data un* Equazione Al^ebraica determi- nata , per esempio la *»— 2Jf* — 5Jf4-tf = o ( N.* 42 ), potremo sempre dedurre da* suoi Coef*
-«
ficienti il valor delle somme ^xx , 2 jf jf x , ec. , servendoci delle formole precedenti . Facciasi per esempio » = 2 , ne verrà
^ i 2x*rx*— Sx4 ^ 2
t '
= ^^^'^'^ "^f'^^ ec, e però dalla posta Equa- zione avendosi per Ip(F),(G),CH) Sjc» = 14, Sjr4 = p8 , Sa^a^* =2r» 2^-4— S>* = 14X98— 79 4= 578, otterremo rapporto ad
2 i^x 14 - 98 2
cssa-Sxjc =———"—— = 49 ;SjrxJf
= 14
\ •
= =35.
4p. Quale sarà il valore della quantità S x~'
H-Tj-4- ec? Col ridurre tutte queste frazioni al- lo scesso denominatore, poiché si ottiene 2:r-*
/ p^*^^..-^^^*v..♦-.«»*p^^..-.-«*gV...■.,c.
se sia V r ultimo termine dell' Equazione data
ed I» il suo grado, avremo S jf~* — ^*** •••
(±vX ^ comprendendosi sotto la S nel Nuooeratore un nu- mero «—1 di jf,e anteponendo alla y il segno superiore, se m è pari, e T inferiore , se t» è dis- pari. Ora mediante il (N.**47) trovo il valore
di S < r jf . . . . ,^ dividendo Questo adunque per ( ±V)* , tostamente ricavo il valore di 2;r~».
CA-
55 CAPO TERZO. .
Ahr^ Frofrictà Generali delle Equazioni.
50. Supposto Y=:;r"*H-A Jt'^^'+B x'"-*4-C;t'"^^ + ec. = /( Jir ) , e dato un valore alla x , se sup* porremo che questo vada aumentandosi continua* tanjenre 9 ovvero si accresca di una quantità infini* tamente piccola; anche la Y si varierà in cor- rispondenza continuatamente y ossia per un valore infinitesimo.
Si aumenti la x della quantità z , e chiamiamo V il risultato ^ che ne proviene , avremo perciò
/(jrH-t>) = V,edV = V~+3B|V(N.^9 )-Ora per essere f{x)^t quindi /( jr 4- 5& ) = V funzio- ne intera^ non può Ja quantità z \ V contenere la z che in forma di moltiplicazione; chiamato adun* que T r aggregato dei termini , che in /( ^H- *) moltiplicano la », e però supposto z\ V = «^ T ,
%
avremo V = V + « T , osssia/( jt H-fl& ) = V + » T . Dovendo ora quest* ultima equazione sem* prc verificarsi , qualunque siasi la z , sarà vera an* che quando jb = o; ma per tale supposizione la
V non ^ì altera punto ( N.* 1 1 ) , la 2» T scon> pariscc , e la / ( ;f + a ) diviene f{x) i dunque
otte^
* JL'
otterremo/ ( jr ) = V , e però V = Y ; sostituis*
%
co questo valore nella /(^-|-»)r:V H-ssT, e ci vtrrà /(^H-») = Y+ aT . Ciò ritrovato ^ supponghiamo che attribuito alla x un dato vaio* re 9 si dia un valore infinitesimo alla z; per cale supposizione la T , non essendo evidentemente che una funzione intera delie jr^a^/od una costante ^ non potrà mai acquistare che un valore finito , od
infinitesimo; ma chiamata a una quantità finita
a qualunque» abbiamo al: a::T : — ; e frattanto
la frazione^rr- a cagione del denominatore z infinite*
z
simo à un valore infinito ; dunque entro di essa contenendosi la T infinite volte > altrettanto si do- vrà contenere la 2^ T entro della a j e quindi la zT avrà un valore infinitamente piccolo; ma al- lorché in Y aumentiamo la ^ di s, la Y istessa resta appunto aumentata di z^T. Dunque ec.
51* Se nella Y = /(x), poste sùcces«ivamen* te in luogo delia Jt due quantità reali/, 1^. ne ven« gano i due risultati /(/) ^/C^) afietti di segno contrario; fra queste f^ q dovrà sempre emtttt una terza quantità reale , la quale collocata in luo* go della X renderà /( ;t ) = o , ossia fra le •/ , f e- sisterà sempre una radice reale del^ Equazione (D) • Supponghiamo f <f,e sia /(/) = — P quaa« cita negativa » / ( j^ ) == (^quantità positiva • Faccia- mo «
S7
mOt che nella /(>r) dopo essersi fatto x=:f^h X si aumenti continuatamente , ossia per passi infi« mresìroi sino ad acquistare il valore ^ , anche la quantità — P anderà perciò variando continuatamen* te y ossia per passi infinitesimi ( H.^ prec. ) fino a cangiarsi nella Qj ma con queste successive va- riazioni noi passiamo ^da un ritultato — P negati* vo ad un altro Q^ positivo ^ e vi passiam senza salti .Dunque nella nostra supposizione, non po- tendo evidèntemente una quaiftità negativa giun- gere ad esser positiva senza passar per lo zero» ne segue, che tra i valori, i quali si anno al sue* cessivo aumentarsi della p , uno ve ne sarà , il qua* le, sostituito in luogo della x , renderà /( jr ) = o, ossia sarà radice della (D),ma questo è chiaro, che non può essere , se non un valore reale • Dun- que ec.
%t. Ponendo nella precedente Y=f(x) in luogo della x il massimo coefficiente dei termini negativi aumentato di un unità, il risultato, che quindi nasce, sarà sempre una quantità positiva. Nella funzione data possiamo sempre sup* porre, che esistano tutte le potenze della x dal- la metima fino alla prima, ed al fermine cogni- to , introducendo col Coefficiente zero quei termi- ni, che possono mancare. Se sia per esempio
+ V , scriveremo Y = jr*" H- A jr*"""* -f- o jr*"-* - C Jt'^-^-H o jr«-^— E :r«-^5 + F Jc'^-^-f-ec.4- V, e avremo così nella Y tutte le successive potenze h • • «?>
5» »,«-! ,«»-2,Jw— j,cc. .Chiamiamo ora N *» uno qualunque dei suoi termini positivi , — P Jf' ne esprima un qualsivoglia dei negativi , e oj:' uno qualunque dei mancanti: avendosi or' = M jf' — M*', N;r* = (M4-N)*« - M;r", e — P;r' = (M-- P)J^'— Mjf', essendo M un numero qualunque," potremo scrivere queste espressioni in luogo delle altre o;r' , Njf» , - Pjr' > « così fa- cendo, avremo la nostra ^
J +(M-+-A)*'"-'-t-MA^-*H-(M— C)*"»-»
Y = x'*
J + M jr^'»-h(M~E)r'-J4- ec. H- (M-t-V) J. — M*"-^ --Mx«»-s — ce. — M.
Supponghiamo , che M ci rappresenti il massimo coefficiente dei termini negativi, e che la somma ( M -+- A )A^-'-4- M ;r— •-+-( M— C )Jf"'-' +M Jf— ♦ H-ec. + ( M-H V) si chiami X . Non potendo mai ' essere alcuno dei Coefficienti C ,~ E , ec. > M , è chiaro, che la X non potrà contenere alcun ter- mine negativo , e la Y si ridurrà alla forma
H- ec. 4- 1 ) , ove sotto le parentesi esistono tutte le successive potenze t)i,m — i, «»— 2,ec., e la X acquisterà sempre un valor positivo , mentre si faccia a:=: ad una quantità positiva. Moltiplichia- mo per x—i la nostra Y = X + Jf* - M (y"-'4-r*~* 4-ec. -+- I ), otterremo ( A--0 Y=( AT-i ) X+ ( ;r-i ) y-M ( **- I ) ,
e pelò
e però ( jf — i) Y=Ar-(4f- M-i)+ M-4-(;r— i)X. Supponghiatno Jf = M 4- 1 > e chiamiamo rispetti- vamente P, Q^ ciò, che divengono perciò le quan- tità X, Y; sostituendo avrehio (M-+-i — i) Q.= (M-f-rr(M+i-M-i)H-M + (M-f I — 1 )P,e quindi M (Ì=M(i-|-P), e finalmente (^=i-+-P. Ma P non è, che una quantità positiva. Dunque tale essendo anche Q. = i-4-P, ne viene che ce.
SS» Un* Equazione Algebraica determinata di grado pari, se à l'ultimo termine negativo, sa- rà sempre dotata di due radici reali , V una posi- tiva, e r altra negativa.
Essendo ;if" -|- A jf"-' -+- B ;«•'*-• -f- te» —V = o la supposta Equazione , ove m sia numero pari , pongasi nel suo primo membro lo zero in luo- go della X , esso diverrà perciò — V jche se in luogo della x si ponga' il massimo coefficiente M dei termini negativi aumentato di i , otterremo il risultato iH-P quantità sempre positiva ( N." prec.) . Dunque avendosi per tali sostituzioni i due ri* sultati — " V, I -h P di segno contrario , pel ( N." 5 1 ) tra Jo zero, e P+i esister dovià dna quanti- tà reale positiva, la quale renda x^+Ax'*-* -+■ BAf'^'-hec. — V= o, e sia perciò radice di questa Equazione.
j.® Scriviamo ora nella data Equazione — ;r in luogo di X . Essendo V esponente m numero pari, non si cangieranno perciò né il primo ter- mine *• , né r ultimo - V, e avremo così la nuo- h 2 va
6^
va Equazione ;t*— A jr»-" +- B ^•*— Cr*-^ 4- cc#
~ V == o , le cui radici , cambiatone il segno , ak tro non sono, che le radici della data» Ora repli« cato il precedente discorso si trova , che la :r«— Aa^-'H-Bat^-*— ec* -- V = o à una radi- ce reale positiva. Dunque tale radice cangiata di segno altro non sarà, che una radice reale nega« tiva dell' Equazione proposta ; ma pel dimostrato essa avea già una radice reale positiva • Dunque te. 54. Un' Equazione Algebraica determinata di grado dispari à sempre una radice reale positiva ^ se r ultimo termine è negativo ^ e negativa ^ se r ultimo termine è positivo.
!•* Suppostp m numero dispari ,ed jr* + A x^'^^ + B r*-*+ ec. — V = o l' Equazione data , la let- tera M ci rappresenti il massimo coefficiente de' suoi termini negativi ; vedremo agevolmente , co« me i^el (N.^prec.)» che tale Equazione à sempre una radice reale posta tra lo zero , e la quantità P + X .; essa dunque sarà sempre dotata di una radice reale positiva»
i.^Restando m numero dispari, sia ora at* + kx^^^ rf- B jf*-»-!- C AT*"-^ -4- ec. H- V = o 1' Equazione data . Posta — x in luogo di x , avremo — x^ •4- A Ar«-<— B x"^-^ + C x"^^^ — ec. -f- V = o , e perÒJC*— A;f*~'4-B:r'»-*— Cjr*-*H-ec.— V— o. Ma quest' ultima Equazione a cagione dell' ulti« mo termine — V negativo à una radice reale po- sitiva $ e le radici positive di questa altro non so- no cambiate di segno ^ che unte radici negative
della
6ì
della data (i.^N.^prec. )• Dùnque in questo ca* fo la data avrà necessariamente una radice reale' negativa • Dunque ec.
55. Se un* Equazione pertanto Algebraica de* terminata à tutte le sue radici immaginarie , essa dovrà ascendere ad un grado pari , ed avere V u!« timo termine positivo , onde sarà della forma y-^-^Ajf «-4-B;r»-*':+-ec.H-V = o con T espo* nenie m numero pari • Ora pel ( N.® 24 ) abbiamo la oosrra V= al prodotto di tutte le radici prese col siK> proprio segno» Dunque essendo essa V po« ntiva, ne viene che in un Equazione , la quale abbia tutte 'le sue radici immaginarie, sarà posi* rivo anche il prodotto delle radici medesime.
56. In un' Equazione Aigebraica determina* ta qualunque il numero delle radici immaginarie è sempre pari •
Siano le n radici /a , > , tt , ec. della data ( D ) tutte immaginarie, e siano le altre f» — n radici * > ^ ) 7^9 ^c« tutte reali . Suppongasi (jr — /ii)(jr— v)(jr — TT) = jr»+/;t»-»
mju- ET ^^'^^ '"f* ec (jr— «)(r— (SX*-— 7) rzof^-'+^jr"-"-»
-+- i a:*»- ■- * -f- ce. , e però ( X* -+-/*"-» -H^ jf* -» -4- ec. )
(**•-»-+- 4jr*-*-'H-*;r"'-"-* -t-ec)
= *•+ A ;r»-« -+- B *•-» -+-èc.. E' chiara, che potremo quindi risolvere l'Equa- zione data nelle due x" -hfx' - « +^ *• - * -+- ec. =o, jc«-»-t-4 *»-"'-• -4-***-''"» 4-ec. = o, la pri- ma
6i
ma delle quali conterrà tutte le radici immagina* rie della proposta » e la seconda tutte le reali • Ora tutti i Coefficienti della jr'^-'H-iiJr'»"-"** -4-i jr*"""-^ -4- ec. =o non ponno evidentemen- te che essere tante quantità reali; dunque saran* no anche reali tutti i Coefficienti della jr* +/x"~ * Hr-^ ^« - * -4- ec. = o ; e quindi pel ( N.° prec. ) V es^ ponente n di questa Equazione dovrà essere un numero pari j ma n ci esprime il numero di tut- te le radici immaginarie /ui,v^9r,ec. della (D)« Dunque ec.
57^Supponghiamo il grado dell* Equazione da- ta , ossia r esponente m numero disparì; a cagione di n numero pari ( N.® prec. )m — n sarà dispari , e dispari, per conseguenza sarà il numero delle radici reali <« , fS , y, ec* . Supponghiamo inoltre , che fra queste radici reali a, ^, 7,ec. ne esistano delle uguali fra loro; in tale supposizione è chiaro ^ che o queste stesse saranno di numero dispari » o se non esse 9 tali saranno le altre disuguali fra loro» 58. Nelle Equazioni di grado dispari aventi r ultimQ termine negativo, sarà necessariamente dispari anche il numero delle sue radici reali po- sitive.
Supposta r Equazione del i."" caso del ( N.'' 54 ), avendosi in essa V ultimo termine — V negativo ^ ed occupando questo un luogo pari > per esser dis» pari l'esponente i» , è manifesto dal (N."" 24) che il prodotto di tutte le radici della supposta equa- zione dovrà essere positivo: ora ritenendo, che
^3
* • i^ > y> ce. Ci esprimano le radici reali , e /x , v , ^ , ec. le immaginarie , il prodotto jtii v Tr • . . . . è sempre positivo (N.®55)i dunque, acciocché sia positivo il prodotto totale «^7..».|utv7r.. .., do* vrà essere positivo anche il prodotto delle radici reali oe |? 7 • * • . ; ma affinchè questo succeda , il nu« mero delle radici reali negative non può, che es- ser pari. Dunque il numero totale delle radici rea- li essendo dispari ( N.® 5 7 ) > ne segue che fra queste sarà dispari ancora il numero delle radici reali positive.
$9. Nel primo Membro di un* Equazione » ove tutte le radici siano immaginarie, se pongasi in luogo de ir incognita una quantità reale qualun- que , il risultato , che ne viene , sarà sempre positivo • Sia data T Equazione at* -h/Jt*"^*-!-^ Ar"-*-+-ec. = 0 del ( N.® 55 ), di cui le radici /ot, v, tt, ec. sono tutte* immaginarie; pongasi nel suo primo membro invece della x una quantità reale fi il risultato /» -+- fp'- « -f- gp""* H- ce. io dico , che dovrà sempre essere positivo . Difatti se si voles* «e mai negativo, giacché, ponendo in x"" -^-fx''^^ 4-^r*^-+-ec. in luogo dell* incognita il massi* mo coefficiente dei termini negativi aumentato di un' unità , se ne ottiene sempre un risultato posi* rivo ( N.® 52 ), tra questo coefficiente così accre» sciuto , e la supposta quantità p , esister dovrebbe pel ( N.® 51) una radice reale della data jr* -hfr" ' +g^'*r{' ec. = oi ma ciò è contro la supposi* ziooe. Dun<g[ue ec
Che
Ó4
Che se la supposta Equazione non avesse alcun termine negativo, col porre allora in luogo della X un qualche numero posirivo, la quantità jr*-f-/r''*'* •4-^*"~*-h ec. non potendo mai diventare, cHìb positiva , verremo evidentemente alla medesima con- seguenza di prima. Avendosi dunque 4f" +/x*-«
+gx"-* + ec, = ix—:fJi)(x—v)(x-7r)
( N.** 55 ) , ne viene che sarà /* +//*"' +^?""* + ec. =(/ — /*)(/ — v)(/ — 7r) . . . ..quantità sempre positiva.
5o. Ritenendo come sopra Y = x* 4- A jf*-* '^Bx''-*+Cx''-i+ec. +Tr4-V=(r — «)
(jf — lS)(jf— y) (x—M)(Jf—v)(jr— «)....,
se moltiplicheremo ciascun termine della Y pel pro- prio esponente , diminuiremo ciascun esponente di un' unità , e porremo in luogo di x la radice ec , il risultato., che nasce, ««'•~'-|-(i«— 1 ) A**-» + (w— 2)B««-5 4-(<w— 3)C*"-'*4-ec. + T, sarà uguale al prodotto (« — jS )(« — y )(« — ^ ) . . . • (« — /*)(« — v)(« — 7r)..... .
Dividiamo la quantità Y pel binomio jr — «, pel ( N." 3 j ) otterremo il quoto jf"»-' -i- ( « 4- A ) x»-*-!- ( a» -h A « + B ) *•->
H-(«»-f-A«» -4-B«-|-C)jf"-'»-t-ec. 4- ( «"-'4- A «*- *-+- ec. + T) = ( * — |S ) ( X -^ y )
(^ — ^) (x — /ut )(r — v)(x — 9r). ...... e
posta quivi la « in luogo della x, ne verrà «"•-'-4- ( «H- A ) ««-*+ ( a* 4- A «-f- B ) a"^»
-f-(«» + A a'+Ba + €)«'"-'»+ ec. + ( «— 14_ A «"»-»-i- ec. + T )
«5 =r(« — jS)(<x — 7)(a*-j) (« — iix)(« — y)
(<X TT^ • .. • *
Ora è facile a vedersi, che abbiamo «— »H-(«-t-A)A"'-*4-(**4- A«H-B )a"^3 -h ( a' -4- A «* + B a-f- C )a'"-44- ec. H- (a— '-h A a"-*-!- ec.H-T ) = ( a"-" -h a"-' H- «>"-*+ a"»-» H- , . . -f- a»-* )
-4-A («*"*-+-*'"-* + a"»-* -H . . . . . .+a"'-*)
■^- B ( a""» -t- a"^' + . H-a"-*)
-f- €(«"•-♦ 4-. +«"•-*)
-4- ec. 4- T , ove i termini della prima riga sono in numero m , quei delia seconda in numero m — i , quei della terza in numero m — 2 , e così \^ia discorrendo. Dunque con l' unire insieme tali termini , risultando a— I -+- ( « -h A )«'"-* H- ec. = » aJ^-^-fr ( w — i ) A «— * H- ( « -3^2 ) B ar-i -h ( m—i )C «—4 + ec. H- T , ne siegue evidentemente , ch^ sarà m «—«-+-(«1—1) A a"»-* + («—2) B«--»H- (w— 3) Ca'»-4-f.ec. + T = (« — /3)(«— 7)(a— ^)......
(« — /«)(« — v)(« — w) C.d.d.
61, Ponendo nel ( N." prec. ) in luogo della a. la ^ , la 7 , la d" , ec. , troveremo in egual modo essere » /S"-'H- ( »— I ) A /3"'-*+ («— 2 ) B jS"-' + ( «— 3 )
C|3'"-4-|-ec.-+-t = (^^«)(^— 7)(/2— ^)
(^-f*)(l3— vX^-'7^)...,«^!l7»-«^-(«-l)A7-— ^- (» — 2)B7'"-J-t-(«!» — 3)C7'"-*»-+-ec. H- T
=(7— «) (7 - /J) (7— <r) . . . (7—1*) (7— V) (7— w)
ec. ec. ec. ec.
Ritenendo poscia , come al (N.°55),che le i «»
^v^
J
66
^ 5 ^ > y > ^ 5 ce. esprimano tutte le radici reali , e le fx , V , T , ce. tutte le immaginarie della nostra Y = o , se supporremo per brevità di scrivere
(|2-7r). . . . =X'\
( y — M) (y— V) ( y — TT) . . . = X'" , ec. , poiché le ^ 9 /^ 5 y 9 c^' i^on sono che tante- quantità reali y tutte queste X', X", K' > ce. pel (N.®59 ) sa- ranno altrettante quantità positive.
6i. Posta la quantità Z = «?;c*-*H- («? — r) A jr"^-* H- ( I» — a ) B Jt'-J + ( m —3) C Jt^^-^^H- ec. •+- T , se porremo in' essa successivamente in luo- go della: x le radici reali ^ , ^3 , y , 5^ , ec. secondo r ordine della loro grandezza ; il primo risultato sarà positivo , il secondo negativo , il terzo posi- tivo, il quarto negativo^ e così di seguito.
Sia ^ > |3 , ]S > y , 7 > <$" , ec. , avendosi perciò le quantità a— ^, a — y, tìt — ^,ec., e la X' pel ( N.^ prec. ) tutte positive, il loro prodotto (a — f5) (a — y)(a — J).... X' sarà esso pur positivo • Poiché /3 < J^ , e /3 > y , jS > ^ , ec. , avremo ^ — ^ quantità negativa, e positive tutre le altre |S — y, /3 — J^,ec.,X" ( N."" prec. ); onde il prodotta ( f2— a ) (/J — y)(/2 — <r)....X"^ risulterà negativo. Nel modo medesimo trovandosi i due fattori y — ùl^ y — jS negativi, e gli altri tutti y — ^,ec.,X"' po- sitivi ( N.® prec. )> dovrà essere positivo il prodot- to (y — «)(y — |3)(y — *).... X'". Troveremo in simil guisa negativo il prodotto (^ — ^)(^^-/J) (^~y) X'^jC così in progresso. Ora que- sti
6^
sti successivi prodotti uguagliano rispettivamentcJfe quantità ir^
arot^-'-hC»— I ) A «•-* + (»— 2 )B A••-»^- ( »— 3 )C «'•-'♦ + ec. H- T , » /3r-' -f- ( w — 1 ) A ^'"-* -h ( «» — 2 ) B /S— > -f-
(«-3)C^«'-4H-ec.-4rT, « 7*-' -H ( » — I ) A 7"*-* +^ «B — 2 ) B y-^^-i- Cw— 3)Cy'^44.ec.-+-T, m i"*-'-+-(«— I ) A ^'»-*-H (w— 2 ) B <J»-i-|-
(«-3)CJ'-4_Hec.-f-T,ec. (N.»prec.),c tali quantità altro non sono , se non ciò che diventa la supposta Z col sostituire in essa le radici reali *>^>7»^> «e* invece della at. Dunque ec.
I segni pertanto dei nostri risultati si prosegui- ranno con r ordine seguente -+-, — , + , — j_^ — , ec.
Sia per esempio Y == ;r* — 2 a"* — i j ;rJ + 2 o ** + 4 4 * —4 8 , e però Z = 5 Jf"» -- 8 ;«•» — 4 5 ;r» 4- 4 o *• + 4 4-. Essendo 4 , 2 , 1 , — 2 , — 3 le ra- dici della Y=o scritte secondo 1* ordine della lo- ro grandezza, le sostituisco successivamente nella Z,e otterremo, secondo ciò, che è stato dimos- trato, le quantità alternantisi di segno + 2 5 2,— 4 ©, "^3 *» — 7 *> + »4o •
5^. Moltiplicato ciascun termine della Y = x* + A jr^' -+- B x"-* + C x^-^ -h ec. per ciascun ter- mine corrispondente della serie Aritmetica « , a-hy é—2i, a — ^hiC posto il risultato ««jf^-f-C 4- i) A **-* -h ( <« — 2 è) B A-"»-* H- U — 3 ^ ) C;c-^J + ec. — R, avremo R = (4 — wJ) Y-t-*;cZ.
» * Si
68
^i moltiplichi la Y pjer i» , la Z per at , e sot- traggasi il secondo risultato xZ^^ m x'^':+-(m — i) Ajc"-' + («? — 2 ) B x'^'^-hi m — i)C AT*--^ -4- ec. dal primo i» Y = i« ^'" + «^ A Jt"»-* 4- »^ B ;c'"-* 4- w C x"^^ -4- ec. , otterremo mY — Af Z = A x*"' -+- 2 B ;r«»--* H- 3 C jr*"-^ + ec. • Ora abbiamo R = tf ;t«+ ( tf"— è ) A ^•""'4- (^— 2 è) B jC"-* + (/^ — 3^)C^'"-5+ ec. = il ( x'^'-h A jc'*-»-|- B jt'^-^+C AT-'-i^-ec. ) — HA ^'"~' + 2 B Jr*»~* 4- 3 C Ar«-* 4- ec). Dunque sostituendo sarà K — a Y— b ( «? Y— at Z ) , e però R =(tf — i«i) Y + *xZ.
^4. Siano di numero p le radici reali positi- ve della Y = o , di numero q le reali negative , e supponghiamo di porre successivamente secondo r ordine della loro grandezza tutte queste / -4- f radici in luogo di x nella funzione R = (^ — i«^)Y ^b x'L y per ciascuna ài tali sostituzioni do^ vendo divenir Y = o , in R npn resterà mai che la parte bxZ. Ora i successivi valori di Z devono risultare affetti dei segni 4-,— ,H-,— •,4-, — $ec# ( N,^62 ) ; dunque anche i successivi valori dxbxX^ e però di R dovranno seguire lo stesso andamen- to , finché sostituisconsi le / radici reali positive; ma nella sostituzione della q radici reali negative, cangiandosi x in — x^h chiaro chei risultati prò» venienti dalla funzione ^xZ dovranno essere di segno contrario a quelli, che provengono dalla Z- Mentre adunque si passa dalla sostituzione dell ultima delle / radici reali positive alla sostituzio-
ne
à9 ne della prima delle f radici negative , cangian- do di segno i risultati della Z (N.*52 ), i due ri- sultati corrispondenti della i at Z , e però della R dovranno evidentemente conservarsi del segno medesimo , alternandosi poi nella sostituzione del- le altre radici •
S^ippongasi per esempio 4= 7 , ^=2, onde moltiplicata la precedente Y = jt^ — 2 a:^ — ^ 1 5 ;c« -^ 20 X* 4- 44 jr— 48 per la serie 7 ^ 5 > ?^ i , — r, — ^ termine per termine, si ottenga R= 7 x^ — lox^ — 4X Afi 4- 20 Af* — 44 Af H- 144 ; faccio successi- vamente AT = 4, 2 , 1 , — 2 >- j ( N.^52 ), e ot- tenendosi in corrispondenza R =-+-201.5, — 160 , + 72 ,-+- 288, —840, si vede, che abbiamo in realtà due risultati 4-72,-4- 288, che si succedo- no con segno uguale , e ciò mentre suppongasi ^7='j x — ^i^ in tutti poi gli altri casi i se* gni non fanno che alternarsi .
tf$. Avendosi dalla R pel ( N.^prec ) f risul- tati alternantisi successivamente nei segni per la successiva sostituzione delle f radici reali positi* ve della Y= o ( N.'^ffz ) in luogo della x , do- vranno pel ( N.^ 51) tra queste f radici esistere almeno f ~ i radici reali positive della Equazione R = o ; così dovranno per ugual ragione esistere per lo meno q — i radici reali negative della R = o fra le q radici reali negative della Y = o j non risultando poi alcuna alternazione di segni perla sostituzione, dell' ultima delle f radici positive , e delia prima delle q negative (N.^prccO^non pò*
tre-
tremo asserire , che siavi alcuna radice reale del^ la R = o tra queste due ora accennatej^radici del* laY = o.
Cosi la precedente R =;7 x^ — io jr^ — 45 x^ -4-20 ;if* — 44^+ 144 = 0 avrà sicuramente due radici reali positive fra i tre numerÌ4 , 2 , i ^ed una negativa fra i due — 2 , — 3 ; ma tra i due numeri i , — 2 dir non possiamo ^ che ne abbia alcuna. . -
66. U Equazione Y = o non potrà Avere^. che una radice reale positiva ^ ed una reale nega- tiva più del numero delle radici reali positive ^ e delle negative della R = o .
Siano di nut^iejX) r le radici reali positive della R = o, io dico che la Y = o non ne potrà ave- re che un numero r + 1 ^ poiché se ne avesse #• -h I 4- / , dal ( N."" prec. ) si vede , che la R = o ne dovrebbe avere un numero r+z tontro la supposizione • Egualmente si d^qstra > che se la R = o à un numero / di radici reali negative > la Y = o non ne può avere che s-h.i .
6j . Si moltiplichi la R = o per un* altra se- rie Aritmetica simile alla precedente , e chiamata R' = o la nuova Ec^uazione, che risultasse que* sta à un numero r di radici reali positive , la R = o pel ( N.* prec. ) non ne potrà avere che r' -+- 1 ; ma la Y = o non può avere che una ra- dice reale positiva più della. R = o ( N.^ prec. )• Dunque le radici reali positive della Y = o non potranno essere in un numero maggiore di r'+2 •
In
71
In sìmil giiisa trovasi , che se r ci esprime il numero 'delle radici reali negative della R' = o , tali radici nella Y = o non potranno esser più di
f H- 2.
Moltiplicando la R=:o per una terza sericee chiamata R" = o T Equazione , che ne viene , se r" ci rappresenta il numero delle sue radici reali positive, ed /' il numero delle negative, è facile il vedere con un raziocìnio uguale al precedente , che ia Y= o non potrà perciò avere più di ^"+3 radici reali positive, né più di ^" + 3 radici rean negative.
Proseguendo cosi a moltiplicare per nuove serie aritmetiche , se si ritrovino 3,4,5 ,ec., (x di tali Equazioni R = o , R' = o , R" = o,ec., e se p ef- prima il numero delle radici reali positive dell* ul- tima di queste, le radici reali positive della data Y = o non potranno essere in numero maggiore
^ì 9 + 3 y 9-^4 9 P'+'S y ^^•y P + /^- Nella istes* sa maniera troveremo , che • contenendo T ultima Equazione a radici reali negative, la data Y = o non può contenerne più di cr+3,aTf-4,0'-i-j, ec-, cr^/x.
^8. In un* Equazione Algefei^ica chiamo Fa^ rìazione il cangiamento di segno , che succede pas* sando da un termine positivo ad un negativo, o da un negativo ad un positivo; e la costanza dei segni , allorché si passa da un termine positi» vo ad un positivo ,0 da un negativo ad un ne^ gativo p la chiamo Fermanen%>a .
69^
72 6^. Moltiplicando neir esposta maniera (N.^tf 3) il primo membro dell* Equazione Y = o pei ter- mini della Serie a, a — b ^a — ib^ a — jè, ec. , se questi saranno tutti positivi , i termini della Y =0 si conserveranno tutti evidentemente del medes'- mo segno , ese i termini della Serie saran tutti ne- gativi , i termini della Y == o cambieran tutti di se- gno nel tempo medesimo; onde e neir un caso, e nelP altro^ le variazioni , e le permanenze reste- ranno neir Equazion , che risulta , dello stesso numero di quelle della Y= o ;ma se la Serie pas- si da* termini positivi a' negativi , corrispondente- mente ai due termini y ove si fa questo passaggio^ è chiaro che moltiplicando nel modo supposto , si toglierà in Y una variazione , od una permanenza.
Supposto a^==^ I 2 yb:= 2^ moltiplichiamo la pre- cedente Y = x^ — 2 x^ — i^ x^ + 20X* + 44;c
— 48 per la Serie 12,10,8,5, 4, 2, ne verrà il risultato i 2 x^ — 2o;t^ — 12ojc^H-i2ojc* + 1^6 X — g6; fatto poscia rf = — 1,^ = 2, mol- tiplichiamo la stessa Y per la Serie — i , — ?>
— 5> — 7, — 9,-^11, otterremo così la quantità
— ^^4-5;if^4-7 5;r^'— 140^* — 3 96 x-^^ 2^; e sì neir uno, che neir altro di questi risultati il numero delle variazioni , e delle permanenze è Io stesso , come nella Y • Ma se facciasi ^ = 5 , b-=,2^ e sì moltiplichi per la serie 5 ,3,1, — i»
— 3 5 — 5 , poiché ne viene 3 at^ — 6 x^ — i 5 jc»
— 20 ^* — i32Jt+240, vedesi che i due ter- mini— r 5 ^5 4- 2 o ;r* moliplicati corrispondente-
roen-
li
mente pei due i , — i> divenendo — i $ ^^ — 20 ;r% cangiano la loro variazione in una permanenza ; e nel ( N."" 54 ) , ove supposto ^i = 7 , * = 2 , dalla stessa Y ne è derivata h 7 atJ — 10^^ — 45 ;r» + 20 Jt* — 44 Jif + 144 , la permanenza dei due ter- mini + 2ox*-4- 44X si è mutata per la molti* plicazione dei Numeri 1 , — i nella variazione + 20 X* — 44^-
70. Quindi moltiplicando per la nostra Serie a^a — ^^a — ib ^a — g ^, ec.il primo membro di una data Equazione , potremo sempre ridurre una qualunque sua variazione ad una permanenza , e viceversa , coli* attribuire ad ^i , ed a ^ gli opportuni valori . Negli ultimi due casi dell' esempio prece- dente fatto b^i 5 abbiam tolta nella Y la varia- zione fra ì due termini terzo , e quarto col sup- porre ii=: 5 , e abbiam cambiata la permanenza del quarto al quinto termine col fare ^ = 7 . Tal cam- biamento poi non potendo succedere , che mentre dal termine positivo + i si passa nella Serie al ne- gativo — I , vedesi che le variazioni , e permanen- 2C corrispondenti agli altri termini devonsi tut- te conservar come prima.
71. Abbiasi nell* Equazione Y= o ( N.^ 60 ) un numero fx di variazioni, supposto costantemen* te ^ = 2, si moltiplichi questa per la Serie a^a — 2, a — 4,4 — 5 , ec. , e con T attribuire ad a V oppor- tuno valore, si tolga la prima variazione; V Equa- zione risultante, che conterrà una variazione di meno, si molnplichi di nuovo per la data Serie,
k ^ onde
74
onde distruggere la seconda variazione ; se così pro- seguiremo a fare , potremo ottenere un numero IJL di Equazioni oltre la Y = o ^ neir ultima delle quali più non esisteran variazioni.
Facendo 4~i , moltiplichiamo la nostra Y=x ^
— rjt^— 15 ;r^4-20^*-h44Jif-48 = operUserie i,
— I , — 3 , —5 , — 7,-9, ec; ne verrà PEquazio* ne JtJ 4-2 x^ 4-45 x^ — 100 jr* —308 jr4- 43*2 =0, in cui manca la variazione tra i primi due termi- ni • Moltiplico questa 5 fatto if = 5 ^ per la serie 5>3>i5-~i» — 3j~Sj^ ci risulta 5 x^ +5 x^ -4- 45 Jt3 4- loo jr* H- 924 jr — 2 160 = o , £qua« zione y che non à più variazione fra il terzo ^ e il Guano termine • Supposto finalmente 4 = 99 moltiplico per la serie 9 9 7 > 5 9 3 > i ^ — 1 9 e ri- sultandoci 45 x^-h^i ;r^-h22S x^ -+-3 00 x^ --^92 4 x + 21^0 = o y siamo giunti coslad un EquazionCjO^ ve più non esiste alcuna variazione; e frattanto tante sono le Equazioni ottenute 9 quante erano le va« riazioni nella supposta Y = o.
72. Una qualunque Equazione Algebraica determinata non può avere giammai più radici rea- li positive 3 di quel che siano le sue variazioni* Ritenute le supposizioni ^ ed eseguite le succes- sive operazioni del ( N*^ prec. ) 9 se p esprima il numero delle radici reali positive dell' ultima E- quazione risultata 9 T Equazione data Y = o pel ( N.® 67 ) non ne potrà avere più di fx + p . Ora quest^ ultima Equazione non contenendo alcuna variazione k tutti i suoi termini positivi (N-* 71 )•
' Dun*
75
Dunque non potendo essa avere evidentemente alcuna^ radice reale positiva ^ ne segue , che sa- là p = ò , e per cooseguenssa avendosi /x -4- p =fi-f-o = fx , la Y=: o non potrà avere più di fi radici reali positive y ossia più radici reali positive , di quel che siano le sue variazioni •
La precedente Equazione ^^ — 2 x^ - 1 j jc* -+- 20 x^ •+■ 44 ^ — 48 =0 y avendo tre variazioni , non potrà avere più di tre radici re^Ii positive.
7^ . In modo somigliante cogliendo pel ( N.® 70) dalla Y = o tutte le permanenze , e giungendo ad una Equazione finale dotata di sole variazioni , e quindi di ninna radice reale negativa , si dimostra, che essa Y =^0 non può avere più radici reali nega« tive > di quel che siano le sue permanenze • .
Moltiplico la. nostra solita Equazione per la sciieg, I,'— I, — 3 ,— 5 f --^7 , e avuto il ri- suirato g x^ — 2 jt^ 4- 1 5 jc' — 60 x^ — 2 20 a: + 336=0, moltiplico questo nuovamente per la Se- rie 7,5:, 3,1,— i, — 3, avendosi quindi 2 1 jr^ -lojc^ "^"45 ^^ — 5oAC*-4-2 20J(f — 1008 = Ojsia* mo giunti ad un* Equazione ^ in cui npn esistono^ che delle variazioni ; ma questa è chiaro , che non può avere alcuna radice reale negativa. Dunque la dau x^ — 2 x^ — ec. = o pel ( N.^ ój ) non pò- tra avere più di 2+0 = 2 radici reali negative , e perciò più di quel ^ che siano le sue permanenze. 74. Poiché supposto in Y = o fx il numero delle variazioni 5 e perciò m — fx il numero delle permanenze ^ non può il numero delle radici reali k 2 V^
7^
positive oltrepassare fA ^ e quella delle reali ne* gative oltrepassare m — M;se supporremo in que- sta Equazione reali tutte le m radici , è eviden- ce y che in questo caso le radici reali positive sa- ranno tante precisamente , quante sono le fx va« riazioni » e le radici reali negative » quante sono le m—fx permanenze •
CAPO QUARTO. Delle Trarformazfioni in f articolate
75- Lt
rasformare un* Equazione altro non si- gnifica 5 se non determinarne un' altra , le radici della quale abbiano una qualche relazioi^ con le radici della data •
^6. Vogliasi trasformare la ( D ) AT^-h A jr«-' + B jr--» + ec. = o in un' altra E- quazione, le radici della quale eguaglino le radi* dici della data diminuite di una quantità ^ .
Chiamata y V incognita della nuova Equazio- ne, avremo jf = r —^, e però x^=^y-\-f. So* stituisco nella data in luogo di x il valore jf-t-^, e r Equazione in jr, che ne risulta, sark la ri* chiesta • Istituito il calcolo , la trasformata sarà
(w — I ) A/ + B)y""*H-ec. = o .
Se
77 Se la data sia per esempio V Equazione x^-i-ix^
— t^x*'—l8x-h^^=:cy,e vogliasi/ = 4 , fatto *=J'-t-4>e sostituito otterremo la Trasformata jr» H- tSyi H- log ji* -H 198 j» -f- 1 1 2 = o , di cui le radici uguagHcranno quelle delle proposta diminui- te di 4 ; e difatti le radici della prima essendo i numeri g , 2 , — j , —^4 , quelle della seconda sono i numeri - 1 = 3—4, -2 = 2 — 4,-7 = — 3-4,
— 8=— 4 — 4.
77- Se al contrario le radici della trasforma- ta volessersi maggiori di quelle delia data della quantità / , supposto in allora y = x -4-/ , e però f^y~ft sostituirei, come precedentemente, in luogo della x la quantità y—f,
78. L* accennata trasformazione potrà sempre servire , onde togliere dalla trasformata un suo ter- mine qualsivoglia a riserva del primo, e ciò col solo attribuire alla / un valore opportuno. Infatti se si supponga la ^/ tale, che risulti mp^-^K =0 , in allora è chiaro , che dalla trasformata scompa- rirà il secondo termine . Se alla f attribuiscasi un
valore capace di rendere " "'""'^ ^» «|_ ( u, _ , )
2
A/-f-B=o, in tale supposizione scomparirà il terzo termine., e coiì di seguito . Frattanto riflet- tasi 5 che i valori opportuni da attribuirsi alla f ricavansi dalle Equazioni corrispondenti i»/4- A=: o, m(m — I ) ^ /+(w— i)A/ + B = o,ec., e che
perciò alla eliminazione del secondo termine ba- sta ri-
78
sta risolvere un* Equazione di primo grado ; ma per la eliminazione del terzo bisogna risolverne una del grado secondo; per quella del quarto termi* ne conviene scioglierne una del terzo; e finalmen* te, per fare svanire T ultimo termine , fa d'uopo sciògliere un' Equazione in / del grado m affat- to simile alla proposta , come facilmente vedremo dalla Trasformata medesima > che accenneremo fra poco.
A
79. Poiché dalla 1»/ -f A = o ritraesi/ = ,
ne viene , che » se porremo nella ( D ) in luogo del«
la X la quantità^ » otterremo una Tras£3rma«
ta 9 la quale sarà mancante del secondo termine. Sia per esempio jr* 4- 12 jr*— 5 ^^+13 = 0 TE*
quazipne data . Suppongo x z=zy = jf — 4 ,
sostituisco, e ci vena la trasformata y — %iy 4- 161 =0 priva del secondo termine .
80. Determinare una maniera £icilet e spe* diradi eseguire la precedente trasformazione.
Poiché abbiamo x =/ H-j , ne verrà
2.g ^ ^
2.3.4 ^ -^
Ax
79 A*»-» = A (/+?)•-■ = A/"-' + 0K—t)A/*-'7+
<''-'f-')A/-»j' +
2. g
B *--» = B (/-|-Jf)*-*=B/— » + («— 2) B *—» « 4- V ± — il B /— -» ji» + ec.
D y^*=D (/-hy)"-4=D z*-^ + ec. ec. ' ce.
Dunque sommando tutte queste Equazioni in colonna , pacche ne viene *" 4- A x^"' •+■ B jc*""» + ec. = o , dovrà anch' essere ( /"• -+-A/»-» + B/*-*-f-C/*-» . -4-D/— 4+^. '
+ (»— 3)C/'^«4-ec. )^
i-i
= o
' +^"'-^f-"^>Br-^+ec. )y
i.j ^ a. 3
A/*-4 4-ec. )^>
2.3.4 -^
ec. ec. ec.
e questa non sarà che la trasformau. Óra dalla semplice ispezione di tale Equazione ^ si vede u^
che
8o
che la sua quantità cognita ^ ossia ¥ ultimo suo termine scrìtto in primo luogo , altro non è 9 che il primo membro dell' Equazione data , sostituita la / invece della x : 1.^ che il coefficiente del pc* Dultimo termine posto in secondo luogo ugua* glia r ultimo 9 tutti i termini del quale siano sta^ ti moltiplicati pel proprio esponente, e divisi per p: 3.^ che il coefficiente deir antepenultimo ter* mine uguaglia il coefficiente del penultimo ) di cui tutti i termini siano stati, moltiplicati pel proprio esponente > e divisi per ip: 4.® che il coeffi lente del termine anteriore air antepenultimo altro non è 5 che il coefficiente deli* antepenultimo , tutti i cui termini siano stati moltiplicati per gli esponen« ti rispettivi, e divisi per j/, -e così di seguito. Nei termini adunque di questa trasformata abbia* mo un andamento costante ^ per mezzo del quale potremo speditamente formare una simile Equazio* ne , senza eseguire le sostituzioni del ( N.^ l^)i e difatti
Nel primo Membro dell' Equazione data ^ pos« ta la / in luogo della x , scrivasi questo risaltato, in una riga . Ciascun termine di questa prima ri* ga si moltiplichi in seguito pel proprio esponen* te , si divida per ^, e ciò, che ne viene, ponga- si in una seconda riga. Si moltiplichi poscia cias* cun termine della seconda riga pel proprio espo« nente , dividasi per 2 / , e scrìvasi in una terza ri- ga quel, che risulta. Tutri i termini di questa ter^ za riga si moltiplichino pei rispettivi esponenrì > si
divi-
8i
dividano per ipy e sì collochino in una quarta^ e si prosegua in tal modo, finché si giunga ad on risultato uguale allo zero. Uniscansi allora tut* te queste righe insieme » dopo aver moltiplicata la seconda per y y la terza per y^ , la quarta per y^ y e così di seguito y e quella y che così ne pro« viene y sarh V Equazione cercata .
Vogliasi per esempio trasformare la Jr^ — 2;r»
— 1 } X* 4- 14 ^-f- 24 = o in un* altra Equazione, di cui le radici superino quelle della data del nu* mero 4 . Supposto perciò jc =j^ — 4 , faccio nel pri- mo Membro della nostra Equaaione la sostituzio- ne della p in luogo della x » eseguisco la sovrac- cennata operazione , e avutone il risultato
( f^— 2/> — i3/H-i4^-h24) -t-(4^J~5f» — 2tf/ -hi^)y
faccio ^ = — 4 , sostituisco y e avremo 144 — ^i4y •f i07jf»— i8y +y = o, ossia jr^— 18 jf^ 4-107»* "-234jf+-i44 = o per T Equazione nchiesta. Le radici «fatti deir Equazione in x sono 4,2,-15
— 3 , e quelle della trasformata sono 8,^,3915 radici, ciascuna delle quali supera del numero 4 la sua corrispondente tra le 4 , 2 , — i > — 3»
8 !• Chiamati per brevità A' , B', C',ec., S',T', V i coefficienti della Trasformata precedente , pon-
ghiamojf = — , sostituendo essa diverrà
1 V'h-
82
r S* e B* A' 1
=0, e quindi) moltiplicando per **, V' «*+ T'«*"*. + S'/if— * -4-ec. ^-C'iKJ4-B')lr•^-A'i8r +i = o; donde si vede , che nella supposizione di x =/
•+• — si avrà la Trasformata in iir « determinando co* u '
me nella trasformazion precedente i Coefficienti A',
B' , Cy ec. ) S' , T' , V',e moltiplicando in seguito V
ultimo V' per i^*, il penultimo T per i^*^', S'
per u'*^^ , e cosi in progresso .
82. Trasforcnare V Equazione ( D) in un' al« tra tale , che 1* unità risulti media proporzionale fra le radici della proposta, e quelle della Tra* sformata..
Chiamata perciò jf V incognita della Trasforma*
ta, poiché deve essere Jt ; i : : i :^ , e però ^ = — ,
sostituisco nella data — in luogo di x^e il risul-
I A B ^ C T ^^
t«o~ 4- — + — H- — + ec.+-^-V=o,
ovvero V^* -H T^""' -t- ec. + C^^ 4- By 4- A jf •+-1 = 0 altro non sarà y che la Trasformata ri* chiesta .
83. Essendo ^y^y^y^ytc^ta le radici dell'
Equazione proposta, ~, T» y> 7»^^->^ "*
ranno quelle della Trasformata ; onde se le prime siano disposte in modo , che «>^>7>^>ec*
> w y
«1
> ti^yverran le seconde distribuite in un ordine af- fatto contrario , cosicché — <-s-<-rr<-ir<^c-
^ p § ^
< — ; e in tal modo la radice massima ce della u^
proposta verrà cangiata nella — y che sarà la mi-
niroa della Trasformata ^ e la radice cu minima del«
la proposta si cangierà in — radice massima della
Trasformata. Mediante adunque questa trasforma- zione 9 potremo «mutare le radici massime di un' Equazione in minime ^ e viceversa .
84. Data la solita (D) , trasformarla in un' altra in y tale y che le radici della prima stiano a quelle della seconda in una data ragione di r : /•
Avendosi per la ipotesi x:y::r:sy sarà x = -^5
e quindi sostituendo, avremo la trasformata
fm ^m-^t y.M*t r>"*3
fm J jw-i-^ ^m^xJ i«»-5-/
-h ec. + T— j^ +V = o . Questa , e le precedenti
trasformazioni eseguisconsi tutte egualmente , an- corché il primo termine dell' Equazione propo- sta abbia un Coefiìciente diverso dall' unità.
85. Liberare una data Equazione :t'" H — x**""
B C V
4- ~ ^•""* H •*'*^^ -4- ec. -4- ~ = o dalle frazioni,
b e 'V
11' sen-
84
seaza che iì primo temine acquisti nuovo Coeffi^
ciente .
Supponghiamo nella precedefite4r=-^ la quan- tità r=i , e sostituiscasi il \raIore ^in luogo di
X nella data Equazione; otterremo così laTrasfor-
ym A>»-* ■ B<>*-» , Cj«-i V
mata *^H — '~zrT~^ L m'x"^ — irT"+"CC«-f--= o>
ossia ^- 4- -f - 4- -f— 4- — /— H- ec.
-f-_JL = o. Ora se la / sia divisibile per ciascu- ni
no dei dienominaforì 4 » é , r , ec. , «v , come se sia f=iahC'.»»'Vi eseguite le divisioni , la Trasfor- mata è chiaro, che non contiene più frazioni di sorte alcuna » e. frattanto al primo termine non ap- ponesi nuovo Coefficiente; dunque, al nostro inten- to , non avremo » che a sostituire nella data in iuo*
go di X la quantità — , essendo in generale
f:=ahc.,».v,e V Equazione , che ne risulta , sa- rà la «chiesta ...
Così nella ;r' - — x*4-— Jr-i- — = o fatto a ì J
X = '" = — , e sostituito » otterremo la Tras-
* • 3 • 5 3^ formata jf' — 4$y -f-tfoojr + 5400 priva affatto
di rotti , e non avente nei primo termine altro
Coefficiente , che T unità .
85.
8) 9(S Trasformare la nostra ( D ) fu unValtra E- quazione» ]e cui radici siano i quadrati delle dif- ferenze fra le radici della proposta; o5Ma detcr* minare la cosi detta Equazione delle differenze.
Essendo «5/2,7, ^ , ec» le radici della data , («-^/,(«-7)S(«-<i^)S(/2-r)Sec.do- vranno formar le radici della Trasformata • Sup- ponghiamo pertanto esser questa Ia^* + M^*-* •4- N y * -h ec. =0 , ed è chiaro , che avremo ^cìoho jJ Problema , quando saremo in es$a giunti a determinare T esponente n , ed i Coeffi.cienti.M ^ N,ec.y ora in quanto al primo, tante essendo le radici xlella Trasformatale però tanto il suo gra« do 9 quante sono le combinazioni, che si possono fare a due a due con le m quantità « , j2 , 7 9 ^ , ec. nella formazione dei quadrati superiori , vedesi che
avremo n = ~j in quanto poi ai Coefficien-
ti M, N, ec, affine ^di determinarli » istituiscasi il seguente calcolo.
Eleviamo ad una potenza pari qualunque 2 Ile quantnà. tx — ^ , « -t- y 5 /S — y , ec. , otterremo cosi
— ^ *C^ >— OC^ k^Ti).... ih^%) ^^^,
ili*
85
2 . g . . • . (*— l) ^ 2
^ 2 * (2 i^^lXz i^— 2) ... (/^H-2) 2 . g . . . . {k—l) 2*(2i^~lXt*-2)..;.(*-f
2Ut*-lX^*-V-''(H-2)^,_, ^^,
2 • 3 • • • • ( * — 1 ) '
-*-•••• TI *^
2
(^ - y)» »=/S» »-2 * ^» »-'y + ^-i-^iin^^
^ 2K2*-tX2V-2)....(*4-2) .,,. . ... 2.g. ...(*-!) ^ '
2.g.« ».c
,»-+-i ft,»— «
i?«»7»
li
z.3....(*— 4) '^, ^
»*(2*-iy2*-i) . .
ec. ec. ec, .
potenze , nelle quali dovranno prendersi i segni superiori, mentre k sia un numero dispari, e gì* inferiori , mentre k sia pari . Sommiamo tutte que- «te potenze , e avremo («-^»'-h(«-'y)*»H-(^-7)»» + ce.
=r^(«-i)(«»*H-/3»» + 7»* +CC. ) — 2 *(«»*-* /34-«/3»*-' -ha**-» 7+ «7»»-»
^ <x* y«»-*+^»»-»^» 4. ^* ^»»- » + ec. )
2 ♦ ^ • *
+
-, 2.3. ..(*-o ^ '^
-+■ a*-» |3*-^* + A* ♦ * 7*-* + A*-» y*-*-* _^ ^1^, ^i-i _^ p»^. yi ^» ^. ce. )
qi ^ 3....* ( «* fi* 4- «*. 7*
H-^*7»-l-ec. )
Ora
ss
Ora pei ( N.' 3 4 , 39) abbiamo
a* * -4- /3' * + 7* * H- ec. = 2 Jif* * , e le quantità com- prese sotto le parentesi nel secondo, terzo, quarto, ec. termine vengono rappresentate dalle espressioni
XlTx; avendosi inoltre pei ( N.* 41 , 47 ) 2 Ar**-'jp = S ;c»*-' S A' — r ***, 2*»*-*;c* = 2 jr»»-»2;c» ^2jc»*,2;t**-»A^» = 2x*»-i2;r« — 2x*»,ec.,
2
Sostituendo adunque ne verrà 2 ji» = (w— 1> 2 *» *— 2 * ( 2 **»-« 2 ;c— 2 X* *)4-
itiÌÌlJL!(2jr»»-»2jt*-2x»») -
iiliirJMril (2;f • »-i 2;ti -2;f « ») +.
:t ^*^^*-0(^*-»)--^*+') (2a-»-»-'2x»-«-2*«»)
i . 3 . . . . ( k — I '
aK2*- 0(2*— iì • . . • f*4-0 ,2*f'2*'- Sx*\
^ a.g..:v* ( — i — )'°^«*
2y =«2;.M- (,-,* + ilLiJbi?^
a*ra*-iX**-2) . --^*Ci*-0(»* -*)...(*+ 2)
tk{ik^i){xk-i) (*+l) _i\5 »»
-*- a.i....* " •» J^'
-»*
2k(ik-l X^*— 2), . . . (*+ 1) ^^ 2 x' 2 X*
2
Z. i . .., . k ^ ^ •
Ma per la natura dei Coeflìcienri nel binomio Newtoniano abbiamo • .
2 ».i +....—
2*(?*~»y»*— ») (^H-O
2 * ( 2 *•- t X ' **-a ) ( *4-2 )
"""■"" 2.3. . C *— I ) •*"
2i^(2*~lX:t^— V)
rK2*-i) ^ ^ 2*H-i = o, e conseguentemen- te abbiamo anche la sua metà
2k(tk~l)(lk^2) (i^ + 2)
l*(2^-^K2^-2)....(;^■^l) V « __
m Tol-
90
Tolto adunque dal valore di 2^*. ciò, che ugua» glia lo zero , resterà
Abbiamo così una formola , da cui , supponendo successivamente i( = i , 2 , 3 , ec. , potremo ricavare i valori delle quantità 2^, 2y , 2:y,ec. espressi per le somme delle x , e quindi pei Coeifidenti A , B , C , ec. della data ( N.° 35); onde poi po- tremo determinare pel ( N.° 38 ) i Coefficienti M > N , ec. , che si richieggono , della Trasformata .
87. Cominciamo dal fare ifc = i , poiché 1* ul- timo termine della nostra formola deve esser di- viso per 2, e deve avere per Coefficiente la quali-
tua — i — , — ' , ne segue che satSt
^ • <J • • • • K
Facciamo in secondo luogo l = 2, otterremo per-
ciò2y=«2;r4-42;eJ5::rH-t^X^^^^-^« ■' 2 2
Così , facendo i = j , ne verrà 2j» = » S jc*
e così in progresso .
Sia
• 91
Sia per esempio xf — i Jf*— jjr-fposro 1* Equazione data , di cui si voglia 1* Equazione del- le differenze. Avendosi in questo caso m = g , ne
verrà « = ^-^ = 3 , ed essendo perciò la Trasfor- *
nata della forma y -4- My* -H N^ -+- P = o , cer- co il valore dei Coefficienti M , N , P . Poiché
S x« =1- 4408, Sat* =53010, sostituendo ci risulta 2_^ = 3X7o — 2 . 2 = 210 — 4= 2o5,"
2/ =3.2002+4.54.24-^x22122=2, 2, 8^ 2jf' =3 .53010 + 5.4408. 2H X 2002. 70
-l^*X^/^ = 2303055. Ma pel (N.*» 35)
abbiamo
Sjr -+-M = o,
2/-+-M2j-4-2N = o,
Z y -h M 2 / + N S jr -4- 3 P = o .
Dunque otterremo , sostituendo, M = — 2 o5 ,
N= - 2il±il^= 10500, P= -^2!̱L^:±N52
» . . . B
= — 39204, e quindi I' Equazione richiesta sarà
yi — 2o5y-+- 10509 jf — 39204 = o.
Le radici della *' — 24f* — 33 ;k'-|-9o = o sono
3 , j , — 5 , quelle della Equazione in y sono
(3-5)*=4,(3-f-5)* = 8i,(5+5/=ri2i.
m 2
CA-
9» .
CAPO Q.UINTO.
Delle Trasformasàoui in generale»
SS. JLje radici d' un'Equazione Trasformata aven* do pel ( N.** 7S ), uiiA relazione con le radici del- la proposta ,ne viene che, le une potrannosi sem- pre esprimere per mezzo delle altre , o in tutto , o in parte , e le une perciò saranno funzioni dei* le altre; ora i Coefficienti pel ( N.® j i ) sono fun- zioni delle rispettive radici ; dunque anche i Coef- ficienti della Trasformata saranno funzioni delle ra« dici , e dei Coefficienti della proposta ,' e viceversa. Essendo penanto ** -+- A x^^ " H- B jf*-* h- ec. = o Y Equazione data,^' + M^—'H- N^«-* -f ec. = o la Trasformatale chiamate x' , *" , jf'", ec, x^"^ le radici della prima , y' , jf" , jf'", ec, j(W le radici del- la seconda , avremo una qualunque di queste per esempio lay=/(x')(y')(jr'")....(r(-)).
Spk Vogliasi trasformare 1* Equazione x' +Ax -f-B = o in un' altra, le radici della quale ugua- glino quelle della proposta aumentate di— .Chia«
mata perciò y la nuova incognita , sarà^ = jf H--->
e perciò ;ir=jp— • — , sostituisco, e otterremo la
A*
Trasformata^* -H B = o . Pongasi aella sup-
^ ;po-
9i
posta jf=:^H — [a radice x' in luogo di x^ là
corrispondente y in luogo di y ^ e — (:r' + jr")
invece di A ( N.® 31), ci risulterà cosi yzizx'
x'4-x" x'— x" — = — pel valore della radice y' della
Trasformata y funzione ^ come si vede ideile radici della proposta*
90. Ciòcche si è detto nel presente esempio di X y dir si poteva egualmente di 4r'' ^ e vicever- sa ; in quanto che il discorso fatto nella trasforma* zione^ e le proprietà dipendenti dall' Equazione sono comuni ad amendue le radici x y x" ; dun«
x'— x"
que neir espressione — — se porrò x" in luo*
1
go di x' y ed x' in luogo di x" y ne verrà tuttora un vero valore di jr , e p^erò non solo sarà radi*-
X ^x'*
ce della Trasformata la quantità **— — y ma lo sa«
x"-x
rà r altra pure • Dunque avendosi già
x'— x" , . „ x"-x'
y = — , dovrà essere y'=^
pt. Proposta r Equazione :r^ -+- A jr* +Bx i+.C=:o, vogliasene un'altra in jr, di cui le,ra« dici altro non siano y che i diversi quoti di due qualunque delle radici della data diminuiti dell' altra radice, che rimane; ritenute cioè le prece- denti denominazioni y debba uno dei valori di y
per
9^ per esempio y essere— 7, *- x"\
Affine di avere tutti i valori della y , è chiaro ^ che non dovremo ^ se non formare tutti i quoti possibili a due^a due fra le x\x' y x'\e da es* si sottrarre T altra radice > che rimane; ma ^ cod
^ m ^ in
opeiando, ottenghiamo i risultati — r — V" , -7 - V,
x"' x" , ** x'"
— -*•'» z:;; -•^'>v^— •^">r7 — Jf" ; questi dunque
X X ^ X
saranno i valori della y , ossia le radici della Tras- formata. Ora supposto
y = ^ -x" =/( x' )( r" )( x'" ) ( N." 2 ), ne viene y" = ^-^x"'^f(x")(x'){x'"), y'~'-x'=f(ix"'){x"){x'), y'^ = ~x'^f(.x"%x"'){x'), f=^,-x"=fix)(x"'){x"),
X
/' = =r-Ar"=/(y")(y)(A:"). Questi sei ri- sultati adunque quelli essendo evidentemente > che nascono daIla/( x )( x" ){x"' ) per le varie permuta- zioni fra le x ^ x" , x-'", ne segue, che, affine di ottenere le radici y' , y" , ec. , e conoscere così il grado della Trasformata , non dovremo che deter- minare le permutazioni della / ( jr' )(*■" )( *•'" ) , ed
il
91
il loro numero 1. 1. ^:=z6 ci esprimerà il grado richiesto •
92. Sia r Equazione proposta di un grado qua- lunque m , e sia y una delle radici della trasforma* ta=:ad una funzione Algebraica razionale qualun- que siasi delle x , x\ x'\ec. , x^'^^ , che esprimerò in generale per/(;r')( ;r" )(jr'")( at'^) .... (jrW). In tal caso io dico y che il grado della Trasforma- ta y chiamato tt , sarà generalmente parlando
Mentre sì eseguisce una qualsivoglia trasforma* zionc , considerandosi tutte le radici x' , >", x'",ec. egualmente , e ciò che di una si asserisce , asseren- dosi in egual modo deir altre , ne viene evidente- mente 9 che nella supposta funzione nel luogo y ove pel valore di y sì è collocata una delle radici per esempio x' y affine di ottenere tutte le radici del- la Trasformata ,' dovremo collocare successivamente ciascuna delle altre x'\ x'" , x^'y ec; laddove è sta- ta posta la x' y dovransi porre successivamente le y , :r'", x^ ,ec.; nel luogo della x" dovransi met- tere successivamente le Xy x"y x'^y ec.,e così in pro- gresso. Per tal modo nel( N.^'precOi ove aveva- mo y = —7, —x" y abbiam prima posto x" nel luogo della x' y e la x' nel luogo della x" y e eie risultato il valore y' = --r — x*" ; poscia lasciata in
y la JT^al suo posto , abbiam messa la x" nel luo- go della X yC la x' nel luogo della x" , risultan- doci
x'^
96
doci in tal guisa il valore y = ~ — y; e cosi
operando in seguito» dalla solay=-^-y' tut- ti abbiamo ottenuti i valori della y^ Ora nell^ eseguire la precedente operazione » come %i è det» to della f{x%x")ix'") ( N.^ prec), così nella funzione generale /(^ )( x" )( x'' ){x^).... (x-t--) ) altro non facciamo evidentemente , che formare tut« te le permutazioni possibili tra le x , x\ x'\ x ^, ce. , jrt'">. Dunque tali permutazioni essendo di numero i.2.3*4*«»^( ^^ 45 ) > "c viene , che un simile prodotto esprimerà in generale il nume- ro delle radici » e quindi il grado della nostra Trasformata •
Così nel ( N.® prec. ) » ove « = 3 ,abbiam vedu* to essere 7r=i.2.3=5.
93 • Eseguite le tf permutazioni della (A) /(Ar')(jr")(y")(A:'^)....(A-W), le radici della Trasformata saranno y =/(A-')(A:")(Ar"')(A-'').,..(A-(->),
y =/(*")(^')(>^"')(*'")....(x<">), y''=/(y")(r")(y)(;r-)..,.(jr<;)), yl =/(*")(A-")(Ar"')(r')....(:r<'->), y\ =/(x')(x"')(x")(x^)....(;rH),
/" =/(y")(;.')(;r")(y')....(;cW), - y"=/(y")Cx")(A:'0(y)....(x<-)), ec. ec. ec.
94. Se U supposta (à)sm razionale, abbia*
mo
91
mo oel (N.^ 91 ) asserito f e dimostrato , che ge- neralmente parlando il grado della Trasformata sa* rà = ^= I • 2 . 3 .4 •• • • w. Si è detto general- mente parlando 9 poiché se le permutazioni della ( A ) ci danno dei risultati tutti disuguali fra lo- ro , la cosa è sempre vera a tutto rigore ; ma se al* cuni di questi risultati sono fra loro uguali, in al* lora il numero ^ ci esprìmerà bensì il grado del* la Trasformata in certo modo , ma non già con tutta la, precisione « Che succeda in questa suppó* nizione^ noi lo vedremo fra poco, premesse leos* servazioni, che seguono^eche succeda poi, men« tre la (A) sia funzione irrazionale, lo vedremo in altro Capo «
95. Fatte le permutazioni tutte della f{x) ix' )( jr'" ) , e scritti i risultati , corte qui sotto
supponghiamo , che una 4ì tali funzioni sia ugna* le ad un altra qualunque corrispondente , che per es. sia la t .* = alla 4/ Tale uguaglianza potrà suc« cedere in due maniere diverse^ primo pel valore panicolare delle radici, secondo per la forma della funzione; nel primo caso le due funzioni dovranno evidentemente esser uguali fra loro solamente in certi casi determinati ; nel secondo si avrà V u* guaglianza , qualunque valore diasi alla x • Siano
per es. le due funzioni — 7n^^ x'^-^x' x"' , e
n fac*
"T\
99
facciamo in amendue la permutazione di x" in x"'i ^1 ^111 •
la prima diverrà „ , la seconda x'^'-x" x" }
x'-x" . . x'-x'"
ora se si vuole , che la ,„ sia == — -^^ »
questo non potrà succedere , che mentre abbiano le X , collocare come si ritrovano certi particola- ri valori , mentre per cs. sia x' = io ,• jf" = 7 >
x'-^x" 10—7 y"=? • risultando da ciò „, = — 7—= '•
—^ = I ; ma se , supposto jr' = 10 ,
'^ x'— Jf"
;r" = 7 , abbiasi x'" •=. 5 , ottenendosi
x" "
x'"
Ì1zJ-J.,±:ìL:'-I£i15^Ì. „<,„ potrà essere * "!!! — * T.^- « Al contrario la fiinzio-
x"' X"
ne y* — *"y" essendo = x'*—x"x' a cagio- ne della sua forma , e però indipendentemente dal valore particolare delle radici , tale uguaglianza sempre si verificherà , qualunque valore si attri- buisca alle Ar',;c ",*'".
Se le permutazioni sì eseguiscono sulla funzio- ne generale ( A) , è chiaro che potrà farsi lo stes- so^discorso , e la distinzione medesima nelle ugua- -"^anze, che abbiamo ora esposte. '
95. Supponghiamo inoltre , che sopra due funzioni corrispondenn uguali eseguiscasi una me- desima permutazione; se queste supposte funzio- ni
X 99
ni sono uguali per la loro forma » come le due ^^^^x'' x'\ x''-x'"x"i N.^precO, in allora tale uguaglianza dovendosi conservare , qualunque quantità pongasi in luogo della x in amendue le funzioni nel tempo medesimo ( N.® prec. ) , ne vie- ne che essa dovrà conservarsi ancora sotto la per* mutazione supposta , non facendosi con questa , che porre in entrambe nel tempo stesso in luogo del- la X certi determinati valori diversi dai primi. Co» sì permutando nelle x'' — x"x'\x'' — x"'x' la X nella x" , la x" nella ;r\e la x'" nella x" ,ne verranno le due funzioni jr'"* — x'x" , a:"'* — x" x' uguali toc;ilmente fra loro, come lo erano fra loro _ le x' —x" x" y x^ — x'" at" . Ma se le funzioni
x' — x" x' — x'" supposte , come le due », , ,, ■ sono fra
loro uguali soltanto per certi particolari valori del- la,jr (N-^ prec. ) j in allora sotto la permutazio- ne cambiandosi la certa posizione di quelle certe determinate radici , da cui solo dipendeva Y ugua- glianza ^ ne viene generalmente, parlando, che le due nuove funzioni dovranno risultar disuguali • Cam-
X* — x" x' — x'"
biamo per esempio nelle — — - y n ^ ^' nel- la x" lasciando la x'" al suo luogo; ne nasceran-
x''-^x x' x'"
no perciò le funzioni ,„ ^ ' ,, ; ora men- tre jc' = IO , at" = 7 , x" = 3 j abbiamo bensì
^1 _ ^" x' x" /
— ( N."" prec.) t ma non abbiamo
x'" X-
n z &^
lOO
gik .. = ^« , risultando
-~' * x' = IO -IO*
97. Se due dcJle w funatoni del ( N.^ 9 j ) sonò , per la loro forma fra loro uguali , saranno fra lo^ ro uguali a due a due anche tutte le altre •
Abbiasi la y =/( x' )(;r")( x'" )( y^) • • . (jtW) tale, che per la sua forma sia=y" =/(ar'")(y) (jr')(y^). •••(atW). Ciò posto si eseguisca nel medesimo tempo in amendue le y ^y" un' eguale permutazione ^si cangi per es. la x in x** ; ne ver« ranno i due risultaci /( x" )( x' )(x" )( ;t'^) . . . (rW) , /(x'")(^')(^")(0--*(^*'"*)- Ora questi non sono evidentemente , che due delle tt funzioni del ( N.^ 93 ) , cioè le due /' , y"" , e deggiono frat- tanto pel ( N.^ gó ) essere uguali fra loro • Dun* que lo stesso discorso facendosi , qualunque altra permutazione eseguiscasi in entrambe le y , y" ^ ne segue chiaramente, che tutte le permutazioni nate corrispondentemente da simili permutazioni, e perciò tutte le n funzioni del ( N.^ 93 ) dovran*- no essere uguali fra loro a due a due .
Se sia per cs. y =x -{-x. — — —, e pet-
ciò y" ' = A-'" -4- ;c' - 2^^^^ , venendone y" =x"
^'T •-* ^*V
risulcerìk y" =y ' ; ed eseguendo un* altra permu- ta-
lOI
fazione ^ quella pf r esempio dì x' in x''^ , otter- remo jr'^ = J^^ ' ^ ^ ^osl di seguito .
98. In egual modo si dimostra , che se tre ^ quattro, ec. delle funzioni del ( N.^ 93 ) sono u- gaali tra loro per la loro forma ^ ancora tutte le altre saranno fra loro uguali a tre a tre , a quat<* tro a qumrotec. • Che se due, o più delle stes* se ir finzioni %\ uguagh'ano fra loro, non per la forma ,ma pel valore particolare delle x ( N.^ 95 ), in tal caso è facile il vedersi dal (N.^96) , che non si verificherà il Teorema precedente , e la u« guaglianza perciò non potrà, generalmente parlan» do , conservarsi tr^t le altre funzioni , che riman- gono •
99. Poiché nella supposizione del ( Nf.^ 97 ) le ir funzioni sono tutte fra loro uguali a due a due, e quindi i valori diversi della y sono di nu- mero — , ne segue , che se nell* Equazione propo- sta ( N.* 92 ) volessimo una Trasformata , la qua- le comprendesse le radici tutte sì uguali , che di- suguali , essa bensì verrebbe del grado ir ( N.^ 92 ); ma volendosi quella Trasformata, la quale non comprende » che le radia disuguali , e quella che solo a tutto rigor si ricerca , essa risulterà
ir del grado ~ • Così pel ( N ^ 98 ) , se la y:rzf(^x)
(jr")(jr'")("')--v(^**0 è di tal forma, che conservi sempre lo stesso valore , facendo tre , quat- tro ^ o Più permutazioni diverse ^ la vera Trasfor- ma-
ÌOl
mata diverrà del grado — , —, ec.Neiraltro ca- so poi del ( N.^ 98 ) è chiaro, che non possonsi a- vere in considerazione, che casi particola ri, e che la Trasformata coli* escludersi delle radici uguali , si ridurrà al grado «r — i , tt — 2 , ec , secondo che due, o tre , o ec. sono i valori della y tra loro uguali.
100. Chiamiamo n il grado della Trasformata ;
se siay=/(A-',jt")(y")(r'^)....(;rH ),pei (N.*3 5 97 ) ne verrà » - — . Se pongasi
y=/(A-',x",r'"}(:r'^)....(jrH), non can- giando la y di valore , qualunque permutazione si faccia tra le x' , x" , x" ( N.*^ 3 )>ne viene che si avranno t « ,2 . j = 5 risultati delia nostra funzione per la forma tra loro uguali ( N.® 95 ), e però i valori tutti delia y essendo tra loro u- guali à 6 à 6 ( N.^ 9S ) , la Trasformata diverrà
.del grado « = "T =— — • In egual modo , se abbiasi j^'=/( x* , x" , ;r'" , a-'^) . • . (;rW), ne ver- rà « = rTT^ = ri CN-'3.98)- Se siay = /( x' , x" , x" , Jt'^, ;r^) . ..•( ;rW ) , avremo /f =
' = — , e COSI di seguito .
1 .2. 3 • 4* s 120 ' ^
ioi« Pertanto supponendo y=f{x\x%x'\x'%x\....x<^)), giacché
in
in questo caso risulta n = — — — — — = — = i
I 1 . 2 • 3 . 4 . 5 . . . W TT
I ( ^«^ })f^^ viene ^ che una funzione , come la proposta y di tal forma cioè che resti sempre la medesima , qualunaue permutazione si faccia fra tutte le X , at" yx" ^ ec, jr^*"^, ne viene dico , che essa dipenderà da una Trasformata di primo grado ^ e potremo perciò determinare il suo valore col mezzo della data senza sciogliere Equazione di gra* do maggiore del primo.
ì J02. Supponghiamoy =/( Xy x" )( x"'y x"" )
...•.(•r''">) i dovendo questa funzione rimanere la stessa , comunque si cambiino fra loro le x' , x" y come pure tra loro le altre V", x" y i valori
I della y dovranno tutti esser uguali fra loro a i.i.i«2 a i .2 . i .1 y e avremo perciò corris- pondentemente n = — — — = — • Così nella i- potesi diy =/( y , x' )( r'" , x\x^ )...•( :rW),
^ TP . ,
otterremo b = — — 3: — ; e m generale 1.2.I.2.3 12' **
$upposto^'=/( x'y x" yx"... ;rW )( ;r(-^') , x(^^*) , jrt^3)^ . .. jrt-^*)(A:t-**-^') , Ar(-^*-^*) , jtt-^*-^^) )
. . • • ne verrà n = ^ . ^" '
i.2«g'.*ii I • 2. 3 •• .^t I • 2 . 3 • • • •
103. Sia finalmente y uguale ad ulta funz one, in cui non si contengano che alcune delle radii i del- la data y se ne contenga per es. un numero X » cosicché abbiasi y-(,x )( x' )( x'' )...•( x^^] ). , Sommiamo con questa tutte Jcakrci» — X radici,
che
104
che rimangono » moltiplicando dascuna per lo zero^ non alterandosi per ciò il valore della funzione pro- posta , ottercmo j' =/ ( x )( x" )( ;f '" )....\ x^^i ) + iox^^^'>+o x^^^^^+ox^^-^^^ -\- ...^o x^'^ì ) ; ma questa altro non è 5 che una funzione della for> may=/(;r')(jt"')(r'")
( x^^^ )( x^^-^'^ , x^""^') ^x^^^>y.... /'^^ ), e ta- le essendo , conduce ad una Trasformata del grado ir
^ ( N.<=> 100). Dunque avendo-
si TT = I •! • 3 ••• (1»— X)(i«— X-hi )(/w— XH-2)
« • t • ^ • e però ^ ' , ^ . =
t . 2> ^ *> ,(ii>-X)(iif— X + i X w^X-4-2 ) > , . wr )
(w - X-h I )(« — X-f-2)(i« — X-I-3 ) «r =
«(a» — i)(» — 2)(i« -- 3 )••.•(»— (X— i), sarà questo numero = xr , ossia ci esprimerà il gra« do della Trasformata corrispondente alla suppo^ sta funzione y' - f( x )( x' )( ;r" )....{ x^^>).
1 04. Replicando quanto si disse ai (N.^ 102, ioj)> vedesi ) che qualunque funzione della forma
f{x\x\x\ xW)
( *t*+») , Jt**-*-»)) , ;c<*+J)) . . . . ;cC*+^) )
(jr(*^**'>),(*-(-^-^*)) (*<^^) d darà una
Trasformata del grado
0f(M ' I Xw — 2 ) ..fwf — fx-i)
— i— * ; e se sia
#
105
y=/(y,y',y'>'%. ...;,<*)), avremo
—1 wC^-^^y^" — !)....( m — ( X — I ) I • 2 • 3 • . • . X ^
105. Data r Equazion generale X* H- A je"*""' 4- B Jt^* 4- ce. = o , trasformar que« sta in un' altra ^ di cut sia radice una qualunque funzion razionale /(^ )(^" )(^'") ••••(x^) .
Supponghiamo essere y^ + Lf^^ -l-Mjy"^* -f. N j^"*** -4- ec. = o la Trasformata , che si domanda ; è eh/aro che avremo sciolto il Problema ^ ogni qualvolta avremo determinato il valore dell' espo« nente » ^ e quello dei Coefficienti L , M , N , ec. . Ora rapporto ad n , conosciuta la forma della da- ta (unzione , conosceremo immediatamente il Va- lore di essa n col mezzo dei ( N.^ prec. ) ; affine poi di determinare i Coefficienti , è necessario il premettere le seguenti riflessioni . Chiamate y' , y" , jf '", ce. , y*^ le radici della Trasformata , poiché , fiatta astrazione dai segni y L uguagh*a la somma di queste , M è uguale alla somma dei loro Ambi ^ N è uguale a quella dei Terni, ec. ( N.^ji) , evidentemente avremo ciascuno di tali Coefficien* ti uguale ad una funzione della forma /Cy ,y' ,y",.*..y*) >. Ma ottenuti , come nel ( N.^ 93 ) yi valori delle y' ,jf" y jp'",cc. , se feccia- mo in questi tutte le permutazioni possibili tra le *' , x" y x"'y ec, essi pei( N.^ prec. ) non fanno che restare gli stessi , o cangiarsi gli uni negli altri ; dunque nei Coefficienti L , M , N , ec. ponendo in luogo delle y ,y',y'' , ec. i valori corrispondenti o in
io5 in Af',4r",^'", ec., essi risulteranno tante futh zioni di queste radici tutti della formai /( Jt' , x" y x'" ^ . . . . ;tW ) , e razionali . Ora noi sappiamo dal (N.^ loi )9che il valore delle fun« zioni razionali dì tal forma^può sempre determi« narsi col mezzo della data ^ senza sciogliere Equa* zione alcuna di grado maggiore del primo • Dun- que ricercando , come negli esempj) che seguono col mezzo dei ( N.* } ' » 3 S » 3^» 4i f 4^ » 49 ) ^i- mili valori ) noi otterremo i valóri dei Coefficienti Ly M, N, ec. ,e avremo così sciolto con tutta la generalità il problema proposto*
io5. Data V Equazione di terzo grado -r^-f- i»x*+éjir-+-r = o^ vogliasene un* altra , le cui radici siano le diflferenri somme delle radici della data prese a due a due.
Chiamate x' , x' , x'" le radici dell* Equazione proposta y ed y una delle radici della Trasforma- ta , avremo per la supposizione ^' = y 4- x' • Ora questa ella è una funzione della forma /( x' ^ x" ); il grado adunque della Trasformata che si cerca^
dovendo pel (N.* 1 04 ) essere = lLLZ.LlZlJ2 —
7^ = 3 f giacché 1» = 3 , X = 2 , essa Trasforma»
diverrà yJ -+- L «' + M y 4- N = o , e le sue radici saranno/ = V+x",y^= x'->t-x"\y"=,x" +x"L. Affine presentemente di determinare il valore dei Coefficienti L , JM , N, ec. ,' osservo , che abbiamo
L = ~ (jf'-f-^"-hy " ), M=-h(yy'4.yy "+/>"'),
N = —y'y'y" C N.* 3 1 ) j sostituendo adunque ,
e ri'
107 e ridocendo , sarà L =— (2 Jf'-H 2 *"4- 2 x'")^ M = + ( *•'*-!- Jr"" + Jr"'»H-3;t'*"4-3y;r"'-t- 3 x" x" ) , N = - ( y* y -t- y a:"* + X* x'" 4- ;r' jr" » -+- x"^ x" H- x" ;t'"* + 2 ^ jr" V" ) , ossia pei (N.« 3i,34,39)L = -22;r,M=2x»-f-3è, N = — ( 2 jp jf* H- 2 y y y " ) i e finalmente pei
Pongo pertanto questi valori nella supposta £- qua2Ìone in jr , e la jr) -\-iaf -^-ia* -\-h)y^{ab — r ) =:= o,che ne risulta , sarà la Trasformata richie> sta»
Sia per esempio jr* = i , *" = 3 , jf"' = 5 , e pc- ti> a=. — 9,4=23,r = — ij, *d a:' — 9**-+- 23*--ij=o r Equazione data . Otterremo in tal caso 2 <« = — 18 ,<»*-4-^-= xo^^ah — f =— 192, onde la Trasformata sarà jp' — i8j* + 104^-192 = o,di cui le radici sonoy = 4,y'= 5,y"=8, uguali per 1' appunto alle radici della data som* mate fra loro a due a du«.
107. Ritenuta 1' Equazione istessa del ( N.** prec. )» un'altra se ne voglia, di cui sia radice la fiinzione del ( li.'' 96) x*- x" x".
Essendo la proposta funzione della forma /(jr' %x" ,*'"), avremo pel ( N.'* 100 ) « = 4-
^':-^=lytòy*-¥Ly'-¥Uy¥ìi=o la Tras-
foitnata.di cui/ = x'» —x" x"\y" =r "» -x' x'\ y " = x'"* —• x' x" saran le radici . Ora sostituisco o 2 nei
io8 nei valori dei Coefficienti L = — ( y' -|- y" -+■ y'" ) ,
M=-4-(yy'4-yy"-f-y'y") , N=-yy'y"
ì valori espressi col mezzo delle x\ x" ^ x"\ e riducendo avremo
L = - ( x^ +x"^-^x"'^- ( x' x"'\-x' A-"'4- x"x"'))
M = -H ( y* y * H- y* ;r"'» 4- ;p"* y "» — ( :c'J y ^x'x"*-^x'i x"'-\-x' x"'i 4- A-"» y-V-;»:" x"'i ) + ( yv»r" x'" 4- y r"* x'"' H- A-' ;»r" V "» ) )
= ^xx^—'^xix-^'S>xix'x"x"'), N = H-(r'J ;e"3 + ;c'3 y"'3 +x"ì x"'i )
- ( X'* X" X'" -h X X"4 X'" +X' X" X"'^ ) = TTZ'
— 2;r3(;r'y :r"'). Ricavo dai ( N.^ 41-, 47) £
valori corrispondenti , e ottenendosi L = ^ — ^x*^
M = — 2jfJ Xx-\-^x*-{-a f.
N = '" — — H- f S jfS 1 istituito il calco*
2
lo, ne verrà L = 3^— 4»*,M=:j^ — «• ^ , N = i»
— «• ff , e finalmei^te jp' -+-( 3 ^ -<»*)¥*-+- ( gè*
Dalla precedente x^ — p x* ■+■ ì^ x — i$ = o ricavandosi 3^— «»=— 12,3^*— tf*^=: — 2 7<?, ^' — «' f = 1232, la Trasformata corrispondente sa- rà y — 12 jf» —275jfH- 1232 =0, e le radici di questa j>' = — X4,jf" = 4, y"=:22 uguagliano appunto le tre funzioni x'* — ;r" x"\x"^ — x x" , x'"* - x' x", avendosi V = i , x" = 3 , *• " = j ( N.* prec. ) .
X08.
109
X oS. Ridurre la Equazione »» 4- //a* 4- * » -f- /=o ad un* altra, le radici della quale sianole differenze a due a due delle radici della data. Affine di facilitare il calcolo, supponiamo
%-=-x — —, riduco r Equazione data ad un* al- tra prilla del Coefficiente del secondo termine , e da questa deduco immediatamente la Trasformata* Chiamata essa Jf»-+-èjf*-+-f = o, avendosi
_« ^' * _" 4." * Iti .^111 "
pongo nella funzione %' — %\ che per la ipote* n ci esprime una< delle radici della richiesta E« quazione Trasformata ,, ripongo , dissi , i valori corrispondenti in x; risultando da ciò 2,' — x,"
= *' — *•" H- --= x'— jf" , faccio , come
precedentemente (N.* 105 , iò5 , 107 ) , su questa x'—x" i razìocinii dovuti, e il calcolo opportu» no. Essendo essa una funzione delia {otmzf(x' )(x"), acagione di «» =^ 3 , X = 2 , ne v^errà « = 3.2 = 5 (N* loj ), e quindi la Trasformata y -+-L^» +
risulta L=o, M = — ^x*-}-i^xx^, N = o,
P= S ;t* — 2 2Tx'4- 3 273r* , 0.= o ,
R =
*'0 __
t:Ex* xx^-^^xxx*, col mezzo dei (N.'ji,
R = ( S ;f* S jf* — 8 S;r* + tf 2 x» 2 jfJ — 4S;t>2**2:r-^Sjr^2jeS;r-f-4f*)- Ciò ri- trovato ricorro ai Teoremi Newtoniani ( N.* 35 ), e a cagione del Coefficiente del secondo termine = zero , avendosi Sjf = o, 2jf*=:— aéjSjr* = - 3 f , 2 *4 = , ^ , 2 xs=z 5 * r, 2 jf« = 3 f» — 2 ^* , colla sostituzione ci risulterà M = 4 ^ > ? =z 9 b* yK = 6 hi -h 11 e* ; e però / 4- 4 * Jf* >+. p ^*y ^(sbi-+iT e*) = o sarà la Trasforma- ta, che proviene dall' Equazione in x. Ora pei
cagione di 36— x , abbiamo ^ = < — r >
f =/— i- -4- — ; sostituendo adunque otterremo
y+4('— 5-)r+9('-f)'y+
questa sarà finalmente la Trasformata risultante dalla proposta a&* H- 1/»* + ^ jbH-/= o.
109. Nel modo medesimo dei ( N.* prec. )> e con. le regole accennate potremo eseguire pre- sentemente una qualunque trasformazione, men- tre però la data/(A-')(:r")(;f'") -(xW)
sfa una funzione razionale . Nei casi particolari >
come in quello del (N.'^prec), e come in quei
tut-
Xlt
tutti del (Capoprec. )* nei quali il rapporto fra k radici della Trasformata , e quella della propo** sta è assai semplice, potremo talvolta con parti* colari artifizii agevolare il calcolo, d' altronde il più delle volte brigoso , mentre 1* Equazione da« ta sia di grado supcriore, e la data funzione sìa complicata •
CAPO SES TÌO,
Ùella Eliminazione , e del Modo di filiere i Radicali da una data Equasbionc •
iio.i3appiamo dall' Algebra cosa intender si debba col come di Eliminazione di una , o più incognite da due, o più date Equazioni, e allo- ra quando l'Equazioni sono di primo grado , si^>- pongo noto dall' Algebra, come eseguiscasi una simile operazione . Passeremo ora ad esporre, co- me essa medesima si feccia nelle Equazioni Al- gebraiche di grado superiore; prima però di far questo, amiamo di accennare un altro metodo as- sai elegante, oltre gli esposti comunemente nell* Algebra , onde eliminare le incognite nelle Equa- zioni di primo grado.
XII. Vengano proposte le due Equazioni 4Jr-4-è^-+-r=o ,/x-+-^^-h*==o, onde es- porre sa di esse questo metodo di eliminare. *^ . ^ Mol-
112
Moltiplico a tal fine la seconda di simili E« quazioni per una quantità da determinarsi M , e poscia la sommo con la prima; ci risulterà così una terza Equazione {fM+M)x-h(gM-i-b) jr + ( A M + ^ ) = o , in cui la quantità M può determinarsi ad arbitrio . Determiniamola pertanto in maniera , che abbiasi / M •+ ii = o; dovrà per^
ciò essere M = ^ , e la nostra Equazione di- verrà ig MH-^)jf+-(iM + r)= o , ossia sosti-
ag a b
tuendo ,(* — 7')j' + (^- y) = ^> Equazione, da
cui si è già eliminata la x • Che se si voglia eli* minare la y , cerco di determinare la M per mo« do, che divenga zero il coefficiente della jf, e suppongo a tal fine ^M +^ = o j ricavandosi da
ciò M = , riduco la nostra Equazione alla
(/M + ^)A^-f-(iM4-r) = o, sostituisco in luo- so di M il valor ritrovato , e T Equazione
b f bb
(a )^-f-(r — —)r=:o quella sarà, che ri-
sulta dalla eliminazione della y»
1X2. Eliminare due qualsivogliano delle in- cognite dalle tre Equazioni
fx-^gy-\-bz'{- t =o y » 4f-f- «^ -f-/ » + f = o . Moltiplicata la seconda di queste per un inde- terminata M > e la terza per un altra N , le som*
mo
I
no insieme, e mi risulta così 1* Equazione (tf-+-/M-l-«rN) x+(:h+gM + nN)y + (f-4-6M-+-/N )» + (i/H-/M + ^N)=: o. Volendo ora eliminare la ;ir , e la jf, suppongo M-^fM + «Nrro, ^ -4-^ MH-«N = p, determi- no da queste Equazioni i valori corrispondenti di M, e di N ( N.® prec. ) , li sostituisco , e 1* E- quazione (r4-i&M-+-/f N) z-+-(//-f- »M -4-f N )
= O , OSSM Q ^ -JX
+• ( 7^;^^ ) = o,cssen.
do priva delle ^ , ^ , sarà la richiesta * Se fosse stato domandato di eliminare le x ^z^ avrei sup« po$to 4 + /M4-wN=o, r-+-AMH-/N= o, onde mi risultasse T Equazione {h-hg M H-» N)jf 4- ( ii-h /M-f-fN )=o , e quindi avrei deter* minati pel ( N.° prec. ) , e poscia sostituiti i va- lori corrispondenti di M , e di N. Finalmente vo« lendo, che sussista la sola at, supporrò ^+^M 4-«rN=:o,r + i&M -4-/ N = o , e poi prosegui* rò il calcolo, come precedentemente*
11^. Se le Equazioni date sono quattro con quattro incognite al primo grado » e vogliasi una quinta Equazione con un' incognita sola , molti* plico le tre ultime delle Equazioni date per le indeterminate . M , N , P , in seguito sommo , co* me nei ( N.^ in, 112), tutte e quattro le Equa- zioni insieme , prendo nella Equazion , che rìsul- u , i coefficienti delle tre incognite 5 che voglionsi
p eli-
"4
elimiiKkre , li uguaglio allo zero , determino quin- di pel (N.* prcc. ) i valori di M,M,P, li so- stituisco , e r Equazione , che finalmente me ne risulta, non conténebdo che un incognita sola» quella sarà , che domandavasi •
Qualunque sia il numero delle Equazioni , e qualunque quello delle incognite , col metodo ac- cennato potremo sempre ottenere la chiesta eli- minazione j purché le incognite montino solamen* te al primo grado; che se esse lo superano , con* viene ricorrere ad altro metodo , qual' è il se- guente.
114. Date le due Equazioni
A^' H- B/^«4-CjF— *-hDjf—J-t-ec. = 0 ,
ay' + hf'^ -^ef* -^-df-* -+- ec. = o, nelle quah i coefficienti A,B,C, ec.; 4, h^c^ ec* non sono , che tante funzioni della x , elimi- nare dalle medesime 1* incognita jr.
Prima d* intraprendere 1* operazione conviene distinguere due casi principalmente; o 1» = », o or > » . Sia primieramente ««=:«, ed
Af 4- By^' -f- C^— * -+- D/-» -H ec. = o ,
af-\' by*-* ■+■ f y*~* -+■ JjT"» + ec. = o siano le due Equazioni date.
In questa ipotesi comincisi dal moltiplicare la seconda Equazione per A , sottraggasi dalla prima moltiplicjoa per a, e ne risulterà una terza , nel- la quale il massimo esponente sarà m — i . Di nuo- vo si moltiplichi la seconda delle Equazioni pro- poste per Ax>+B, à sottragga dall'altra molti-
plt-
11$
pitcata per 4^+^^ e ne nascerà una quarta » in cui m — I esprime^ il massimo esponente • In si^- mil modo moltiplicata la seconda Equazione per A4r*H-Bj(f + C, e sottratta dall' ahra moltipli- cata per ax^ -t-^^r + r, ne avrò una quinta pa- fimenti del grado m - i • Se continuerò la stessa operazione ^ adoperando successivamente i molti* pHcatori Aat^ ^^B;r*^-C jr-+- D, ax^ ^bx^-^ rx -^ Ji A jr4 -+. B ;r^ -4- C;r* + D;r + E , 4i;r^ + bx^ -^cx^-^rdx-^ey tQ.y fincbd essi moltiplica» tori divengano del grado w — i; è visibile ^ cbe oltre le due proposte > otterremo un numero m di Equazioni , ciascuna della forma «j^'^'-H^^*-* -h yjf*"* -h ec. = o , e in ciascuna delle quali non si conterranno che le prime «i — i potenze del- la j . Ora se si considerano tutte queste potenze , come unte incognite differenti del primo grado , abbiamo un numero m — i d' incognite > ed un numero m di Equazioni • Dunque coi semplici me- todi della Eliminazione dell' incognite al primo grado CN.^iti, 112, 113) potremo da queste ottenere una Equazione finale ^ in cui manchi to* talmente la ^ > come chiedevasi dal Problema • 115. Siano per esempio xy^ — 2 AT* jf* -+-7x^+Jr5 — 8 = 0, 5jp«H-5^y — jj^ + 3 A^~5Ar = « le due Equazioni date» Ridotte esse alle due A j5 H- By -t-Cjr-4- D = o ,
dopo aver supposto A = jf,B = — 2^*,C = 7Jir,
p2 D=:;r«
1
Il5
— 5 jr , moltiplico la prima per^fjla seconda per A y sottraggo i due risultati
Aayi-hBay'^ -bCdy-hDa^ o -. Aayi + è Ajf*-h^ Ajf-h//A = o, e ri-
tengo r avanzo (Bo— ^ A)y H- (C«— cA)jf
-H(D4 — </A)=o. Fatta in seguito la moltiplicazione delle due Equa- zioni date per ay-\-h^ Ay-hB^ e avute le due Aay*-h{Ba-hAB)yi-^(Ca-hBè)y* -+-
iDa+Ch)y-{-Dh=Oy A//y H-(B44- A*)ji» H-( Ac + B* )/ 4-
iAd-\-Be)y ^Bd = Oy sottraggo la seconda dalla prima, onde avere iCa-Ae)f-\-iDa — Ad+Cb'^Bc)y-h (Db - Bd) =o.
Moltiplico finalmente per <»jf*4-ij!-4-c, Aji* +. Bjf -4- C , ed ottengo Aayi'^{Ba-^Ab)y*-^{Ac-JrBb-^Ca)yi-h
(D4-4-C*H-Bf)/ +(D^-+-C<-)jf-f«
Dp = o, Arfy -+-( Btf + A^)y -4-( A f-f^Bi-f-C<»)ji» -4-
iAd-it-Cb'^Bc)y* + iBd-hQt)y -^
C </= o; sottraggo come sopra, e ne verini (D/»— A//)y-f-(D^-B//)jF+(Df-C//)=o. Suppongo presentemente Ba-bA-f^Ca-cA -g, Dtf — //A=A, Cb — eB-ii Db — Bd = k, "De — </C=/,j>* = r, sostituisco nelle tre Equa- zioni ottenute dalle sottrazioni > e avuti i risultati
117
^ »-4- ( A H- /)j>-f- i = o ,
elimino da questi la 2 , e la y ; li rìdaco pertan^ to pel ( N .• 112 ) alla (/-4-^P + AQ^) »H-
suppongo /+^ P+* Q=o , ^ +( A+* ) P+* Q.= o, ritrovo quindi pel ( N.® 1 1 1 ) P = f^_Tx\^ l >
Q= ^_j,»_j^ ; sostituisco questi valori nella
Ah-ìP 4-/Q,= o, e r Equazione
* + JTirpTTìl <' > o««
hiJt-iy''-tgkh—flb'¥fk*—fU-^g*l=ò mancante a£Patto di qualunque incognita , fuorché della X contenuta entro fé quantità/^ , ec. ,sarà essa r Equazione richiesta dair eliminazione . Per compiere ora il calcolo, non avremo che a porre in luogo della /, ^ > i& » ec. i suoi valori Ba — ^ A, Ca — f A, Di» - </ AiCC. ,e finalmente in luo- go delle A , « , B , ^) ec. , i valori Jf > 5 » — a ** > 6*, ec.
iitf. Suppongbiamo in secondo luogo i« > n ( N.** 114 ), e sia » = «— -p , cosicché le due Equazioni date divengano A^* 4. B^"-' -+- C^"*-* H- D j>'^3 4- ec. = o a y-t -\- h f^-t"^ -\- c^-f-^ -h df'~f~^-\- ec. = o. Moltiplico in questo caso la prima Equazione per « , e la seconda per kf , onde fatta la sot*
tra-
iiS
trazione di questa da quella « ui/ altra ne derivi , in cui il massimo esponente sii i» •— i . Moltipli- cata di nuovo la seconda delle nostre Equazioni per Ay^'-+-By , sottraggasi dalla prima molti<* plicata per ay-^h^ e ne avremo una quarta del grado f» — I . Ottenute cosi, oltre le due date, al« tre due Equazioni, sostituiscasi in esse il valore j»"*~' ricavato dalla a y"*'^ + h y"* :f~' + ey'^-f * + ec. = o in tutti i terminiTche contengono del* le potenze martori di Jj»"''"*;* per tale sostitu- zione ridotte avremo amendue quest' ultime Equa« zioni ad uno stesso grado m — / — i . Applico pertanto su di esse il metodo di eliminazione del ( N.** 1 14 ) , e r ultima Equazion , che risulta , pri- va della y sarà la richiesu .
117. Supposto «I = 3,»=:2,/=:i, siano per esempio
Jf 3* -h ^ X Jf — 8 Af* + f» = o
le due Equazioni date. Ridotte queste, come nel (N.°iij),a"cdue
A^ H- B/ -4- C^ -H D = o, ay* -\^by + r = o , moltiplico , come qu) sotto , in primo luogo la pri- ma di esse per 4, la siecondaper A^; secondaria- mente la prima per ay-\-b ^ la, seconda per Aj»* + Bjf , sottraggo , e avuti i risultarì (B4~*A)jr» +(Ci» — r A)^H-D<» = o, (Ctf — rA)jr»H-(Dii-4-C*— f B)^-HD*=o, sostituisco in es^, ovunque iì può in luoigo diy .
Usuo
H suo valore — — — . ricavato cUIIa seconda del- le Equazioni date , ne verranno così le due
(Ahc—Bae+Da*)y + (Ae*'-Cac'^Dah)=Of nelle quali la y non monta che al primo grado, e dalle quali per conseguenza eliminata quest' in« .cognita, ne verrà la
{Da*H-Ahe^Bac)CAhe-' Brfr+Di»») + (C#r— Ar»~-D«*)(A^» +C4*— A^r— B*4) = o , Equazione priva affatto della j^ , e in cui per conseguenza non dovremo più che sostituire in luogo delle lettere A , tf , B , 6 , ec. i valori corris- pendenti » ed eseguire le multiplicazioni accennate A 4 jf» H- B «jf» -4- C 4> + D 4 = o Aayi-\-hAf 4 tKy = o
* (B* — ^A)/ + (C4 — f A)jf4-D<» = o,
A4/H-(B4-f-^A)y-+-(C«-f-Bè)/H-
(D4»H-Cì)^-HD^ = o A«jf*H-(B4-f-^A)y-t-(f A-+-B*)/-Ì- f Bjf = o
'♦ * (C4— fA)/-l-
(Dtf-f-C^— «-8)^^4-0^ = 0'.
T18. Vani altri' metodi potrebbero esporsi di
eliminazione; noi però oltre il precedente, non
B* esporremo che un altro nel Capo, che sq;ue^
e ciò, perchè è quello, che con tutu esattezza ci
di-
120
dimostrale ci dà il grado , a cui deve ascendere propriamente V Equazione risultante dalla Elimi- nazione. Nei casi particolari poi alcuni metodi particolari ^ e alcuni artifizii non di rado si pre« sentano , per cui) deviando dal metodo generale ^ si può di molto facilitare il calcolo ; dì questo ne vedremo un esempio nel ( N.^ 122 ).
1x9. Potrebbe il numero delle Equazioni da- te esser maggiore di due, ed altrettante esser 1* in- cognite. Volendosi in questa supposizione un'Equa^ zione con un* incognita sola ; supposto k il nume- ro delle Equazioni, e così quello delle incognite^ facciasi da prima col metodo precedente scompa- rire una di queste da tutte le Equazioni date^ combinandole a due a due per modo , che ci d- sulti un numero k — x di Equazioni con altrettan* te incognite. In seguito da queste i — i Equazio« ni ottenute facciasi nel modo ìstesso svanire una seconda incognita, riducendosi in tal guisa sì le incognite , che** le Equazioni ad un numero ^ — 2 • Proseguo nella maniera medesima ad operare su
2ueste ^ — • 2 Equazioni , onde ridurle al numero — 3 con * — 3 incognite . Finalmente segu?- tando sempre ad operare nello stesso modo ^ e fa< cehdo così di mano in mano scemare di uno per volta si il numero delle Equazioni , che quello del« le incognite , è chiaro che per tal modo ci ridur* remo ad una Equazione finale con un' incognita sola^ come era stato domandato dal Problema.. 120» Grande è 1' uso della Eliminazione per
la so«
U soluzione dei Problemi pratici, come ti è ve- duto in tutto il decorso dell* Algebra; ma essa serve pur anche assai bene per la soluzione del Problema seguente.
III. Data un* Equazione, che contenga dei radicab', liberarla da questi.
Suppongasi ciascun radicale contenuto nell* E- quazione proposta uguale ad una nuova incogni. ta; e quanti sono i radicali, tante nuove Equa- . moni quindi nasceranno, le quali non avendo che due termini per cadauna, potranno sempre liberarsi dalla irrazionalità con elevarle alle dovute potenze; ciò fatto, e sostituite nella Equazion d». U in luogo dei radicali le indeterminate corrispon^ denti, onde convenire anche questa in una Equa- zion razionale, avremo così tante Equazioni ra- zionali più una, quanti sono i radicali supposti, e quante sono le nuove incognite . Eliminate dun- que col metodo insegnato tutte queste incognite, giungeremo ad un* Equazione priva delle medesi- me , e priva per conseguenza dei radicali , la qua- le altro non sarà, che 1* Equazione data resa ra- zionale.
121. Se per esempio y= '^a—Vxsisiì*E*
quazione data , supposto y/a=z, }/je=zu, a* vfemo le tre Equazioni razionali # = »» , ;e = «* ,
Jf =_ » — « > dair ultima delle quali avendosi %-y+u^ sostituito questo valore nella prima , essa diver- là * = (>4-*)* , o«ia '» = jf»-H3y#-+-3^«*
122
+ »' , ma t^r=.x i dunque sostituendo avremo
4=y + 3y«H- ly X +x #=jr3 4-3Jf Jf+( lf-\-x)uy
e però u— ~'^, ~^'^^..: onde finalmente sarà
;ir = ( — x^ " ) > Equazione , come si vede,
era le «^t^jfjtf, la quale, essendo identica con la
y = K ^ — V^ •*■> V^^ non contiene radicali . Il me- todo ora praticato , onde eliminare le 2^ , i^ dalle K = z^,x* = » 5J^=t25 — )^, vedesi che fa verifica* re quanto si disse suU' ultimo del (N.* iiS).
123. Acche 9 tolti i radicali dair Equazione data , elevasi essa di grado , cosicché per esempio
la y , che nella^ = y a — v^ jf ( N.^ prec. ) è al pri- mo grado, nella x = (^'"T^iTl^ )* ascende al
sesto ?
Conosceremo la ragione di questo osservando, che i radicali sono sempre essenzialmente tante fun« zioni multiformi ( N. 5 ) , e osservando , che tut« ti i loro valori devono contenersi implicitamente ( N. 5 ) nell^ ultima Equazion razionale , che ci risulta. Il proposto esempio ci rischiarerà la co«
sa • Essendo ya una funzione triplice della a^tVx una funzion doppia della x , ossia avendo la ra« dice terza di a tre valori , la radice seconda di x avendone due, dalla combinazione di questi con
quelli ne viene, che la quantità j/^— v'jtjepe*
rò
I
però la jf avrà propriamente sei valori diversi. Ma Y Equazione razionale ;r = (^~-^ '"^ ^-^V x
chiaro altro non essere infine, che 1* Equazione completa in y , di cui essendo radice in tutta la
sua estensione la l/a—y/x, vengono perciò ad esser radici tutti sei i valori di questa funzio" ne . Tale Equazione -adunque dovrà risultare del acsto grado. Un raziocinio simile a questo po- tremo sempre applicarlo a tutti gli altri casi •
CAPO SETTIMO.
Altro Metodo di Elìmmazione , e della Trasformé» %ione Relativa alle Funzioni Irrazionali .
X24«lZ/ssendo
Aji* + B^y*-» + C>"-» + D^*-» -4- ec.= o, ay* -ir hy"'* -+- cy"-* ■+- dy"-» -h ec = o le due Equazioni date, quali le abbiamo suppo* 8te al ( N.o 114), chiamiamo per semplicità di scri- vere P = o la prima, <i==o la seconda^ ma pri- ma d' intraprendere ad eliminare da esse la ^, ri- flettiamo i.<* che 1* operazione della eliminazione non può eseguirsi, se non nella supposizione , che il valor della \:ir, e della y sia lo stesso in amen- doe le P = o , CÌ= o , e però che determinata con q z Teli.
"4
r eliminazione l'Equazione con h sola jr,Ie»« dici di questa sostituite in amendue le P = o , Q,= o devono darci per jr un valore medesimo ^ 2.<* chela determinazione di questa Equazione in x viene ri* chiesta , senza che si conosca il valore delle radi- ci della P =r o , Q=o » e senza che si ricorra al- la soluzione di alcuna Equazione di grado mag- giore del primo.
125. L' Equazione di Eliminazione deve ugna* gliare il prodotto c^i risultati, che si anno dal primo Membro della P=o, sostituendo in essa suc- cessivamente i valori della y ricavati dalla Q.= o. Chiamati y' ,y" ,y"' , jf", ec., ^W questi valori, sostituisco il primo di loro nella P = o; essa di- verrà perciò un* Equazione contenente la sola x , e che supporrò P' = o j siano « , jS , y ^ ec. le ra- dici di quest'ultima Equazione, se ciascuna di es- se si sostituirìk nelle P = o , Q^= o , dovranno que- ste divenire due Equazioni in y aventi una stes- sa radice comune y' ( i.* N.® prcc. ). Pongasi in secondo luogo nella P = o invece della y k ji" , e chiamata P"=o V Equazione con la sola x^ che ne proviene, siano «' , /3' , y' , ec. le sue ra- dici; cadauna di queste collocate in luogo di x nelle P = o, Qr=o ci darà due Equazioni dota- te della comune radice y" . Così proseguendo a so- stituire nella P = o i valori y", y'^ , ec. , ci verran- no tante Equazioni P'" = o , P'^ = o , ec. in x , le cui radici «" , /S" , y" , ec; ce'" , §'" , y'" , ec. sostituite nelle P = o , Q[j=: o ci daranno corris-
pOU'
12J
pondentemente tante Equazioni, di cui saranno radici comuni le j»'" , y*, ec. . Ciò posto, che cerchiam noi con la Eliminazione? non altro di certo pel ( i.* N.^ prec. ) , se non quella Equazio» ne in x, di cui siano radici tutte le quantità «, fS, y, ec; «', jS, y', ec.,- «" , ^" , y" , ec. , ec. Ora pel (N.* 22 ) avendosi
P'=(jf — «)(;f-/S)(;r-r )....,
P"'z=r4r-«")(A— rXAT-y")...., ne viene
(A--.«")(x-|S")(A:-y")....
Dunque 1* Equazione P' P" P" P"". . . . = o quella essendo , che à per radici tutte le sovraccennate quantità «, 1? » ec. ( N.° 22 )> essa saia 1' Equa- zione proveniente dalla Eliminazione .C . «T. //•
116. Nascendo P' per la sostituzione in Pdi y , P" per la sostituzione in P di j^" , e così di seguito ( N.® prec. ) , ne viene , che il prodotto P'P"P"'P".... dovrà essere una funzióne delle y ,jr" ,y" yy'^ , ec, eà una funzione della forma /(y,y,y",y '..,.), dimostrandosi ciò facilmen- te con lo stesso raziocinio del ( N.° 105 ) . Dun« que pel (N.<* loi) essendo sempre una simile fun- cione determinabile col mezzo dei coefficienti dell* Equazione, da cui dipèndono ì^y' >y" >y" >cc. ,
seR>
senza che si debba risolvere Equazione alcuna di grado maggiore del primo , ne segue ,che la quan- tità P'PP'"P'\.... potrà sempre per tal modo determinarsi col mezzo dei coefficienti della Q^=o «
127» Eliminare la y dalle due
A^* -hBy'^^^ +• C^"*-* -+- ec. = P = o, a y^ ^ by"""^ -+- ry-* +ec. = Q= o. Poiché ritenute le denominazioni precedènti »
r Equazione p'p"p^"p'^ = 0 quella si è,
che deve nascere dalla Eliminazione ( N.^ i ^ ^ ) , e poiché il primo Membro di questa Equazione pel ( N,o prec, ) è sempre determinabile , senza ri* correre alla soluzione di alcuna Equazione digra- do superiore , come veniva difatti richiesto dal <2.^N.^ 124 )^ comincio dal sostituire nella prì« ma Equazione P = o le quantità indeterminate y , y" , y'" , jf'^ , ec# , moltiplico insieme gli n rfsul- tati P', P",P'", P'% ecjdal Prodotto P' P" P'"P'\ •., operando come nel (N.® 105 ) , escludo leji' ,y', y'^y^jcc, introducendovi i coefficienti a^b^c^ ec.^e il risultato ) che dopo tutto ciò ne provie- ne > uguagliato allo zero tormerà V Equazion do* mandata •
128. Siano per esempio A>,^ + B/H-C^ + D=o , ay^^hy^c — o le due Equazioni date^ i coefficienti A^a^B^é^ ec. delle quali siano funzioni qualsivogliano delle Xé Volendosi da queste eliminare la jr, sostituì* sco nella prima le quantità y' yy' considerate co« me radici della seconda ^ moltiplico fra loro i due
ri'*
«7 risulrati Ay* + By*H-Cy-f-D, Ay''+By'*-t-Cy' + D, e avremo il prodotto
A'yy" + A B (y*y >-f-y V*) -f-
y*y"+
AC2jfjf»4-ADSy+B* (yy')*+■BC2:^y-^ BD2/+c»yy'^-CDSJ^-^D^
Ma pei ( N.^ 3 1 ) 3 $ ) 41 ) abbiamo
''J — gì > ^jj* — ^»
2jfj»» = ^ ,:2i^y= ^. Dunque
sostituendo «riducendo , ed uguagliando allo zero, otterremo A* r» — AB ^r* + A C é* r — . 1 AC <i f*
BDtf è» — 2 B D4» f 4-C* tf' f— C D4* è + D» <i» = o , e questa sarà Y Equazione proveniente dalla Eliminazione .
129. Ciascun termine della Equazione di Eli* minazione deve esser formato dai coefficienti A, tf, ^ ih iCyCy te, delle Equazioni date P = o , Q_=o ekvati insieme ad un numero ftt-\-n di dimensioni. Invece di supporre risolta nel ( N.® 12 j ) T E- quazione Qj=: o , è di .supporre collocate succes- sivamente nel primo membro della P = o invece della y le sue 0 radici > potevamo viceversa sup-
por-
X2S
porre risolta la P = o, e collocate nella Q^='b in luogo della y le f» radici di questa; in allora replicato lo stesso discorso del ( N.^ 125 ), avreb- besi ritrovato nella maniera medesima , che il pri* mo membro della Equazione di Eliminazione de- ve esser uguale al prodotto delle w quantità Q[ ^ Ql'j Ql " j ce. Q}^^ ; ma questo primo membro è anche uguale al prodotto delle n quantità P', P", P'",ec.,P<"> (N.^ iz$ ); dunque verrà esso pri* roo membro rappresentato tanto da P' P" P"\.^. P(-) , come da QlQl' Q!"-- Qi'^ • Ora nel ri- sultato P'P"P'"..vP^"> è chiaro, che i coeffi- dienti della P = o devono dapertutto formare dei prodotti di tante dimensioni , quanti sono i fatto- ri P' , P ' , P" , ec. , P^"* , cioè un numero n ; e
jndV altro QiQl' Q^;' Q!") deggiono i coef-
jBcienti della Q^= o formare dei prodotti dì tante dimensioni , quante sono le quantità Q^ , Q[', Q^'"^ ec, Qf'^S cioè un numero m. Dunque il primo membro deir Equazione di Eliminazone dovendo in tutti 1 suoi termini contenere insieme i ooefii« denti della P = o ad ir dimensioni , e i coefficienti della (^= o ad m dimensioni , dovrà evidentemen^ te contenere sì gli uni, che gli altri coefficienti considerati insieme alle dimensioni x« + isr • C • ^. il» Così neir esempio del ( N.^ prec. ) V Equazio* ne di eliminazione contiene i coefficienti della pri« ma Equazione data a 2 dimensioni , quei della se* conda a 3 dimensioni ^ e ciascun termine poi in totale viene ad essere di 3 + a = $ dimensioni .
IÌ9
ijoa Espresso col numero b il massimo es« ponente della x contenuta entro i coefficienti A , B , C , ec* della P = o , espresso con k V espo* Dente massimo della x nei coefficienti a y h j r^ ec» della Q.= o, io dico, che il grado deir Equa- zione dì Eliminazione non può mai superare il numero hn-^km •
Questa è una chiara conseguenza del (N.^ pirec.)« Imperciocché essendo neir Equazione ài Elimina- zìone i coeflBcienti A , B , C , €C« uniti fra loro ad » dimensioni , non potrà in essi contenersi la X ad un grado maggiore di h n ; così i coefficienti Hyhy Cy te. venendo a combinarsi fra loro ad m dimensioni ^ la x in questi ascenderà al più ad un grado im« Moltiplicando adunque , come sì vede effettuarsi nella Equazione di Eliminazione, i ri- sultati , che si anno neir operazione dai coeffici* enti A, B , C, .ec. con i risultati , che sì anno dagli altri ayb^CytQyh chiaro che Ja x , fatta la moltiplicazione , non potrà infine ascendere tutt' ai più, che al grado hn-^ktn. Dunque €C.
Potrebbe però darsi benissimo , che l'Equazio- ne di Eliminazione risultasse di un grado minore di bn^km. CiÒ dipenderà dalla diversa combina* zione dei coefficienti A , B , C , «e» , e degli altri a^ by Cy ec. fra di loro«
13 !• Date le tre Equazioni P=o, Q.= o, R =: o con le tre incognite x y y y Zy eliminando da esse le due yy^y qual sarà V Equazione con la sola Xy che ne risulta?
r Sup*
Supponghiamo risolta Y Equazione R = o , con* siderando come incognita la sola ss , e siano »', %' ^t,'" ^ ec. le sue radici • Ponghiamo ciascuna di queste in luogo della z nelle P = o , Q^=: o , e chiaminsi Pi - o , Q^i = o , P 2 =: o , Q^t = o , P 3 = o , Qj = o , ec. i risultati corrispohdentu Supponghiamo y che vengano risolte tutte-le Q^i =:o, 0^2 = o , Q.J = o , ec. nella supposizione di ji so- la incognita, e siano
(oyi,/2,y"2,y^2,ec,
le rispettive radici. Tra queste radici sostituiscali* si quelle della prima riga nella P i = o , quelle della seconda nella P2= o, quelle della terza nella Pj==o, e così di seguito; i risultati, |che ne vengono, chiaminsi . ^^ P'i = o,P"i=o, P"'i = o, P'^i=o,ec., OJ) P'i=o, P"2=o, P"'2=o, P'2 = o,ec., 3=0, P 3 = 0, P 3 = 0, P^3=o,ec., ec. ec. , e questi , come si disse al ( N.® 1 2 j ) , troveremo altro non essere , che tante Equazioni con la so* la X y \t radici delle quali sostituite rispettiva* mente nelle Pr^o,Cti=:o,P2r:o, Qj =0, P 3 = o , 0^3 = o , ec. ci daranno in corn^pon* denza , tanto dalle Equazioni espresse con le P ^ quanto dalle espresse con le Q^i medesimi valo« lori (/) della ^ • Ponghiamo questi valori della j 9 e i corrispondenti della x nelle P=o,Q^=09
R = o;
R ==: o ; da tutte e tre queste Equazioni , repli- cato il discorso istesso del (cit. N.® 125 ) , vede- sì, che si ricaveranno gli stessi valori ^ ^%\x!'\ ec. della « . Se a cagion d' esempio , chiamata ot una delle radici della P'i = o , collochiamo questa in luogo di jr sì in P 1=0 , che in Q^i = o , tanto r una che T altra di queste Equazioni avranno la radice comuney i;e conosciuto il valore di que* sta 9 se porremo essa , ed et in vece di x nelle tre P = o , (^=: o , R = o , ciascuna di queste Equa* zioni conterrà la stessa radice % . In conseguenza adunque di tutto ciò le Equazioni (i/) conter* ranno separatamente le radici tutte dell' Equazio* ne di Eliminazione ( N.^ 1^2 5 ) , e quindi , per quan* to si è detto nel ( citato N.^ 125 ) , il primo mem- bro di tale Equazione sarà uguale al prodotto FiP'2P'3-..P"iP'2P''3-...P'"fP 'aP'"?.... P^P'^2P'^3....cc.
13 2. Se invece di risolvere le Q^i=o , Q^2=0| 0^3 = o , ce* 9 onde avere i valori (/) della y ^ risolte si fossero le Pi=o, P2=:o,P3 = o, ce* 5 e i valori , che ne sarebbero risultati della^, ai fossero sostituiti nelle Equazioqi espresse con le Q3 supposte delle denominazioni simili alle (J/), sarebbesi ritrovato , come nel (N.* 131 ) 9 che il prinK> Membro deir Equazione di Eliminazione
è anche uguale al prodotto Q^i 0^2(^3 •
. 1 Q^ 2 Q. 3 . ...Q,.i Q. 2 Q^ ^....ec. Egualmente , se nella considerazione dell' inco- pàXA ib y invece di risolvere la R = o risolta si ri . fos-
1
131
fosse r una, o 1* altra delle P = o, Q^=o,e si fosse in seguito proseguito il discorso medesimo del ( N.* prec. ) , ritenendo ali* ultimo 1* Equa- zione R = o , avremmo ritrovato essere il primo membro della nostra Equazione anche uguale al prodotto R'iR'2R'?....R"i R" 2 R'j....* R" I R"'2 R'g.... ec.
133. Eliminare dalle date P = o> Q^=o, R = o le due incognite jl , »•
Col metodo del ( N.** 127 ) elimino dalle P=o , R=r:o la « , e mi verrà 1' Equazione P I P 2 P j . » . . = o ( N.» 127 , 13 1 ) ;faccio 1* E- liminazione istessa dalle Q.= o , R = o , e pei ( citati N.^ 127, 131 ) otterrem 1* Equazione
Q.1 Q2 0,3 = 0. Ora supposto Pi P2 Pj
= T, 0,1 Qjs 0^3 ... ► = V, mediante lo
stesso (N.* 127) elimino la f dalle due T= o, V = o, e il risultatoT'T"T"'T''....= o,che ne otterremo , sarà esattamente la Equazione di E« liminazione domandata . Imperciocché , avendosi per la ipotesi
T =P'iP'2P'3...,T'" = P"iP"2P"3 ,
T"' = P"iP"2 P"3 ..., T'^ =P'' 1 P''2P"3 ...
ec. , sarà r T" T ' T\...=p' I P' 2 P' 3 ...P" I P" 2 P"3 . . . P"'i P"2 P "3 .. ..P'^ 1 P '^ P'^ 3 . . . ecec j ma pel (N.'»i3i) quest* ultimo prodotto ci es* prime esattamente il primo membro della chiesta Equazione di Eliminazione. Dunque ec.
Se invece di eliminare la » dalie due P = o ,
R = o,
R = o , e dalle Q_= o , R = o , fatta avessimo r Eliminazione istessa dalle P = o , Q^= o , e dal« le Qj= o , R = o , oppure dalle P = o , Q^= o, e dalle P = o, R = o, pel (N.® prec. ) si vede, che saremmo giunti sempre alla medesima Equa* none finale avente la sola x,
XJ4. Se vengano proposte quattro, cinque, ec. Equazioni con un numero corrispondente d' incognite, potremo su di esse applicare le stesse n£es5/oni dei (H.^ prec. )> e determinare così qual debba essere T ultima Equazione , in cui più non contengasi, che un*^ incognita sola*
135. Trasformare 1* Equazione «"-{-AJf*"* 4-Br"~* •4'Cjf"'-'-f-ec.=: o in un* altra, di cui sia radice la /( ;tf' )( r" )( x'" )....( ;c<"') ) funzione irrazionale»
Prima d' intraprendere la soluzione di questo Problema generale, prendiamo per maggior chia- rezza a considerare il seguente caso particolare. Sia AT* 4- A jr -h B = o 1* Equazione data , ed 4x'-{-if^x" la data funzione irrazionale . Faccia- mo in questa funzione tutte le permutazioni pos- sibili fra le x\ x" ; avremo ì* due risultati a x + ifVx" yax"-\'by^x' ,e questi, se la funzione fosse razionale , sarebbero tutte le radici della Tras- formata ( N.o 93 ) ; ma essendo la funzio.ne irra- zionale , entrano in essa a considerarsi anche i di- versi valori dei radicali* Affine dunque di avere tutte le radici , e però il grado della Trasforma- ta , converrà tener conto sì delle pcimutazioni ,
come
134 come ancora dei valori tutti dei radicali • Ciò pos« to j chiamo y V inco8[nira della Trasformata , sup« pongo ^ = ^jr' +^\/y , tolgo da questa Equa* zione per mezzo del ( N.® 121 ) il radicale Vx" , ed avremo , ciò fatto y* — z a x y -+• 4* or* - b^x'^ =:o# Nella maniera medesima supposto yz=zax" ^h>J x\ otterremo y^ —rax' y-\-a^ x'^ —h^ x r=o«^Ora la prima di queste due Equazioni ra« zionali in y comprende tutti i valori di quest* in^ cognita, che corrispondendo alla permutazione i»Ar'-+- hy/ x' dipendono dai valori diversi di \/jr" ( N.^ I2J )>e la seconda comprende tutti i valori corrispondenti all' altra permutazione ii or" + hy/x\ e dq>endenti dai valori di V^ :ir' ( cit. 2^.^ 123 )• Dunque in amendue queste Equazioni tutte com« prendendosi le radici della Trasformata 5 avrò la Trasformata medesima , facendo , ed uguagliando allo zero il prodotto dei loro primi due membri > facendo cioè y — 2 i« ( r •+• at" ")y^ +
(ii*(y*4-;r"*)-H4ii»y;r"~A*(jcM-y'))/ +
^-11^ ;c'» J^"* ~tf* i* (jt'i + y'3 )-4.i^ y Jr" = o. Considerando presentemente i coefficienti di qucst* ultima Equazione , veggo che essi altro non sono ^ che tante funzioni razionali delle x ^ x" della tot^ ma /( ^' , x' ) ; potran dunque sempre determi- narsi medianti i(N.^}i^g5,4i), Avendosi di* fatti2;f = — A,S;r* = A* -2B,2;r5=3AB -AS^'^"=B, ^x'x^=^x:Ex^^Xx^ — — ABj sostituisco > e determinati cosi i coeffi«
cicnti f
»35 denti» avrem ì* Equazione
jf^ -h 2 4 A ^» -f- ( 4* ( A *— 2 B ) + 4 4 *B -+. ^^ A ) y 4-(2tf^(A»--2B) +2 4»AB)jr-|-44B»--4*^* (3 AB — A>)4-MB=o,laqual€ non s»à che la .Trasfonnaca richiesta .
Poiché la seconda delle due precedenti Equa» zioni , cioè lay - 2 4 x" y 4- a* x"* - i* y = © al- tro non è, che la prima j»* — lax y-^a* x*
*^ *" = o , cambiata la x' in x" , ne segue , che ottenuta questa, potevamo subito- ricavar quella eoo la. semplice permutazione di x in *", senza liccorrere alla y=ax" -^b^ x\
1^6. Passiamo presentemente al caso genera* le propostoci nel ( N.* prec. ) . Sia la supposta fun- zione irr.azionale/( ;t' )( x" )( x'") (:r (*)) r= y;
n>lgo da questa Equazione i radicali , e ne verrìi ' un* Equazione in^ della forma y ■+■¥' y-'-hG' yt-* + H'j>^5 4-ec.=o, in cui i coefficienti F', G',H', ec. non sono rche tante funzioni razionali delle x-,x" , x'" , ec. dipendenti dalla /( x' )ix" )ix" ) ....(*'t*)),Ora invece di fare, come si è accen- ' nato sul principio del precedente caso particolare tutte le permutazioni della fix' )(x'' )( x'" ) . . . . (jr^")), e di trovare le corrispondenti Equazioni razionali ( N." prec ), facciamo per maggiore facili- ti , come si è soggiunto sul fine del ( cit. N.** prec. )> simili permutazioni nei coefficienti F' , G' , H' , ec, e chiamati F"-,G ",H'' >ec.; F",G"',H ",ec.ec., F<»>,G<'\H^»>, ce. i rispettivi risulwti, che ne vengono, siano, compresavi la prima,
yf-+-
il6
«e* ec.
le corrispondenti Equazioni « Se di numero tt sup- pongansi le varie permutazioni della/(r )(Ar")(V')
(^^""O) ^ chiaro che di numero tt saranno
ancora tutte le permutazioni diverse di ciascun coef« fidente F' , G' , H' , ec.> e però essendo in nume- ro TT le trovate Equazioni razionali y fino a tt giun^ geranno gli apici sovraposti ai loro coefficienti # Moltiplico fra di loro i primi Membri di tutte queste Equazioni {lll)yt faccio il prodotto^ che ne risulta
(ir)y''+My"''+Ny^*+py^»-4-ec.=o*^
Poiché r eseguire nella Equazioni (111)^ ossia nei loro coefficienti le diverse permutazioni fra le x' ^ x" y x" y ec. non altro effetto produce , che di cambiare Y una Equazione neir altra , ne segue evidentemente 9 che il prodotto di tutti i primi Membri di queste Equazioni , cioè il primo Mem« bro della ( IV) , ossia i suoi coefficienti M , N , P , ec. saranno tante funzioni delle x* , x' , x'\ ec tali 3 che restano sempre le medesime , qualunque permutazione eseguiscasi tra queste x , x' yx" , ec. , e saranno perciò tante funzioni razionali del« la forma /( x , x' ^ x"\ ... ;rH )• Ma tali funzio- ni sono sempre determinabili col mezzo dei coeffi- cienti A > B 9 C ^ ec. della data • Eseguisco pertan«
co.
»37
to simili determinazioni , e conosciuti così i coef« ficienti M , N , P , ce. , avremo detcrminata T £• quazione ( IF) , la quale per conseguenza non sa« rà che la Trasformata richiesta • Abbiamo già nel ( N.^ prec. ) un esempio di questa operazione. 121. Data la funzione ^=/(^')(^"X^'") '•• . .(x**^), per conoscere il grado della Tra« sformata 9 è chiaro , che basta determinare il nu« mero dei valori della y , che dipendono dalla mol« tiplicità dei valori dei radicali in essa contenuti ^ determinare il numero delle permutazioni fra le X j x' ^x'\tc. nella stessa /(^')( a*" )(jf"').,.. (r<**), e chiamato il primo di questi numeri /, il secondo Tt , il loro prodotto p n rappresenterà il grado della Trasformata . Se la funzione data fosse stata razionale » il solo numero 7r avrebbe rappresentato questo grado ( N.^ 92 ); quindi si vede y di quanto ascender deve la Trasformata 9 allorché la funzione proposta è irrazionale •
i4^>«N^UK
CA^
CAPO OTTAVO.
Della Determinaxiione delle Funzioni tra le radici
di una data Equazione Algebraicay difenden*
temente da altre Funzioni profoste fra
le radici medesime .
i3S*k)upponghiatno, che una data funzione rì* ducasi air espressione — , come per esempio U
quantità ^ J^ ^ 1, > la quale, qualunque sia*
si la a:, è sempre = — , oppure 1* altra
y. __^. — > ^^^"^ ** ^ voglia li valo- re nella supposizione di jr = ^ > ci risulta
J^ ^ = — • ^^^ q"*^^ ^^^^ " ^*'
lore di una simile espressione — ?
Sia — =»; sarà «il vero valore di questa e-
spressione, mentre moltiplicando la £ , la quale non è, che un quoto, pel divisore o, restituiscasi il dividendo, che è parimenti o;ma qualunque sia la », è sempre oX» = o; dunque potrà in ge- nerale la 2> avere un valore qualunque , e sarà sem- pre = — . Pertanto 1* espressione — sarà per se
una
'39
una quantità indeterminata , come è indetermina* ta la z ; e ciò è vero in generale s come nel pri« mo degli esempj accennati; ma nei diversi casi
particolari avrà la », e però T espressione —
valori panlcolari;così neir esempio secondo, men«
tre jc = ^ ^ la supposta frazione , e quindi la 2& = —
acquistar deve valore particolare , e acquista difat«
tìf come vedremo fra poco , il valore -~- •
139^ Abbiasi la frazione A X- + B x""-» -f- C x«-»-h ec.
. . ^ , , . 7-— = 25 , e supponghia-
mo , che posta la quantità » in luogo di x , la z divenga «^', e sia Aa"*+BA'"""* +Ca'^*-4-ec. = o ,11 tìt* -f. ^ a"-» + e ot*-* + ec. = o , cosicché
»' = — • In questa supposizione io dico , che sarà , _ w A ct^'^+ (111—1)6 (X'»-*^- (w-2)Caw-3H- ce.
Essendo oc radice delle due Equazioni AAr''+Bjr'^-'-|-C:c'"-*-f-ec. =0, ax^-hbx'"^ 4. r x^*~* -4- ec. = o , e però divisa la prima per A ,
la seconda per a, e supposto per semplicità ■— - = F ,
— = G,ec.; — = /» — =^^ ce*., delle due jr*
H- F r*-» + G x^-* 4- ec. = o, *•* 4-/;r«-» + i X*-* -+- ec. = o avremo pel ( N." 3 3 )
s 2 *>•
140
jt"» H- F ;r"»-' -^Cx'^* + ec. = ( Jif — « )
( x'^' + ( «-+-F ) *•-*+ ( «M-F «+G ) x^i -4- èc. ),
;r" -t- / ;c»-' -f- ^ ;t"-*H- ce. = ( Jf — * )
( Jc— '+(«+/) ;c»-'-l- («*+/<« +.^ ) Jf^-^+cc. ) .
Ora moltiplico la prima di queste Equazioni per
A, la seconda per 4, e in seguito divido quella pet
questa ; ciò facendo > giacché per la ipotesi abbiamo
A ( A-*+ F ;«■"'-' -f- G *"^* -H ec. ) =
A Jf" -h B y^" + C jr*- * -H ec. , a(x^-h f x'-' -f. ^ jf»- » H- ce. ) =
ax"-^ b x'-* + e x"-* 4- ce. y ne viene , che otterremo Ax^-+- B *«-' -4- C x*-» 4- fc.
a x" H- ^ 5t»-» + ex» * + ce. A (x*»- ' -Kge 4- P ) x*-*+ («' -4- F <« 4-G) »«— > -f» ec. ) ^
4(x»-«-(-( «4-/) ^"* •+-(** -t-Z^H-^ ) **-3-4-cc.)* e quindi si ricaverà io stesso risultato, ponendo « in luogo di X tanto nella prima, che nella se» conda di queste due espressioni della «• Ma pel ( N.® 6o ) abbiamo
«•«-'-f- (« H- F ) «— * -4- ( «* -f- F a 4- G ) «•-» 4- ec. = m oc^^ 4- (i» _ , ) F a"-*4- (m — i) G *•-' 4- ce., a— ' + ( « 4-/) a— * 4- ( «* 4-/« 4- ^ ) a* -3 4- ec.
Dunque sostituendo si otterii ' = A(<« 't*-! -Kot-i) Fot*-» 4-(«»--0G«y-*+ec.) ^ a (« «•-« + («—1)7* a»-» 4- (« — 2;^a«»-i4-cc.)' e finalmente moltiplicando rispettivamente per A, *, e ponendo in luogo di F, G,ec.;/, ^, ee. i valori corrispondenti, avremo
»' =
MI
Ha a*- ' -|-(j» — r) b «*-* +^ (» ~^) ^ a""^+ cc#
140. Mediante il precedente Teorema potre* ino facilmente determinare il valore della suppo* na frazione as CN.^prec^)» mentre per la sostituì
zione di ^ diviene = — ; a questo fine si moltipli*
chi ciascun termine si del Numeratore , che del Denominatore della frazione data pel proprio e« sponente; si diminuisca ciascun, esponente di un' unità ; avuto il "risultato*
I I —^—1 so^
««X*-» +(»-'i>Ax*-» +(0— 2)c*'»-3 + ec. '
stituiscasi in esso x in luogo ài x, e ci risulte* xà cosi pel ( N.° prec. ) il domandato valore di
, o
» =- • o
Per tal modo , affine di avere il valore della frazione ^TZTb^ supposta al ( N.'ij 8)
nel caso di jf = ^, eseguisco su di essa l'opera"» zione ora accennata, e risultandoci la quantità
, pongo m questa b m luogo di ^,
e otterremo cosi f^^TT P
sto valore*
141. Vogliasi in secondo luogo il valore del-
la fra-
14» la frazione ""f^ "V^ nella supposi-
zione di x=2 » Faccio la sostituzione del i , «
.... . , 8-12-4-4 _ o
poiché CI nsulta * - -_^g-pj^-^^ _ - .
eseguisco la precedente operazione, e sostituisco
il 2 nel risultato —1^^^— ; ma qui pure
ci viene »' = Jl^gl^^ó ^ "o ' *^°™* adunque faremo in questo caso ,onde avere il valore di z ? Suppongbiamo , che il risultato
^ ^ CIA
«<ix— »+(» — i^^x'-'+C» — 2)cx"-»H-ec.
o tale , che ponendo or = « divenga esso purc->
come appunto è successo nel nostro esempio . Fat- to in questa ipotesi lo stesso discorso, e le stes* se operazioni del ( N.** 139 ) > vedremo in eguai maniera, che ci risulta z' = (»»(«i— i) A«"^*H-(«»- i)(»«— 2) B a»"-» _}-(«, — 2 )(«B_ 3 ) e a— '♦4- ec.) : (»(» — i)i»A— * + (»— I )( » — 2) h «"-' -!-(» — 2 )(» — j)f «■-'♦H- ec. ) . Dunque per ottenere il chiesto valore , non avre»
mo , che a proseguire sulla -— 1 ope«
razione istessa del ( N.** prec. ) . Ciò eseguendo pei^ tanto nel nostro esempio sulla frazione '
^xalg^^+l^ > otterremo da prima V altra 12 ;na ^ 2A * ^ collocato finalmente il 2 , invece
j fi ' 12—6 6 11 della X y otterremo z = -^ = — = -2L .
48 — 34 14 7 Che se dalla sostituzione deir« nel caso gene- rale , e del 2 nel nostro esempio risulti ancora .
una terza volta questa espressione - , non avremo
che a proseguire V operazione istessa ( N/ prec. ) > e cosi in progresso y finché ne venga un valor de* terminato, e questo sarà il valore di z .
142. Proposta una funzione qualunque t =
/(^')(:f")(^'") delle radici della data
^ 4- A jr*-« + B ^'""* + ec. = o , determinare di« pendentemente da questa il valore corrispondente di unVltra funzione qualunque ji = cp (x)Ì Ar")(;r'") *•«• delle radici medesime.
O le due supposte funzioni, t y y y data la pri« ma y incognita V altra, sono. due ìunzioni simili , e razionali ( N»^ 4,5 ) , o sono dissimili , e irrazio* nali • Prendiamo da principio a considerare il prì« mo di questi casi; ma prima di accingerci alla soluzione generale di questo Problema, affine di render la còsa più chiara y e più facile y appli* chiamo la soluzione istessa al seguente caso par* tìcolare •
i43.DatarEquazione;r^+A;r»-|-Bx*+C=^o, le cui radici sono x'yx'yx"'yC data la funzione
144
/= x'-{- x" , vogliasi determinare dipendentemente da questa la funzionej-= jr'jir"siraile, come si vede ai» la prima/. Essendo tanti i valori delia t, quanti i cor- rispondenti della jf ( N.* 4 ), chiamiamo *'= *'+jf", /" = x'+ x"\ #'"== r"-t- x"' i primi ,cy=x' x'\ y ZZ.X Xy y :=.x X 1 sccondi , per modo , che /corrisponda a /, y" a /' ,y" a *'", e sia /»H-//*-Hf *-(-r=o i* Equazione , da cui di- pende la /; converrebbe ora pel ( N.» 105 ) de- terminare i coefficienti /, ^ , r ; ma già dal ( N.® to5) sappiamo essere/ = 2 A , ^= A* -+- B , r=A B — G , e /J-t-2A*»+ (A»4-B)/ -f-(AB — C) =0 r Equazione in / . Ciò fatto , affine di determi- nare » come chiedesi dal Problema , i tre valori della y dipendentemente dai corrispondenti della
(l)y-t-y'H-y" = H»
y y ■+■*'>" 4- ry"=H
Hi
Essendo queste evidentemente tante funzioni del« le x\ x\ y" della forma /(;f',;r",y" ) .saran- no pel ( N.» IO! ) le quantità H 1 , H 2 , H 3 de- terminabili pei coefiìcienti della data , senza la so* luzione di alcuna Equazione ^i grado maggiore del primo , ed in realtà avendosi pei < N^* 9 1 , 41 ) y'-^y'-^y'" = x x"^ x' x'" + x"x"' = B,
/'y 4- /"y '+*">'"= (x'-^x")x'x"+{x-hx"'')
* jc "-+- ( x"+ x"^' ) x" x"'= S X' jr» =3 C-A D,
145
'V+'"*y'+'"'v-(*'+^")**'*"+(^'H-^"')*
x' y "H-<y'4- x" )* x" *'"= 2 *' xi H-2 27:;*= A* B — J A C , ne verrà
H c=B,H2 = jC — AB,H3=A*B-5AC. Detenninace così queste quantità potremo me- diante la Eliminazione ricavare dalle Equazioni (I) il valore delle »' ,jf" ,y" espresso per mez- 2o delle t' y t" , /" .
Tacendo la Eliminazione con i metodi ordina- rj, nella espressione di ciascuna delle y , y'-\y" entrerebbero tutti e tre i valori della t ; onde se n volesse , che nel valore di y' entrasse soltanto t' f in quello di y" si contenesse solamente f" , e in y" solo /'" , come in realtà domanda il Pro- blema ) converrebbe ricorrere ad altro metodo affatto diverso dai comuni , e tale sarà il seguen- te. Moltiplicata la prima delle (I) Equazioni per . un' indeterminata K i, e la seconda per un' altra K 2 , si sommino esse insieme con la terza , cosicché ne risulti 1* Equazione
(II) (K i-H K 2 /'^ /'*)/+ (K 1+ K 2 /"-t- t"')y"-^- (K i+K 2 *' "-h*"'* }y"'= H i K H-H 2 K 2H-H 3, e da questa apparisce» che potremo ottenere il valore per esempio di j>' , se K z , K 2 vengano determinate in maniera, che i coefficienti delie jf"» y'" uguaglino lo zero , poiché in cai caso ne viene
lim _HiKiH-H2K2H-H3
Supponghiamo ora K 1 + K 2 *+/* = T , ed c- sprimiamo per T' , T" , T" i valori particolari dì T
t cor-
14^
corrispondenti alle supposizioni di ; = /',/•", t"^ , onde, sostituendo , r Equazione precedente divenga Ty +r '/ +T 'y ' = H I Ki + H 2 K2 H- H 3. Supponghiamo inoltre, che T diventi zero, se facciasi / = /", oppure /=/'", per modo, che t'\ t'" siano radici della ^4-K2/ + Ki = T=o. Questa supposizione è chiaro che dalla (//) ci produrrà V Equazione (J//),e però servirà per la determinazione della y' • Moltiplichiamo ora L' Equazione T= o per t — ^', ne verrà V aJtra
rr- K I ^' = o avente per radici tutte e tre le quantità / , ^" 9^'" i essendo questa adunqtie iden« tica con r altra t^ +//*-t-f ^H-r = 0 , col pa* lagone dei termini omologhi ci darà le Equazio- ni K2—/'=^,Ki — K2/' =17, — Ki ^'=r;edà queste otterremo K 2 =^-f-/ , Ki = f +/^'H-^'\ L* ultima delle tre precedenti Equazioni dandoci
Ki = ~-- , ed essendo *' radice della
*^ +//*^H-f r+ r=o, onde sia ^'5 4-^/* + ^*'
-+- r = o , e però /'* +p ^' 4- ^ = — -, si vede
che tale ultima Equazione sarà identica con Tan* cepenultima 1 Moltiplico presentemente la K i pei H I , la K 2 per H 2 , e avendosi
HiKi = Hi^H-Hi/^'-hHi/'S
H2K2=H2/ + H2/',
H3=H3,
al numeratore del secondo membro della (ITI) di«
vcrrà
M7 verrà (H i f-f-H 2 ^4-H j) 4- ( H i^-f-H 2 ) /' -h H I /* , ossia N /'» 4- P/'H-d, chiamati per semplicità N , P , Q^i rispettivi coefficienti .
Abbiamo così espresso il Numeratore del secon- do membro della (III) col mezzo della t\e di quantità cognite . Venendo ora alla determinazio- ne del denpminatore T, osservo che abbiamo T(/ — /) = ^»H-//*H-f /-hr, e però
^~ r+7 ' °"^*^ ponendo /' in^ luogo
di ti si ottiene
T jrzT' =^T* I^"nq««pcl (N.*
140) sarà
T' =
__3 »'*-+- 2 pt'-i^q _^
I
= 3*'*-H2// + 5r,cquin-
di sostituendo nella (///), avremo
Ora il discorso , che abbiamo fatto sopra *' , ed y' , i)otcasi fare egualmente sopra *" , ed ^" , sopra /"',edy". Dunque sarà ancora .,_ lit"'+?t"-\.Ci , ,„_N»"."-f.P<^'H-Q.
e togliendo gli apici $ saia in generale
Sia per esempio x* —-^ x* - ior-f-24=or Equazione data, in cui si à *'=4,y=2,*r"'= — 3. Essendo A = - 3, B = — io, € = 24, otter-
t 2 remo
148
remo /» = 2 A = — <? ,f = A*+B = — i , »• = A B — C = 5 , e quindi ^J - 5 ^ - ^ -4- tf = o , E- quazione , nella quale /' = tf , /" = 1 , t =: '— 1 • Ricaveremo inoltre Hi=B = -io, H2 = 3C — AB=42,Hj = A* B— 5 A C= 270, e però N = Hi=: — IO, P=H i^+H2=io2, 0^= H I ^-t- H 2/ 4- H } = 28 . Dunque sostituendo sarà
— IO** -+- I02»+28 j
« = , — - , e supponendo success
y 3 »* — 12 » -I ' ^'^
sivaroente ^ = ^ » i » r- 1 , otterremo
^ "" 108— 72 — I *
, - 104-1024-28 __
3 — 12 — X
,10,102 + 28 _ _ ^ ^j,„e appunta si ' 3+12- 1 ' \^ ^^
vede dover essere » giacché abbiamo jp x^ =: 8 , XX =—12, a: X = — d.
144. Passiamo presentemente alla soluzione generale del nostro Problema ( N.» 142 ) nella sujh posizione per ora , che / , ed ^ siano funzioni si- mili, e razionali . Essendo
( /r) /* 4-/ ^"- * -+- f ^""* + 4- « /* 4- •» # -4- » = o
r Equazione i» fdererrainata, come nel (N.® 105),
dalla funzione data /( x' )( x" )( x'" ) (x^"^ )
( N." 142 ) , ed essendo f' , /" , f"' , ec. , /<•"> le sue radici, sianoy' , ¥",J'"', ec. ,^^") i diversi valori della
y = (pix)(x")(x'") (Jr<'^), prodotti dalle
diverse permutazioni in questa funzione , e pel
\
149
(N*93 ) corrispondenti alle varie pcrftiutazionì della /, cosicchèy corrisponda a t',y" a f",y"af"\ ec.Se noi presentemente formeremo tra le^',^", y", ec. , j>(*> tante Equazioni tutte di primo gra- do, come le (/), è chiaro, che pel loro mezzo potremo , servendoci della Eliminazione indicata al (N." 143 ) , ottenere i valori di y espressi pei cor- rispondenti di / , e quantità cognite , e giunge- remo così alla soluzione del Problema. Suppon« ghiamo perciò le Equazioni y-f-y -{-y'" ^-y'^ -^ 4-y-)= H I ,
t'y'-^y'y"'^f"'y'"-+t' y '+ . . . + /W^o = H 2 ,
t'y-h /:'*y'-+/"*y"+/"'*y' 4-.../w»y')=H3,
in t"y-hf"'y"-^ /"''y"-l-/''*^'»-f ... /W»^(-) =H 4,
-4-/(«)-»y-)=H(.»).
Conservando i primi membri di queste sempre Io stesso valore , qualunque permutazione si faccia tra le x\ y, jr'" ,ec. , giacché per simili permuta- zioni i termini per esempio t'^ y , t"^ y" , t'"* y" , ec. non fanno che cangiarsi fra loro , e per conse- guenza la loro somma t'^y -\rt"^ y" + t'"* y" + ec. resta sempre la medesima, e così dicasi degli al- tri, ne viene, che questi primi membri venendo espressi , come nel ( N.^ 143 )» per mezzo delle x' , y ,jc"' , ec. , e però i loro valori H i , H 2 , H 3 , ec. saranno tutti determinabili pei coefficien- ti A , ^ , C , ec della data , senza sciogliere £qua«
zio*
15©
zkme di grado maggiore del primo<N.* loi ).
apposte pertanto determinate le quantità H i , H 2 ) H 3 , ce. , come precedentemente , proseguen- do il calcolo siccome nel (N.°i43 ), moltipli- chiamo la prima delle Equazioni ( V) per T inde- terminata K I , la seconda per K 2 , la terza per K g , fino alla penultima , la quale si moltiplichi per K ( » — I ) , e si sommino poscia tutte insie- me j otterremo così le Equazioni ( K 1-+- K 2 /' -+- K 3 /* H- K 4 ^ ' ' -h . . . . -(- K ( » - I ) /'"-* + / '"-* )y' -+-
(Ki4-K2*"-f-K3/"V-4-K4/'»-+-
+ K(»- 1 )^"-* -+-/""-')/' 4- (KH-K2/"+K3/"'*-+-K4^"3 +
(Ki4-K2/^H-K?/'^'-f-K4/'*^H-
+ K(»- i)^'^-»4-/'^»-')y'-H
» •• +
(KH-K2/W4-K3/W»h-K4*Hj-|-
-4-K ( » — 1 ( /<")"-* + /(")—' )^<'') = = HiKi + H2K2 4-H3K3+H4K4 + ,„.;
+ H(» — i)K(»— i)+H(»), ossia supposto , come di sopra (N.o 143 ) ' Ki-4-K2r+K3if*-f-K4*s + ....-+-K<»— i)*-* -f./'-szriT, avremo 1* Equazione
(ri)T'y + T"y' + T"'y'H-T"^y'+...-4-T<*)y")
= H X K I -+-H 2 K i+H 3 K 3 4-.. . + H (*— 1) K(»- i)-f-H(«).
Affine ora di determinare la y' , converrà , che le K t , K 2 , K 3 , ec. siano tali , che rendano T" = o>
MI
T = o , T" = o , ce. , TW = o , ossia che ne venga 1* Equazione
(ni)T = Ki -+- Ki / + Kj /» + . . . . 4- K( » - 2 ) /-t + K ( » — X ) /»-« +/— I = o, nella quale la / ab- bia per ràdici le #",*'", ec, *(•) .In tale ipotesi dalla precedente (K7) avremo
(17ll)y = (H I Kn-H 2 K2+H3K 3 -H...
-f H(«— OK(»^— 0-hH(«)):T'. MoJtiph'co la T = o pel binomio / — ^' ,ne ver- rà i* Equazione T.(/— /') =0 avente tutte le radici /',/', r'" , ec. , /W , la quale perciò saA i- dentica con la /*+/*'"'+ ^ /"-*-+- r/*-' -4-... 4-«/* +'i»/rt-»=o, ed essendo T( t —t') =*• H-(K(»-i)-*')/^«+(K(»-2)-K( »-!)/)
/•-*4-(K(« — j)—K(» -2 )*')/— »H-
H- ( K2 — K5 /' ) /» -4- ( Ki — K2 * ) / - K I /, come si vede dalla ( TI ) , si avrà , paragonando insie*
ne i termini omologhi ,
K(»— I) — #'=^,K(»— 2) — K(« — i)/'=f, ^C»~ 3)— K(» —2)^' = r,ec.,K2- Kj^'=«, K I — K 2 *' r= i>,— Ki *' = », dalle quali Equazio- ni tante di numero , quante sono le indeterminate K I , K 2 , K 3 ) ec. più una , ritroveremo > come nel
K (»-i) =/ + #',
K (»— 3) =r + ^/' +/*'»+/'>, ^
l
152
Ki = '»-h*/'+ -¥rt'"i-^qi*-*-^
L* ultima di queste Equazioni si dimostra nella stessa guisa del (cit.N. 143 ) essere identica con la penultima , onde, tenendo conto di questa» essa può trascurarsi.
Moltiplico le quantità K i , K x , K j , ec. per le corrispondenti H i , H 2 , H 3 , ec. , verranno i rì« sultati . HiKi = Hi»-+-Hn>*'H-Hi«*'*-l- 4-
H I r /'— ♦+ H I q /'— 9 -4- H I / *'— *4- H 1 *'•"%
H2K2 = H2t;-HH2»/'h- +
• H 2 r/--J-|-H 2 ^/—'» + H 2^/— J-I-* »*'•-% H3K3=H3»-+- -hHzrt'^^
Hj^^'-J+Hj^/— 4H.H3/»-»,
H(*»-'3)k(»~3) = H(»-3')r + H(»-*3)'f«»'
-fH(»-3)/>/'»-|-H(»-3)/'', H(»-2)K(« — 2) = H(»-2)^ + H(»-i)/»'
-+-H(»-2)/'*, H(»-i)K(»—i) = H(»-i)/-hh -0#', H(«) = H(»).
Sommo in colonna, e supposto per maggior semplicità )
Hi
4-H(«-OfH-H(» — r)^4-HC»)=Z, Hiv-k-H2u-^ H-H(«- i)a
H-H(»-2)/+H(»'-i) = V,
(IT);
HifH-H2g'+H3/-t-H4 = R, Hi^4-H2^ + H3=:Q^
Hi = N,
vedesi , che abbiamo
H I K 1 4- H 2 K2+H 3 K 3 -f- . . . . -f-H (»-l) K (» — i)-f-H(«), cioè il numeratore del secon- do membro delia ( Vili ) , siccome nel ( N.** 14? ì.
= N/'-'4- p/'--* + Q^/'-j 4R/'--» 4. . .r;4-
U/'-f-V/' + Z. Per determinare il denominatore T' (r/7I), ©pe- lo come nel (cit."»N** 143 ); e avendosi perciò
T(*— /)=/"+//*-'+ jr/-»+r/*-3H H
»/*-+-*w/4-», e quindi
fatta la supposizione di / = / , ne verrà T' = — ;
o
sarà dunque pel ( N.* 140 ) esso denominatore
T = ni"-' -h (» — I )f /"-* + (» — 2 ) ^/'-» 4-
(» — 3)r*'"-'»4 4 2«/4-«i'.
Sostituisco questi valori del Numeratore , e del
Denominatore della ( r//J) ,e otterremo finalmente
u y =
154
y ' = ( N /'— ' + P ^'•■"* + Q^/'— 5 H- R *'*-^ . . . • 4- a^'* +V/H-Z):
Ma come jp' corrisponde a /', così ji" corrispon«
de a ^" , jf'" a ^'" , ce • Dunque togliendo gli apn
ci sarà in generale
(M) »= (N /»-'-+-?/""-*+ Q/— '-hR^-^ + .... 4-
U/MV^H-Z):
(»^'~' +(»— !)/>/— * + (»— 2)^ /•-^-H
-^ Equazione , dalla quale si avranno tutti i valori y yy'\y" \ ec. , ponendo successivamente ^' , /", ^'" , ec. in luogo della / , come era stato richiesto « ^ 145. Dalla soluzione presente si vede ^ che
" se / ) ed jf sono due funzioni simili , e razionali ^ si potrà sempre ottenere razionalmente ciascun va* loredellajf pel corrispondente della tj e pei coef- ficienti A ,B ^C , ec. della data » determinando da prima nella maniera accennata V esponente n , e i coefficienti p^q^r ^ ec. della ( IV) , determinan- do in secondo luogo le quantità Hi^Hi^Hj^ ec. delle ( V) , sostituendo in seguito sì i primi , che le seconde nelle Equazioni (IX), onde ave- re i valori delle quantità N , P , Q^, ec. , e ripo- nendo finalmente nella ( M ) e i valori delle N ^ P 9 0.9 ec. » e quei delle m^ p^ fy^j ec. • Riflet- tasi nella precedente ( M ) , che come y dipen- de da t' , così y dipende da *" , y" da r, e così in progresso »
14^.
»55
145. Siano le due funzioni t , y razionali ^
e dissimili fra di loro , essendo i .2.3 . . . i« == rr
(K.® 9!^ ) » o il numero dei valori di^ è summul*
tiplo dii ff , e quello; dei valori di / è uguale a tt;
o essendo « il numero dei valori di jf , è summul-
òplo quello dei valori di ^ j o finalmente amendué
questi numeri sono summultipli di tt. Nel primo
df questi can ottiensi la soluzione del Problema
(N.'° 142)) operando nel modo istesso dei ( N.*
144 ) . Sia per esempio jt* -+- A *• +- B = o ]' E-
x' quazione data , e sia /'=--;;, jp' = x' -f- x" . A-
Vendesi nella /• -4-^/+f =0,/ = — ~— , f =1 ,
ed essendo H i = jr' -\-y" = — 2 A , H 2 = t' y -t-
„ „ lAB-f-A* -
/ y ■=. g , ne verrà
2AB — A^ ^,A/ 5
j,= ' Ip-T— .^^««
»'-^ 5—
- 2ABf- 2ABH- A' .
J' = ""TB7+rrrìF"~»* ponendo successi-
'y' - k % h
vamente in luogo di t ì valori /' = -7= '" "'',,
y" A — b
/" = — = __^ -^> supposto per semplicità
V'CA* — 4B)=i, avremo
u 2 y =
1J5 ' — ^A'B-^t ABft-H2A*B4-ìAB&--A^-A>& _ y " — zAB+zBA— 2AB-2BA+A3+ A*i "" — A( — 4 AB-4-A^-fA'fe) __ - -4AB-f-A3 4- A«6 ■" " — ^A> B-t-ìA BAu+.2A»B-^2 A B&~A-*+A>& _ J' "" -2AB-2B&-iAB+zBi>+AJ-A*6 -~''^'
147. Che se il numero dei valori diversi di t sia summultiplo di 9r,e quello dei valori di y u« guale a ff, per conoscere con maggiore chiarez* za , come potremo in tal caso sciogliere il nostro Problema ( N.<* 142 ) , prendiamo a considerare da prima il seguente caso particolare •
Sia t una funzione della forma /(jt' , x") ( Af'" )(y ) .... avente per conseguenza un nu-
w mero — di valori ( N.* 99 ) , e sia
,"=f(x',x"'Xx"Xx '')...., t"'=:f{x\x'^\x"Xx")..,.,
/"=/(x",y"X^'X*" )....,
ec.
Supposto , che la 5) ( x' )( x" )) x'" )( x'") : ;
ci esprima la funzione y avente un numero it di valori diversi ( N.° 92 ) , abbiasi
y =<^ix'Xx"Xx"Xx"')....,
y"^(^ix"Xx'Xx"'Xx"') ,,
y "= ^ ( a:' xO(*"X^" )....,
y'=(l.(0(Ar'XAr"X^" )....,
IJ7
/'=(p(y''X^'X^"'X^")....,
ce. ce
Vogliasi ora dipendentemente da ciascun valore della t , per esempio da t' , il corrispondente valor della y ( N.° 142 ) . Poiché per la permutaziojie di x' in x" la /' resta la. medesima, e dalla jf ab- biamo i due valori y' > jf" , e poiché le simili per- nutazion} della y a quelle si vogliono corrispon* denti della t (cit.°N.°i42 ), ne viene che alla sola / corrisponderanno le due y , y" , e tanto y , come y" dipenderanno in egual modo da que- sta stessa t' ^ Dunque nella soluzion del Problé- ma non essendovi ragione , per cui debba restar determinata piuttosto 1' una delle y, ji" > che 1' altra , ne segue ^ che dipendentemente dalla /' non potranno tali quantità che venire determinate amendue nel medesimo tempo ,^ e dovranno esse per conseguenza essere amendue radici di una stes- sa Equazione di secoindo grado . Sia y* -hg' y-^b' = o una tale Equazione ; avendosi g'=. — (.y'-^y" )$ V =y y" , e però essendo sì 1* uno , che 1* altro di questi coefficienti funzioni della forma /(y ,jf") , resteranno, essi i medesimi pel cangiamento di y' in y"; ma simile cangiamento nasce dal permuta- re in y = (?(*')( a:" )(;c"')(x-").... la x' ìn.x" . Dunque sostituiti in /,£' invece* di y,y' i lo- ro
15»
ro valori , questi toefficienti diventeranno due fun^ zioni razionali delle jf', x\ x'\ x^ y te. della forma (p' ix\ x"){x''}{x^) .... ^ e simili però amendùe alla t' ( N*^ 4 ) ; potremo pertanto col metodo del ( N.^ 144) mediante / determinare razionalmente tanto g , come y .
In egual maniera %i dimostra , che le due quan«> titày ^j'^dipendono da una Equazione ^*-+-^"jf -Hi&" = o^ ove i coefficienti g' ^ h' sono funzio* ni della forma (p' ix\ ;t'")(;t")(,r^).»,.,e quin* di determinabili razionalmente dalla s\ come i coefficienti g ^ V lo sono dalla / ; le due y^ ^ y' dipendono dalla il*H-^'"jf H-i&'" = o , avendosi g\ A'" funzioni della forma (f)' ( V , A-'^)(r'" ){x' ) • • • • • I e determinabili perciò nella maniera^ mede« sima dalla /"; e così di seguito. Dunque espres^ se in generale col mezzo della ( M ) le quantità gy h mediante la r, se in luogo di quest' inco** gnita sostituirò poscia le radici /' , ^" , /'" , /'^, ec. , si otterranno in tal guisa successivamente i valori g iO ig 9» ig »i ig >h ,ec., e qacsti ri- posti nelle y* -+•/ r -h & = o , »* H-f" y 4- i&"=o ,
daranno con la solusfione di queste Equa2Ìoni i valori delle y ,y^ ,y"' ,^'*, ec. , che richiedcvansi dal Problema . £' chiaro , che le ottenute Equa-
zioni in y di secondo grado sono di namero — .
148. Sia per esempio x* +;t*4-j;f — 2 = 0 r Equazione data, e sia t=.x' + x" la data fun-
zio-
2Ìone , e vogìmry — x' — x" . Avendosi w = 3 , A=i, B = 3,C = — 2,er Equazione in * es- sendo /» +ft* + f / -f- >•= o , avremo pel ( N-* uo j ) ^ = 2 , f = 4 , »' ^ 5 . Ora / à un numero
— = 3 di valori , ed jf un numero ir = 5 ; dun- que a ciascun valore di / due corrispondendone ài yj ne viene che questi dipenderanno da tante Equazioni , quanti sono i valori della t ^ cioè da tre Equazioni della forma y^-hgy-hb^o. Sia y "^g ¥ H- A' = o r Equazione ^da cui dipendono ] due valori^ =-x — ^ ^y =jr— jr comspon*^ denti alla sola j^' z= jt' -+- or" . Poiché abbiamo
A' =yy" = — ( Jf' — *"")*,!» nostra Equazione si ridurrà alla y^ +b' —o ,c quindi non sarà neces* sario che determinare la b' , Avendosi pel di- mostrato nel ( N.** prec. ) la À funzione simile al« U f, suppongo pel ( N.** 144 ) le Equazioni
b'-i-b"'\-b"' = Ki,
b't' + b'f"-^b"T = Ut,
b't^+b"f"*+b't"'* = tìi. Ricavandosi da. queste Hi = i5, H2= — 37, H j = 28 , avremo N = i<5 , P == — 5 , Q,= 18 ( N." 144 ), e però sostituendo nella ( M ) avremo
■~ 3i»4-4« + 4
Pongo ora quivi successivamente le tre radici t\t" fi" in luogo della t , e cpnosciuti cosi i tre valori k' , b"t b'" f ne veiianno le tre Equazioni
i5o
y 4- it' = o ,y 4- A" = o,y 4- h'" =: o, dalla solu- zione delle quali otterremo tutti e sei i valori
y ^y iy ^y > «<^* ^.
140. Se invece di «sssiere ,=:/(y,x")(A:"'X*'^) (N.*'r47). i va- lori di t fossero 5tati uguali fra loro a due a due per un* altra pernuitazione qualunque, fatto lo «tes- so discorso, avremmo ottenuto in egual maniera un
numero - di Equazioni inj» di secondo grado aventi
i coefficienti espressi razionalmente pei coefficienti della data, e pei corrispondenti valori della t*
150. Che se nelle permutazioni i valori del- la t riuscissero -uguali fra Joro a tre a tre ( N.' 98 ) , facendo lo stessoxaziocinio, e operando come pre- cedentemente, si troverebbe , che i ^ valori delU
y dipendono da -Equazioni della forma/ 4-0*
»^ ^ «_(-;= o , ove i coefficienti g^h^ i sono de- terminabili razionalmente col mezzo dei valori cor- rispondenti della ./, e dei coefficienti A, B,C, ec. Se la funzione t avesse i proprj valori uguali fra loro a quattro a quattro, i varj valori della
s dipenderebbero allora da — Equazioni ciascu- na di quarto grado , i cui coefficienti sarebbero tante funzioni razionali dei rispettivi valori della r, e dei coefficienti della data»
In generale se X esprime T esponente di ugua- glianza tra i valori della /, cioè se i valori della
/so<
l
lÓt
t «ODO fra loio uguali a X a X , si ritroverà in
allora i valori di 4 dipendere da un numero r- di
Equazioni del ^rado X 3 e della stessa natura del« k precedenti.
151. Supponghiamo nuovamente ^ che le fuiH xìoqì t^y siano simili, ma supponghiamo inoltre^ che in conseguenza dei valori paiticolari delle x\ jr" 3 Jt'" I ec. due solamente dei valori della t^ per esempio i due /' , /" riescano nel primo modo accennato al ( N.^ 9) ) uguali fra loro j per la de« terminazione in tal caso delle due quantità jf" , y dipendenti da un valore medesimo /"=/'" facen* dosi lo stesso discorso del (N.® 147)1 converrà per queste sole due quantità formar T Equazione di secondo grado j* +g'jf-4-i = o, e in seguito determinare mediante /' i coefficienti g^ b^ come nel (cit. N.^ 147 )•
152. Data sia per esempio 1* Equazione
^1 - 5 ;r* — 4 AT 4- 20 =: o , e sia / = — ;7r ,
X'" ' x" ^
, = ( ;c' - x" )S onde abbiasi *' = ^ , *"=
y ' = ( jf" — jp^" )» , Essendo in questo caso / , ed y funzioni simili , istituisco il calcolo del ( N.*
144 ), e ottenendo 1* Equazione /» •+-—*• -h « lì*
i6i
33 /+ 10=0 , in seguito Hi = 74 , H z = — - — , H3=^^, e finalmente N = 74,P = ^,
0,= <?32 , avremo y = -^ .
Ripongo in questa espressione i tre valori / , *" , t"\ e dovrei così pel ( N.» 144 ) ricavare i tre y , y", y" ; ma vedremo per la precedente osservazione così non succedere. Avendosi jr' = 2 , Jf" = — 2^
y" = j, ne verrà /' = -—^ /' = -s ,»'"== -^S- Sostituisco il primo di questi valori , e ci risulte^
ii U i = I6i
1(5 , 108 4 _. ,,
3X H -7- X — -i_ 4- 3 3
^* 1 6 108
M 5 . 5 colloco r altro , e ricaveremo
248'2
74x25+ -^x-54-<53i ^
y'= 71T8 — — — = T = *9
3x25-4-— X — 5-+-33
(N.° 140 ) .Ora abbiamo in tal guisa ottenuto ben- sì il valore della y' , ma non già quello delle y'^ y" , poiché è facile a vedersi , che deve essere y = i5, ^".= 9» y" = 49 • Come dunque ope- reremo ^ onde ottenere dalia /^" =/'" = — 5 que*
sti
ffi due valori y >/"? Suppongo perciò TEqua^ zione jf*-h^y + i& = o,e rinnovate sui coeflScien» ti ^, b le operazioni del (N.^ 147)» troveremo essere questi uguali a due funzioni della /^e dei cot fiìvienti della data , nelle quali supponendo ì^t* =r'" = — S > ricaveremo^ = — 58,|p = 44f« Sostituisco questi valori , e T Equazione y — jSjf H- 441 = 0 risolta ci darà le due radici y"=ig^
Jf =49-
ijj. Nella sttsiii guisa del ( N.^ prec. ) se a cagione di certe relazioni particolari fra le x ^x\ x" j ec. tre dei valori della / riuscissero uguali fra loro, se per esempio fosse /' = ^'"=/^, la determinazione delle corrispondenti y , jr'", y^ dipenderebbe dair Equazione di terzo grado y^ H- gy^ H- i jf + # = o , essendo i coefficienti gyb^ i determinabili razionalmente per /", e i coeffi- cienti delia data . Lo stesso si dice , se per la stes« u ragione quattro dei valori della / fossero ugua« li fra loro, e così in progresso.
154. Ma come faremo noi per conoscere , se V Equazione T = /• 4-^ /-"* H- q z"^* H- ec. = o à due,o più radici uguali fra loro? Potremo fa« cilmente dedurio dai seguenti Teoremi*
i.^ Suppongfatamo , che T Equazione generale Jt* H- A Jt^-' H- B jc*-* ^- ce. = o abbia due delle sue radici uguali fra loro, che sia per esempio « = /J( N.*^ 21 ); in tal caso il risultato «a"»-» + (»— i) Aa--» 4-(i«— a ) hotr-^ + ec. del (N.^do) dico che dovrà essere uguale allo zero •
X 2 Que-
1^4
Questo è evidente dal ( cit,« N.* 60 ), owee- vando, che abbiamo !«<«•■* -4-(i« - i ) h.»*'*-^ («r— 2 )Bie^» 4- ce» = (« — ^X« — rX* — ^)
^2." Se Vrèdeìle radici della **-4-A jr'^'+ B x*"* + ec. = o sono uguali fra loro , cioè se sia « = ^ = y , dovrà essere uguale allo zero non solo la quantità m «*-« H- ( »— i) A a"-* 4- ( «»— 2) B jK*->4- ec. , ma anche 1* altra «r ( 1» — 1 ) «*"* -+- (« — iX«-OAa-J'^(i«-2X«-3)B«'^*
-f- ec.
Giacché abbiamo « a""^ -f- («»— 1 ) A «*"* H- (» — 2)B«— »-t-ec.=(«— ^.)(«— yX*-^) (« — >7)...., è chiaro che la «» x»-' •+-(« — 1 ) A X—» -f- ( « — 2 ) B ;r"-*+ ec. = o sarà un* Equa- zione avente due radici uguali ad « . Dunque pel ( i.** prec. ) replicando sulla m x^^ H- ( « - i ) ^ x"*-* + («- 2 ) B x'*-^ -4- ec. = o r operazio- ne istessa , che si praticò nel ( N.** .tf o ) suJJ» x'^-\- h *'*"' -h B ;r*-*H-ec. = o , troveremo facil» mente , che deve risultare in{m — i) «"*"* 4- i*^" ') (>»-2)A«'"-»-l-(i« — 2X» — 3 )»«'"■'''*' **^* = o . Dunque ce. ' ,
3.** Se sia «=jS = y = J , oltre i due risultati del ( 2.® prec. ) dovrà essere uguale allo zero an- che il terzo i»(w— i)(w— 2) a"*-» 4- ( » -" * ) («-2Xw — 3)A«"-^ + (»« — aX»»— aX»-"'») Ba^-J-f-cc.
Ciò si dimostra nella maniera medesima del ( prec. 2.® ) ; e così si prosegue nei casi di cm* que , sei , ec. radici uguali . 1 5 5 •
I5j
i$5. Riportando o» queste proprietà alla T=o, se nella ipotesi di^ = /" vedrò risultare n /*-« H-( » - 1 )/ ^— • 4- (» - 2 ) f /-- J + ec. , cioè il denominatore della ( M ) uguale allo zero, dirò che la T = o à già due radici = t'; dirò che essa ne à tre , se nella stessa supposizione di /= /" , oltre H t'"^ + ( « ~ I ) / /"""' -h ec. vedrò che di^ viene uguale allo zero anche »(;f — i)^*~*-f- (» - 1 )(»— 2 ) A/— ^ + (n — 1 )(«- 3 ) B/— -• H- ec. , e cosi in progresso • Dunque nel primo caso, onde avere i due valori di y, che corris- pondono a t!' , supporrò V Equazione y^ -^gy^ i=: o , nel secondo, supporrò y^ ^gy^ -+- by -i-i = 0^ e cosi di seguito .^
155. Per isciogliere finalmente il nostro Pro* blema (N."^ 142 ), nelL' ultimo dei tre casi ( N.^ 145 ) non avremo che da servirci del metodo indicato ai (N.^ 147, 149, 150, 153 ) pel caso .secondo. Imperciocché quantunque i valori diver* si della y siano di un numero summultiplo di tt^ pure considerando in essa y tutte le permutazioni possibili , è chiaro che tenendosi così conto di tut« ti i valori di questa funzione uguali , o disuguali fra loro , risulteranno essi di numero tt ; ma , come vedemmo succedere rapporto al primo caso ( N»^ 14^ )3^' esistere dei valori della y uguali non por- ta alcuna variazione nella soluzion del Problema ( N.^ 144 ) • Dunque qualunque variazione nascen- do soltanto dair uguaglianza fra i valori della /, ossia dall'essere i valori diversi della / summul-
tipll
166
tipli di ir, «e viene che, generalmente parlando, questo terzo caso devesi perfettamente ridurre al
secondo . ' ■ i t
157. Finora abbiamo supposto, che k tun- zioni t , y siano razionali ; passiamo ora a consi- derare , come possa sciogliersi il nostro Problema ( N.** 144 ) , mentre una , o amendue queste fun- zioni sono irrazionali. Se sia incommfnsuri.bile la f , t non già la y , ritrovata pel ( M "* 1 36 ) l' E» quazione in ^r, le operazioni da praticarsi per la determinazione delle y sono perfettamente le me- desime, che quelle dei (N.» 144, 147, 151 ) «av- vertendo però , che qui pure siccome nei ( N.' 145, 156) da' diversi valori della t anderan . risultando dei valori della y uguali •
i5«. Cangiata nelle Equazioni (TU) del ( N.» igd) la ^ in i , è chiaro che tutte kp tf dici della prima di tali Equazioni non ci daran* no , che un solo valore della nostra jr ( N." 144 ) » il valore per esempio y ; tutte le p radici della Equazione seconda ci daranno solamente il valo- re y" ,- tutte le radia* delia terza ci daranno il so» lo jr'" , e cosi di seguito .
159. Supposta pertanto la / della formt /(jr',jif",y ',....#<*>), sia essa razionale , o ir» razionale, se vorremo dipendentemente da questa determinare i tt valori delia y ( N.* 146) , è e« vidente dai ( N.* 145, 157), che dovremo sem- pre cadere a dover risolvere un' Equazione in y del grado k, in cui tutti si conterranno questi w valori* 160»
t6^
i6o. Essendo razionale la / =/(jr' )(*•")
( x" ) ,<!upponghiarQO incommensurabile la
jr = (p ( jf' X x" )( x" ) , ed esprìma f* i\ nu- mero dei valori diversi , che nascono da quesc* ultima funzione per le diverse permutazioni fra le x'yX-",x"'^ ec. Tol^o sul bel prìndpio dal- la supposta jf = ^ ( jf' )( x" X *'" ) • • • «gli irrazio- nali ( N.<* 135), e ottenuta così 1* Equazion ra- zionaky -h Py-' ■+• G' y^* + H'y-» -f ec. =^ o ( N.**!^^), prendo a considerare in essa il coef- ficiente F'. Essendo quésto coefficiente pel (N.* ij 5 ) una funzion razionale delie x , x" , x'" , ce. adente dalle permutazioni un numero fi di va- lori diversi , ricerco con i metodi precedenti ( N.* 144, 147, ijo ) il valor generale della F es- presso con la /; trovato questo, suppongo suc- cessiva tiente /=*',/" ,*"',ec., e per tal modo è chiaro che ci risulteranno i coefficienti F',F", F' ', ec. della ( /) ( N.*» 135 ) . Considerando in se- guito gli altri coeffi.-ienti G' , H', ec. , poiché es- si non sono che tante funzioni deUe x ,x" fX ^ ec. simili alla F' , e razionali (HJ* igi?) /soppres- si gli apici , esprimo mediante la formola gene- rale (M) (N.* 144 ) ciascuno dei medesimi col mezzo della F snelle espressioni , che ne vengono» suppongo poscia F= F', F!' ,F"', ec. , e otterre- tao così i valori degli altri coefficienti tutti G' , G" , G", ec. i H', H'', H' ',ec. ce. Sostituisco que- sti nelle Equazioni (lU) del ( N.*» ijó) , e de- tenninace in simil guisa tali Equazioni , la loro
solu-
i5«
tt>luzione i valori ci somministrerl^ domand«ti del- la jf .
x5i. Data per^sempio I* Equazione x* — j *•* —IO x" + 24 =o del ( N.® 143 ) , in cui abbiamo flf* =4, x" = 2 ,af"' = — ^, e supposto /' = x'+x", vogliasi y=^x' jc"-+- 3 ^ x"\ Togliendo pei ( N.* prec* ) da tjuesta ultima Equazione i radicali , ne verrà «*— 2 x x" y -h r* x"* — 9 x" = o , onde avremo E ' = - 2 r x" , G' = <• r * - 9 V ". Cet^
cando ora da / il valore di E» osservo che abbia-
f mo X *" = — --; dunque senza fare tutto il cal- colo del ( N.o 144 ) , giacché pel ( N.» 106 ) 1* E- quazione in -* si è^ la /' — ^/' — / -4- 5 = o, dal
( cit. N.® 14 j ) ne viene, che sarà =
=:i2il±i2£i±i!.e«,6F =
31* — 12/— .1 "^
zo I* — 204 1 — <6 . .
^ i- ; sostituisco quivi successiva-
31* — 12 «—I ^
mente i valori/ = 5, *"= i,*"' = — 1, e ot- terremo E' = - 15 , E " = 24 , E " = 12 .
Affine presentemente di determinare i coeffi- cienti G'><r",G" 'sformo l'Equazione in E, cioè la E» -4-/ P -f-f E -4-y = p , essendo / = — 20 , ^ = — 288, >' = 45o8,* ma abbiamo Hi = G'-t-G"-+.G"' = 2i7, H2=EG'+E'G"-hE"G '=ij<5«, H3 = P"G' + F'*G" + F""G ' = 5»5872, e perciò
N =
l6^
N=Hi = «i7,
P= H i/ + H2=r — 1772 ;
Dunque sostituendo nella formola generale ( M ) ^ \ i- - "!?*•" 2772F-4-2015 . .
**'^ ^ = 3F>->4oF->288 ^ ^ «ponendo m luogo della F i suoi valori ^ otterremo G' =91 , G" = lid, G"' = o* Pertanto le ( /// ) Equazio* ni del ( N.^ ijtf ) diverranno nel nostro caso
+ i2jr = 09 e i sei valori della j^ che dalla so^ luzione di queste si ricavano ^ quelli saranno 5 che nchiedevansi dal Problema.
162. I valori dei coefficienti G', G", G"', ec; H' , H" ^ H'"^ ec. ec. non si potevano essi pure de«* durre immediatamente dalla /, senza ricorrere ai valori della F ( N-^ 160 )? Per la sóluzion del Problema non solo è necessario conoscere i va« lori tutti bielle G^ delle H» <c.; ma bisogna di più tra questi conoscere qualison quei, che cor« rispondono ai valori diversi della F • Ora se F ^ / sono funzioni simili » in tal caso è chiaro dal (N.* 144) 9 che troverò il valore per <esempioG' corrispondente ad F' , tanto deduceodoio da f\ come da F' ; ma se F , ^ sono due funzioni dis- simili 3 cosicché al solo valore /^ due o tre ne cor* rispondano della F ( N.^ ^47 ) 9 risulterà in al- lora per la sola F' un' Equazione di secondo , o terzo grado ( cit. N.^ 147 ) ; ora essendo G una funzione simile alla F ^ se vorrò dalla / ricavare y il
170
il valore G' , ritroverò per esso pure un* Equa- zione di secondo, o terzo grado 5 è le radici di questa corrisponderanno alle radici della Equazio* ne trovata per F» Ma da queste due Equazioni determinate potremo noi conoscere precisamente quali sono i singoli valori della G, che a quei corrispondono della E ? E' evidente ^ che nò . In conseguenza adunque di questo abbiamo stabilito nei ( N.® 160 ) , che ciascun valore della G de- ducasi dal corrispondente della E ^ e che k) stes- so pure si pratichi rapporto agli altri coefficienti ri , ec« »
itfj. Resta finalmente a considerarsi il caso ^ in cui amendue le funzioni ^,jf suppongonsi irra* zionali . Ora V essere la / incommensurabile non porta ,coroe si osservò nel ( N*"" 158 ) ^ alcuna va- riazione nel calcolo ,• dunque tutta la variazione dipendendo soltanto dalla irrazionalità della y , ne segue , che quest* ultimo caso riducesi infine to* talmente all' altro del ( N.^ 160 ).
Prima di terminar questo Capo , fa d* uopo » che dimostriamo il seguente Teorema.
1^4. Col mezzo di un solo dei valori della funzione t=f(x' )( x" )( x" )( Jr'^ ) • . • • . • 3 tutti possiamo determinare i valori della funzione y = tp(x')(x")ix"')ix')
Siano per ora le due funzioni / , y simili , e razionali , e i diversi loro valori provenienti dal* le varie permutazioni siano i seguenti
/ =
3
• • • •>
171
*' =/(>^' X*" )(''")(*") >
y =(pix' x^"X^"'X*") ;
'" =/(^"XA-'XA:"'Xr-) ,
y =(^(x")(x'Xx"'X^'') i
r=f(x"'xx"xx xat'^ )..'...,
y"=<p(x"X^"XxXx"') >'^=/(jt'x*"'X*"X^"')....
y-=^(y X*"'X*"X^"') 5
f' =f(ix"Xx"'Xx' X^n ,
y =<p(x"Xx'"Xx'Xx") ;
,"=/(;r"'X*'X*"X^'M.... /' = <^ix"'Xx'Xx"Xx"') ce. ce.
Mentre nel (N.° 144) abbiam voluto dìpenden* temence dai valori della / trovare quei della y , ab» biarao nella determinaefone delle quantità Hi, H 2 , H 3 , ce. cotnbinate le funzioni t' , /" , /'" , ce.; y' >y" yy"'y «e. tra loro in modo, che cor- mpondendo /' ad ^' , e però *" ad y".,t"' ad/", ce.» ne è risultata la (M)tale, che al sostituite di /' si ottiene necessariamente y' , al sostituire *" d Jk jf" , al porre / = /'" ne risolta y" ,, e cosi dì seguito . Ma è- chiaro , che potevamo da prin* cipio supporre, che a t' corrispondesse non già y' , ma bensì y' , in allora a /" avrebbe corrispos- to jr' , a t'" avrebbe corrisposto y* , a t'^ , y^' , ec. j e fatte le Equazioni
ce. ec.
avremmo coi noti metodi ottenuti certi valori del* le Hi^Hi yH^ jCCji quali ci avrebber condot- ti ad una Equazione ( M ) tale , che facendo suc« cessivamente / = /', /"^'"'j^'^j Wf ne sarebbe risultato corrispondentemente^ = y' ,/ , f ^f* % ec; onde in questo caso mediante / si avrebbe avuto jf" • Se a /' si fosse supposto corrispondere y, in allora a ^", avrebbe corrispostoci a^'% y > a /'^ yf , ec. , e operato come precedentemen- te, saremmo arrivaci nel modo di prima all' Equa- zione ( M) , nella quale ponendo i valori t' , t' % t'*' yt , ec. , ne sarebbe successivamente risultato y = J^'" > y 9 y ^y^j ce. ; e però da f' avremmo ot- tenuto il valore y". Proseguendo così a suppor- re , che a #' corrispondano le funzioni, che restano^ y'^ 9 y y y , ec. , vedesi che potremo mediante la stessa^/' determinare ciascuna delle y ^y" ,y" ,y\ jT >y^' jcc. , trovando però corrispondentemente ad ognuna di q^ieste tante nuove Equazioni della for- ma della (M). Dunque ec. ^ Che se le due funzioni / , y .sono fra loro dÌ9« simili , o sono irrazionali , il Teorema si dimostra nella maniera medesima.
155. Avvi un caso, il quale sfugge dal pre« cedente Teorema, e tale si è quello, che segue» Sia/'=/(jr')(V')(:r'") (;r^'>),esia
co-
«71
cosicché ni'uiu delle radici esistenti nella funzione y entri nella funzione /',in tal caso io dico, che essendo Je x\ x'\ x"\ ec. radici di un*^ Equazion generale (D), dalla t' non potremo dedurre il valore della y ,
Se far n potesse una simile deduzione , doveo- do risultarey =/(r') ( N.* 1 44.)$ esister dovreb* be un rapporto tra queste quantità y , /' * Ma le x\x\x"\ ec. , *<"•> essendo radici di un* Equa> zione generale, detono prescindere da qualun* que relazione fra loro. Dunque le radici compo* nenti la t' essendo tutte diverse dalle radici del* la y' , non potrà neppure considerarsi , che esista alcun rapporto tra le t\ y medesime , e non po« tra per conseguenza dalla /' dedursi la y ,
166, Se restando /=/( jr' )(*•")( Jf'" ) .... (x^^ ), abbiasi y' = x ; esistendo in questa sup- posizione la x nella t' , esister dovrà un rappor- to tra essa x =zy' , e la /' , dunque in questo ca- so sarà quella sempre determinabile da questa, e potrem quindi sempre ottenere y' = x. = /(/')• Dal ( N.» precedente) è chiaro, che non potremo già eseguire una simile determinazione > se sia y = ;r(**»>.
157. Ritenuto t'-f{x' )(y' X^'") .. . (*^*^),
supponghiamo *' = (}>(;«•')( ;r<^^»> )( x'^^»^ )
(;r<*>). Cercando pel (N.*prec.)sì dalla /', che dalla u il valore della x\ giunger potremo alle due Equazioni ^ =/'(/'), *'=/"(«'), e pe- rò
174
rò air altra /"(iìr')=/\^'). Ma questa sciolta, considerando la ir' come incognita , ci somministra evidentemente ù ==/'"(/' ) • Dunque quando nel- le due /, ù esiste una radice comune x , e mol- to più quando ne esistono varie , T una funzione in allora è sempre determinabile dall' altra.
\6%. Facendo nella y del (N* itfj ) le va- rie permutazioni tra i diversi valori della ^, una di quelle eseguiscasi , per cui in essa s' introduca ii« na , o più delle radicf , x , x' , ec. x^^^ ^ facciasi quella per esempio di jr^^"*"'^ in x' , e sia
y' = (|>(;f')(;r<^-^*>)(rf^-^5)) {x^"^). Poi-
che pel ( N.® prec. ) questa f è determinabile dalla t\ ne viene evidentemente, che se da essa / non è deducìbile la y (N* 165)» pure Iosa- rà sempre uno , o più altri valori da essa dedot- ti , come nel caso presente la f > e per conse* guenza qualunque siansi le funzioni t ^y^ avrà sempre luogo la soluzion del Problema del ( N*^ 142 ), e avrà pur luogo il Teorema del (^N.* 154 ) , ogniqualvolta. dai dato valor della /, cioè da t' quei valori si cerchino della Jf ^ in cui esiste uim> o più delle radici esistenti nella t iscesa*
>fri>i©ci^/*^
CA'
»7$ CAPO NONO»
Alcune Trofrìetà delle Radici reali , ed immaginarie nelle Equazioni Algebraiche .
\6g. Supposta im* Equazione di grado pari **• H- A Af*-« + B r**-*4-ec. = o , e fatta con le sue radici una funzione della fornm r=fUx\ x\ x"[, ;tW)-(;tC^O,
;rt««) , ;r(»-^a) , x^^") )) , in cui le
x<*^«), ;r(-^*), jr(-^3), co, jr(»r) siano combinate fra loro, come lo seno fra loro le x\x'\ at'", ec. , Jt<*) , come sarebbe, per esempio nella ipote- si di j» = 3 , la r =(;f 'H-A-"+x"' )-(;t'^+ A-^+ x^') ; i valori di questa io dico, che sono tutti fra lo- ro uguali a due a due, e jdi segno contrario.
Trasportando nella r tutte le radici contenute sotto la prima parentesi entro della seconda , e le radici della seconda trasportandole entro della prìma , ne verrà la funzione / ( ( ;^t-^*), x(-^*>, x("-^-3) ^....xi*"))
-(jr', y, x"\ xM)), t neir esem- pio la ix"' + x^-hx^')-(x'^x"^x''');m^ qucsfà è uguale evidentementemente alla suppo« sta , cangiatone il segno . Dunque due dei vaio- ri della r essendo già tra loro. uguali, e di se- gno contrario , rinnovato il discorso del (N.^97), troveremo^ cht anche gli altri tutti aver dovran- no
l^6
no la proprktS^ jnedesima ^ e però ec«
170. Ne segue adunque , che i valori della r sono di numero pari, € giacche questo numero
1*2» ^ • • m m 9 • 9Ì • 1^» 2 fj •••••li^
— ^ ,■ ." ■: ;: CN.« 102 ),clua*
mato esso per brenta z u, avremo
«(2« — l)(2» — 2)....(ll4-l)
w = H-i = numero in-
riero, e i valori tutti della r si esprimeranno per
Nel caso di ir = j avremo w = ' ^ =i io • ^ 1. 2.3
171. Renella r lasciamo, là .x*' sempre al suo^ luogo, e facciamo tutte le possibili permutazioni' fra le altre radici, f valori , che ne vengono, pof sono rappresentarci i precedenti u^ valori r i r" •»
T , ce» , r •
Con la operazione ora supposta non venghia* mo , che a determinare una parte di tutti i pre« cedenti 2 w valori della r , e quali essi siano ^ pren« diamo presentemente a considerare • Restando per la ipotesi la x immutabile , le quantità c^ permu* tarsi nella r diveranno in numero di in— i . Ma per la forma della r , il numero delle permutazio^ ni fra le 2i!f — 1 radici è
177
= -i ^^ ( N.» IO» ) .
Dunque essendo questo risultato = w ( N.** prec. ) , di numerow saranno i valori , che ortengonsi dal- la r.per le permutazioni supposte. Di più restan- do la x' sempre al suo luogo^ e però sempre po- sitiva , nessuno di questi ta valori può giammai es- iete uguale , e opposto di segno ad un altro qua« luoque dei medesimi. Dunque ec. •
Facendo »= 3 > giacché ne viene w= io (N.* prec. ) » avremo nel solito esempio ( N.** itfp )
r'" = (y-4-;r'-|-r"')-(y'-hy'-H;r*'), r"' = (x'^x"-^x'") ~( x'^-h x^-^- x"),
r^"=(x'-^x"'hx")-ix''-hx'-i-x"'), r'""-(x'-^x'^-^x'')-ix" + x"' + x'''), r" = ix''hx^-hx'")-(x" + x''+x"), r'=z(x' + x'' + x'")-(x"'-hx"+x"'). 172. Se vogtiansi nella r lasciare nel loro lo^go le due «•', x" ^ e permutare tutte le altre 18 — 2 radici , che rimangono « i valori, che ne derivano, «sdiranno contenuti fra i precedenti r', r" , f" , . . . . »■<«> ,e dal ( N.« 1 02 ) è chiaro , che il loro
... ^_(2l»— 2X2l»-~^)....3 .2.1
I.2.3...II.I.2>3.». {«-—ij z (IM
i7« (^n^^X^H^^^).,..{n^lJ ^^^ precedente e
sempio tal numero diviene =4, e i corrìspon* denti valori sono r^ r ^ r ^ r •
i7g. Cangiamo la x in x" in tutti gli m v&« lori del ( N.^ 171 ) • Per simili permutazioni altri di questi valori restano perfettamente i medesimi^ e tali sono gli accennati nel ( N.^ prec. ) 9 ed al« tri pel ( N;* i6g) non fanno perciò ^ che cangiar* si fra loro , cangiando nel tempo stesso di segno* Ora volendo determinare il numero di questi «1» timi valori, sottraggo dal Numero
yalore ^^*^ iXii~2)(2» — ^ ).>-(«+ 1) ^ I • 2 • 3 (^~* ^ )
(W^ 1X211^ 2)(2I» - ?)'>*>(«4- X ) _ '
1.2.3 (* — ^)
(2» — I — ;»H" 1X2» — 2X2 if-~.3 )*>»>(»+ I )
I.2.3..*.(ii-*IJ *"
0(2» — i)(in — 3)>«**(»+ I )
I .2. 3 • • •• • (il — I )
, , : TI — Tn wrà il richiesto •
,I«2«3 *•"*(**" ^/
Nel nostro esempio , a cagione di ar = 3 , questo
2 numero sarà = 2 -^ =^ • ^
^ 174.
>79
.74. Il ritrovato ..\.;...(.- ,) '
è sempre un numero pari •
Suppongo m — 3=^,»- i=f ; avendosi quin- di con la sottrazione n — '=^?~f> e però n=f—iq - 1), «-+-!=./ - iq - 2 ), sostituis- co questi valori nel numero
^2J 7^ j ^ , ed esso diverrà
7C/^-iXf-2)...(p-f^)(>-(j-i)) ' — r^""l ^: • Ora
I • 2 • J • • • • ^
dalla sola ispezione della formola Newtoniana ve- desi altro non essere questo numero , se non che il coefficiente del termine ^+1 esimo di un bino* mio a'\-b elevato alla potenza f . Dunque do- vendo tutti i coefficienti della formola Newtonia- na essere numeri interi , tale sarà anche il numero
1 . 2 • 3 • • • 9
ossia ^ 2Ji 2J. — i-- — i» . e però il pre-
1.2.g...(»— -2) ' *^ ^
(2« — 3)(2« — 4)...C»H-i)i» cedmc 2Ì 1— -^--———i-oonsa-
rà , che un numero pari • C . d . d •
175. Se facciamo il prodotto r r" r" . t.r*> , sarà questo sempre determinabile razionalmente pei coefficienti A , B , C , ec. della data • Formato questo prodotto > esso è già tale tvW z 2 den-
ito
dentemente j elle una qualunque delle permuta» zioni indicate nei.( N.® 171 ) non può produr- re in lui variazione veruna. Facciasi ora nel me* desimo la permutazione diJf' in Jf".Per lo (N,« 175 ) altre delle r', r", r'", ec i- r^w' non si can- giano perciò in modo veruno, le altre tutte noa Fanno , che cangiarsi fra loro , cambiando nel tem- po stesso di segno, e queste ultime frattanto so- no pel ( N.° 1 74 ) di numero pari : dunque il no- stro prodotto r r r'" , . . r^^^ è tale , che pel cam- biamento di X in x" non si altera punto , né rap?> porto al valore, né rapporto al segno. Ma quel- lo, che si é detto della permutazione di x'inx", dicesi egualmente di qualunque altro cangiamen- to fra le x'^x'\x"\ ec, *^*"). Dunque il suddetto prodotto , conservando sempre e lo stesso valore, e lo stesso segno , qualunque permutazione si fac- da, sarà sempre determinabile razionalmente pei coefficienti A, B,C,ec. della data(N.*> loi ).
1 75. Se vogliasi formare un* Equazione in r avente per radici tutti ì valori r', — r', r' y — r'\ r'", — r" , ec. del ( N.* 170 ) ,• questa sarìi priva di tutte le potenze disparì della r.
Pel (N*®2i)il primo membro dell' Equazio-^ ne da formarsi è = ( r—t Xr-^r )(r^r" Xr-¥r"j (1— r" )( r + r" ) . . . ( r— r(") )( r+ri^ì ) = (r» — r'*)(r» — r"*)(r« - r'"*).. .(r* -.r<«>» ) ; ma in questo non entrano che le potenze pari della r. Dunque ec* Supposto r*=itf, sostituisco, effettuo U molti*
• ph-
i8i
f licazione ^ e il calcolo del N-^ io 5 ), e ci verrà un* ") Equazione «« -h R ««-^ -+ S ««-* H- ce. + V=o^ ài cui saranno radici le quantità i^'=r%/>''=ir"% ir"'=::r'"%ec. ^
i7> Se sfa ta numero dispari, la (/) av^rà Bcvessariaroente r ultimo termine V negativo •
Il prodotto r r" r ". ...Kw) è sempre una quan^ rità razionale ( N.^ 175 ) ^ e peròi, il suo quadrato ( r r r" • • • • r^^y- una quantità essenzialmente posinVa • Dunque emendo la (/) per W ipotesi no' Equazione di grado dispjtri , e avendosi quin«» di pel (N.^m) V = -i»S!f"iir"'....iir^«> = — ( r r" r " . . . r(«) >* , ne segue , che ec.
178.. Nella, ipotesi, adunque di u^ numero dis« pitfri avenda sempre la u per lo meno un valo« le reale positivo ( N.^ 34), sostituendo questo in un' Equazione 9^=:u (N.^ 175), ne otterremo tempre r = ^itf= ad una quantità reale..
179. Ritenendo 9 che w sia numero dispari^ se vorremo, mediante la r pel ( N.*^ 1 42 ) deter- minare il valore di un' altra funzione qualunque a lei simile, che chiamerò./, troveremo , che cor- rispondentemente a tutti , o ad alcuno dei vaio* fi reali della r, purché non sia zero , esiste sem« pre per lo meno un valore reale della /.
O i valori reali: della r sono tutti disuguali fra loro, o nò* Nel prima di questi due casi la co* sa è per se evidente*,, corrispondendo per la for* mola ( M ) a ciascun valore reale della r un va« lore reale della /.Nel secondo poi osservo da pri«
ma,
1§2
ma 9 che essendo Ja (J) un* Equazione di grado dispari avente V ultimo termine negativo (N* 177)^ dovrà 9ssa avere un numero dispari di radici rea* li positive ( N.^ )8 ). Suppongtìiamo , ciò posto ^ che tra queste radici reali positive ve ne abbiano defie uguali fra loro ; tali radici uguali ^ o sono dispari di numero , o sono pari ; nel primo di que« stì due casi è chiaro potersi dare , che delle rà« dici reali positive non ne rimanga neir Equazio^ ne ( / ) alcuna disuguale , ma ciò non può già dar« Sì nel secondo • Ora a cagione di r = yjit y ciò stesso 9 che abbiamo osservato nei valori reaji po« sitivi della u > deve in corrispondenza succedere anche tra i valori reali della r. Dunque o col mezzo dei valori reali uguali di essa r y se sono dispari > o se sono pari, col mezzodì quelli , che devono necessariamente rimaner disuguali , se cer- cherò i valori corrispondenti della /, questi pei (N.* 144, 147, 1^1 ) venendo sempre a dipen* dere da Equaziom' di grado dispari 9 dovranno sem« pre avere per lo meno un valore reale (N,® $4)» Dunque ec.
180. Il primo membro di qualùnque Equa* zione Algebraica di un grado maggiore del secon« do è sempre composto di due fattori , i €oe£Sciea« ti dei quali sono quantità reali •
Se r Equazione proposta è di grado dispari ^ sapendosi che questa à sempre una radice reale ( N.® 54 ) > chiamata « una tal radice , ed ^•^* + A a:** H- B x*''^^ -h ec. = o V Equazione prò*
pò*
i«3
poKa, dividendo essa pel binomio jr— «, la de* comporremo cosi nei due fattori x — cc^ jr *• +
(«1 ^ A a» + BflJ-t-C)jr"->-hec.(N.^ 33), in cui i coefficienti sono evidentemente reali •
i8i. Se poi r Equazione data sia la (D) (N.* 17 ) , e sia d* un grado pari > 2 , suppon* ghiamo , che ;r« -+- M ;t*-»H- N ;r*-*+ ? jr*-> -h ec. ci rappresenti uno dei suoi fattori; T altro fatto- re yarà della forma jr*-»+M';t-'*^»-f- N':r—"*» + P' ^•"•"^4- ec, , e converrà dimostrare , che tut- ti i coefficienti M , N , P , ec ; M' , N' , P% ec* so- no quantità reali; dimostrato ciò dei primis sarà dimostrato ancor dei secondi 9 giacché questi si de* terminano , dividendo la ( D ) pél fattore (II) : res- ta dunque a provare 5 che i coefficienti M, N^ P^ ec* siiano quantità reali.
Giacché V esponente «1 é un numero pari, a- vremo sempre «1= 2*./ , essendo $ un numero dis- pari qualunque; ora o / > i , o / =1 ; prendiamo a considerare quésti due casi nei numeri , che se« guono »
182. Sia primieramente / >i. Avendosi
x" ,. • • ^W ) , sappiamo dal ( N.® 104 ) , che sarà questa Funzione determinabile per un' Equazione
del rrido'"^'^^'^^'"'^^^''^'"~''^'^ =
I . 2 . 3 . . . n a»i(z*i ~ 1X2*1 -Z)(2»> -ì)..,(2^ì-^„^i)
I . 2 . 3 ... « ♦
che
i«4 che chiamerò ir^Se dunque suppongasi iv= 2^ t-
vremo
ossia divìdendo per 1 quante volte si può i fat« cori corrispondenti del numeratore , e del déno* minatore t sarà
* " (2* — I X i*-^ — 1 X 2* - 3)U*-*— I ) . . . I . I • ove si vede 9 che , non racchiudendo il numerato* re, e il denominatore che dei numeri dispari , fat« ta la divisione si avrà necessariamente il quozien* te it numero disparii
Dunque il coefficiente M del fattore (//) di« pendendo da un' Equazione di grado dispari 9avrà necessariamente almeno un valore reale , e però tenendo conto di questo ^ il supposto fattore avrà di già il coefficiente M del secondo termine rea« le. Ora essendogli altri coefficienti N, P»eCé fun« zioni delle x ^ x'\ x"\tc. simili alla M, potre- mo dipendentemente da M determinare ciascuno di essi i Nf. J44 )> e ciascuno avrà uno ^ o più valori reali corrispondentemente ai valori reali di M. Dun« que il fattore < 1/ ) oltre il coefficiente M avendo ancora reali tutti gli altri N^P^ ec, ne viene che il primo membro deir Equazione (D) sarà com« posto dei due fattori reali
jc- 4- M Jt-'H- N ;r*-»-i- P jr-^4- ec. , jr—» 4- M' ;r—'-' + N' ;r*-»-» -i- F ;r— ••> + te. ,
et*
i»5
essendo in tssì « = i*, ed m = 2^/ , ove / è nu- mero dispari , e > i .
183. Se poi i = f , cosicché ^= 1* , sarà la- data composta dei due fattori
V -f- AI' *— ' -h N' *-* + P' x'-i ■+■ ec, avendosi
»= — = — = i*~*, ed i coefficienti tutti reali .
Difatti supposte x\ x' , jr'"^ ec, JifW le radi- ri del primo fattore , ;(f(»+0 , ;t<"-^*) ^ ;rt^-^i) , ec. » xi^ le radici del secondo ^ supponghiamo
' avremo quindi
' « = M+M'=: — ('(V-t-y' + *"' 4-... -+■*<•>) -f. ( :r<*-^i) H_ jrt*-^*) H- ;c<''-^*)+ . . . + ;r<**) )), f5=N-f-N'=((*'*"4-;r'Ar"'+Ar"y"-f-,...
I y = P -1- p' = — ((r' r" ;c"' + . . . + r(-»);«-(*-0;rW ) H- ( ^rt^+O ;c(»+») A-t'-^J) + . . .+ ;r(»''-») ;r(»"-')x(»») ) ), ec. ec. ec,
i jui = M — M'=-(V-4-y-f-jr"'4-...-+:r<»)) — ( ;r(''+') 4- A-("+*) H- xt*+5) 4- . . . H- A-(") )) ,
aa V =
:r = P — P' = - ( ( xx"x"' 4- ... +Ar(-*);t(» ') r(-) )
ce. ce. ce.
Colloco ora nei fattori (HI) in luogo dei coef- ficienti 1 corrispondenti valori in ot^ j3 , 7, ec./ fA , V, TT, ce; faccio il loro prodotto , e parago- no questo col primo membro dell* Equazione sup- posta i rìsultatando per tal modo un numero w ^ ossia zn dì Equazioni tra le m indeterminate oc ^ l2,7>ec.; a ,v , tt ,ec. , elimino da queste le 2 «- i quantità « , /S, 7 5 «• i v , t, ec.;e otterremo co- sì un' Equazione finale con la sola indetermina* ta li.
184. Essendo jui uguale ad una funzione del*
la forma /( ( x, x\ x" , . . .;r<-) ) -
{x<-^«) , xt--^) , Jt^-^^> , . • . a:<*«) )) , ed esscnr
ào in il grado deir Equazione data , V Equazio- ne in jtji , che risulta, pei(N.* 169, 170, 175)
... . me 2»— I )(2lf— 2)...'il-f-l)
sarà del grado — — = 2 w,
e non conterrà , che le potenze pari della /a , onde supposto |ui* = i^ , essa diverrà della forma ( J) i!r«+Riì^^-'H-Si^w-* +.ec. + V=: o (N.^ 175). Ora avendosi 29 = 2*, sostituendo ne viene
w=:
i87
^ » («— I J (»— z) («— 3J («—4^ • • • 2 .1 ""
2*^1(2^—1X2^-2X2*— 3X^^—4)- -(2*"'-4-2Xz»-'-4-i)
2^\2^»— iXi*"'-iXi*-'— 3X^*-'-4)...2.i * e però col dividere, come nel ( N.® 181 ), sopra , e sotto per 2 , ottiensì
^ (2*-lX2^'-iy2*-3X2*'>--lW2*-14>TX2*-«+l) *'- (2*-«-lX2*-'— 1>2*-«— 3X2*"3— i) ... I . I •
Dunque essendo per la ragione accennata nel ( cit. N.^ 18 f ) quest' ultimo risultato un numero di«?pari^ di grado dispari sarà T ottenuta Equazione ( /) , e questa di più pel ( N-® 177 ) avrà V ultimo termine V negativo. La fx pertanto pei (N.^ 178) avrà sempre per lo meno un valore reale . Cerco ora col mez« zo di questo valore reale della jui di determinare il corrispondente valore delle <« , jS , 7 , ec. i v , tt , ec. :lev,7r, ec. sono funzioni simili alla jui(N.V- 183), e le «,^,7,ec. pel (R^ 146) da essa determinansi totalmente , come se le fossero simi« li. Dunque siccome pel ( N.® 179 ) corrispondente* mente ai valori reali della jm esiste sempre per Io meno un valore reale di ciascuna delle v, tt ,ec. ; tal valore reale esisterà ancora riguardo a ciascuna delle «5^,7 , ec, • Determino pertanto questi va- lori reali di tutte le a,/2,y, ec. ; v, tt, ec. ; li sostituisco nella espressione dei cot£Scienti M , N, P , ec. i M' , N' , P' , ec. ( N^ 183 ) , ed essi pcc^ ciò diverranno reali , e diverranno quindi reali an* che i due fattori (///)• C d. d.
aa 2 185.
ì88
i8j. Avvertasi, che potrebbe il valore rea- le della [x essere = o , e allora pel ( N.» 1 79 ) po- trebbe non- aver più luogo la dimostrazione pre- cedente . In tal caso però, o sono zero anche tutte le altre quantità v ,9r, ec. ,.0 nò: se nò , supposto che sussista , per esempio , v , giacché per essere questa una funzione della forma
(xi"^'), jtt-^»), ;c<-^3), .... x<"))), si U
sudi essa il discorso medesimo, che abbiamo fat^ to intorno alla /ut, ne dedurremo le stesse conse* guenze , e quindi mediate il valore reale della y ricaveremo il valore reale delle « , /3 , 7 , ec. ; ir ec. , e dei coefficienti M , N , P, ec. ; M', N' , P', ec. . Se poi tutte queste quantità /ut, v,7r ,ec. sona = o, in allora è visibile, che risylta M = M',N=N' F=P', ec, e il primo membro deli* Equazio^ ne jr»-HMjr"-'4^Njr»-*-t-p;r«->-4-ec- = o ele^ vato al quadrato ci produrrebbe il primo membro della (D). La proposta adunque in questa ipo« tesi si abbasserà da se medesima ad un eftado mi« nore della metà , i cui coefficienti M ,N ,P , ec. dovranno essere non solo reali , ma anche razio» nali ; poiché altrimenti sarebbe evidentemente im* possibile, che la quantità finita at" -HM at*"" 4- N jf"-* -I- P jr*-5-f-ec. elevata al quadrato dive* Disse ;t" -4. A jr*— ' + B jt?" -* -+- ec.
Ed ecco dimostrato in tutti i casi possibili il teo* fema del (N.*i8o).
i85.
»»9
i96. Il primo membro di un* Equazione AI- ^ebraica qualunque è sempre composto di tanti fattori di primo ^ e secondo grado •
Essendo jc- -f A jc»-* 4- B jr"^* + ec- = o V E* quazione data ^ ed m>t ^ dai ( N.^ 1 80 , 181 ) sappiamo , che il suo primo membro è composto di due fattori della forma x'' -f- Mr"~*^ 4- N ;r*'-*-H py-3 4.CC. , jr'^"+ M>'-"-' + N/;c'»-'-*+ p';^»»-»-! + ec., i coefficienti dei quali sono reali. Ora se », ed «f — M sono tuttavia >2, dimostrasi nel modo istesso essere questi fattori composti di al- tri parimenti reali di grado inferiore >. e cosi ^ prosiegue a dimostrare, finché i successivi espo* senti divengono non :s^ i ^ Dunque se suppone ghiamodi giungere a questi ultimi fattori di grado non > 2 y essendo essi pure reali , ne viene , che ec*
Simili fattori saranno dunque della forma r*-f-ii X'\-b 9 X ■{- Cj ove a^b^c saranno quan^ ti reali, ed uguagliati allo zero non saranno, che tante Equazioni, le radici delle quali saranno le X , X y X , ec. , x<*> .
187. Le radici immaginarie in una data Equa- zione Aigebraica vanno sempre accoppiate a due a due, e sono sempre della forma </±*V'- i, io cui i/, ed « sono quantità reali.
Se nella data Equazione r" -t- A jf"^* -4- ec. = o esistono delle radici immaginarie > queste negli ul- timi fattori reali pel ( N.* prec. ) non potranno evidentemente contenersi ,che a due a due in quel- li del secondo grado x^ -^ ax-^bi ttOi U radici
del-
1^0
delle Equazioni ** -4- 4 at -f- * = o sono sem- pre della forma-f:l:^(^-J) = -4--
4
««
j/a_- ^)v/^,=,/ dir v^-i, fatto— — = </, • 4 i
|/(^ ) = ft Dunque essendo i/= quantità
- 4 reale 9 e nel caso delle radici immaginarie essendo-
i > — , onde anche e = ^{i )= quanti*
4 4
tà reale , ne viene , che ec.
188. Qualunque quantità immaginaria èsem« .pre riducibile alla forma del ( N.^ prec. ) i^e^ u
Proposta una quantità immaginaria fi involven* te degl* immaginarli di un grado qualunque , e ia una qualunque maniera , facciasi at = IT ^ in segui-- to pel ( N.^ 121 ) tolgansi dall' Equazione :r = IT tutti i radicali , che ivi esistono , e riducasi essa in tal modo ad un* Equazione y^ -+- A Jt**'' H- B Jt*"* + ec. = o priva affatto di radicali : ora qua* lunque radice immaginaria di questa Equazione è sempre riducibile alla forma d'^e^ —\ ( N.* prec.)» Dunque anche IT essendo radice immaginaria deli' Equazione medesima , poiché fi = x , sarà riduci- bile alla forma d^^e^^ — i'7 Dunque ec.
189. Il numero delle radici immaginarie in una data Equazione qualunque non può mai su* perare il doppio del numero delle permanenze dei segni ( N.^ 68 ) nella Equazione delie differenze
Le radici immaginarie esistendo in qualunque Equazione a due a due della fora» J-^re^—iy. d — cy/- I, essendo i/^^ quantità reali ( N,*^ 187 ), ne viene , che la differenza fra due radici imma* ginarie corrispondenti sarà ic^ — i , e il suo qua* drato — 4^* quantità reale, e negativa. Ora ta- le quadrato non è, che una delle radici dell* E- quazione delie differenze ( N.^ 85 ) , e di simili ra« dici esister ne devono in questa Equazione tante ^ quante sono le coppie delle radici immaginarie nel- la data • Dunque pel ( N.^ 7 j ) non potendo qual« sivogha Equazione avere più radici reali negative di quel , che siano in essa le permanenze dei se* gm 9 ne segue , <:hc neppure il numero delle coppie delle radici immaginarie nella data potrà^ essere maggiore di quello delle permanenze dei segni nella Equazione delle differenze; e però ec.
190. Se dunque Y Equazione delle differen^^ ze non à permanenza veruna fra i segni , la da* ta non avrà alcuna radice immaginaria • Ricavia* mo da ciò un criterio assai facile , onde scoprire ^ se una data Equazione à delle radici immaginarie^ O nò. Ritrovo perciò pel ( N.* 96 ) V Equazio- ne delle differenze , osservo in questa se abbi^n- vi delle permanenze » o nò; se nò, diremo che le radici della data sono tutte reali ; se sì , che ve ne anno delle immaginarie , e che il numero di queste non può superare il doppio delle per* manenze osservate.
j^i. Supposto che f ci esprima il numero
del«
192
delle radici reali, 2 f quello delle immaginarie nel- la Equazione data , onde si abbia m =/ -H 2 f ,
p( t "^i ) 1* Equazione delie differenze conterrà •— — ra«
dici reali positive , q radici reali negative > e 2 ^ (^ -4- ^ — ' ) radici immaginarie .
Essendo x\ x' y x'\ :r'^,ec* le radici reali,
ec. le immaginarie della data ; le radici della £• quazione delle differenze saranno le seguenti : (;r'-y')S(:r'-y')%(jt'-yV,ec., (jt"-:r'")S(;c"-;r'^)%ec.,(Ar'"-^")»,ec.,
-4^'%-4^"%-4^"%ec.,(y-/-^V-i)%
(jr' - /' +/V— I )* , ec. . Ora tra queste radi* ci le prime nate dalla combinazione Fra loro a due a due di tutte le radici f reali della data sono di
numero ^ — , e sono tutte positive; le radi*
ci seconde nate dalla combinazione fra loro delle radici immaginarie corrispondenti sono di nume* ro ^, € tutte reali, e negative ( N.^ 189 ); e le ^ radici terze prodotte dalla combinazione delle ra« dici immaginarie con le reali, e delle immaginarie non corrispondenti fra loro , è chiaro , che sono
tutte immaginarie, e sono di numero — — — —
'9i
z
= *^ ' ^ .^ = 2 f (/ H-y - 1). Dunque ec.
192. Ritenute le denominazioni precedenti, e chiamato n il grado dell' Equazione delle dif» fetenze , 1' ultimo termine di questa Equazione , che chiamerò Z , sarà positivo , se i numeri » , f sono amendue pari , o amendue dispari ; e sarà negativo , se 1' uno di questi è pari j e dispari 1' altro . Eseguiscasi la moltiplicazione delle
H =£i£llii + ^-|-2^(/ + ^-.i) radici della
Equazion ritrovata ( N.° prec ) . Il prodotto delle
^ radici positive è positivo, tale è pure pel
( N.^ 55 ) il prodotto delle i^qif+q—t) tsl- dici immaginarie 9 e il prodotto delle q radici ne* gative è positivo ^ se ^ è pari» negativo, se f è disparì • Dunque anche il prodotto totale di tutte le M radici diverrà positivo » se sia q pari ; e se f sia dispari) diverrà negativo • Ora T ultimo ter- mine Z uguaglia questo prodotto totale preso col suo segno » se n è pari, e preso col segno con- trario j se n è dispari ( N.^ 24 ) . Combinando a« dunque V essere di pari , o dispari in amendue i numeri n^ q y vedesi chiaramente » che ec«
xpg. Il termine Z sarà positivo , o negativo, secondo che è pari , o dispari il numero delle com« bb bi«
194
binazioni a due a due fra le f radici della data. Poiché » — f è un numero sempre pari , ogni- qualvolta il ,e q siano entrambi pari , od entram- bi disparì, e poiché lo stesso n— q h un nume- ro sempre dispari , mentre sia dispari 1* uno dei due »,f , e l'altro pari; pel ( N.*prec.)nc se- gue , che r ultimo termine nella Equazione delle differenze sarà sempre positivo, se » - f sia pari, e se nr- q sia dispari , sarà negativo . Ora aven»
dosi »=ti^— H-^-4-2^(i> + f- r)(N>
prec.)>e però »-.^=^-lp^4-2f(/+f-i),
ed essendo tq(.p -¥■4—1) un numero sempre pari , vedesi i che secondo che è pari , o dispari il numero « — f , dovrà essere pari , o disparì anco- ra r altro -^ "^. Quest' ultimo numero adun-
que ^-^— — esprimendoci il numero delle com- binazioni a due a due fra le f radici reali della da- ta , ne viene , che ec.
194. Posto il termine Z positivo , se m sia pari y il numero delle radici reali nella Equazione data sarà multiplo di 4 ; e sarà lo^ stesso numero multiplo di 4+ I, se i» sia numero dispari . Nella ipotesi di Z positivo dovendo pel ( N.®
prec. ) esser numero pari , vedesi , che ,
espresso con la lettera X un numero intero posi- ti-
p
rivo qualunque , dovrà essere , o — = 2 X , e pe-
rò / = 4 X , oppure — — j X , e quindi /=: 4 X 4. i.
Ora p ci esprìme il numero delle radici reali neU la data, ed essendo i«=^4- 2 q (N.* 191 \yS€ m è pari 9 tale -è anche / ; se m è dispari ^ anche / è disparì . Dunque nel caso di 1^ pari non potendo che risultare p =4X^6 mentre m sia dispari ,do« vendone venire ^ = 4X4- r , deducesi , che ec.
xp$. Posto Z negativo , le radici reali della data sono un numero multiplo di 4 con di più 2| K me pari; e se mt è dispari, sono di un nume» ro multiplo di 4 con di più j .
Mentre Z sia negativo, dal (N,^ 58 ) sappia-
mo dover essere —— — — un numero dispari. Ora
tv
ciò non può succedere , quando non sia — = 2 ^4-i,
oppure = 2 XH- I , e per conseguenza
p = 4 X 4- 2 , ovvero p= 4 X + 3 . Se dunque pro- seguirò lo stesso raziocinio del ( N.^ prcc. ) , tro- verò in egual modo la verità del Teorema pro- posto •
196. Dunque se V ultimo termine nella E- quazione delle differenze è positivo , il numero del- le radici reali nella Equazione data non potrà che essere uno di questi 9 o , 4 , 8 , 1 2 , ec. , mentre il grado di essa data sia pari ; e se tal grado sia di- spari , non potrà che essere uno dei seguenti i, S>9i i3> €C.« Nel caso poi, che V ultimo ter- bb 2 iQÌ«
ig6
mine nell* Equazione delle differenze si trovi ne- gativo; se il grado della data sia pari y le sue ra« dici reali saranno i , oppure 6y oppur io ^ 14 ^ ec; saranno esse 5 , ovvero 7, ovvero 11 , 15 , ec. ) se il grado della data sia dispari • Potremo con questo criterio determinare il numero preciso delle radici reali , e delle immaginarie nelle Equa- zioni y che non sorpa^ssano il quinto grado , e in quelle tutte, nelle quali d' altronde si sappia, che le radici immaginarie non ponno essere più di quat« tro. Noi ci contenteremo di vedere, come ciòe- seguiscasi nelle Equazioni di quarto grado •
197. Sia ;r4 4.Bjr*-|-C;if + D = or Equa* zione data , che per maggiore semplicità pongo pri- va del secondo termine: la sua Equazione delle differenze sarà pel ( N.® 85 ) y +-Qy+R/-4-S^J4-Ty +V^ + Z = o,
avendosi 4 Q^=8B,4*R = 22B*4-8D,4JS = 18 B'
— i5BD— 26O,
44 T= 17 B4 4- 24 B* D- 7 • 26D* H- 3 . 16B C%
45 V = 4 BJ + 2 . 27 C* B» -^ 8 . 27 O D
— 3.4*BD*4-2M*B*D,
4^ Z = 4^ D^ — 2 ^ • 4* B* D* + 4* • 3 * B C* D
+ 4* B^ D — 4 O B3 — 3 3 C4 . Ora se quest^ ultima quantità è negativa , òivt* nendo negativa la Z , vedesi , che la nostra Equa- zione in x avrà necessariamente due radici reali ^ e due immaginarie ( N.^ prec» 9195)» Ma se Ca« le quantità , e quindi la Z è positiva , in allora ae
icoef*
197
i coefficienti tutri Q,, R i S , T , V , Z sono alterna* tivamente negativi , e positivi, le radici della data saranno tutte reali ( N.^ 194) j e se tale alternazion non succede , esse radici saranno tutte immaginarie (N.*precO
Supposta la quantità Z positiva troveremo , che i termini rutti della data si alternano di segno ^ se sia B < o , B* — 4 D > o ; e che al contrario questa alternazione non accade , se abbiasi B > o^ oppure B> — 4 D < o • Dunque trovata la Z po« sidva ^ diremo , che tutte le radici della data so* no reali , se abbiasi B<o,B* — 4D>o,e che tutte sono immaginarie , se qualcuna di queste ul« time condizioni non si verifica, e che finalmen^ te due di queste radici sono reali , e due imma- ginarie, se il valor della Z risulta negativo*
CAPO DECIMO.
Trofrietà delle Radici della Unìth .
igt. JLAbbiasì r Equazione jif*= i , ossia ^'•— r = o : le radici di questa quelle sono , che chia* mo Ra^ci della Unttà . Una di tali radici è chia« ro essere V unitk medesima, ma oltre di essa ne dovranno esistere altre m— 1; sia x una di que* Ite ultime radici , sostituendo avremo a** = i , e conseguentemente «**== i , ^^'•^ i , ce. , a"» = i .
Dun-
igi Dunque non solamente «5 ma ancora le sue pò» tenze «* , a^ , ec.^ ^* facendo verificar V Equazio- ne x'^=: i ^ saranno tante radici di essa uguali però, o disuguali fra loro. Supponghiamo pre* sentemente n=M^ le m successive quantità a^ Ét^ 5 «J ,ec., a",se fossero tutte disuguali fra loro , altro non sarebbero, che tutte le m radici della proposta jt**— 1 = 0; ma se ve ne fossero delle uguali , allori non ci darebbero , che un certo nu» mero delle radici medesime una , o più volte ri* petute •
199. Supposto che a rappresenti una quan- tunque delle radici della x'^ — 1=0 diversa dall' unità y e supposto che m sia numero primo , le successive potenze a 5 «* , *^ , ^^ > ec. , <** tutte ci esprimeranno le diverse radici della nostra x* — i = 0 .
Pel ( N.^ prec. ) avrò, dimostrata la verità del Teorema presente , ogni qual volta avrò dimostra- to , che le a , a* , a J , (x4 ^ ec. , (xT^ sono tutte disu* guali fra loro. Supponghiamo, se è possibile, che due di queste potenze, per esempio le due af y mf^^ siano fra loro uguali , essendo/ < w, e p+f non > m ; avremo perciò ocf = a/-»-*, e quindi cl9- t. Qra giacché f <>«, ed m è numero primo, sarà « = /tx 5^ 4- r , indicando fx le volte , che ^ contie* nesi in i« , ed r ciò , che avanza dalla divisione di m per ^, onde r<f : sostituendo adunque, la it* = I si Cangerà nell* altra af^'^^ = a'' = 1 . Con* tengasi la r in iv le volte V| ed x ne sia V avan*
ZO9
^ ^99
20, sarà pcjrciò a* = «" ''"^^ = a' = i , avendosi s <. r < q. Stia parimenti / in m le volte tt, e sia
/ il residuo, si avrà a*» =z:«"''"^^= «'= i , Equa- zione, in cui /• < / < r < 5^. Proseguendo nello stesso modo , vedesi , che si avranno successivamen- te le Equazioni a" = i , «* = i , ec* , nelle quali gli esponenti isr , z, ec. essendo numeri interf , ande> raano sempre più calando: dunque giungeremo air Equazione <» = i ; ma questa è impossibile , es« sendosi supposta la et diversa dalla unità • Dun« gue ec.
Supposta , per esempio , at*^ — i = o V Equazio- ne data, ed a una delle sue radici diversa dalP unità , le « , a* , ot^, ec,,^*'^ pel ( N*^ prec» ) espri- meranno tutte le, sue radici , perchè tutte disugua^ li fra loro. Se due quali si vogliono tra t%%t si vo- lessero uguali , se si volesse per esempio ofi = ot" , ne verebbe «J = i , e però «'^ = «5 • 5-+-* = a* = i: ora a^ =a»-^^» = i ; dunque sarebbe tìc = i , il che è contro T ipotesi. Dunque ec
200. Qualunque potenza intera della et mag- giore della mesima ne uguaglia sempre -un' altra non maggiore della mesima , ed è per conseguenza una delle I» radici della x"^ — i = o .
Elevata la x alla potenza qm + r esima , essen- do ^ , r numeri interi, e positivi, ed r < mt, a cagione di «** = i avremo a^ '*-*-' = x^ . Oanque ce. 20I* Esprimendo n un numero intero positi^ vo qualunque non multiplo di 10 , supponghiamo ^=^i ne verrà x uguale ad una delle radici irr-
sime
200
nme della jJ. Ora pei ( N.^ 199, 200 ) at»non è che una radice della jr* — 1=0; tale dunque è anche ^. Per conseguenza se da una qualsivoglia radice /S della x»* — 1 = o estraggasi una qualun- que radice nesìmay purché sia n non multiplo di ' m^ uno dei valori del radicale V/^ ^^^^ anch*es« $0 radice della x^ — 1 = 0.
202. Avendosi «"•=!, sarà « = jj;;;r; =«•<'"•'>,
però anche le potenze negative della ^ saranno tante radici della data Equazione.
loj. Ritenendo le precedenti supposizioni ^ se venga proposta V Equazione x"^ — ^^ V = o , e sia VV una qualunque delle radici ^nesìme della V , per esempio nella ipotesi di V razionale » sia la radice reale 5 che ottienesi con l'attuale estra« zione; le quantità « VV,«* VV, aJ yv,ec., of^y^ altro non saranno^ che le m radici della supposta jr* — V = o .
Sostituiscasi nel primo membro x* — V in luo* go di X la quantità a* V V ; avremo perciò il ri- sultato A** V — V: ma a cagione di (x*»= i ( N-^ 198 ) ne viene a'"*V — V=V — V=o. Dun- que la quantità a" V V sarà anch* essa radice del* la X* — V = o ; e per conseguenza potendo le n significare un numero qualunque ( N.^ 198 , 199^ 200 ), se moltiplicheremo la V V per ciascuna delle m potenze «i «* , «' , ec. a*, risukando in
tal
tot
tal modo pel (N/ 199) un numero m di quan» tira, che soddisfanno all'Equazione supposta, e tutte diverse fra loro , verremo ad ottenere tutte le m radici della *•"• — V = o •
Se si rappresenti con la lettera ar una qualun* que delle m radici pt ^ cl^^cc^jCC.^ la quantità # V V ci esprimerSk in generale una qualunque del* le radici della x'^ — V = o .
204. Suppongasi ora j«. numero composto , e tia m =^ f , essendo f , f numeri primi ; la ;r* — i = o si cangierà^in questo caso nella jr^* — i =0. Facciamo jr' = j& , e quindi x=:m^z ( N-^ prec. ); avremo, elevando a potenza, -r^^ = z^ ,e peiò z^ = i, ed jf^ = *^ « , ossia » = a^ » , e quindi *^ = i ; donde si vede , che la jr^« — 1=0 è risolubile nelle due a* — 1 = 0,1^' — i=o#
Sia fi una delle radici della x* — i = o , e y una di quelle della u^ —1=0, diverse amendue dal* la unita; pel (N.^199) le su9cessive potenze /S , fi* y§^ ^ ec. 5 fi^ rappresénteraftilo le q radici della x^ — 1 = o , e le 7 , y* 5 7* , ec. j 7^ esprimeran- no le p radici della u^ — i =ao. Dunque avendosi jr = nr y X, dalla risoluzione delle z^ -» i = o , •^ — 1 = 0 otterremo tutti i valori delJi^ x , com- binando ciascun valore della u^ ossia le quantità 79 7* > 7' 5 fc, 7' con ciascun valore della V * > cioè con le \/fi, V^* > VP 9 «e. , ^^fi^ , ossia con k fi, fi\P,tc.y ^UN.^201 ).
205. Dalle successive potenze di fiy e di y considerate separatamente non potremo avere che
ce tin
102
un numero / -4- ^ — i di radici differenti della data Af"* — I = o .
Giacché uno dei valori della « ( N.^ prec. ) è ^* = I , pongo questo valore nella x ^ u^ z^ e divenendo essa perciò jr = ^ , vedesi , che le suc- cessive potenze della 7 , essendo valori della u ( N.^ prec. ) , saranno ancora valori della ^, e ra* dici però della x'* — 1=0: ma tutte le possibili potenze della 7 non danno che un numero / di valori diversi ( N.* 198, 199, 200 ), dunque dal- le potenze della y non avremo, che un numero / di radici della x^ — 1 = 0. Essendo ora 7' = i valore della u^ pongasi questo nella x^=u V^> e risultando dàciò x = y z ^e quindi Jr = ^ , ^* , P^ , ce. , |S* ( N.* 201 , prec), avremo dalle poten* 2e della jS altre ^ radici della Jt:** — i = o , com- presavi r unità corrispondente alla |S^ : ma questa viene anche data dalla podestà f esima della 7: sot« traendola adunque > le diverse radici della at* — i = o , che ottengonsi dalle varie potenze di /2 , e di 7 , verranno ad essere di numero /-4-f— i . C . d . d* 2o5. Se si prenda un* altra radice della x* — I =a diversa, .e dalla unità , e dalle potenze di ^ , e di 7 considerate separatamente , e facciansi di questa tutte le m potenze successive, esse altro non saranno, che tutte le m radici della data.
Chiamatasi ol simile radice , affine di dimostrare questo Teorema non avrò che a dimostrare, sic- come nel (N.® ^99) y <^he tutte le potenze «, a* , «S eco^"* sono fra loro disuguali. Ora per ese- guir
gair questo ^ supponghiatno , che due quali si vo« glibno fra loro siano 9 se è possibile, tra loro ugua* S, che sia per esempio ot' = ar-^' , avendosi r< w, ed r-4-/ non >«i; sarà quindi «' = i , e però ot sarà la radice della at' = i : ma la s non può es« sere uguale né all' unità y né alla f y né alla q ^ poiché altrimenti si avrebbe ce o uguale air uni« tà, o radice di una delle due uf — 1=0, z.* — i = o contro la «supposizione : dunque essendo s pri« DIO ad w ( N.® 204 )javremo i« = fAx + ^,e però
«'*'"*"' = a' = I , essendo V avanzo /< x • Proseguen« do ora il discorso come al ( N.^ 199 ) » giunge- remmo finalmente ad ottenere ^ = i contro la ipo» tesi . Dunque essendo impossibile , che tra le m precedenti potenze della ce due qualunque ve ne siano uguali fra loro , ne segue , che ec.
Sia per esempio m:=6y onde abbiasi / = j , f = 2 ; la data x^ — 1 = 0 si risolverà in questo caso nelle due z^ — 1 = 0,1»^ — 1 = 0 ( N.*^ 204)^ e giacché dalla prima abbiamo z^ = :£: i , e diviso il primo membro della seconda per u — i produ* cesi r Equazione «*-4-0H-i=:o,e quindi si à
» = "" — ^ , ne viene , che avremo jJ =: — i^
= I , e queste ci daranno un nutrero 3 -+- 1 — 1 = 4 di radici diverse della data ( N.*^ 205 ).Or« affine di averle tutte, giacché x^=^uy % (N/^ 204), e nel nostro caso ^ = ^ V^> pongo in vece del* e q 2 la 41
104 la H il suo primo valore y» e invece della « il va» lore ^ , e risultandoci jf = 7 y |J = ^^ ì^-— X
questo pure un valore della x; ma esso è divei> so dalle precedenti potenze della ^, e della 7: posto dunque = «e, pel ( N.* prec. ) le sei succes- sive potenze
2 2
altro non saranno , che le sei radici della x^ - i
= 0
207. Se M abbia più di due fattori, se sia per esempio m = abc J^c però r"» = jf**'' = 1; mediante il discorso del (N.* 204) SCÌ0I90 pri- ma questa Equazione nelle due »* = « , r**^= 1; poscia col discorso istesso risolvo la r**^ = 1 nel* le »* = I , X*'— 1 j e finalmente la j"* = i nelle y = t , /^ = I : onde , risolta così la data *■*= r m tante Equazioni »* = i , «* = i , ^* = i .,V =r, quanti sono i fattori tf , ^, r,i/, avremo come nei ( N.» 204 ) dalla combinazione fra loro delle ra- dici di queste Equazioni tutti gli ut valori della ar : e di fatti combinando le radici della *' = i » con quelle della ^* = i , otterremo tutte le cdta» dici della s** -=.1 - in seguito combinando queste con le radici della «*= x^ ricaveremo le bed ta^
dici
20S
dfci della r*''=r i ; e finalmente moltiplicando cia^ scuna di queste ultime con ciascuna radice della £'=15 tutte d risulteranno le àbcd:=m radici della proposta.
208. Poiché le radici della z* — 1=0,** — i sro^ec. sono finalmente altrettanti valori della jt^ ne viene ^ che porrò scrivere la x medesima in luo« go delle z^ «^>eci e i primi membri delle Equa*» zioni JT* — 1 = 0, a:* ~ I = o , ec. saranno tanti fattori della Equazione data x'^—i^^^Oé^
209. Nelle radici della unità la loro somma > la somma degh' ambi ^ la somma dei terni » ec. ugua« gitano lo zero, ed il loro prodotto è = it: i, pren« dendosi il segno superiore , quando m sia di4>dn ^ e r Inferiore y quando m sia pari.
Mancando nella x'^ — 1 = 0 tutti i termini a riserva del primole deir ultimo; paragonata que* sta con r Equazion generale Jif'*^- A x^^ H- B x'^'^ H- C Jt»-^ 4- . • . + V= o , diverrà ciascuno dei coef- ficienti A , B , C , ec. uguale allo zero , e V ultima V = — I . Dunque pel ( N.*^ 3 1 ) ec. •
210. Supposto k un numero qualunque in- tero, o fratto , positivo, o negativo, purché non mul- tiplo di 1»^ avremo sempre 2 x* =: oj e se vo- gliasi k multiplo di m , sarà ^x*:=:m.
i.^Se k è numero intero , positivo , e minore di w> ripongo pel (N.^jjrec*) lo zero in luogo dei cotfficienri tutti A, B , C,>c., P nella ( F ) ( N.^ 3 4); e otterremo 2 jir* = o .
^•^ Vogliasi i = «? » + 6, essendo b <m^A cagio*
ne
205
ne di («"• = A*= 1 (N.^ 198 ) , avendosi «•'^* = et"* X«* ==«* , non è difficile a vedersi , che sarà ancora S jr»»»^* = S jc* ; ma pel ( prec. i.^ ) ^ x^ = o . Dunque, sarà ancora 2 x^"^"^ = o .
3 •* Abbiasi kzr.nm; poiché per essere *■■ = a* , si à 2 X** = S jr*^ ; e poiché riponendo lo zero in luogo dei coefficienti A » B , C , ec. , e — i in luogo di V ( N.^ prec. ) nella 2 a-'^-v A 2 jr*-«+ B 2;f * H-CSjr'^^H-ec. H- V= o ( N.^ 35), si ottiene Sjr"* — i» = o, e però 2;r'* = «f; sarà ancora
4.^ Essendo «/*-'=:«/* X «""' = <»-', è chiaro^ che quanto dicesi di 2 ;r^'"'^' dicesi ancora di 2 x^; ma supposto f tale , che ^ w < / , pei ( prec. N.^ i.% 2 •"* > 3 •"* ) abbiamo 2 x^"-' — m^stfm-l^t però / é un numerò multiplo dì mi ; e se non lo é ^ ab« biamo 2 x^"^^ = o : dunque sarà eziandio 2 a:-^'=/!« neh primo caso, e 2jr-"'= o nel secondo.
2 11* Queste medesime proprietà si applica* no ancora ali* Equazione xm — V = o , poiché e r Equazione istessa^e le sue radici ( N.^ 203 ) sono simili affatto , e alla Equazione , e alle ra« dici della unità .
f4à^^-49t^<U^
CA-
fi^. Uaea
Errori
n iS o
mi 6 asposce
XX 12 ef — bmm
— 24 luppone tanti 14 25 = 30
19 17 N'x*- (*■*•»)
— 22,28 N'xrr(»+»)
20 »4 41
45
li
Ó8
71 90
94
99
loi IQ4
109 no
7 5
M 26 8
4
IO
*4 25 5
4
1* a^gi^ato a'i^a'it
4- ce. aT:a
+ 3»
della
la R=o eisere -=• —
jtt
x'-x"
26 (')
14,24 (i«-(X—i) 21 (x<«+0, x(*+«)),
(X (*+*+»)), X («+*+»))
(xi»)__
— 2Sxx'
2xxx
P=CC.
22
6
2 4
* 5 , 6 R 2= ce.
Correxàom dtUa Fartc l.
e
à esposte 9f — b mf L »•-(»-') suppone seni pie taoti = — 30 N'x«— * N'x*-(»-i) N"x"»-* Taggreeato dei prodotti ^k^k
2 x/ z x^X*
ec.
4-3(5
delle
la R'=o
2 X» »-* 2 X»
x'
essere =-v — x"'
X
x"-x"' x*
(x(«+'),x(*+*),x( *-»-»), ....x(«+*)),
(x(»))
- 2 2 X' X»
6 2 XXX
U vaUrt del toeffiàenu P va diviso ter %
ti vaiare del Coefficiente R de- ve essere il seguente
no
fag. lìiteét Errori Corrtziotù
no 12,12 6i» + 17C* gSx'Zx»— 2 2xSx*2x»
' + 2x42x2 X— 2 2 x«
■^ l'I, 18 y 4- ce* = 0 qu9st0 Eqvaxàoue dtve lerì^
versi
27(/-V+T^'^*)=^
^^5 9 ( — F^=7« — ^ i'-^—j^-fV
III 12 come nome
117 14 /^i ec« /•^»*^'_ „ .
134 29 2x'x* = 2x'2x» Sxx» = 2x2x*
12(5 17 nella nelle
144 30 —AD — AB
145 27 j» y'
io K( « — !(/(•)«-» K(« — Ot^")-*
..(•»
147 7
150
— 16 T"y" V"y"
151 17 (^/) (^W)
1 5 2 I j 3 j 5 j ) «» w« '''^* '^*'"'^ " ** /^"'» '* . 1 5,17,19) X fM vece della vlau^eiu w-
1 5? I » 3 » S ) *' *''" * *"* ^^"* '* * •
152 18 K2«'«-» H2»'-»
155 X4 5— 5 '
159 4 (N° 105) (N.Oio5)
i'5i \6 mediante t' mediante t"
«<3
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I |
195 |
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197 |
IO |
199 |
30 |
200 |
15. |
204 |
2 |
— |
3 |
205 |
5 |
206 |
9 |
Errori |
CoTTiWOm |
( N.» 21 ) |
(N»22) |
( N.« 144 ) |
( N.« 141 ) delle (//f) |
delia (/) |
|
t'" |
t"' |
(«-2) |
(2ii-^a) |
wMM te nurgmt U tetm (It) |
|
( N.« 181 ) |
(N.0182) |
*Vi |
ry'-i |
tadicì della data |
radici reali dèlia data |
SODO un numero |
sono di un numero |
— 7 . 2d |
— 7. 16 |
-3.4* |
— 3-4* |
B) |
B» |
ce |
ot» |
Uh |
la» . |
v'-i |
/-3 |
Vi |
v'.r? |
della |
delle |
V |
«V |
\
ì
TEORIA GENERALE
DELLE
E Q.U AZIONI.
IN CUI 81 DIMOSTRA IMtOSSIBlLÈ
lA SOLUZIONE ALGEBRAICA DELLE EQUAZIONI GENERALI DI GRADO , SUPERIORE AL Q.UARTO D I
PAOLO R UFF INI.
TAUTE SECONDA.
BOLOGNA MDCCXCVIIIl.
MILLA STAMFIKIA DI ». TOMMASO D' AQpIlfO.
207
CAPO DECIMOPRIMO:
Soluzhni delle Equazioni Algcbraiche deterMÌnate di terzo , * quarto grado .
»"• L/eterminar le radici dell* Equazione ** — V= o . Supposto « = —^-^ /— 3 ( N.» 2o5 ) ,
avendosi «» = "7 j «' = i ; pel ( N.» 203 )
« V V , «* V V , V V saranno le tre radici richie- ste .Sesia V = 125 , tali radici saranno V 125 = 5 ,
* 2
213. Sciogliere 1* Equazione (N)*'+B4f-hC = o. Suppongo jf == » -4- «, sostituis- co,e verràx»-f-3«a» -hj**» +.«' 4-B «H- B » + C = o,ossiaa' 4- «' +C4-(3«»-+' B)(z4-«) r= o . Giacché in questa Equazion risultata abbiamo due incognite », « , 1' una di esse potrò determinar- la ad arbitrio ; cerchiamo dunque di determinare la • per modo , che risulti 3»2i4-B = o,c la pre- cedente Equazione divenga perciò »» 4-«' H- C = o. Sciolgo a tal fine la Equazione 3«« + B = o, e
avendosi da essa « = — —- , sostituisco questo va- lore ncir altra »' 4- «' -+- C = o , e otterremo co»
si r Equazióne a' : -f- C = o , ossia
^ 27»* '
208
S6* + e «» - — = o ^Cercando presentemente li so- luzione di quest* ultima, suppongo «' =jr» so-
B» . *
stituisco , e risultandoj»* + C jf — •— = o , ne ver»
«=_ 4. y^ (—-{--.) ovvero jf=/ -4- f,
supposto per semplicità di scrivere — ^ =f ,
i/.( ' ^f • OJ^* chiamata « una qualun»
que delle tre radici cubiche della unità, pel(N.* prec. ) dalla z» =y abbiamo »= «Vjf. Dunque sostituendo sarà z =. «V^Z+f)* Ripongo questo
valore nella « = — — , e avremo * = — ^ , .,> . . •
Giacché <x3 = i , moltiplico il numeratore di que- sto secondo membro per »^V(f — f)» e il de» nominatore per V.(/ — f)j avremo quindi
e» B» . B» . ed essendo ^» = —- -f- -— ■ =/-+- — , sarà
Dunque riponendo in luogo della /, e della f i
valori corrispondentf, poiché abbiamo
;r = »+ii^=;irV(?H-f) + «*V(?—^)>ne verrà
20^
(o), = «,y(-^+v'(£.V^^)) +
«* K ( -'T'~^^T"^T5^)' espressione,
I a cui si dà il nome di Formola Cardanica , dalla quale , collocando successivamente in vece della « le tre radici cubiche dell' unità , otterremo tre valori della x ^ cioè le tre radici^ che domanda* vansi) delia data«
214. Nello sciogliere nel (N.^ prec. ) V E-
quazione jf* *+■ Cy — — =0, abbiam tenuto conto
C / C* B^ della sola radice y= Hi/C 1 ):
C y C* B^
se presa avessimo r altra jf = y ( — h — ),
col calcolo istesso del ( N.^ prec. ) giunti sarem* mo pel valore della x all' espressione
prietà delle radici della unità gli stessi tre valori hcavansi òi da questa , che dall' altra espressione ( N.^ prec ) • Dunque pel nostro intento bastava, siccome abbiam fatto , tener conto di un solo dei valori della jf , trascurandone 1' altro.
215. Risolvere 1' Equazion generale di terzo grado ;ciH-Ajr»+ Bx+ C = o#
d d Sup«
2 IO
Suppongo x-=.t ; e ridotta cosi la data ad un*
altra *» -4- B^ / 4- C = o mancante del secondo ter- mine , sciolgo quest* ultima equazione col metodo del ( N.** jij ), e ottenuto
** V\ r v^( 1 ))> colloco invece
della /' il valore x '\ , e invece delle B' , C 2
loro valori espressi con i coefficienti A , B , C • Avendosi per tal modo le radici della data , ve- I desi , che infine la soluzione deir Equazione ge- nerale di terzo grado a quella si riduce della (N)» 21 5. Determinare un criterio 9 onde conosce- re quando le radici di un' Equazione di terzo gra- do siano reali) e quando immaginarie •
Una di queste radici pel ( N»^ 54 ) sarà sem- pre reale; non sx^n dunque richiesto che di de- terminare, quali siano le altre due.
Se r Equazione data sia la ;r* - V = o ( N.® 2 1 2)^ essendo il valore V V sempre reale, gli altri due , <« V V , 01^ y V saranno sempre evidentemente immaginar; •
Che se V Equazione proposta sia la ( N ), chia- mate « , |S , 7 le sue tre ràdici , supponghiamo rappresentarsi da ce la radice necessariamente rea- le. Avendosi pel ( N.^31 ) flc-f-/SH-y=n:o , e pe- rò #t = — (/S4-y), sostituisco in luogo di a il
va»
valore - ( i? + y ) nei coefficienti
S"J 'VS"^°» f ^^ quadrato, ne ver4
3|S*y^-+-^»y^H-3^»y4 4.3^y,_^^ C* = /S^y* + 2/J»y,H_^.y4. ^^^ ^^^*
Moltiplico il primo di questi risultati per 4 , il fecondo per 27; li sommo, e ricavand(^i in 'tal
.. *7/y*-54^»y»~27|S*y^),
nducendo avremo
Ma col dividere questa quantità posta sotto la pa- tentesi per ^-y ne viene il quoto
= — (2B+ —-). Dunque sarà
t7C*+4Bi = -(/S«y).(,B+i^).,equindi
Co^idcrando ora questa frazione ^7<^*4"4B>
(2B-Hf/^ che il suo denominatore (2Bh-2£)« ^ sempre <*<* * pò.
212
positivo a cagione della quantità 28+^— sempre
reale; sarà essa ,0 positiva, o negativa, o zero,
fecondo che tale sarà il numeratore ?7C*-+-4B^«
Supponghiamo primieramente 27 C*^ H- 4 B^ > o;
avendosi in 'tal caso ^ - 7 = yf 7 — )^
ne verrà ]J - 7 = ad una quantità» immaginaria, che chiamerò /; e giacché poi sommando, e sottra* cndo le due Equazioni ^ -+- 7 = — ^Jt , jS - 7 = / , ri*
sulta ^ = — , 7 = "^ , ne segue , che in
questa ipotesi le radici /S, 7 sona amendue im« maginarie •
Sia in secondo luogo 2 7C*+4B^<o; aven* do in questa supposizione tale quantità un valor negativo , chiamato essa — N^ la precedente fra*
zione diverrà (^ — 7)*=— — , e avremo
daciò^ — y=K f — )=ad una quan*
tità reale ; chiamata r simile quantità > facciamo la somma, e la sottrazione delle due iS-+-7= — «f ^- 'y=.r; risultandoci da queste operazioni _ r-x — r-,<r ....
P = ^ ) y = — — , vedesi, che m questo et*
so le due radici /3, 7 saranno entrambe reali, e disuguali fra loro.
Ab-
Abbiasi finalmente « 7 C* -4-4 B» = o, divenendo in tale ipotesi ^ — 7 = o > con la solita somma , e sottrazione di questa con l* altra Equazione
p-4-y = — «, otterremo ^ = » 7 = ion*
de in quest' ultimo caso le due j3 , 7 sono rea*
li y ed uguali fra loro ^
Ora divisa la quantità 27 C* -t- 4 B? per 4.27,.
C ' B ne viene il risultata — I , quello cioè, che è
contenuto nella (O) sotto il radicale secondo; e mentre sia maggiore , o minore > od uguale allo ze«
C* B^ ro 27 C* -+• 4 B^ ,, tale diviene pur anche 1 •
Dunque rimanendo la radice ce sempre reale, le altre due (3^7 diremo essere sempre immaginarie ,
C* B3
se abbiasi 1 >o j diremo* essere tali radici
4 ^7
sempre realf » e fra lor disuguali , se sia — H — < o;
ed essere queste finalmente uguali tra loro , e rea-
C* B^
li , se risulti. 1 = o . Dalla sola ispezione
4 ^7 adunque della quantità posta nella (O) sotto il
segno radicale secondo avremo la sostituzione del proposto Problema*
Se finalmente venga data l'Equazione generale jf5 ■+- A jc* + B r 4-C=ro;. la soluzione di questa dipendendo dalla t^ -+- B' r-f- C' = o ( N.® prec. ) ^ Equazione simile alla ;r^'-hBx*4-C = o,ne vie- ne^
214
ne , clic tolta la radice sempre reale ( N.® 54 ) , le altre due saranno, o immaginarie , o reali , ugua- li y o disuguali fra loro , secondo che la quantità
1 diviene maggiore , oppure uguale , o mi*
4-^7 nor dello zero* ^
217. Da quanto abbiamo detto si vede » che se due radici della data Equazione ( N.^ 213,215) sono immaginarie > la Formola Cardanica viene sot* to un' aspetto reale ; e che essa apparisce sotto un' aspetto immaginario , se tutte e tre le radici sono reali , e disuguali fra loro • In quest' ultimo caso la formola Cardanica è tale, che quantun* que le tre radici siano tutte reali , pure non si possono mai ottenere , che involte di quantità im« maginarie , e quindi è , che questo ha avuto il no« me di Caso irreducibile.
21 8. Sciogliere V Equazione x^—V- o. Trasporto la V nel secondo membro » estraggo
dalla x^ = V la radice seconda , e avuto il risul^ tato ^* = 3: v^ V , es traggo di nuovo la radice me- desima, e ne verrà jr= 1: y:i^Vv; onde
saranno le quattro radici della data , due delle qua- li , mentre la V sia positiva , sono reali , e due immaginarie • Se V= 2401 ,le quattro radici della x^ - 2401
= o sarannno 7 > — - 7 , 7 k — i ^ — 7 y'~ ' •
119.
219. Risolvere la ;^* -f- B jf » -4- D = o . Suppongo X* =.z, sostituisco , e avutasi ]' E« quazione a*4-B2J-t-D = o,la sciolgo , onde avre-
mo » = — -:t |/(- — D); ora jf = i:/».
Dunque sostituendo otterremo
,= -/(-i-/(!.'_D)).
Se B=-34,D = 22j,el' Equazione data sia
** — 34** + 22j=o, otterremo le quattro radi- ci + 5 , — I , + g , _ j .
2 20. L* Equazione a risolversi sia la (P) r^ -f- B jc» -t- C *■ + D = o .
Ridptta questa alla Jp*H-B;f* = — (C*-f-D), aggiungasi ad amendue i membri la quantità
***+(— ^^ — )* > essendo z una nuova incognita
da determinarsi ; ciò fatto, avremo x^ ■+ ( B + »)x*
,B-f-z . B+*
+ (-Y-)=*** + (-p)*— C A-— D, ossia
2 * 4* *
Ora il primo membro di questa Equazione è un quadrato perfetto ; cercando adunque di render ta- le anche il secondo , procuriamo di determinare la £ in maniera , che questo riesca , e possa co- si da esso estrae rsi la radice seconda , senza che la X resti involta nel radicale . E' chiaro , che a- vremo V intento, rendendo un quadrato perfetto
la
n&
la quantità ^^ - |^4-^-l±^;^-^itna quc-. sta sarebbe appunto tale, se il quadrato della me- tà del coefficiente |- uguagliasse 1' ultimo termi- ne i£±£LzlH j supporrò adunque dipenden- temente dalla indeterminata x. V Equazione ^ = LL±±il::^B^ e avrem quindi
x» + 2 Bft» + (B* — 4D)»-C* = o, Equazìo- ne del' terzo grado , la cui soluzione , pel C N.« 215 ) a noi cognita, ci darà tre valori <Jella » ,e uno
di questi sostituito nella *' — ;^^ + J^ »
la renderà un quadrato perfetto , la renderà cioè
;c»
_- £ jf 4- ^ = ( * - :^ )* . Espresso per » uno qualunque di questi valori, esso cf darà ( jp* 4. 1±£)» = j6' (j»: - ^ )% ed estraendo la ra-
dice quadrata , x* + — — . = ±:C^- -5^)/» , ossia x*mx^ ,'-t.i±£ :!: -i-=: = o, Equswio?
ne dalla cui soluzione abbiamo
-+-»/»' _^ , 2B-f-»' C . X = =1- it / ( f^ ^p^^* cspressio-
ne generale della Jf , in cui il segno positivo di —
com*
ii7
c
combinasi col negativo di -y-; , e viceversa ; ed
ambedue poscia i segni di <]ue5te<}uantità così com« binate corrispondono egualmente si air uno ^ che
air altro dei segni della yi — ^qi ■ ,■;)
onde avremo con simili combinazioni i <]uatrro va« lori della x . Giacché poi dall* Equazione x'^ + 2 B »'* + ( B* — 4 D > V — C* := o abbiamo
-^ — 5 TOStttuendo nella for-
mola ritrovata in luogo di -— p; questa quantità otterremo per le chieste i^dicLP altr» espressicme
VK j— -^ T •""^>
2 21. Potrebbe sembrare a taluno , che aven- do la z tre valori diversi , a ciascuno di questi corrisponder potessero quattro valori diversi della x^ onde la data venisse così ad avere dodici di ver* se radici contro del ( N.^ 21 ) ; ma questa illusio* ne svanirà ben presto ^ riflettendo, che chiamati % , %" y %" i tre valori deJla j&, quei valori della X j che corrispondono a z , quegli stessi sono , che corrispondono a %\ ed a z"\ Imperciocché non avendo noi fatto altro nella x^ ^B x* e e = —
• n9 . I
= --(C4f-4-D),che aggiungere nell* un membro,
e neir altro la medesima quantità ^* + ( fi
qualunque sia il valor della % y non turbandosi quindi V Equazione , non vengofio perciò a tur- barsi neppure le radia della data; il restante del precedente raziocinio non serve , che per determi* narefra gli infiniti valori della z quei , che rendono
jif* — — x* -H un quadrato perfetto»
tali ritrovandosi essere i soli tre z' , z" ^ z" «
2 2 2. La soluzione della precedente Equazio- ne di quarto grado dipende dalla soluzione della Equazione in z , che è di terzo grado • Dunque andando quest* ultima pel ( K.* 2i5) soggetta al caso irreducibile ) al caso medesimo anderà sog« getta anche V altra di quarto grado •
223. Risolvere T Equazione generale di quac« to grado x^ + Ax^ + Bx^+Cx-^D^o.
Suppongo 4f = / , sostituisco > e ridotta co-
4 s) la data ad un* altra della forma /^ + B' /* H-C'#
H- D' = o risolvo quest' ultima col metodo del ( N.^ 220 ) : ciò fatto , pongo di nuovo in luogo della t , e dei coefficienti B' , C' , D' i corrispon- denti valori , e avremo cosi la soluzion dimandata*
224. Le riflessioni istesse dei ( N.^ 221^222) riguardanti 1* Equazione del ( N.* 220), è chiaro» che si applicano egualmente anche air Equazione generale del ( N.^ prec. ) .
225.
2 2$. Se r Equazione proposta supera il quar- to grado, non possiamo aver metodo , onde otte- nerne la soiuzion generale algebraica • Gioverà pe« rò il fare le riflessioni seguenti .
CAPO DECIMOSECONDO.
Della Soluzione algebtaica rica^vata a priori delle
Equazioni determinate di terzo ^ e
jfuarto grado .
f.C^i
22^. V^hiamasi Algehraiea quella quantit!^, la qua« le contenendo un numero finito di termini finiti» dipende pienamente , e solamente da alcune , o da tutte le sei operazioni deir Algebra , o deir Arit- metica: tali sono tutte le quantità considerate fi- nora y e tali quelle » che andiamo considerando continuamente in questa Teoria , quelle eccettuate dei ( Capi 17 , 18 ) • In conseguenza di questa de- finizione diremo , che una data Equazione resta risoluta per una soluzione Algebraica , o Algebrai- camente » ogni qual volta il valore delle sue ra« dici ottienesi espresso da quantità Algebraica.
127. Ciò posto , mentre vogliasi sciogliere Algebraicamente un* Equazione determinata di un grado qualunque » è chiaro , che no ^1 potremo £a« re che riducendo essa ad un' altra Equazione di grado inferiore 9 o dello stesso grado » di cui ci e e 2 sia
i
220
fia nota la soluzione ,. e dalle radici della quale possiamo in seguita determinare ,^a mediatamente , o immediatamente le radici delh: proposta : ma le radici della Trasformata sono funzioni delle radi-» ci della data ( N.^ 88. ) ; dunque per la soluzione Algebraica. delle Equazioni altro non facciamo » che determinare delle funzioni delle radici della Equa- zione proposta , tali , che T Equazione ^ dalla qua* le esse dipendono ,, abbia le proprietìl: accennate* Molti sono i tnerodi a questo fine proposti , e tut* ti si riducojio a questo solo principio: si può ci6 vedere facilmente nelle precedenti soluzioni delle Equazioni di terzo, e quarto grada (N.^ ^ij^ ai5i 2 19 5 120 ). Esseiido. peto, quelle state ri- trovate con particolari artifizj^, e come suol dirsi a fùsteriori^ cercheremo nel capo presente di d«« ferminare* esse medesime s ^rkrà y e con tutta U generalità;, onde venghiamo cosi a conoscere, co* sa e' insedi T' esposto principio nella sokiaioa generale Algebraica ài tutte le Equaziofti . 228. Abbiasi 1* Etjuazfone di terzo grado (N) x^ + Ex + C=io mancante per maggiore aempli* cita del secondo termine • AÀne di averne la so- luzione a priori y cercherò primamente di ridurla ad un'altra di grado inferiore. Ma se si conside- ri la funzione /( x )( jt" X ^" ) esprimente in ge- nerale le radici di qualunque Trasformata della (N) < N*88 ) , sappiamo dal { N.^92 ) , che essa ge- neralmente parlando , mentre sia razionale , e de* terminabile per un^ Èc^uazione del grado 1.2.2
\
721
= 5, di CUI le radici sono
5-Y(^"X^'XAr'"),6//(;r^")(^"X^')- Dunque per ottenere la soluzione cercata ^ ossia un tale abbassamento^ supposta per ora la nostra funzione costantemente razionale ,, converrà , che delle esposte sei radici ve ne siano, delle uguali fra loro ? ora simile uguaglianza deve succedere indi* pendentemente dal valore particolare delle jr', r", x" ( N.*''95^ )> giacché la data non è*, che- un' Equa* zione generale, Equazione perconseguenza^Ja quale pres|indr da qualunque valore particolare delle sue radici ;, dunque questi sei valori; dovendo essere uguali tra loto per k: forma: della, funzione ( N«^ 88 ) y, converrà y che siano fra loro uguali a tre a tre per lo meno; onde in^allora due soltanto divenendo i valori diversi della funzione , la Tras* formata^ non ascenderà che al secondo grado. Sup« ponghiamo perciò la funzione i..* = 2/ , cioè sup- ponghiamo , che la funzione i.^ resti la medesima trasportando la radice, che occupa P ultimo luo* * go nel primo i.e awanzando lealtre due nella po- sizione , in cui. si. trovano .. Questa, proprietà de* ve pel ( N.^ 97 ) competere anche alle altre radi- ci; dunque avremo la 2.* = 3.' ,4.*- = 5.' , 5.* =5.* ; ma per la ipotesi, si; à. i.* = a»* ,.e presentemente abbiamo 2.* := 3.**; dunque, sarà la funzione i.* = 2.* =^3.* , e tosi la funzione 4.' = y^ = 6^ . Una cale supposizione pertanto soddisfarà alla condizio*
ne
112
ne cercata , e si otterrà per suo mezzo un* Equa-
zione del grado — - — = 2 .
229. Infinite sono le funzioni, che godono di questa proprietà : volendosi però esprìmerne in generale la forma , prendiamo un' altra funzione qualunque delle x', x", x"',che esprimeremo con la caratteristica <p , e le tre <|> ( Jf' )(*")( Jf'" ) , <^<x"Xx')ix"), <p.(x"Xx"')(x')y che corris- pondono alle tre precedenti funzioni 1.* , 2.*, j.* ( N.* prec. ), si disegnino con le lettere »', »", »'", e. con le «', u"y n" si disegnino- le altre tre funzioni
4> (*' X *'")( '")»1' ( *")( '' X ^"'),<J> ( *:"'X*"X *') corrispondenti alla 4.^) j.^^ 6.^« Ciò fatto , io dico che sarà in generale la precedente funzio* ne i/ = FC»', *%2i'"),e la 4.* ='Biu yu'\ u") . Imperciocché potendosi evidentemente una qualunque funzione delle x\ x\ x'" considerare sempre come composta di altre funzioni delle radici medesime; di più essendo la x.* una fun« zione non soggetta ad altra condizione , che a quella di restar la medesima pel cangiamento del ( N> prec. ) , e finalmente per simile can« giamento non facendo le t»\%\ z" che permutar* si fra loro» e così fra loro le h\ h\ u** ; quìa» di ne segue, che qualunque suppongasi la t>(0(*^'X^"'),4eF(*',*",»"'),F(«>",«"') saranno appunto sempre tali , che soddisfaranno in generale alla condizione del (N.^^prec.) e però avremo la funzione i .• = !.• = g .• = F (»', «", »'" ) >
e la
Ili
e la 4-* = 5-' = <S.*=lP(u' u" »'") . Sia per e»cm- *=-;p> avendosi perciò »" =— ^,*'" = _ ^
^'1 ^f/a ^/f/a
pio supporremo F ( z z" z'" ) = z+z"-h z" . la funzione — + -37+ — 7;7 sarà appunto quale è
X
IP
stata richiesta nel (N.o prec-) la i.* = f(x){x'Xx"% e non avrà che t due valori diversi
mJ^ ^t9i% ^U% ^IZ ^11% ^m%-
X" ^ x' x'^' ^ x'" ^ x' x"*
130. Giacché le F ( z\ z\ »'" ) , F ( iir' nr" iir"^, qualunque esse siensi^ qualunque forma si dia alla 4) ( y )( r" )( x'' ) , e qualunque permutazione si facda tra le x\x'\ x"' , non possono mai acquista* te che due valori diversi (N^ prec. )> chiamiamo h prima di queste funzioni jf' , la seconda y^ ed (ff)jF* + Sjf-4-T = o 1* Equazione, da cui dipende il loro valore . Determinati mediante il ( N.^ 105 ) i coefficienti S , T, sciogliamo la (/J), ed otte- nuti per tal modo i valori delle y,y' espressi pei coefficienti della data, non resterà pel (N.^227), che a trovare in conseguenza di questi il valore richiesto delle x',x", x"\ Ma essendo la x' una funzione della forma /(x^'X;^" , jr") (N-* 103 ), la sua determinazione in conseguenza di uno dei due valori y , y' deve pel ( N.® loj ) ne- cessaria mente dipendere da un' Equazione del ter*- zo grado, ed an^i dalla stessa x^ + B x + C=q ,
poi*
"4
poiché di talf Equazione non solo deve etser radice la x\ ma anche le altre due x" , x" ( N* 9j ). Dun- qae non sapendosi questa risolvere , e di più non sa« pendosi risolvere in generale le Equazioni di terzo grado , se non se mentre sono della forma 7} — M nzo^ne viene^che inutile sarebbe il cercare ìmmedia* tamente dalle j^',y' il valore delle Xj x\ x"\ e che in vece tron verrà cercare dalle stesse y, y* prima il valore di altre funzioni, le quali divengano radici di Equazioni di terzo grado non aventi» che il pri- mo, e r ultimo termine » e da queste già 'Cono* scinte potremo poscia pel ( N.^ 144 ) dedurre il valore delle Xy x\ x' , scnja ricorrere ad altre Equazioni di grado maggiore del primo . Chiama*^ ta Z questa nuova funzione^ siano Z' , Z\ Z'" i suoi tre valori , che corrispondono ad jp' t e pc lò alle tre permutazioni i.* , 2 • , g** ( N.® 229 ) • siano V ', V", V" i valori corrispondenti alla y\ e però alle altre tre permutazioni 4/ , j.* , 6.* ; e siano .finalmente Z^ — M = o , V^ — N == o le due. Equazioni , di cui queste funzioni sono radici • Sciolgo la prima di queste due Equazioni y ed a« vendosi pel ( N o 212 )Z = VM, « V M t** VM* postoZ' = VM^saràZ"=:atVM=«Z,Z'"=A*VM = ^*Z; e nel modo istesso trovasi V ' = « V "^ V'" = 0^* V'. Dunque la funzione Z pel nostro in* tento non potrà già essere qualunque , n a dovrà es* ser tale, che i suoi valori Z' , Z ' , Z " corri&pon* dendo alle i.* , 2.» , j.*,- e gh altri V, V ', V " alle 4-* j S-%^-S« abbianole quantità Z',V",Z",V'",
ugua*
ugaali rispettiVimeme «Ile Z' V » moltiplicate le prime due per « , le seconde per «* .
2 j I. Tutti i metodi adunque di soluzione per le Equaziom* di terzo grado dipendenti dall' Ipo- tesi del ( N.^ 228 ) a questo necessariamente rìdu- consi , di tcovare cioè dà prima una supposizione » che renda le funzioni del ( N.* 228 ) uguali fra loro a tre a tre» e di determinare in tal nx>do un* Equazione »• -f- S • -4- T = o , di cui siano ra« dici ley = F(*',»",*"'),y' = F(«', »",•'") ( N.' 229, 2jo) , essendo la e una funzione qua- lunque. Determinati poscia con la soluzione del- la/+Sj>-f-T = o i valori delle radia y , y, prendesi un' altra Funzione Z dotata delle proprie- tà accennate nei ( N.* pcec. )> n determina dal va- lore y' il coefficiente M , oppure da y" l' altro N, il che può sempre farsi razionalmente pel (N.* 145 ) ; e sciolta in fine una delle due Equazioni Z* — M = o , V» — N = o, e conosciuto così il va- lore delle Z' , Z" , Z " , o delle V , V" , V" , da cadauna delle prime, o delle seconde di queste quantità deducesi corrispondentemente il valore di ciascuna delle radici x\ x" ^ x"\ e questo può sempre effettuarsi mediante la formola ( M ) ( N.* 144 ) . Come un tale andamento abbiasi seguito é'fttcriori nella soluzione del ( N.** 2x3 ) , lo ve- dremo fra non molto , ma prima cerchiamo di com« piere la soluzione medesima , che ci siamo propos« ta a priori (N.^228),e di fare alcune ulteriori
riflessioni •
f f 132.
226
i^u Potendo la funzione % avere una for^ ma 9 ed un valore qualunque ( N.^ 2 29 ) j suppon- ghiaino per maggiore semplicità 2s=: Z, onde in vece di attendere a due funzioni diverse ^ non ab* biasi a tener conto ^ che di una sola; sarà quin« di z*=M, u^z=iNy 7:' —0L% y%' = oi^%\u'^ au , fi'' z=ioL^ u ( N.^ 230 ).Ciò presupposto, dia- mo alla z , ossia alla Z questa forma ^ x -\- Qjc' -4-Rjc'" y che è la più semplice, e supponghia* mo le quantità P, Qj R costanti, e da determi* narsi per modo, che si vengano a verificare le condizioni precedenti ( N.^ 228, 230.) Essendo pertanto » = P at' + Q^ir" H- R jir' ' , ne verrà »"=P;c'"4-ClJr'H^RAr",z^'" = PAr" + a^"' +
R at' , e però P;f" + a^' + R;r''=^(Pjr'H-Cl^'.+-Rjt'''), Pjc" + Cl^'"-hR;r' = «»(Pjr' + CLy'+R;c'"). Paragono ora insieme i termini omologhi di que- ste Equazioni , ed ottenendosi p = oc R , Q^=: ol P, R=atCL,P = a*CI, CL=a*R, R = a* P, osser- vo , che abbiamo con tre indeterminate P, Q., R sei Equazioni* Dunque alcune di esse o sono iden* tiche con le altre 1 o sono assurde • Se fossero que« ste assurde , allora la supposta P Jt*' 4- Qjc' + R Jt'" non potrebbe servire air intento; che se siano identiche , la funzione sarà opportuna • Colloco in luogo delle Q^, R i due loro valori ot P, ot* P ot- tenuti dalle 0^= ^ P , R = a* P ; divengono per- ciò identiche tutte le precedenti Equazioni , e la P resta indeterminata; dunque la P -Jt ' 4- Q.^ ' -+-
R x'"
127
Rx'" è stata opportunamente supposta , e dato al- la P p?r maggior semplicità il valore i , avremo
»'=(x'-¥-Ctx"'hCt'' X'."),z"=iìt(x'-Ì-IKX"^CL'' x")
,'" = «» ( y 4-« x"-+- «• x'" ). Quello, che si è det- to delie x>' , z," , x/" , dicendosi egualmente delle Éi ti a saTa
*'=(*'-+■ « x'"+ «* x"), »"= « CJ«^'-f« jt'" +«* ;t" ),
*'" = «*(:«•' -4- « *•'" -4- «* x" ) . Supponghiamo, che
t III II I II III ' « j f _ • • X & z, y m u u siano le due funzioni
F (a' , »" , »'" ), F («',«" , »'" ) ; ne verrik
y = a' »" ;&'" = «3 ( ;c' H- « ;r" -f- «» x")*
=i{x\-\-oix"-\-a*x"')i^ y" = «' #" *'" = a3 ( at' ^ « *-"'4- a* x" )»
= ( Af' 4- « J<f " *+ ^* Jf" )' , e posto per httvì"
avremo nella (21) il coefficiente S = — (r'-4-/»), e T = r»/J«
233. Affine presentemente di determinare questi coefficienti , e però 1' Equazione in ^ , os* servo , che abbiamo r» = x'i + 3 «y» *■" H-3 «» *'* x'" + 3 «* at' x"*
■+6 x' x" x"-¥ 3 eixx'"^ ^x"i -f 3 « x"^ x"'
4-3«»y'y"«H-y"s
*l = y I + 3 «* a:'» y 4- 3 ot x'^ y"4- 3 « a:' ;f"» -h
4-3«jfjf*H-jr', onde sommando; e ponendo — i in vece di «, + a* ,
"^ f f 2 giac-
118
giacché ptl ( 1^> 209 ) 1 -H« -f «* = o , ne viene r» H- /» = 2 ( A-'» 4- x"i -H jr'"» ) -4- 1 2 *' Jt" x'" - 3 ( A- * *"-!- ^'*"*+ *'* *'"+ Vy» -f- r"« Jr"'4- *"*'"•) = 2 2 ;rJ -4- 1 2 x' *" x"' - j S ;c» Jr . Dunque « cagione di A = o ( N.^ 228) avendosi pei
5^4f*x = -f-3C, sostituendo ottertemd S = ~(r» -t-/» = -l-tf C-t- 12 C-t-pC =-h 27 C; « con simile artifizio ci rìsukerìi T= r» /* =—27 B> <. Colloco i]uesti valori nella jf*-+-/jf-+-T = o,e divenendo essaji* + 27 Cj — 27 B* = o ,con la so- luzione ricaveremo
^=-iXSa:/(»il2Jl4d2»L), e post.
questo valore per maggiore semplicità := 9r !£ ^ > avremo y= w + / ,y' = w—^ .
234. Dalla determinazione delle y , y" con* verrà passare a quella delle quantità M , N , on- de conoscere le due Equazioni Z» — M = o , V» ^ N = o , e ciò in generale sempre otterrebbesi pel (N.*i44): nel nostro caso però essendo « = Z , »» = M, «» = N , »' = r' -+- « x" -+- «* x'", ,' = r'-4- « x"'-4- «• x", y = ( y-h « x"4- a* x'")», y ' = ( x' H- « jf '" -{- « x'> ( N.» 2 3 2 ) , otterremo immediatamente pel ( N." preced. ) M = jr' = ir -f-/, l^=jr" = w —/ , e però Z* = w + /, V* = ff — / , ossia J6»=:ir-f-^, *» = TT — /. Sciolta ora una di queste Eauaztoni, da ciascuno dei tre valori del* la s,o oelU « ricaveremo pel (N.* 231) ciascun
na
m delle cWeste radici x, *",*•'"; esse però>pid facilmente otterrannosi nella seguente maniera». Avendosi (x' -\-* x" 4- a» x^' )» = jr +/ ,
( *' H- « y " -h «• *" )» = T -/ , ed *' + ** -f y"
= o , sommando le tre Equazioni
(I[T)*'H-«r"H-***"'=V('f+/)>*'+«^ '"-!-«*"' = V( 'f -/)»''+*"+* =o,prf(N^ 209)
otterremo j*' = V(f+/)H- V( 'f — / ) > e però «. = |^iii^)±£fi=i>. Mohiplico Uprini.
drfle ( il/ ) per ** , la seconda per » , le sommo tutte e tre , e diviso il risultato per 3 i ne verri
X = — J'-^ ' — r — - — — "^ • Molnplicata fi;
nalmente la prima delle {111) per«,la seconda per «* ) e proseguito il calcolo , come di sopra ,
ricaveremo x = ' — » — ^— *-» . Que»
3 '
stì saranno i tre valori delle radici cercate , 9 ponendo, che ot significhi una qualunque delle tre radici cubiche dell' unità, vedesitche avre- mo pel valor generale della jr
Collocando in luogo delle ir , / i rispettivi valori p , V •-' — • — (N.«» 233 ), ne viene
Vi
Dunque sostituendo sarà
**k( *^( ' X) forinola non pùn- to diversa dall' ottenuta nel (N." 213 ) <f ^ff//*- riori ••
135. Se r Equazione data (N.^aiS) aves- se avuto il secondo termine ; chiamato A il suo coefficiente , si sarebbe fatto il discorso m'edesimo > ponendo però Sa:=^— A, S*'* = A*-2B, Sx' = 3 AB — A» -3C(N.**g5)e avremmo in egual maniera ottenuti i valori corrispondenti del< la Jf.
126, Estraendo la radice cuba dalla y' =
( N.® 232), abbiam ricavato ^y'= x'-{- x x"+»x"\ y y" = at' -f- a jf'" -+- ** x" : ma tre devono esse- re i valori di queste radici ; tenendo dunque con- to di tutti, avremo y y ^{x' -\-» x" -^-a.* x" ) y Vy=«(*'-f-«x"4.a»A-'"),
■yy"=ix'+xx"' + x-x"), yy" -ctix'^»x"''^cL^x")y yy'' = «^ ( ;r' 4- « x'" 4- «* x" ) • Tutti questi v*ì lori però nulla alterano la soluzione precedente; poiché paragonando insieme i valori , che si cor*
ris-
rispondono 9 conseguiremo gli stessi risultati del
237. Abbiamo nel ( N.^228) supposte le (/) tali, che risulti la i.» = 2.*, e ne abbiamo così dedotta la soluzione (N); facciamo presen* temente allo stesso fine un' altra supposizione di* versa ; supponghiamo per esempio la i.* = 4.^% Di« venendo perciò la 2.» = 5.*, la 3.*=:^.', le (/) saranno tra loro uguali a due a due y e saranno per conseguenza determinabili per un' Equazione del terzo grado ( N.^ pg ) • Ma , acciocché la fatta supposizione possa servire alla soluzione della no« stra Equazione ) pel (N.^230) è necessario , che conduca ad un' Equazione della forma ^'—T=:o> essendo /= 1/ ,y' = 2.* ,jf'" = j,* . Dunque le ( / ) dovranno esser tali , che abbiasi non solo la !.• = 4*» , la 2.» = 5.* , la 3.' =5.' , ma di più pel ( N.^ 230 ) , che ne venga y = xy' , y" =a*y ^ Ora è egli' ciò possibile?
Per la ipotesi fatta la i .* =/( x' )( x')( x" ) pel ( N.° 3 ) divenendo f(x')i x" , x")y vedesi , che a.vrcmoy=fCx ){x ,x ),y =f(x Xx,x)y y" =zf(x" )( x'", x' ) .Ciò posto moltiplico la se- conda di queste Equazioni'per «* > e la^ terza per «, risultando da ciò «*/' = (»*/(x"')(jr',Jf" ), «y ' = «/( jf " )( r", jf' ) , le quantità «*/', oty" saranno evidentemente tali , che non cangiano va* lore per la permutazione in quanto alla prima di x in jr", e in quanto alla seconda per la permuta* zione di x in x '". Ora avendosi/' = ^y'^y" =** y\
ne
*3^
^ " i#» .*♦'
ne viene jr =-jf =0 ^J' =-^J^ -^3
(N.^ 20I >: dnnque anche la funzione y non can- gerà valore per questi cambiamenci di x in x' ^ e di ;r' in jt'"; ma la jp' è già tale, che resta la medesima per la permutazione di x'* ih x''";dun« que essa y non cangeii mai di valore , qualun* que cambiamento si faccia fra tutte e tre le x , jr" • Jf '" ) e dovendo quindi pel ( N.* 3 ) essere y =/( V , x' , y" ) , ne verA y =f=y\ il che è un assurdo iti} iti y tip)* Dunque ec*
238. Da ciò segue che nelle 2,* — M =: o , U> - N = o ( N.* 230 ) non potrll giaromai esse» re M = M, poiché se ciò fosse, le due Z> — M = o , V» — N = o si ridurrebbero alla sola Z» — M = o , e da ciò s^;uirefobe l' assurdo del ( N.* prec.). Dunque la Z del (N.^^ijo) deve sempre «vere necessariamente sei valori differenti tra loro.
239. Supponghiamo ora le (J) tali, che la 1.* oltre di essere, come nel (N.*237) uguale alla 4.* sia anche ^uguale ad un' altra di esse fun* zioni per esempio alla 6.** Divenendo perciò la 2.* = $.• = 4.' , la 3.* = 5 * = 5/ , le ( /) saranno tutte uguali fra loro, e la /( *' )( x")i x" ) divente- rà della forma/( x ,\r" , x" ) . Questa supposizio« ne potrà està servire allo scioglimenro della ( N )>
Fatta secondo il solito la nostra /( x' , *" , x") = jf, la sua determinazione pel ( N.* loi ) con- durrà sempre ad un* Equazione razionale jt'— R =o« Volendo presentemente da questo valore della
23J
* — R ricavare il valore delle radici Xy x\ jt' per quanto si è detto nel (N.^^ijo), non potrà ciò eseguirsi immediatamente , ma solo col deter- minare da prima le radici di un Equazione Z' — M = o • Essendo dunque necessaria la determina* zione di questa Z^ — M = o , converrà dal valore R ricavare quello del coefficiente M ; Ora la Z à necessariamente i sei valori Z', Z", Z'",V',V"3V'", ed il prodotto dei primi tre è = M , essendo il seconao uguale ad un altra quantità N ( N.^ 230, 238 ). Dunque per la determinazione della Mfa* rà duopo cadere in un' Equazione di secondo grado 9 di cui siano radici le due quantità M , N ( N*** 147 ) • Ma nella ipotesi del ( N,* 232 ) ab* biamo M=y ^ N =y'j essendo y\f radici della ( /I ) , Equazione derivata dalla supposizione del ( N»^ 228 ) , cioè dalla supposizione della funzione !•* = 2/ ; Dunque la ipotesi presente ci dà bensì la soluzione della (N)) ma ce la dà conducen- dosi alla supposizione istessa^ che abbiamo fatta sin da principio (N.^228).
240. Potremo pertanto francamente asserire, che potendo le ( / ) essere tra loro uguali o a due X due 9 o a tre a tre , o a sei a sei y il solo ca« %o^ in cui esse si uguagliano a tre a tre^ quello si è> che propriamente conduce alla soluzione della data (N).
241. Abbiamo sin* ora supposta la ^=/ (*' )( -^" X^'" ) funzione razionale ( N.^ 228 ); vo* gitasi presentemente » che sia incommensurabile •
gg - On-
^34
Onde avere la soluzione deììat data , sappiamo do-^ vere la nostra /( x )( x" )( x" ) esser tale , che ser- va a' due fini : Y uno cioè di condurre ad un* E* quazione in y^ di cui conoscasi la soluzione in- dipendentemente dalla data (N.®2 27),r altro di far sì y che dai valori y' ,y' possami dedurre i corrispondenti della x , o della Z ( N.* 230 ) • Ora se la /( x' )( jc" )(x" ) è irrazionale, 1' Equa- zione in y divenendo del grado/ 7r(N.^ ^i^)j il primo di questi fini riesce sempre più difficile ad ottenersi , e pel secoiido dair irrazionabìlità del* là f(x')(x" )(x"') non ricaviamo vantaggio ve« runo (N.^ 2$8 )• Dunque la supposizione , che la f (x)( x' )( Jt" ) sia irrazionale , essendo una sup- posizione al nostro intento per lo meno inutile, potremo pienamente abbandonarla. Lo stesso af- fatto si dice di qualunque altro grado ^\ sia i* E« quazione data a risolversi •
241. Se r Equazione (N) à due radici im* maginarie» le qualità y , y' saranno necessaria* mente reali ; saranno poi queste immaginarie , men- tre le Xyx\x*' siano tutte reali, e disuguali fra loroi che se finalmente due delle Xyx'yx'" so- no reali , ed uguali fra loro , in allora le y 9 y" divengono anch' esse uguali fra loro , e reali •
Potendo la ;t' rappresentare una qualunque del- le tre radici della (N),supponghiamo, checies- prima la radice reale, che deve sempre necessa- riamente esistere (N.^54); le altre due jr" , ^'" potranno essere reali> od inunaginarie> uguali, o di- suguali fra loro. Sia-
25X
Siano esie primieramente reali , ed uguali; av- remo da ciò x' ■+■ ocx" -\- a* x'" = x' -4- « «•'" -f «• x" = x' + x"(x-^x* ) = x'— A-" =r \/y (N.« jo8 ) , e avremo egualmente x' — x" = Yy". Dun- que in questa ipotesi le Vy»Vj'" >eperòley,y' saranno reali , ed eguali tra loro .
i.*» Abbiansi le x" , x'" reali, e fra lor disu- guali; risultando in questo caso
X 4-ax +a*^ — ^ H-r y - ^ ^ |
y X ''==^/^=x'-L(x"+x"')H^"-x"')
5^J = i/y, ed y + «A:"'4 x*x"==x' -i
( AT'" + y ' ) + ( y " - ^" ) ì^ = V7" , vedesi ,
che le V jf' , \/y" , e quindi le y' , jr" saranno ne- cessariamente disuguali fra loro , ed immaginarie . 3 .* Supponghiamo finalmente le x"yx"' imma- ginarie; dovendo esse pel ( R*» 187 ) avere neces- sariamente la forma d-^ ey/ — 1 , </— « ^_ , ^ sup- ponghiamo V = </+ r 1/ — i ,y ' = ^_ ^ y' _ , ^.
quindi risulterà *' + a ;r" -h a» x'" = ;r' -f «
( //H- f V'— I) + a» (</— j. ,/-.,) = y _^ (^,j_l_ ^.^ ^
nel modo istesso x + «y -t-«* x" — x'- d-\-e ▼ 3 == Vj'" > e per con<;eguenza avremo in questo caso le quantità S/y , y f , e perciò le y' , y" rea- li, e disuguali tra loro. Dunque ec.
243. Ciò stesso, che abbiamo dimostrato nel g g 2 ( N.«
2i6
( N.«> prec. ) riguardo !c y , y" del ( N.» 228 ) si verìfica eziandio in generale rapporto alle quanti* tk M, N (N.«2jo).
Attribuitasi alla Funzione Z ( N.<* 2go ) una for* ma qualunque , e qualunque perciò divengano le M, N,è chiaro 1 che dovranno esse risultar sem- pre due funzioni delle x' , x" ^ x" simili alle/, y" ; dunque volendo determinar quelle per queste dovremo ricorrere alla (M) ( N.° 144 ) , e otter-
remo cosi due valori della forma M = -*~- »
N = ~-— ; supponendosi pel (N.»i44)
y* -{-py-+-^z= o 1* Equazione determinata in ji , e supponendosi a = H t, h =Hi/-4-H2. Or»
A X b -^ ap con la divisione ci risulta M = — \ rr — r ,
N = \ :r^^ , e frattanto le a. è, p sono
* 4^ 4 2/»* '^
tutte quantità reali» e non può giammai essere
a 2 ^ — <»/ =i o, poiché allor ne verrebbe M = — = N
contro del ( N.® 238 ) • Dunque ,comc faciimen* te conoscesi dalla semplice ispezione dei valori ot* tenuti, quali sono le quantità y,y' , se reali cioè, o immaginarie, uguali, o disuguali tra loro, tali saranno pur anche fra loro le M , N, e per con- seguenza ec.
244. Poiché qualunque artifizio adoperisi per la soluzione della (N), sempre dobbiam cadere
a de*
^37
t determinare le jt', y, x'' dipendentemente daile Z' , Z" , Z"' , oppor dalla V , V" , V" ( N.* 2^0, 239, 240), e poiché il valore di queste Z'9 Z" , ec. dipende dal valore delle quantità M , N ; quindi ne viene pei ( N.^ 144)2^0), che le radi- ci X , x" y x'*\ se sono reali, e disuguali fra loro » verranno sempre ad essere determinate per quan* titk immaginarie , e se due fra queste radici sono immaginarie 9 il loro valore ^ prescindendo dal va« lore dì ol{ N.^ 2 i 2 ) in esso contenuto y verrà sem« pre a determinarsi per quantità reali «^ Da questo si vede, f he qualunque metodo si adoperi nella so« luzione j^enerale delle Equazioni di terzo grado ^ non potremo giammai evitare il caso irreducibile (N.<>2i7).
245. Passiamo ora a vedere giusta il (N.* 227 ), come la soluzione della (N) data a past§^ riori ( N.® 213) segua esattamente T andamento accennato nei ( N.* prec. ) •
Fatta nel ( cit. N.^ 2 2 7 ) la supposizione x= z+ar , e ricavate le due as^ H- «^ + C = 0,3 u% + B=o> sostituisco nella prima il valore di u ricavato dair ultima di queste Equazioni ^ Avendosi perciò
B B X
^ = » ^sarà** - x% = o,e« = --.±
1 — - ) •. Volendo presentemente tener con*
to di un solo dei valóri della % , lascio innanzi del radicale il solo segno + , e colloco in vece della X il valore x\ t in luogo della B il suo
vaio*
/(
21%
valore x x -^ x x +^jr , ossia, a cagione
di Ar'+A-"H- y " = o, il valore — (x'^^x' x'-^x"^): operando in tal modo y e riducendo y otterremo
jr' = — jr" — *"'" , sostituendo di nuovo, sarà
H- ^^— X ^ 4- ^ Xy-
— ^ , supposto !--p^ = « ( N.*
212); elevo questo valore al cubo , e poiché ne
viene z» =— - ( x' H-« x' + «» jr'" )* , e poiché pel 27
(N.** 232 ) abbiamo s> = jf> ci risulterà finalmen- te ^ = — ( Jf' -+- « Jf" + «» x"' )» . Dunque la^ del
(N.^2i} ) altro non è che una funzione delle x',;^",*^'", perfettamente uguale a quella del(N.*
230), supponendo P = — (N.* 232). Due per- tanto essendo i valori della y (N.^ 228),! due cioè, che ricavansi dalla y H- C^ =0 (N.® 213),
converrebbe ora pel (N." 230) da essi determi»
na-
Dare le quantità M, N , coefficienti delle Z> — M=o, V» — N =: o ( N.® 230 ) . Nel ( N.* 231 ) , supposto per semplicità Z, = », V = «,e fatto F (z', »" , «'" )
$ •! Ili fm f t II III \ I II III LL*
=£ £ £ ,F(«,«,« )=«« iv , ne abbiam ri- cavato M=y'y N=^", e però z' =y', «» =jp".* dunque avendosi nel ( N.* 213 ) »» =^ , vedesi , che anche questa supposizione equivale precisamente a quella del citato (N.^ijz ). Finalmente dai tre valori x>', »", «'"secondo il (N.* 230) conviene determinare corrispondentemente i tre jf', x"y x"' ; e ciò di fatti eseguiscesi nella ( O ) ( N.** 1x3); poiché , essendo
quesu nata dai sostituire ncUar = «+ « = »— —
il valore della z — x^y^ e pei ( N.* 212, 232)
avendosi »" ^ "'•^v'~^ *',»'"= ::±::L>fs:l z',.
2 ' 2
se in essa ( O ) fatò « = 1 , diverià » = »' , e ver- rò cosi ad ottenere la radice x' dipendentemente
da *' ; se farò « = ^^ — iJZl , risultandomi
2 '
« = — -~^ j&' = as" , verrò a ricavare da que- sto valore z" il corrispondente di *", e suppo- nendo finalmente x = "~ ""y""^ ^ e però
» = ," »' = »'" , ci risulterà il valore di
*'" da »'" . Dunque 1* artifizio adoperato nel ( N.* 21 3 ) riducesi in fondo a quello stesso ^ che ci sia- mo proposto ) e che abbiamo usato nel ( Capo
pre-
240
presente ) : colà però abbiamo trovato un tale ar* tifizio indirettamente, e come a tentone ,* ma qui ricercandolo avvedutamente, e direttamente «
245. Venga richiesta a priori la soluzione dell* Equazione generale di 4*^ grado (P) x^4-Bjf*-+-C^ + D = o,chepongo, come nel (N.^22o), priva del secondo termine.
La funzione generale derivante dalle sue radici si è la/(y )(jt'^)(;t")(x'^) determinabile per un* Equazione del grado i . 2 • 3 • 4 = 24 . Affine adun« que di determinare una trasformata , che serva aU Io scioglimento della ( P) , converrà pel ( N.® 227 ) tra le infinite forme di questa /( x' )( jt" )( x"){ jr'^) quella trovare , nella quale i risultati ^ che pro^ vengono dalle varie permutazioni tra le x , x*' , x" y x'^ , riescono uguali fra loro ad otto ad oe« to , poiché in allora la trasformata diviene dei gra«
do -^ = 3^ • Ora supponghiamo essa funzione del«
o
la forma /((a:', A- "),(*'", A-'")), 1 suoi valori di- versi sono appunto di. numero — ^ = j ( N.* 102) j
tale JForma adunque sarà opportuna all' intento ^ e le radici della trasformata saranno le ^
?•*/(( ^5^^)^ (^5 *" )) • Dovendo presentemen« te determinare questa funzione ( N.** 227 ), pren* do a tal uopo, siccome nel ( N.* 229 ) un* altra funzione delle x\x\ Jt"', x'^,chc disegno con
la ca«
i «41
h caratteristica ^ e chiamo s , faccio In essa tut- te le permutazioni analoghe alle già fatte nella fun* zione disegnata con la/, e queste, operando, co» me nel ( cit. N.*2 29 ),ci daranno in generale t valori delle funzioni i.* , 2.* , 3.* •
Poiché pel (N.0229) la s può avere una for* ma qualunque, per maggiore semplicità suppon- ghiamo, che abbia la forma (t){x x" ){x" x'^) , e «ia4»(x',Ar")(*"',x'^) = *',(p(*"',;t''X*'r") :=ìb"; osservando in questa ipotesi la natura del* le nostre funzioni , ed osservando insieme quanto si disse nel (N.*2.29), vedesi non difficilmente, die potremo sempre esprìmere la nostra funzione X.* per F («',%")• In egual modo posto (|> ix\ x") ix% at'^) = •',<{) ( x\ x'')ix' x'") = «", ^ix\x^Xx",x"')=f',<fix",x"'Xx'x"')=z,'\ I ne verrà la 2.» = F(*' , *' ) , e la 3/ = F(/',/" ). 247. Proseguendo 1' operazione secondo il ( N.» 230 ), supposto F (»',»") =y , PC*' , u" ) =y', F (/',»" ) =y ", converrebbe pel ( N:» 105 ) (IT) determinare 1* Equazione y* 4- Sf-hTy + V = o, I sciogliere questa , e conosciuto il valore delle sue i radici , determinare dipendentemente da una di lo- I ro , per esempio , dalla y' il valore di una quan- tità M coMSciente di un' altra Equazione Z^ - M = 0 (N.*> 230 ) : ciò fatto , converrebbe dalla Z^ — M = o determinare il valore delle quantità Z' , Z" , Z'" , Z'^, e da queste dedurre finalmen« te in corrispondenza il valore richiesto delle radi*
Cà X f X f X yX •
h h 248.
24*
248* Ma per essere 4 l'esponènte della (P) potremo in altro modo giungere al nostro fine , spezzando cioè essa (P) in altre due Equazioni di secondo grado. Supponghiamo infatti un' equazione, di cui siano radici le quantità x! fX," yC tale sia U (D *»4-M»H-N = o.
Avendosi il coefficiente M = — ( »' H- »" ) = F ( «' , z," )y non sarà questo , che un valore del- la y , e però come la y dipende da un* equa- , zionedi terzo grado (IF), così parimenti da un equazione di terzo grado dipenderà la determina- zione di esso coefficiente M : conosciuto così il va- lore della M , dipendentemente da questo conos»» cer potremo il corrispondente della N ( N.* 144 )f e determinata in tal modo 1* Equazione ( T) , dal- lo scioglimento, di essa ricaveremo i valori delle »', »". Ciò posto supponghiamo »' = ^(jp',* > U'", x"' ) = 9 (*', r" ) + o (V' H- x'^) = <p (*', ^ )* ne verrà »" = (})( x" , x'^ ) ,'C la determinazione di queste z , %" è chiaro , che dipende» da un E- quazionc simile alla precedente ( n . Ora se sup-
queste quantità sono del genere delle precedenri x.' = (p(x',x")yz"=:(pix\x"'), e determina- bili per conseguenza per un' equazione di secondo grado ( r) , i cui coefficienti dipendono da un* Equazione del grado terzo; e inoltre , conosciu- te
te queste /, b , dalla primi di esse può sempre determinarsi la g , dalla seconda la ii ( N.* 144). Dunque con la sola soluzione di un' Equazione di secondo , di una di terzo , e di altre di primo grado potremo sempre determinare i coefficienti fybygikyC però le Equazioni x* 4-/^ -f-^ = o, x^'\-hx'\-k-=o, onde i valori ricaveremo del-
ki ti ni 1^
Queste due Equazioni **-|-/jf-4-^ = o, x*-hix'-+-/fc=o equivalgono alle due
Q
-j-:=io del (N.® 220), essendo /= — v'»,
C L_BH-» C
2V» 2 2%/»
t / B+g . C r BH-« C
CAPO DECIMOTERZO.
Kìficsmui intùmo alla Solution gtneralt ielle BqnaTbiotù,
140» I yata sia a risolversi I* Equazione generale (D) jt* + A ;v9''*+B *•"•-* H-ec=o
Dovendosi al nosefo intento pel ( N.<> 227 ) de- terminar da principio "ima Trasformata di grado inferiore al numero i«,o ad esso uguale , purché risolubile indipendentemente dalla data , suppon- h h 2 ghia-
«44
ghiaino essere questa !a ( / ) ^^ •+• S y'~' -H T^*-* -4- ec. = 0 , aveodosi » nume- ro non maggiore di m\ Per la determinazione di una simile Trasformata prendo la funzione / ( * )( X-" )( jr " )•..(**), e giatchè il suo valo- re X generalmente parlando dipende da un* Equa* zione del grado i . z . 3 . . . x» , che chiamo tt , con- vertii,, che da prima io cerchi quella forma di e»> sa ,. per cui tutti i suoi n valori riescano tra. lora uguali ad i.i.j.'.C» — i)(»-+-i).».w,ad 1.2 .^...(fli — i)()!i-|-i) ...w, poiché in allora il grado della Trasformata diviene per l'appunta
I.Z.^...(«i^l)(llXll-fl )...»_, .yj , ,^ .
;=:. ' ' . ' — ■ ■ ■ ■ ■ — »(N. looja.
Z.2.3...(lf — l)( M+ l ) . . . M ^
Supposto di aver ciò. fatto , chiamo y ^y" , jf'" , ec., j(W j risultati diversi della nostra funzione (N.* '^S)), determina col loro mezzo i coefficienti S ,^ T , ec. ,, ed ho cosi la Trasformata. ( I ) , di cui già conosco la soluzione ..
Effettuata questa pertanto , e conosciuti i valori delle y' , y" , y!" , ec. , jfW , poiché generalmente parlando,^ qui pure si replica quanto si disse nel i N.^ 230),, veggo , che in generale da questi non potrò^ determinare i valori delle x'yx'\x"' ,ec»^ x^^f ma che sai^L necessario determinar prima , co- me nel (cit.^N.*' 2}o ) ,. dipendentemente day una qiiantitk M coefficiente dic^nn*^ Equazione corris- pondente Z* — M = Q» oppure da y" una quan- tità N coefficiente di un^ Equazione V'—N — o corrisponderne adjr" > e wù di seguito • Ciò aduii!»
que
«4J
que eseguisco » e sciolta una di tali Equazioni , per esempio , la Z* — M = o , dagli m valori-, che si ricavano VM, « V M , «• V M » «e. ( N .• 20 j), deduco finalmente io corrispondenza i valori del* le radici x*, x", x'" » ec.» jf^"*», e avremo cosi sciolta la data (D).
250* Se m fosse un numero composto» e Byp' se m ■=. nf^ sembrando allora non aver più luo- go 1' inconveniente del (N.^ 230),^ dagli » valo- ri della y pare > che potremo cercare immediata*» mente gli m della x^ deducendo da jr' i primi corrispondenti valori jr' , x" , ec. » jr^>, da jr" i secondi -;r^'^*>, jr^^*"»), ec, x^*^^y e cosi in prò» gresso *
2 $ I. Osservando la soluzione della ( P ), ( N.* 2 4^ ), ottenuta con lo spezzamento di essa nei due fiittori ;c»'H-/;r-l-^ = o,*»-+-ijf +-* = o(N.<' 348 ) , potremmo noi credere », che esista un' al- tro metodo» onde sciogliere le Equazioni differen- te dai primo ( N.*^ 24$ ) , quello cioè di spezzare la ( D ) in due fattori ** -t- 4 x'-'-h h xf-*-¥ ec. = o , jf*-' + g jc*-*-* + i& ;r* ^ * + ec, = o , la soluzione dei quali » essendo già cognita» ci dia il valor domandato delle x , x" , x" % ec. *<*>'; ma da quanto sì è detto nei (N^<^ 227)» e da quanto diremo nei seguenti, vedremo» che questo nuovo metodo » allorché ha luogo» dipende totat mente dal primo»
252. Per la determinazione di un'Equazione a* + 4 ;r<r' 4- h *'~* + ce. == o , di cui voglionsi
ladi-
radici le / quantità x , x" , x" , ce. jrW radici della data ( D ), converrà determinare i coe£Scienti a f hj ec« ^ ciascuno dei quali sia funzione della forma f (,x y x\ x" y... jrW ) • Ora la detenni^ nazione di una tale funzione sappiamo dal ( N.* 104), che non può ottenersi, se non dipenden* temente da un' Equazione del grado
f^,-.)C,-^)...i.^.^ Espteao duoqu*
per brevità con la lettera X questo numero , il va«
iore del coefficiente a dipenderi^ da un' Equazione
r( 71 ) 4^ -+- M /""' -f- N n^""* -H ec. = o : perchè poi gli
ahri coefficienti ^,r^ec. non sono , che altrettan*
te funzioni somiglianti alla funzione a , saranno
tutti pel ( M.^ 144) determinabili razionalmente
dai corrispondenti valori di questa . Dunque la de«
terminazione della x' + 4 x^""* -4- ce. = o , ossia lo
spezzamento accennato nel ( N.^ 251) non può
effettuarsi 9 se non dipendentemente dalla soluzione
di un' Equazione a^-hM /""'-f- N /"*' H- ec. — o,
la quale dipendendo affatto dalla proposta (D)^
non ne sarà infine, che una sua trasformata.
253. Se sia/ = i« — i,ovvero/=i ne vie-
m
neX=~; se facciasi / = /» — 2, oppurc/=: 2,
ne risulta X=-.i i; se / = « — 3, w — 4 ,
ec. , ovvero / = j , 4 , ec , ottienesi corrispon- , ^ m(m — iV*» — 2)
^47
X = ^ , ce* y mt a cagione
1.2.3.4 ^
di / < MI , niuno di questi risultati è inferiore ad m. Dunque generalmente parlando , ignota essen* doci la soluzione della ( D ) , non sapremo neppur risolvere h (II) y e quindi non sapremo neppu- re spezzare essa (D), come ci siam proposti nel (N.^ 251)-
254. Ho detto generalmenf? parlando 9 poiché esister ponno benissimo dei casi particolari 9 in cui la (li) possa abbassarsi di grado 5 e per tal mo« do risolversi. Nel (N.^ 248)90ve9a cagione di iRT = 4» ^ = 2, deve essere X = 2 . 3 = tf ( N.* 253), abbiamo ritrovato dipendere il coefficiente /, che corrispoode al nostro a ( N.^ 2 5 1 ) , da un' Equazio» ne di secondo grado , cioè dalla «* + M a^H- N = o, e41 coefficiente M abbiam veduto dipendere da un* altra di terzoi^quivalendo poi evidentemente amen* due queste Equazioni considerate insieme ad una di sesto grado.
255. Qualunque metodo adunque si usi per lo scioglimento della data ( D ) , saremo sempre condotti a quello del ( N.* 249 ). Ma è egli que- sto sempre possibile ? Abbiam vedutq che si , ogni- qualvolta non sia mt > 4 ; ma se i« > 4 > che cosa allora succeda ^ce lo diranno le riflessioni seguenti*
155. Chiamo Termutazione nmfltce quella y in cui le radici) che la compongono, devonsi muo« vere tutte simultaneaipente dal loro luogo. Sem* plici dunque saranno le permutazioni » per cui non
Cam*
248 cambiali valore le funzioni' —, -I- —r + -r» ( N**
X P* ^
2t9 ), V x" y "* + x'" x'" x* , restando la secon- da di queste U medesima al cambiamento simul* taneo di x' in :ir"', e di *" in r!', e la prima a queUo di x' in y",di x" in r',cdi 5" in x",- e semplice sarl^ parimenti la permutazione di f(x')U"Kx"'Xx"'Xx'') in /(*")(*"')(0 (x^)lx')» Che se la permutazione è tale, che il cambiamento fra alcune delle sue radici può avec luogo I e simultaneamente , e non simukaneamen* te al cambiamento fra altre delle medesime prese o disgiuntamente, o unitamente alle prime; allo- ca alla permutazione daremo il nome ai comporta 0^ Sarà quindi Composta la permutazione» per coi
taon cangiano di valore la funzione ^«^,v' >
e r altra /(*',*", V", :^'^)(*^); e tale sa A pur anche la permutazione di /(*' )( V Xx" )(x' ) in fix" )( *' )( x"' X x" ) , mentre il cambiamento di x' in x" possa aver luogo separatamente dall' «Itco di X m X .
a $7* Due generi distìngueremo di Permuta* ^oni semplici^. Diremo del secondo genere <i\xt]ìey nel* le quali > mentre alcune delle radici» che le fot- mano , cambìansi fra di loro, altre si cambiano fra loro di^iuntamente dalle prime; di questo gene* re è la permutazione, per cui resta la medesima la precedente funzione x' x" x"* 4- x'" V* *'* • Diremo poi Permutazioni àoi frimo geutre quelle»
nelle
M9
nelle quali non possono alcune delle radici cam- biarsi fra loro separatameate dalle altre : sar^ del primo genere la permutazione, per cui rimane la atea-
sa la funzione -rr-^-^, — h -bt ( N.« prec. ) , e tale
larlk r altra di f(x')(x"Xx"')(x"')(x^) in fix")(x"')(x''')(x')(x).
258. Nelle permutazioDi semplici del seeonio gt^
nere , e nelle composte chiameremo Permutazioni
€$mf unenti quelle ^ le quali eseguisconsi separata*
mente dalie altre . Considerando nelle due funzio*
. x'x'* x'^x"» x'^ + x"* ,
m • — rT'^ T— > /// rv T 1^ permutazione, per
cui t$st non cambiansi di valore; nella prima le due componenti saranno la mutazione di x' in x ^, e quella di x" in x"' ^ nella seconda la reciproca fra le tre radici x'\ x^, x'^t T altra fra le due X y x" . Nelle Permutazioni semplici del secondo ge^ nere è chiaro, che le componenti non possono , che essere semplici del frimo.
259. Le Permutazioni composte distinguonsi in tre generi • Il genere primo comprende quelle , nelle quali niuna delle radici esistenti in una qualunque delle permutazioni componenti può pas« tare tra le radici > o nel luogo occupato dalle ra« dici di un' altra • Il secondo abbraccia quelle ^ nelle quali le radici di una permutazion componente possono passar tutte ad occupare il luogo già prima occupato dalle radici di un' altra , senza però 5 che le radici della prima si framìschino i i a quel*
150 a quelle della seconda . Il terzo finalmente comprende le Permutazioni y in cui le radici di una delle conr- ponenti possono passare a mescolarsi tra le radici di un* altra • Se vogliasi hf(x)(:x"){x")(x''' ) (Ar^)U^' ) =f{x' ){x" Xx )(y ^ )( x"" Xx^^) compo. sta > tale permutazione sariL composta del primo genere ; poiché è dessa formata dalla semplice di X in x\ di xr in jr"',dijr'" inV , e dall'altra di x-'^ in x^\e non entra frattanto nella prima di que» ste alcuna delle radici ^ che formano la permu« razione seconda • La Funzione del (*N.^ 245 )-
( (x\ x")y (Ar'",y^)) resta la medesima per una per» mutazione composta del recando genere^ poiché aven« dosi/ ((y , x'\ix"\ x'")) =/ f ( x'\ x'^) , ( x\ x" )), le radici x'yx" della prima permutazione compo- nente senza mescolarsi colle radici x"\ x'^ della seconda , passano in essa ad occuparne il loro luo- go.Che se si vog\ìif(x')(x",x")(x'^Xx') — = /(jf'Xjf",*''^Xjf*X''")»queste due funzioni si uguaglieranno fra loro per una Permutazione composta del ter%o genere ; imperciocché nel secon* do risultato in luogo di x" radice della prima permurazion componente collocandosi la x" radi- ce della seconda, e in luogo di x* radice sper> tante a quest* ultima permutazione ponendosi la x'" radice della prima , noi abbiamo mescolate- insieme le radici delle due Permutazioni compo- nenti .
160, Nelie permutazioni composte del secondo genere le radici , che passar deggiono a vicenda
da
25»
di U1IA delle pennutazioni componenti ali* altra , devono in -ciascuna di queste esser sempre di nu- mero uguale . Imperciocché se ciò non fosse , co- me nella permutazione , per cui non cambia di va- lóre la funzione /( (*',*•"),( x'", x'^,x')); do- vendo in allora risultare /(( x , x" ), ( x'", jf'% **)) =f{ix"\ x^),(x' ,^" ,x^)) CN.« 3 ), con la X* radice appartenente alla permutazione seconda anderebbonsì a mescolare le x , x" radici della permutazione prima contro del (N.**prec.)*
25i. Se la funzione y =^ /ix'Xx"Xx"' ) (x'^Xx^) ,..(4rW) è tale, che per la sua forma uguaglia il risultato, che deriva da essa per una data permutazione, se sia per esempio, /(V)(y')(;r"')(;c'^)(;r^)...(xW)
= / ( ;t" )(x"' )( x'm x^Kx').. . UW ) ;. rinnova», do successivamente la permutazione medesigia su i nuovi risultati, che ne vengono , finché ritorni il primo, tutti questi, saranno uguali fra loro.
A cagione del ( N.** ^7 ) ciò si dimostra affiit* to, come nel ( N.*> 228 ). Perciò se questi risultt- ti fra loro uguali son di numero /; tutti i n ri- sultati dalla y ( N.° 92 ) saranno fra, loro uguali a / a /, e dovrà per conseguenza essere n esat- tamente divisibile per p . Chiameremo questo nu* mero / il grado di Mgtftfgliattza della nostra fun- zione .
2tf2.Sc nella data ^=/(;r'Xjr")(y")(y'') ix'*)(.x'"),.,( xH ) eseguiscasi una permutazioa i i 2 lem-
semplice qualsivoglia del frtw9 genere , ed essa me- desima si replichi quanto sì può; tutti i risultati, che quindi si ottengono , tanti dovranno essere di numero , quante sono le radici implicate nella Per- mutazione .
Supponghiamo ) che nelll nostra y^fCx'X X" )( X'" Xx'-X xj Xf ) . . . ( *W ) permutinsi le cinque radici x ^x ^x yX yX , e fissiamo 1* attenzione sulla prima x . Tolta es- sa dal suo posto, venga questo occupato da un* altra delle radici , per esempio, dalla Jf'; la x' non potrà passare al quinto posto , poiché se ciò ifosse , la permutazione di x' in x' sarebbe disgiun- ta dall' altra fra le x\x"'yX^' contro la suppo* sizione ( N.* 257); sia pertanto il quinto V^fff^ occupato da un' altra delle tre radici Jr" , ^ 9 x'" , per esempio , dalla x" ; neppure in luogo di questa x'" potrà collocarsi la x' , imperciocché in tal caso le x' , x" , x" si cambiercbbero fra loro separatamente dalle x", x" contro la Ipotesi. In luogo adunque della x" entri , per esempio , la x*' ; invece della jr^' dovrà per la stessa ragione entrare non già la x' ^ ma la Jf", e la x' occui- peA finalmente il posto, di quest* ultima radice x" i ciò fatto, ne verrà il risultato
a-V ( *")( ^' )( *" )( *'' )(;«•'")( Jt" ) ... ( *<") ) ..
Considerando la natura della nostra permutazio- ne, dal primo, e secondo risultato vedesi nasce- re questo da quello col trasportarsi nel primo pos- to la radice , che occupava il quinto > col porre
nel
nel quinto la radice , che occupava il terzo ^ con lo scrivere nel terzo la radice del sesto, metten* do nel sesto la radice del secondo , e nel secon* do finalmente la radice del primo • Ora replicane do , siccome in ( /// ) questa medesima Operazione sul risultato secondo, poscia sul terzo, e cosi di se* guito, io dico, che dopo del quinto la x' tornerà im« mediatamente ^1 suo primo posto : e di fatti per la natura della permutazione jpssa vi tornerà subi« to dopo , che à occupato il posto quinto : ma a questo quinto posto non vi può passare, se non dal terzo , e al terzo non può andare , se non dal sesto, ed al sesto, se non dal secondo* Dunque essa X tornando al suo primo luogo solamente dopo avere percorsi gli altri tutti, vedesi chiara- mente , che vi tornerà solo alla quinta permuta* zione , ossia dopo il quinto risultato • Ma fissan* do r attenzione sulle altre radici x" , r" , x^ , V^ trovasi in egual modo che la x' torna essa pure al secondo luogo nel tempo stesso , che la x tor* na nel primo, e così la x"' nel terzo, la at^ nel quinto, e la x^' nel sesto • Dunque alla quinta permutazione tornandosi ad ottenere il risultato primo , ne viene , che i successivi risultati ricliiesti dovranno essere in punto cinque , ossia tanti, quan- te sono le radici impiegate nella permutazione : ciò vedesi in (I//).Ora questo discorso ifaedesi- roo ha luogo egualmente, qualunque siasi la sem« plice permutazione supposta , e qualunque il nu- mero delle radici impiegatevi » Dunque %i verifi*
cherà
254 cherà s.empre, che ec«
(nj)i.V(*'X'"X'"')C^"XA-"XAr''')....(A-('-))
3.V('"'X^'X^")(0(;c'')(;c')....(:r<-)> ^-fx'' )( x'" )( r' )( at"' )(*")(>•')....( jr<-) )
5.«>/(^"X*"X*'XV^X''X^"')...-(^<'">)
2^3 • Da questo teorema ricavasi : i.° che una delle radici implicate nella permutazione pre- cedente occupando un dato luogo in uno dei ri« sultati (III) 3 non potrà giammai occupare il luogo istesso in un' altro qualunque dei medesimi • La radice per esempio x* trovasi nel quinto luo- go del risultato primo; ma in nessuno degli altri ri« sultati può il quinto luogo venire occupato daila stessa X* ,
2.* Se vogliamo, che la nostra y (N.^prec.) si conservi dello stesso valore per una permutazione semplice qualsivoglia àiì f rimo genere ruttigli i.z.
3 «r = ir valori di essa saranno uguah fra loro
a tanti a tanti» quante sono le radici , cheimpiegansi nella permutazione supposta; così che se que^e radici son di numero f , il numero dei valori diit
ferenti della y sarà ' = — . Se sia « = j,
f^l , tU f{x')ix"){x"')ix'^)ix-)
\ =f(x')ix")(x')(x"')(x'^), i primi risultati tra loro uguali saranno i. tre f(x')ix")U")ix'^)(x-),
/(x')(*"X'^)(*"')(jt"),
fi»'
155 e i valori differenti della y sarano in numero di
1.2.^.4.5 120
40.
3.* I 9r valori della y per una permutazione sem- plice del frimo genere non potranno al più , che essere uguali fra loro ad x» ad w , e ciò quando nella permutazione tutte si muovono dal loro luo- go la «r radici . Nel caso di m = 5 , il maggior numero di risultati uguali fra loro adunapermu* fazione semplice non potril essere , che di cinque» e ciò mentre si cangino fra loro tutte le
(»"> i.V(*'X'"X*"')(V')(x')
i^*f(x")(x"')(x")ix^)ix'y
4.V(*'^X''X*')(Ar")(V") S'''f(x-)(x'Xx")ix'':)(x"'y 4.* Se una permutazione ci dà i ir valori della y tra loro uguali a /a/, essendo / > Mutale per- mutazione non potrà essere, che compostalo sem- plice del secondo genere,
264. Determinare il grado / di uguaglianza nella y , mentre essa conservisi la medesima per una permutazione semplice del recando genere,
Supponghiamo primieramente , che come nella ipotesi di /C x' )( X" )( X'" )( x'^X * X ^" X ^"' )( *"" )
/( *'" X x')(x" )( x"' )( r" )( x^" X x"'" )( x" ) ix'Xx^), la
255
la nostra permutazione sfa formata di due 'so- le componenti ( N.* 258 ), la prima di quattro , e la seconda di sei radici • Replicando su '1 risul- tato secondo , poscia su '1 terzo , e così di se. guito, r operazione medesima , ne verranno i ri* sultati I .• / (*' )(x" )( y " )( y" )( X- )( x"' )( X-" )( X'"" ) > (*'*)(:c«)
2.» f(x- X ^' )( *" )( ^"' )( ^^' )C X" )( X'" )( X")
(x'^Xxn 4.0/ (x")( x'" )( ;r'' )C x' ^x"'" )( Ar'« )( ^' )( ^" )
{x'"')(x'"") 6?f ix'^ )( X' )( ;r" )( x'" )( jr« )( a:' )( ;r^' )( *'"' )
( r ) 7-V (*'" )( *" )( ^' )( *" )( ^'^ )C *" )('"' )( *"" )
«.•/C^" X *'" )( at'^ )( x' X :r^' )(4r^" X *"" X *")
(x'^X^') 9.V('' )( '" X *'" X x'" )( X-' )( ;r^"' )( X- X '')
( *' )( x' )
io.Y(*'^X *' )U" X^"'XAr^""X*")(*«X^') (.x'Xx")
«57
1 2 . V( ^" )( ^'" )( ^'^ )( *' )( ^" )( ^" )C ^" )( ^^" )
tutti uguali fra loro , e questi dovranno essere tan- ti di numero , quanti se ne ottengono , finché rì« torna il primo^ ossia finché le radici delle due com« ponenti tornano tutte insieme alla prima lor po« sizione : ora le radici della prima componente pei (N*^ 2589 i6i) vi ritornano ad ogni quattro ri« sultati , e quelle dèlia seconda vi ritornano ad o« gni sei: dunque sì le une ^che le altre di tali ra*- dici non potranno tutte insieme ricuperare la pò* sizione lóro primiera ^ che dopo un numero di ri« I sultati multiplo del 4 9 e multiplo del 6; ma il numero minore y che gode di questa proprietà si è il 12 3. come é facile a vedersi , a cagione di 4 = 2 . 2 , di 6 = 2 . g ) e del 2 massimo comun divisore fra questi due numeri 4 ^ tf • Dunque do« dici saranno i risultati ( F) , e 1 2 il grado richie* sto di uguaglianza^
Se siano b le radici , che impiegansi nella prima permutazione componente 5 e quelle della secon- da ^ e se sia b :=^ ng ^ cz=znb j essendo n il loro massimo comun divisore ; nel modo medesimo tro« veremo dover essere / multiplo tanto del nume« ro b , come dell' altro e , ed essere perciò f=.ngb. Se la nostra permutazione contenga tre ^ quat« ttO| ec. permutazioni componenti > e se b^c^d^
kk ec.
258
ec. ci esprìmono i numeri delle rispettive radi- ci; supposto » il loro massimo divisor comu- ne, e supposto h = ffgf r = Ki& , </= n i i ec.,
vedremo egualmente dover essere pz=.ngbi
25$. Determinare il grado di uguaglianza , allorché la ji conserva il proprio valore per una permutazione composta ael J^rimo genere, ^
Siana due le permutazioni componenti , sia G il numero dei risultati , che ottengonsi dalla jr mediante la prima di queste considerata dasero- la , e siano H i risultati , che nella stessa guiss ricavansi dalla y col mezzo della seconda . Poiché pel ( N." 259) le nostre permutazioni compatenti sono in tutto , e per tutto indipendenti fra loto, trovati tutti i G risultati , che nascono dalla prima di esse , è chiaro , che su ciascuno dei medesimi po- trò eseguire la permutazione seconda ; ma per ta- le operazione da ciascuno dei G valori se ne ot- tiene un numero H; dunque sarà GH it nume- ro totale di questi risultati , e per conseguenza sarà / = G H .
Se sia i» = j ,c per una permutazione compos- ta del primo genere vog\iasif(x'Xx" )ix"')(x"')ix'') ^J^x")ix'Xx'^)ix"')(x'^),ondesizhbìiG = ty
H = 3, saià/ = 2 . j = tf, e perciò ^ = -^=^^0'
Nella ipotesi , che tre , quattro , ec siano le permutazioni componenti, e che I, K, ec. ci es» primano corrispondentemente i risultati , che nas- cono dalla y per la terza , la quarta , ec. di queste,
nella
nella mtniera medesima troveremo dover essere in corrispondenza / = GHI,/ = GHIK,cc.
266. Chiamato f il numero totale delle radi- ci , che impiegansi in una data permutazioift , per cui la y non cambia di valore, se questo a sfa numero primo , la permutazione supposta non pò- tra giammai essere semplice del genere fecondo.
Se ciò si nega, sia la permutazion , che si vuole semplice del secondo genere , formata di due sole componenri, la prima di un numero h ài radici e la seconda di un numero e , cosicché ^ + cz=a, A cagione di f numero primo, t, e devono es- sere due numeri primi fra loro; ma. il grado di uguaglianza /XN.» 261 ) deve esser multiplo di amendue questi numeri ( N.» 264); dunque dovrà essere / = * e , Nel modo istesso , se tre , quattro, cp. sono le permutazioni componenti , e se ^ , r d; ^yCyd,e; ec. sono rispettivamente i numeri esprimenri le loro radici, troveremo dover essere f^bcd, / = ^r*/ff, ec». Ma se / à quesri va- lon, è facile a vedersi dal ( N.» j5j ), che la per- mutazione è composta dt\ primo genere. Dunque ec.
26^, Da ciò segue evidentemente, che, se una funzione y =/( x' )( x" )( x'" )( x^ )( x- ) è di tal forma , che abbiasi fix'Vx" )( x"' V x'^ V jr^ \
=/('''X''Xr-)(/x-''S , ciò non potrà sue- cedere , che per una permutazione composta del pri- mo genere , e quindi sarà ancora f( x' )f x" V r""i
i<58. Usctando nella j)recedente funzione « ^ ^ * la -^
i6o
la x^ sempre a sua luogo » fìtcciamo tutte le pos« sibili permutazioni fra le altre 5 — 1=4 radici, e scrìviamo nella tavola (FI) (*), in una prima colon* na vefficale , tutti ì risultati , che ne derivano • In seguito portiamo in ciascuno di questi risultati del* la prima colonna la prima cifra nell' ultimo luo« go , facendo retrocedere tutte le altre come si tro* vano: replichiamo questa operazione» quanto è possibile , e scriviamo tutti i valori , che ne nas* cono in tante colonne verticali • Ciò fatto osser* vo )Che la prima colonna è composta di i • 2 . 3 . 4 = 24 risultati diversi fra loro, osservo inoltre 9 che da questi si anno i .2 .3 «4= 24 fila orizzon* tali, in ciascuna delle quali ì valori vengon pro« dotti per una permutazion semplice del gencn frmo (ta, tutte le 5 radici • Dunque in ciascuna fila tro- vandosi 5 risultati diversi ( N,^ 162 ), la somma to- tale dei risultati (VI) sarà i.2.3»4.5 = 24.5 = 120 , e questi per conseguenza saranno i valori tut* ti , che ottengonsi dalla jf , nel farsi su di essa tut^ te le possibili permutazioni , come nella Tav.( F7) • 26g. Supposte ^9 fi^ y 9 ^j fif ce. le radici della data ( D ) , abbiasi di esse una funzione , la quale non cambi di valore per una qualunque per^ mutazione semplice dei f rimo genere ^ per quella, a cagione di esempio, fra le prime cinque radici di « in y, di 7 in ^, di tj in J, di i in |S, e di fi in ce. Poiché le lettere x' , x'\ x" , x^ , x^ , tc.^ di cui ci serviamo a rappresentar le radici , sono
per <^ Vedi la Tavola posta nel fipe di questo Capitolo •
l6i
per se indiffèremi a rappresentarne piuttosto alcu- ne 9 che altre ; espressa con la x^ una qualunque delle « > j^> 7 5 ^ ) ^ > P^f esempio la ^ » denomioia* mo x' quella y. che nella permutazione va ad oc- cupare il luogo della ^ , cioè la » ; esprìmiamo con x' quella, che va a porsi invece della «, cioè la y; chiamiamo x" V altra, che va al luogo della Yj cioè la Vi e finalmente chiamiamo x'"' quella ^ che portasi al luogo della ri , cioè la ^ • Ciò hu tOy nello scrivere giusta il ( N.^ 2 ) una funzione qualunque delle x ^x' y x*"% ec. > essendo eviden* temente indifferente lo scrìvere prima una delle radici, che un' altra, potremo esprimere la fun- zione darà fra le ^, jS, 7^ ec« con la
/(^')(^"X-*''")(^'')(^'')--., e ciò eseguito la permutazione supposta ci darà
ini) f(x)(ix")(x"^Xx'^){X- )....= .
fix"xx'")ix'Hxn(^'^
Dunque se una funzione delle, radici della data è tale, che non cambi di valore ad una permutazio- ne semplice del f rimo genere fra cinque delle radi- ci ; tale funzione , e tale permutazione , qualunque «ansi , potranno venir sempre espresse dalla ( VII). Se il numero delle radici, che impiegansi nella permutazione , è diverso dalle cinque , vedremo in ^ual modo, che la funzione, e la permutazione corrispondente possonsi sempre rappresentare con espressione simile alla precedente*
270. Restando i tt = 120 valori della jf=: /C^'X*"X^"X^"'X^O fra loro uguali a / a
f per
201
p per una permutazione composta ét\ secondo genere ( N.^ 259 ) , determinare il valore del numero /•
Essendo cinque soltanto le radici della funzio- ne supposta; dal ( N^^ 160) h chiaro, cbe nella permutazione composta del secondo genere ciascuna delle componenti non potrà, che contenere due so* le radici « Dunque la nostra y non cambiando va- lore per una simile permutazione, applicato qui pure il raziocinio del ( N.^ prec. ) , potrà tempre ridursi alla forma f{{x ,x'), (at"' x")) {x^) ( ^-^ 3 ) > ^ quindi , per questa avremo p^ 1.2.1. = 8.
Che se oltre la forma precedente si volesse , che la nostra jf fosse tale, che potesse acquistare an«
che r altra/(y)((Ar",^'"),(Ar^;t^)):ano. ra avendosi nella Tavola (FI) il risultato i .® = 5 1 .• ne verrebbe per la forma supposta a prindpio es- so i.-f(Cx\x''),(x"',x'''))(x-) = /((^'.^"),(^%^"))C^'"),e però la jf non resterebbe più la medesima per una permutazione composta del genere secondo , ma per una del ferz^ ( N.^ 259) , il che è contro la supposizione • Dunque nella nostra ipotesi non può la / , che avere il valore 8.
271. Determinare il numero p allora quan- do i 120 valori della nostra y rimangono fra lo- ro uguali per una permutazione àt\ terzo genere composta , in cui la prima delle componenti sìml semplice ,e comprenda tutte insieme le cinque ra« dici della funzione • Qua*
l6i
Qualunque siasi la seconda permutazione coni* ponente, espressa la prima pel (N.« 269) con V equazione ( VII ) , tutti i cinque risultati della prima fila nella ( Tav.* VI ) riduconsi per essa al foto i.^( N.^ i5i ) 9 tutti ì risultati della fila se- conda riduconsi al solo 2.® ^ e tosi di seguito ; dunque per questa prima permutazione i valori tutti della y si ridurranno infine a quei soli della prima colonna verticale , i quali non sono » che di numero 1.2. j. 4= 24 (N.® 268), e nei quali tutti la JT^ trovasi immobile neir ultimo luogo • Passando in seguito a considerare la permutazio* ne seconda ; supponghiamo primieramente , . che questa pure sia semplice , e poiché essa può aver luogo fra due , o tre , o quattro » o tutte le cin« que radici della y y supponghiamo
i-^Che abbia luogo fra due, e queste saran* no le x\x\ onde il i.® trai valori {VI) diven* ga /( ^'> x" )( ;r'" )( x"' )( ;r^ ) . Pel \ N.<^ 9I ) « ri- sultato 25.0 diventerà /( x'\ x'" )( ^^ )( ^' X ^' )i ma questo risultato 25.® a cagione della prima per- mutazion componente non solo è uguale y ma è identico, ed uno stesso col risultato i.^ . Dun- que se il 2 5.^ non cambia di valore , come non lo cambia di fatti , alla permutazione di jr" in jt'", non Io cambierà neppure alla permutazione me- desima il 1.^, e per conseguenza esso i.® restando il medesimo non solo pel cambiamento di x in x\ »a per quello eziandio di x" in x'" , acquisterà la forma /( x\x^\ x")( x'' )( jr^ ) . Il risultato 25.*
dive-
divenendo pe4fciò /( x\ x'\ x'" )( x^ ){x \ rcsterJ^ il medesimo alla permutazione reciproca fra le x\ x"\x^ . Dunque per la ragione ora addotta do* vendo alla permutazione ìstessa fra le stesse tre ra« dici x\ x'\ x'^ rimanere il medesimo anche il risol* tato primo, esso divcnterà/( x\ x\ x"\ jt"' )( jc^ ) . Ora proseguendo lo stesso raziocinio , si trova , che in fine il risultato i.^ , ossia la jiaver deve la forma / ( x\x[^ x'\ x^' ^x^). Dunque in questo primo caso avremo / = i. 2. 3. 4. 5 = 120. ,
1."^ Supponghiamo, che la permutazione secon* da riguardi altre due radici diverse dalle precedeo^ ti ^'>^'>p« esempio, le due x'yx"\ oppure le x^x' ^ onde si abbia il risultato i^^ = <5.® , ovve- ro esso i*^ = 83-^ Nel primo di questi casi avendosi per la permutazione prima il risultato 6.® = 30.^ ; sarà ancora il i »^ =30.^; ma se ciò succede, ne viene pd ( N.^ t66 ) il I.® = 2.® ; dunque la y acquisterà la forma /( x, x" )( x"[ )( ^ ^ )( ;r^ ) • Nel secondo poi dei supposti casi, se il risultato primo non cambia valore al cambiamento reciproco delle radici ,che occupano il secondo, e il quinto luogo, non lo Gambiera neppure il 25.* alla mutazione reci« proca delle radici ^' , ^' " < N,^ 97) j ma il 2 5 .*= i .^ , dunque al cambiamento medesimo di x ih x"^ esso i.^ non cambierà neppur di valore, e quin« di avendosi il i.^ = 6.^ , questo si ridurrà al caso precedente , e però la y acquistando ancor quivi la forma /(;t>")(;c'")(r'^X;r^) sempre ci da- rà/=i«2«3 .4.5 = 120 (prec. i."^ )• Lo stcs?
so
2<?5 SO sempre si .ritrova, se le due radici a permutar* si spQO diverse: . dalle considerate finora..
3,* Succeda ja^conda .per;nutazione cotn'ponen« te frft tre r4^ici^,.cioè fra le tre x i x" yx"\ così ci}e si abbia il risultato
4.*/(^"'X*'X**0Cr'^)(V).
In coùsègtteoìsà di ciò il risultato 45. "rimarrà Io stts%<i alla per&iutafl'one semplice'fri le y , ;r"', x'';ma cfucsstd'aj*' per la prima, é la- seconda pèrmutazion «obiponente è identico , ed uno col t.® , col 3.* ,''e col 4'.* : dunque eseguendo fra le stesse jr" , *'" i ^'^ la permutazione medesima ne- gli accennati i.**, 3*"). e 4.® risultati, nessuno di essi per questa cambieri di valore.' Ora per tale proprietà j\ risultato i^ non cangia valore alla permutazione semplice tra le radici, che occupa- no il primo , il secondo, e il quarto posto ; e jl risultato 4.* non lo cangia alla permutazione is« tessa fra le radici, che sono nei posti primo , ter- zo , e quarto i Dunque piel < N.** 98 ) anche il ri- sultato 1.**^ resterà il medesimo alla permutazione semplice delle tre radici, che occupano i posti primo , secondo , e quarto , e per quella delle ra- dici, che occupano i posti primo, terzo, e quar- to; maral risultato \? ,per quanto abbiam detto, resta anche il medesimo per la permutazione sem- plice delle radici, che esistono nei luoghi primo, secondo, e terzo, e per 1' altra delle radici esis- 1 1 tenti
l66
tenti nei luoghi secondo» terzo, e quirto. Duii« que se nel risultato i.* troviamo tutte le combi- nazioni a tre t tre delle x , x'* , «•'" , Jir" , e se sopra ciascuna di queste combinazioni pratichiamo la nostra permutazione semplice , sempre .esso i.* conserverìk il suo valore* Ma queste combinazio*
ni sono in numero ■'^' =4, e corrispondente-
mente a ciascuna di esse praticando, e replicati* do, quanto è possibile» la supposta permmaziooe semplice , ottengonsi dodici risultati , nei quali tuli- ti la X'' occupa V ultimo luogo. Dunque per ta- le permutazione i 24 valori della prnna colonna dovranno- essere fra loro uguali a iz a i2,aveii« dosi cosi il trilli I.* = j.* =■ 4.* = 17." = 21.' = ip.» =11.* =io.« = 14.» = 8.« = 24.» = 2 2.*» ed il 2.» = $♦• = <S.* = 2j.«» = ij.' = ij." = 9.' =7.» = IO.» == li.* = 18.0 = i5.* ; , e per conseguenza a cagione del- la permutazion prima in questo terso caso avre- mo ^ = 12 *5 =^0 .
4.*^ Siano pur anche tre le radici della perma* fazione seconda , e siano queste , per esempio , . le fc' , *■'" , jf" onde divenga il risultato !.• = 19,^ = 12.**. Effettuando questa permutazione su quel*' la fra i cinque risultati della prima fila , nel qua* le la jr^ resta esclusa dalla permutazione medesi* ma, cioè nel nostro caso, su *ì 73***; vedesi,clic questo 7j.*> non cambterà di valore al cambiamene to fra le radici x'" , x' , x" . Dunque alla mutazio- ne
257
ne medesima fia le stesse x"', ir', a-", non can- giando, neppor di valore i precedenti tre risultati I.* , 19.*, 12.*, potrò su di eési replicare il ra< ziodnio medesimo del (prec. 3**); e p<?rò anco* fa in questa supposizione ricaveremo / =;= 5o . Che •e r" , jr", x" son le radici date a permutarsi; il risultato 97.*' restando perdo il medesiiho al cambiamento^ fra Je x\x"' , ;c'*,tale rimarrà an« corà il risultato i.", mentre in esso si cambino fta loro le stesse jf', jf"',;«r"; dunque questo ca- so si ridurrà al precedente, e per conseguenza qui pure otterremo / = tfo . Lo stesso trovasi in egual modo in tut» gli altri , in cui tre siano le radici, che impiegansi nella permutazione seconda. '
5.* Siano quattro le radici della seconda permu- tazìon componente, ed essendo questa semplice del tn9tul9 genere t vogliasi il risultato.
!.•/('')( 0( *'")(*•")(*') =
t:'fix'"){x"'){x'){x")ix^).
Per questa seconda permutazion componente dovrà il 2 j.* restare il medesimo alla mutazion simultanea di ;r" in x" , e di x'" in x" ( N.«» 97 ); dunque a cagione del 25.** identico col i.**, per quanto abbiam detto precedentemente, dovrà es* sete questo !.• = j i.® , e però = j.* > poiché per la prima permutazion componente il 51.®= j.*^. Ora ilj.* nasce dal i.<* per la permutazione sem- plice fra le sole tre radici x' , *" , x" , dunque questo caso racchiude quello del precedente caso 2.^ . Ma questo precedente 2.° dandoci , come si l 1 2 vede
25S
vede in (F7JJ), il risultato i.« = 8.^ racchiude il terzo caso ora supposto* Dunque i nostri due casi 1.^ , e j.^ sono identici fra dr kaaro , e qum* di anche in quest^ iUtitno si v^etifichcirannof le agua* glianze {Vili), e sarll fz=z6o.
6.^ Se la precedente permutazione seconda ( Ca- so 5.® ) sia tale , che abbiasi il risultato li* = 2-2.^, troveremo in egual modo dover essere ^rrtfo : ma se per essa divenga il risultato i.^ = 24*®,- allora replicando i soliti raziocini! ^ sopra qualunque' dei risultati della prima fila si applichi questa permu* razione supposta » e qualunque nuova permutazio* ne venga perciò a generarsi nel risultato i.^, da esso non si producono mai altri risultati , che que- gli esistenti nelf ultima fila «Dunque i risultati in questo caso uguali al primo essendo quei soli delle fila prima , ed ultima , vedesi , che avremo / = io.
Che se poi in questa permutazione setohda in- vece di una fila delle prime quattro radidy per esempio, invece della jt' entra la ^^ ; effettuando allora > come nel ( caso 4;^ ) tale permutazione sfl quello dei cinque risultati della prima fila , nel quale la x"^ resta esclusa dalla permytazionc me- desima 9 nel nostro caso sopra del 97.^ y vedo , che in esso tal cangiamento viene a prodursi fra le jif', a:", jf'"-, x^ . Dunque a cagione di quésto 97-^ = 1.^, dovendo pel cangiamento istéSso fra le stesse radici x , x^ , :r"' , x^ rimanere il me- desimo anche il risultato !•*>, vedesi, che la per- mutazione supposta fra le quattro radici j compre- savi
1^9
Mvi U x^ yà riduce infine ad ui/ altra fra quat- tro radici , nella quale la x" resta esclusa , e pe- rò , che tutti questi ultimi cosi -rìducendosi sem- pre ai precedenti (5.*^, e 6.*>) sempre ci daran- no / = tfo , oppure / =: IO •
7.** Rimanendo quattro le radici delia seconda permutazione componente sU questa una semplice del genere primo , e sia perciò il risultato
l.-f(x)(ix")(x"'Xx"'Xxr)-
/7.V(*")(^"'X*'^)(*')(:t-) = 8-Y(Ar"')(x^)(x' )(*".)(*-) =
Ppichè in conseguenza della supposizione fatta es* ser deve il i.** = 8.** , e poiché questa uguaglian- za, quella si è, che abbiamo supposta nel ( prec. Caso 5.*^ ); ne segue evidenteihente > che dovrà essere ancora il nostro risultato i.<^ = g.* . Ora ta- le uguaglianza-dei i.'*al 3.*^ unita all' altra del i.** al 2 5.** pel (prec. Caso j.**) ci dà, che la nostra funzione deve eziandio restar la medesima alla per- mytazìpne semplice delle tre radici , che occupano i. luoghi secondo, terzo, e quarto. Dunque do- vrà essere ancora il risultato 7.* = 20.* = z.* j ma il 7.* = i.* ; dunque sarà esso i.* = 2." , e però Uy acquistando la fbrma/( x', x" )(x" )(x" )(x^), ^iverdl tale,qual fu la supposta nel (Casoi.®)> ma in questo caso trovammo , che essa y finalmen^ te aver deve la forma /(x', x" , jf", x", x^),* dunque tale funzione avrà la forma medesima an- che
che in queste quarto caso, e qui pure per con* «eguenza avremo / = i. 1.5.4.5=1 20.
8.<> Per la permutazion precedente ( Caso 7.*) possonsi dare ancora due casi diversi dall' accen- nato , nei quali entrano le sok prime quattro r»- dici , e tali sono quelle del i.<> = ii.'> , e l' altro del !.• =13.", per cui risulta il i.* = ii.* =:tt.* = i8.», ovvero esso 1," = ij." = 24.' = 2o.'. Nel primo di questi casi avendosi il i.® = 22.* , rin- novato il discorso precedente ( Caso 7.** ) pel ( Ca» so 6,* ) troveremo /= 120, ma neli* altro, a ca- gione del i.® = 2 4.**, non è difficile a vedersi d^I (Caso 6.® ), che doyrlk essere / = 20. Nel modo stesso poi, che abbiamo accennato sul fine del < Caso 6*" ), troveremo, che dovrà essere sempre /= I20, ovvero /= 20 anche allorquando fra le quattro radici appartenenti alla seconda permuta* zione viene compresa U x^.
9.** La seconda permutazion componente essen* do semplice del fr/wo gnuré riguardi tutte cin- que le radici della y. Dovendo pei questa la x^ muoversi dal suo luogo, il risultato, che dal i.** immediatamente deriva , non potrik esistere selle prima colonna . Ora ul risultato vederi dalla Ta« vola (Ti), che deve eristere o nella 1.* fila, o In qualcuna delle seguenti 3.* ,4.* , 8.* , io;* , 12.% 14.* , i7.* i ip.* , 21.* , 2 2.* . Se esiste nella !.• » come nella ipotesi, che. ne venga il risultato i.* ^T^*"; avendosi allora per la permutazion pri- ma il i.'» = 25.» = 4P*' = 73»* = 91*^ , e per la
«e-
seconda il 'n» = 7j.<» = 2 j.<» 3= 97.» — 49.» , qae- •re saranno identiche fra di loro , e non potran* no però , che darci / = 5 • Che se il risultato prò- ' veniente dal i.** , che dirò risultato secondo , esi- sie in qualche altra delle fila ora accennate , allo* la osservo nella fila istessa il risultato , che gli corrisponde nella prima colonna verticale : ma quest* ultima è sempre tale, che nasce dal primo per una permutazione semplice fra tre sole radici, o per una semplice del sttoudo gentfc fta quattro, come apparisce dai precedenti numeri esprimenti le fila paragonati coi numeri (VIH), Dunque a cacone della permutazione prima essendo quest' ultimo risultato identico col secondo , se repliche- remo qui lo sie^o raziocinio , che abbiamo fatto pel (Caso 5*) troverenao in modo €|uale, che il caso presente riducesi sempre ad uno dei quat* tro ( j.®, 4.», 5.', tf.®), e però, che avremo f=^6o. Avvertasi, che tra le fila sopraccennate non avendo lu(^o la 24.*, non potr^ giammai «sere quivi, come nel (Caso tf,")/=io.
IO.* Se finalmente anche la seconda permuta* sione componente sia della classe delle composte : essendo in allora questa pure formata di altre com« ponenti , in ciascuna delle quali entreranno o due, o tre, o quattro, o cinque radici; è facile il ve« dare dai ( Casi prec> ) che la / dovrà acquistar sempre uno dei valori seguenti 120, ^,20*
272. Con raziocini! simili ai precedenti po« tiemo sempre decermioare il valore del numero
p , anche allorquando ti numero delle radici , che forniano la prima ,peiiriutazion componente , %\\ minore di cinque .
237, Eseguita nicl risultato i."(Tav. FI) una permutazione qualunque , quella per esempio di X in.x'", e osservato quali radici vengono smos- se per tale permptazione in ciascuno dei risultati della ptìnoa fiU» cioè liei nostro casq le due x",^ jf" nel. risuitato 25.*; le jf" ' , x'^ nel 49 •; le x'^ ^ x\ nel .75." , e le ^*^ , x nel 97.** ; se sup* pongo la ^ .tale > che il risultato i.<> resti sempre ir medesimo i nientre la permutazione' supposta si eseguisca in,e$sé fra due qualunque delle accennate radici , cioè .fra le due x' ^ x" ^ oppur fra le due x" ,. jf'", oppure ec. , cosicché ne venga esso
I.o = 2.0 = j.o = 16," = 33.® = lOj" i io dico,
che in simile caso dovrìi sempre ricavarsi tal ri' sultato !.•• = 25.® , " .
I.** Eseguisco in questa prima snppmiziooe la permutazione seconda ini risultato '2/* , e avuta 1* Equazione i.^^g.*, effettuo su questo 3.* la permutazione (terza ; ottenuto così il j.S i= 7.* faccio su del 7.** la permutazione quarta , ma quin- di ne nasce il 7.*» = 2 5.». Dunque sarà ancora
il l.'» = 2 5.«
2.** Siano le permutazioni componend di tre ra» dici, e giusta 1* enunciato del Teorema suppon- gasi perciò il risultato i," = 3.» =:io« = 28. • = 38.*'::== 80.*. Applicando al risultato 3." la per- mutazione terza ne viene esso 3.0 = 23.*. Dun- que ec. 3 *
27i
j.* Supposte quattro le radici da permutarsi, « ciascuna permutazion componente supposta sem> plica del secondo genere y\ìi. il risultato i.**= 22.® = 45.* = 113.'' = 35.* = II j." : dair Equazione j6." = 4).*» si ricava il i." = j.*» ,ed il iij." =52.''; ma. dalla iij.*>= 115.? si vede dover essere il 52.® =80.®, e però i\ i.** = 28,*» . Dunque appli« cando quest^ ultima permutazione al risultato 3.**. ptterremo il 3." = 25.®, e però ec.
4.** Siano quattro tutt* ora le. radici, ed essen- do le permutazioni componenti semplici del genC' re frimo , si abbia il risultato i.'» = 7,* = 26 *» == J9* = 40 • = 57." . Per le Equazioni 25.' = 29.% 4o.'' = 57.« abbiamo corrispondentemente le altre i.» = 3.«», i.« = 28.". Dunque, come nel (prec. ^.* ), ne verrà il 3.^ = 25.* , e per conseguenza ec.
$t* Essendo dnque le radici esistenti in ciascu- na permutazione jsupponghiamo il risultato i*== ij.» = 34:® = 52.* = 62.® = 104.* . Poiché dalla 62.« = 104.^ ottienesi il 34.* = 43.**, sarà il i.° = 3.** ; ma per la 52.» = 62.* si ricava il 43.* =82/; e quindi si à il i.° = 28**. Dunque risultando il 3.' = 25.'* , ne viene, che ec.
6* Tutti gli altri casi essenzialmente differenti tra loro , e differenti dagli esposti fin' ora , su de' quali si verifica quanto è stato supposto nel!' enun« ciato del Teorema, sono i seguenti:
Mentre in ciascun^ permutazione impiegansi due radici , il risultato i.* = 5.« = 33.« = ^6.* = i%* = 83,» .
m m Men-
274
Mentre s* impiegano tre radici, il risultato i.» = 17.* = 5o.* = J9.«» = 45.*^= 59.*» .
Quando le radici impiegate sono quattro , cias- cuna mutazione è semplice del seminio genere ^ il risultato i.<» = 8.* = 5 1.' = J»-* = 7<^ •' = 8<^*
l.«=24.'=9(5.» =48."» =120.* = 72«
Allorché con quattro radici eseguisconsi delle permutazioni semplici del genere frimo , il risultato !.• — ti.* =54.*» = 71.* = ii4.« = 53 .• 1.» =;= 13.°^= j7 « =dri.<> = 8j .•= io9.«
Quando finalmente le radici a permutarsi sono cinque il risultato i.*= 7J'**= 82.*= ioo.* = 110.° = 32.°.
Ora in tutti questi casi possonsi sempre eseguire dei discorsi simili ai precedenti ( Casi i.<^, 2.^, 3.*, 4.*, 5."*), come può ognuno vedere non dif* ficilmente da se medesimo. Dunque ciascuno dì^ essi ci darà sempre il risultato z.°'=2$.®.
Se le permutazioni componenti fossero compos- te tsse pure, vedesi facilmente doversi anche al« lora verificare il nostro Teorema 4
274. Da quanto si è esposto nei (N.* i6i^ zó^f zójy 271 ) dedurremo non difficilmente , che se la y =/C*')(:r^')(Ar"'XOC*^) resta la me- desima per una permutazione qualunque, in cui* non esista alcuna permutazion componente sem- plice del frimo genere fra tutte cinque le *•' , x" y jf"',;r"', x^; dedurremo , dissi , non difficil- mente , che in allora il grado di uguaglianza / non potrà giammai essere multiplo del 5.**.
17$.
275
27$* PC qualunque permutazione vogliansi fra loro uguali i ito valori della nostra^, non potrà mai il numero p acquistare i valori ij , 30, 40.
Se ciò fosse possibile, a cagione dei numeri 1$ ^ 30, 40 tutti e tre multipli del $ , dovrebbe pel (N;* 274) nella permutazione supposta esistere una componente semplice fra tutte cinque le ra- dici; ma se questa succede , il numero / non può acquistar, che i valori $-, j2o ,5o., io, 20 ( N.^ a52 , 271 ) . Dunque ec.
275. Volendosi trasformare un' Equazion ge- nerale del quinto grado in un* altra di grado in-* feriore al suo proprio; dai (N.* 275,^^, 10 j) apparisce , che potrò bensì ottenere delle Trasfor* mate del primo, oppure del secondo grado,* ma non ne potrò ottenere giammai alcuna del quar- to, o del -terzo.
277. Se vogliasi Z radiceli un' Equazione della forma Z* — M = o j e funzione insieme del- le radici di un' Equazion generale del quinto grado (Q3 jr» + A*-» 4-B;r» -f-C;r» M- D*-f-E = o,-
io dico, che essa Z dovrà avere i suoi 120 valo- ri < N.° 92) tutti disuguali tra loro .
Espressi con le lettere Z', Z" , Z'", Z'*, Z^, Z" , Z'" , f" , ec. i valori tutti della Z , e con le prim^ cinque rappresentate le cinque radici nel- la Z<f — M=o^ chiamo « una delle radici quin- te della unità differente dalla unità medesima. Do- vendo peU N.* 203 ) aversi Z' = V M, Z" =« VM, m m 2 Z
ro , che sarà Z" = ^ Z' , Z' " = ix* Z' , Z '' = ijt^ Z' , Z^ —x^H^ che questi primi cinque valori sono già tutti necessariamente fra lor disuguali ( Nj* '^99^^^ <^hc posson*^ essi rappresentarsi con i ^n^ que 1.», 25*, iii9^'^rll? y 91^ d^H* ( Tav. Tf ) ( N.® 25o ), rappresentando con gli altri detla Ta* vola istessa tutti f susseguenti Z » Z , Z , ec. tigualì 9 o disuguali fra loro • Ciò^ posto , se non si vuole, che i 120 valori della Z siano tutti fra lor di£Ferehti , supponghiamo , se è possibile , che due per esempio dei medesimi: siano fra loro uguali. Essendo la {Qj un* Equazion generale , ed es- tendo la Z funzone deile sue radici , vedest , che la supposta uguaglianza non potrà aver luogo » quando ciò non dipenda dalla forma della / {X )( x" )( x" )( x^:ì{x^ ) •• Supponghiamo per- tanto essa tale ; che. 2! non cambi di valore alla permutazione di x in x'"i per questa ipotesi U Z" non dovrà cambiar di valóre alla mutazione di x[ iti x"^ , la Z'" non dovrà cambiarlo a quel» la di x"r in jt^ , la X"" ali* altra di x"' in x , e la Z' a quella di x^ in x' . Ora altro non €*• sendo le quantità Z", Z'", Z", Z^, che la sres- sa Z' moltiplicata in corrispondenza per le«^«^^ ^y ^ y è chiaro, che sé quelle rimangono ria*- ìpetti va mente ie nictìesime alla mutazione reiipto- ca delle x\ r'^, delle x'\x\ delle x\ x^ , e deile x" , x^ , dovrà ancora la 2! rimanere la me- desima alla mutazione in essa delie stesse radici 9
cioè
«71
«oè per la mutazióne fra loro delle x" , jr'^ , e per quella della jf'" , at^, e per quella delle jp', x"^ y e per r altra: finalmenre delle x'' , x'' ; ma se questo succede pei ( N.^ 175 , iSi ), deve se- guirne il risultato i.<''=-2 5.*t= 49.® = 7j;* = 97.'.» Dunque sark ancora Z' = Z". = Z " = Z» = Z^ , il che è impossibile..
Se due, ò più^ dei valori della Z VogKansi fra toro uguali- per- altre permutazioni quali si voglio- no diverse dalla precedènte ; rinnovato T esposto discorso pel. ( cit.^'N.* 273^) sempre si giunge nel- le maniera > medesima ar medesimo assurdo di do- ver essere Z' = Z'' = Z." = Z** = Z^ . Dunque sa- la impossibile » che i 120. valori della supposta Z non siano : tutti - disuguali fra loro . ■
278'' Pertanto il coefficiente M della nostra Z*- — M = o dovrà avere 24 valori tutti differen- ti , e chiamati questi Mi, M 2 , M 3 , M 4 , ce* M 24 , i 120 valori delta Z saran contenuti nel- le 24 equazioni Z* — -M 1 =0 ,.Z* — M2'=o , Z» — M 3 = o , ec. , Z» — M 2 4 = o . * '
279. Essendo Z' > Z", Z", Z" y Z" le r<K dici della Z» — M 1 := o , poiché abbiamo ' ': 2» = M I , Z J = M I , Z J = M r , Z'» = M i^ Z^» = M I , e poiché nel ( N.<> 277 ) dalla ( lav.^ VI ) abbiamo Z' = n%? 1,2=25.'», Il" ^ 49* Z * - 7^.® , Z» = 97.® ,' sarà antera M i — ( r>s *
e quindi si vede, che anche la M é una funzio- Jic delie x' , x" , x*" , *'^ , jf^-, ma una funzione
tale»
^^9
tale, che non cambia vnìotc per la permutazione» da cui produconsi nella nostra Tavola i rìsuluti della prima fila. Corrispondendo adunque i 24 ¥»• lori diversi della M<ai 24 della phma colonna ver» ticale , sarà M-^ =^( ri».* !.• )», M 2 = ( 2.» )» , M3 = (3-*»)S ce M24- (24.°)».
280. Trasformata pel ( N.* 275 ) la ( Q,) nella Equazione di secondo grado jf*4-««j'-h» = «, certare dipendentemente da questa, se è possibile, la soluzione della proposta (QJ* .' Con lo scioglimento dì questa Trasformata ot* tenuti i valori delle sue radica, che chiamerò y'-^ y" , noa avrema, onde risolvere il nostro Proble- ma, che a cercare dipendentemente da essi i va> lori delle x , x" ^ x"' , x"' , x^ , ma, per quanto sii disse nel(N.°23o),ciò non può eseguirsi im- mediatamente; converrà dunque procurare di far- lo mediatamente , cercando io primo -luogo, co- me nel <cit.* N^* 230), dipendentemente da y\ oppure da y" il coe£Bciente. M di un* Equazione 2' — M = o,e poscia dai cinque valori Z',Z", 2t"' , Z" , Z^ deducendo in corrispondenza i cin- que x' i x" , x" , x" f x*. Ora per la ipotesi i 120 Y^lori deUa y riduconsi a due soli y'.= iS=^f.(x'Xx"Kx"')(x'^X^n,
y.'.=.2..<»=/(y'xx' xx"')(x'\)(r ) (3.% 4.%
f.» , 5;«, 9.<>N.^ 271 >, e pel ( N.* 278) il coef-. fidente M à necessariamente 24 valori diversi corrispondenti ai 24 della prima colónna vertica^ k nella nostra Tavola (N.» 279). Dunque per
la de*
l^9
la determinazione di questo coefficiente M dipen- dentemente dalle quantità ;y' , y" dovremo pel ( N.* 147 ) cadere- in due Equazioni del 12.^ grado, la prima delle quali pel (cit.*N.* 147 ) avrà per ra- dici i valori Mi,M3>M4,Mi7,M2i,Mr9, M 12 , Mio, M 14, M8,M24, M22,c la se- conda i valori M2, M5, M5, Mij, M15, M 13 , Mp , M7, M20, Mix , M18, Mi5. Prendiamo a considerare più particolarmente i 12 valori della M dipendentemente da y« e sia
(IX) M"+ aU"+b M" + f M* + ec. ;= o
r Equazione , che li contiene . Essendo necessario il conoscere almeno uno dei valori della M, ed essendoci ignota la soluzione generale di un' Equa- zione del 12.* grado, converrà pel nostro inten- to, che la M sia una funzione delle x\x" ,x"'y y,jf' tale, che la ilX) sia riducibile ad altra Equazione, che io sappia sciogliere, e dalle cui radici sappia poi ricavare le radici sue..
I * Supponghiamo pertanto ^essa M tafe,chèla Equazione ilX) sia riducibile ad un' altra di quai^ to grado , per esempio , alla
(X) N-» +./NJ -i-f N* 4- r N-H/= o.
In tal caso , determinate colla soluzione di que- sta le radici N', N", N"-', N'^idai valori di es- se cercherò separatamente le radici della (IX), e queste troverò' pel (N.* 147 ) condotto a quat- tro Equazioni tutte del terzo grado .
Ma è egli possibile , che la nostra ( IX) sia ri- ducibile ad un' Equazione (X )? Affine di ciò co-
DOS«
ooscere, osservo, che dipendendo i valori della M in (/X ) da y , dalla stessa y dipenderanno ancóra i valori della N, e quindi da questa fun- zione invece .dèi valori della M potremo ricavare immediatamente quei delU N . Ora quattro di que- sti valori dovendosi dedurre da jf' , e quattro al- tri da v", essi sono otto di numero; dunque la N è una funzione" delle x , Jf"-, x" ,x\x^ u* le, chea il suo grado di .uguaglianza
* r= i|2— , j , e ciò mentre i suoi otto valori sia*
no disuguali fifa loro , ed à poi lo stesso grado
^ = ii2 = 30 , allor quando si voglia , che i suoi
primi quattro valori uguaglinsi ai secondi: ma sì r uno , che V altro di questi valori della f sono impossibili ( N.» 275 ). Dunque sarà ancora im- possibile una funzione delle r , x y x , x , Jf 9 quale noi la vogliamo, e peto impossibile*, che possa la ( ZX ) ridursi ad un' Equazione ( X ) di quarto grado.
!.• Se non ad una'del quarto, yeggian?o , se pos- sa la nostra (IX) ridursi ad una Equazione del terzo grado, cioè alla (X7) N» 4-/^ N» + ^ N ^- r= o.
Venendo qui pure la N ad esser tale, che tre dei suoi valori dipendono da jp' , e tre da y" , o i pri- mi tre fra questi voglionsi corrispondentementt Uguali ai secondi tre , o nò . Nel primo di questi
casi
28l
casi ne verrebbe ^= — . = 40; ma ciò pel (R*
27$ ) non può succedeire , dunqae se è possibile la ridazione -della (iX) alia (XI), <lovranno i primi ere valori della N ^eoere disuguali dai «e* condi tre, 'e dovrà per conseguenza riescire
/ = -r- = 20. Ora pél ( N.° 171 ) è bensì pos- sibile un tal valore della / , ed è perciò possibile r esistenza d* un' Equazione di sesto grado, da cui dipendano i sei valori della N; ma è egli poi possibile , che tre di questi possansi ricavare dft y, e tre da»"?
Suppoftghiamo N = p(x')ix" Xx" )( a-"' )( x\ e suppongfaìamo nella ( Tav.* VI ) di cambiare la f in (pi onde abbiansi in essa sott* occhio tutti i risultati, che con le sòlite permutazioni ottengon- si dalla. (p(r'X;c"X*"')(*)(J^"). Se col mezzo delle y,y' noi ricercassimo tutti questi TÌsu Itati, sessanta dei medesimi dovrebbersi ricavare da y , sessanta da y , e pel ( I^.* 279 ) è chiaro, che i primi 5o sarebbero i contenuti nelle fila i.*, 3.* 4,» , 17.* , il.» , 19.* , 12.» , IO.* , 14.» , 8.* , 24.*, 2 2.* , i secondi 5o quei » che esistono nelle fila
*•• > 5." . 6* , ij.* > 15'* » »3«^ t 9* i ?•• > 2o.« , XI.* , 18.*, i^.** Rifletto presentemente, che a cagione di / = 20 deve la nostra ^ ( x )( x" )( x'" ) (x"')je') pel (N.* 274) esser tale, che il !.• dei suoi primi sessanta risultari deve necessariamen- te resure il medesimo per una permutazione com- n n posta
postatiti cai entri una semplice del primo genere fra tutte e cinque le Xy x" y'x" , ^ , x^i ma qualunque siasi una tale permutazione ^ effettuane do questa semplice del frimo genere su del risul- taco 1.^ jt replicandola quanto si può» sappiamo dal ( 1,® R^itfj ) , che fra i quattro risultati nuo- vi , che dal ^.^ quindi pro\^engono ( N.? i6i ), non può mai contenersene alcuno degli esistenti nella prima colonna verticale^ e k> stesso egualmente succede , applicando-, e ripetendo k permutazione medesima sopra qualunque altro dei valori 2.^^ 3^^ 9 4*^, ec. 24.* . Ciò dunque essendo , 1* ugua« glianza , che per T esposta permutazione succede fta tutti i risultati della ( Tàv.* Tf ) , 6ark sì , che l primi 60 sì ridurranno ai dodici i.*^, 3.^ , 4.* , I7i*, ii."^, ig!^y 12.^,10.'', I4^'',8»''f 24.'', 22.% e i seconii 60 corrispondentementeai'd odici 2.% j- , (5. , 23.^, 15.^, 13.^, 9. , 7. , 20. , 11.^ , 18.^, itf.^J ma infine i primi valori della N dif- ferenti tra loro devono essere tre soli, che chia« mero N', N", N'",e i secondi altri tre, che de- noroinarò N"^, N"" ,. N""* Dunque i primi dodici risultatila cui ci siamo ridotti, dovranno nuova- mente essere fra loro uguali a quattro a quattro, e così uguali st quattro a quattra fra lorQ i se- condi dodici separatamente dai primi. Ora qua- lunque supposizione si faccia, può ognuno facil- óiente vedese da se medesimo non potersf questo giammai ottenere • Dunque non potii né pure ot- tenersi giammai, che i tre valori N' , N", N'"
pos-
possami' ricavare da y , e i tre N'% K% N ' d« y , e quindi , che la ( IX ) sia riducibile ad una Equazione iXI) di terzo grado- • j.** Suppongasi , che T Equazione , a ciii vogHa« mo potersi ridurre la ( IX ) , sia deJ grado secoa^ do , e tale sia Ja (X7/)N»-4-i>N4-f=: o.
Qui pure o i due valori N' , N" dipendenti da y siippongonsi disuguali dagli altri N"',N''' di- pendenti day, o nò. Se si volessero disuguali, allora i valori della N sarebbero in numero di
quattro^ e però ci risulterebbe j> = — — 30 , il
che è impossibile t N." 275 ). Che se si volesse N' = N"', N" = N"'iin tal caso essendo due so- li i valori della N , dovrà questa funzione essere affatto simile alla y ( N^.** 271 ), Dunque dalla y non potendosi propriamente dedurre , che un solo valore della N, dovrà essere N'= N"; ma N'= N"; N" = N"' per la ipotesi; dunque N' = N" = N"' = N"':je per conseguenza la N non avendo, che UB solo valore, sarà inutile all' abbassamento della (/X)."
4.** Potremo, da y dedurre ben^ un' Equazio* ne di primo grado N-+-^ = o; ma -è chiaro pel ( N.* 147), che neppure da questa ricavasi van- tiggio alcuno per lo scioglimento della ( IX ) .
V* Sia la(p(y)(*")(:c"')(y'X* ) tale, che il suo valore i.° uguagli il ij.** ed il 24.**. In questa ipotesi essendo /= io {6." N,' 271 ) , i n n 2 vaio-
a84
valori dflk M saraiino h) numero dì 12 , e sei dei medesimi , cioè i sei t.*,^.*, 4.**, 17.®, 19.% 8.** , potranno benissimo riciivarsi da y' , e sU al* tri sei 3. j 5. , 6.^ 23. , ij. ^ II.** da jr , on- de la C^^) potrà ridursi ad mi* Equazione di sesta grado. (X7/J)N^4-ipNJ +5rN4 + ec. = o»
Ora essendoci ignota la soluzione generale di que^ sta ( XJ//)^ veggiamO),. se può^ essere abbassabile ad ana terza Equazione ^ di cut conosca la solo* zione> e dalle radici della quale possa ricavarne le sue • Dipendendo le radici di questa terza E« quazione dalle radici della ( XII l) , verranno es* se pure a dipendere dalla y • Ma pei ( i.^, a*®, 3.^, 4.* N."* prcs. ) da questa jr' non si può gfara« mai dedurre alcuna Equazione o del quarto , o del terzo 9 o del secondo grado, ed una del primo è inutile • Dunque non sarà neppure possibile, che possiamo abbassare la ( XlII ) ad una terza Èqwt^ zione opportuna air intento «
Non potendo pertanto la (IX) abbassani , cbe alla (X/IJ), o ad un'Equazione del primo gra- do, e la soluzione di amendue le ( IX) , e ( XIII) essendoci incognita; ne viene , che non potrò giam* mai determinare alcuno dei valori della M nel« la Z^ — M = o, e per conseguenza, che mi sarà impossibile la determinazione delle x y x" , x"\ x\ of", e quindi la soluzione della (Q^) dipen* dentemente dalla y^ + my + n = o.
281. Quantunque non possa la (JfX) venir
tras-
\
»»5
trasformata in un' altr» Equazione opportuna , pure potrebbe sembrare a taluno potersi essa for« mare in maniera, che.. fosse: spezzabile in fattori, dai quali poi fosse determinabile qualcuno dei va- , lori della M; mknflèttiamoi che i coefficienti di questi fattori dovrebbero pel ( .K.® '252) dipende- re da delle Equazioni,. le quali: sarebbero tante Trasformate della (.IX); dunque su' di esse doven- do applicarsi quanto si è detto nel ( N.° 2 5 j prec), «e viene , che non saiài neppure, possibile la de- termmaziene degli accennati fattori ^ .
282. Non sapendosi dalla y'' ricavare il va- lore delia Micoeffidente della Z^ — M = 9, veg- giamo , se mai potesse detemuaacsi dalla stessa y on* altra Equazione- {XmV -i-PZ*H-aZ»-+-RZ»H-SZ4-T=:o , di forma tale, che sappia risolversi indipendente- mente dalla soluzion generale della ( QJ , e pel cui mezzo possiamo per conseguenza determinar le radici x, *•", x'.", jf'-, x"^..
O si vuole , che il coefficiente P dipendente da y abbia un solo- valore,. o si vuole, che ne. ab- bia più di uno . Nel - primo di questi ^asi essendo la ( XIV) di forma divèrsa dalla Z* — M = o , e dovendo avere le sue cinque- radici tutte fra di lor diffemti ( N.° 230 ) , non potremo pel ( N.* 227 ) ottenere la sua soluzione , che abbassandola td altra Equazione del qua no , oppure del terzo, ovvero del secondo grado. Supponghiamo per ora effettuato un simile abbassailiencoye. sia perciò la
( XIF)
t96 ( XIF) ridotta àé una delle tre Equanoni
N*-f-.^NH-f = 0-»
In una qualunque di traeste essendo 11 valor del* la H funzione della y\ sarà essa sempre tale , che potremo col suo mezzo determinare non solo la ( XtV)^ ma pel ( N." 147 ) potremo determinate eziandio i valori del co^Sciente M nella Z* - M = o . Ora pei ( !•• , i.**, 3.' N.* 280 ) la deter» minazione,o V esistenza di una tale equazione è sempre impossibile. Dunque sarà anche impossir bile , che possiamo dalla y ritrarre un' Equazione (XIF), come V abbiamo supposta*
Supponghiamo in secondo luogo , che P abbm dipendenti dalla y più valori . Se questo coeffi- ciente si vuole , che abbia un numero di valori < 5 , allora replicando suH* Equazione in P corris* pondente quanto si è detto sin della (JCr), ver- remo alla conclusione medesima*
Che se. l'Equazione in P è di un grado <4y concluderemo lo stesso, applicando il discorso me- desimo su della trasformata necessaria a farsi-, on* de avere il valore della P. Dunque ec.
2S3. Che se la Trasformata del < N.* 280) si volesse del quinto , o del primo grado^ allora on- de sciogliere il xu>stro problema , converrebbe evi« idcntemente nel x..** caso abbassare essa Trasfor- mata ad altra di grado inferiore ( N.^ 227, 277 ); e nel secondo non. pjoteodosi dal valore della j
rica;*
2S7
ricavare ìmmedlaramenté quello della M nella ZJ - M = o ( N;* t'jBy 280 ), converrebbe innal- zare tal Trasformata ad altra ài grado >i,che io sapessi risolvere , e dalle radici della ^uale potes' si dedurre il valore della M . Ora , per quanto si è dimostrato nei ( N.' 280 , 281 , 282 ) , sappiamo j che tanto nell' uno , che nell* altro di questi casi una Trasformata di grado > i , e < $ opportuna air intento non è determinabile . Dunque il Pro- blema del (N.** 280) non sarà risolubile neppu* le col mezzo della Trasformata , che ci siamo ora proposte.
284. In ciascuno dei risultati dèlia ( Tav. VI) immaginiamoci, che venga aggiunta la x^' ; sup- ponghiamo in seguito, che sopra tutti i 120 va- lori, che ne provengano, si eseguisca, come nel ( N.** 258 ) , e si replichi , quanto si può , la per« mutazione di f(x'X x" )( x'" )( x'" )( x"^ )( '" ) in f{x")(x"'Xx''')(x')(x'){x). In tal modo è chiaro, che tutte otterremo le i« 2 . 3.4. 5 . 5 = 720 permutazioni della
28 5 « Volendo trasformare 1^ Equazione gene« nlé del sesto grado ^
in un* Equazione di un grado < 5 ; questa, non jQtA essere, ch^ del primo , o del secondo grado» Chiamata y V incognita della Trasformata , ve« desi in primo luogo , che pel nostro intento i 710 valori della jr=/(y)(;r")Cx'"xy^Xjr^)(^^')
devo*
)S8
devono essere uguali fra loro per due pernuta* zìoai semplici entrambe del /r/MM generg , 1' una fra dnqoe > e V altra fra sei radici . Per la secon- 1^ di queste permutazioni , qualunque essa siasi , i 720 valori della jr. si ridurranno immediatamen- te ai 120 della ( Tav. FI ), ma questi per la pee- routazion prima, che pel ( N.®. 2^9) posso sem- pre supporre espressa dall' Equazione ( VII ) , ri-* ducomi ai soli 24 della prima colonna . Dunque, acciocché la nostra Trasformata sia di un grado < 5 , converrà, che -questi 24 valori siano tra* Io* ro uguali a ^ a 5 , o ad 8 ad '8 , o a 12 a 12 , o tutti insieme. Ora -qualunque uguaglianza esfs« -te fra due» o più degli .accennati 24 valori op« portuna al caso, combinando questa «olle due pre« cedenti sempre risultano qtiesti 24 valori , o ugua« H tutti insieme, o uguali fra loro a 12 a xz ( N.° 271 )• Dunque la y non potrà avere, che uno, o due valori diversi, e però ec-
38^. Supposta Z sadice della Z*^ - M = o , e funzione delle x\ x" , x'\ x'\ x\ x"' , la M non potrà avere né tre, t^ quaitro soli valori dif- ferenti fra loro; imperciocché, se ciò fosse, esiste- rebbe contro del ( N.*" 285 ) una Trasformata deK la ( R ) di un grado terzo , oppur quarto . Essa M non può avQre neppure , o un solo , o due .soli valori disuguali : perché altrimenti in amendue que« 8ti casi divenendo la Z una funzione tale , che dovrebbe non cambiar di valore ad una. per^iu* taztooe composta di una semplice del ^rim» §#•
nere
289
nere fra cinque radici , e di un* altra semplice nel primo caso ifìra le due x , x" , nel secondo fra le tre x\x",x"' (N.'*27i), replicato prima un discorso simile a 'quello dei ( 1.° 2." N.** 273 ) su del risultato 2.* nel prìm^ caso , su del 4.° nel secondo , e replicato in seguito il raziocinio del ( N.' 277 ) , ne verrebbe Z' = Z" = Z'" = Z" = Z'' = Z'" contro del (N.*» 199).
287. Cercasi, se è possibile la soluzione della ( R) dipendentemente dalla Trasformata y*H-wji -+- * = 0 (N.** 285 > - • ^
O vorremo dalle due radici y t y" dedurre im- mediatamente le x' ,x" y x'" , x" , x" y x"' , cioè le tre prime dalla y' , le altre tre dalia y" ; op- pure vorremo dedurle ìnediatamente , ricavando prima dalle stesse y' , y" il valore del coefficiente M nella Z*^ - M = o,od il valore dei coefficienti in altra Equazione , di cui conoscasi la soluzione, e dalle radici della quale sappiansi dedurre le ra- dici della ( R ). Ma nel primo caso non (essendovi ragione , per cui da una delle y , y", per esem- pio dalla y dipendano piuttosto tre delle x\ x" , x"'; jt'", x" , *•"', che tre altre; nel secondo in conseguenza del ( N.° prec. > avendo luogo i ra* ziocinii dei ( N.* 280, 281 , 282 ) , e perciò non potendosi dipendentemente dalie y , y" ottenere il valore della M , ìiè quello di altri coefficienti op- portuni: ne viene > che dalle supposte radici del- la Trasformata non potremo né mediatamente , né immediatamente ottenere il valore delle radici
o o della
29^
della ( R ) , e però ec.
2S8. Se la Trasformata in y si volesse ddi . prififa, ovvero del cjuinto , o del sesto grado; tro- jy^ veremmo aMor pure , come nel ( N.® iSj ), essére ©/•/ col suo mezzo impossibile la soluzione della ( R )• '/
2^9- Proposta un' Equazion generale del set- : V( timo 9 o deir ottavo , ec, grado» è facile avvedérsi, !.Y( che su di esso si applica sempre, e nella maniera j.o^(
7(
mede^ima^, quanto è stato detto, e concluso nei (N.^ 180.', 281 , 282, 283 , 285, 285, 287, 28»>
290. La soluzione algebraica di uq* Equazion * /( l^enerale di un grado qualunque maggiore del quar«,-Y( to è impossibile* .^f^
Questo Teorema non è che una chiara consc*- o/»/ guenza dei ( N> 277 , 241 , 255 , ijó, 280, 283 ,;7' ^8j, ^87, 288, 289>. ^ ['J^
291. E* vero essere impossibife in generale la •^/C soluzione delle Equazioni di grado >4 ( N.® prec.)> .^/( ma non è questa già vero in varj casi particola- ^0 ^, ri»^ I precedenri discorsi suppongono essenzialmente^ ^'J^ che le jr', x' y x" ^ ce. abbiano un valore qua- !' /( lunquè, e prescindono totalmente da qualsivoglta *V( rapporto particolare fra, loro • Ma se alcuni dei .« f( valori della y = / ( x' )(x" )( x'") ....{ ;rW) sono ,y fra loro uguali non per la forma della funzione j^*'^ ma per un valore particolare, o per un partico^ ' /< lare rapporto delle x' , Xy x\ ee. ( N."" ^^j ) ; ^] in allora non avranno più luogo neppure i Fazio» «0 t cinii dei (NAprec-*), e potrà perciò darsi benìs- J Simo , che la data sia risokibile . Inoltre quantuo* ^ J
que 'V
•V(':"X>' ).
'••/ ( *" )it' ) ,
•V('''V ),
ve' )<];«•"),
..V(*"')Ca:"'),
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98.«»/<;t'')(y')(V )(;«:"')(;«:-)
99-V( *'')(*")( *"'X^' )ix-) joo-f(x'Xx"Xx' Xx-Xx") loi-fix^Xx' )ix"'Xx"Xx"') ioi-f(^x^Xx"Xx"Xx Xx-) •^oi.-fix'')ix"Xx"){x^^Xx ) ^o^-f{x'Xx"'Xx"'Xx Xx") ^oy-f^x^Xx^Xx )(*")(*'") io6,^ftx^Xx' Xx"'Xx"'){x") ^on.-f(ix''Xx"'Xx"'Xx'Xx' )
io8.V(*'Xjr"'X*"X*' )ix"') i09.-fCx''Xx"Xx Xx'^Xx")
iio.V(*^X'' X*"X*"X*"') ixi.V(*^X*"X'"X>^"'X*') ii2.V(^''X*' X*"X*"'XV") «i3.V(*^X*"X''^X*"'X^')
"4.V(*''Xa:'^X'"'X''X*") iii.*f<xyXx"'Xx"Xx"'Xx' )
iitf.-/('^X*"X*"'X*' X^'") M7.V(''X'"'X'' X *'")(*") ii8.V('^X*"X' X*"Xx"') .i9.V(''X*' X*"X*"'X*") i2o.V(*^X'"'X*"'XV'X'' )
t
191
que sia impossibile T esatta soluzioo generale del« la nostra Equazione, pure porremo sempre aver questa per ftpprossimasione , accostandoci ai veri valori delle radici quanto vogliamo*
Nei Capi ,^ che seguono y considereremo primo i principali casi particolari , in cui le Equazioni am« mettono soluzione esatta > secondo esporremo il metodo y onde avere per approssinAaziooe in qua*» lunque caso la soluzion della data.
CAPO DEClMOQlTARTO.
Del m0dó di ritrovare trattori razionali
Jf una data Equazione algebraiea
determinata .
igt. vJn*
Equazione algebraica determinata pri« va del coefficiente del primo termine, e avente tutti gli altri coefficienti interi , e razionali non potrà avere giammai per radice una frazione ra« zionale • [D) Siano nella jr* + A ;c"'-'-f- B ;t— •+ éc-f- V=a tutti ] coefficienti A, B, C, ec. tanti numeri interi ^ e razionali, e sia, se è possibile, radice di que«
sta Equazione la frazione razionale -^ , che suppor»
remo ridotta ai minimi termini; sostituita invece della X questa quantità, dovrà essere
002 ^
api
^ + — ~ + -^ + ce. = o , e quindi moltipli.
cando tutta 1' Equazione^ per ^*~*', e trasportatt" do ; avremo.
^ = — ( A/>'-» 4- B/"^*f H- C/— J ^* -H ec. ) .
Ma quésto è. un assurdo», poiché , se ciò fosse » ne verrebbe, un. rotto., uguale, ad. un. intero . Dun« que ec. * .
XQi» Se sia.. «. radice: razionale della preceden* V te ( D ) , dovrai essere — un numero, intero ^ e rt*
zionalcm^ —
E^^endo la V uguale al prodotto di lotte le rai» dici della ( D ) preso, col • proprio. segno , o col se- gno contrario , sarà esso divisibile, esattamente per ce; ma essendo. a(. un nutdero razionale, esser de* ve anche, intero (N.?prec.) ..Dunque tale dovrà
essere, anche.. iL quoto —.,
( C ) 294; . Proposta, la F^'-H- G ;t'^«'+ H ir--* +
ec. = o , in cui ì coefficienti ^ F , G , H siano tut- ti numeri interi, e razionali , determinare , se essa abbia ^del/e radici, razionali , e quali, queste siano*
Fatto x:=z — ^^ riducasi pel C N.» 85 )^ la nostra
( C ) all'altra. ài"»4- A »"-* + B »-~*--4t ec*-t- V = o, in cui il coefficiente del primo termine sia l'uni- ta, e gli altri A , B , ec. , V siano tutti numeri interi : in seguito si cerchino tutti i fattori razio*
nali
^9i
nati delP ultimo termine V della Trasformata; que. sti presi sì positivi ^ che negativi sostituiscansi $uc« cessivamente in luogo della z^ e veggasi fra essi qoali sono quei y che fanno verificare simile Equa- zione: supposto che oc, |S 5 7 ^ec. siano i fattori delia V, che soddisfanno a tal. condizione 9 essi saranno già. tutte, le radici, razionali dell' Equazio*
ne in «.(M,^ prec); ma abbiamo Jif= — idun*
« 5 y
quc •p"> "p"» "pT^ ce. saranno, tutte le radici ra-
zionali della data (C).Che se nessuno dei fatto* ri^ della V. rende ai"* + A &'*•* + Ba&***-4-ec. ugua* le. allo zero , tale Equazione 9 e perciò TEquazion data non potrà in tal caso avere alcuna . radice ra« Eionale (N.* 292);
Se sia., F, = i-, per. la. soluzione del nòstro Pro- blema basterà ritrovare tutti. i fattori dell' ultimo termine della. data (C)^ sostituire questi in luo- go della Xy t quelli fra. essi ^ che renderanno la ( C ) = o, . saran le radici richieste ^.
Sia per. esempio. 6 x^ — 2 3 Jt* + 2 s jt — 5 =. o
r Equazìon&data V Suppongo jir=::-, sostituisco, t
risultami r Equazione »*- 23 ** ■4-150*- 2 15= o; pongo successivamente, in luogo della z i fattori del 2i5* Ora fra i questi: trovo >,che. i tre 2, 9, 12 fanno verificare T Equazióne, in 2r; dunque le
radici della data saranno -r- = t = t >
06%
«94
ÌB_9 ?* ^^
295* Abbiasi r Equazione di quarto grado
(/) x^-t-Ajr«-4-Bjr*H-CrH-V=o avente i coefiK»
cienci tutti numeri interi, e sia oc una delle sue
V radici razionali. Essendo sì « « che — z=za nume«
V ri interi (N.^ 292, 293 ), pongasi — = ^, e si
sostituisca nella (J) x in luogo della x ^ ed ce a in luogo di V," avremo perciò *^-4- A ai + Bot* -+-Ca4-4a = o e quindi dividendo per a, «5 + A<«*-hBa-+-CH-^ = o, ossia C -4- 4 = — ( A^ 4- A a* + 2 «6 ) • Dividasi di nuovo questo ri*
sultato per ^, ne verrà = — (<**4*Aa4-B)i
oc
ora il secondo membro di questa Equazione è un numero intero ; dunque jale dovrà essere anche il primo ^ e però C + a sarà divisibile esattamene
co per a. ^Suppongo pertanto = *, sostituii*
, b avremo *= — (a* + A<a^4-B), ovvero B H-e= -(a*H-A«), e dividendo per «,
— -^ (^+ A ): in questo ultimo risultato
^ tH A è i^n, numero iqtero , tale dovendo adun*
B-f-i qae" essere anche , la quantità B + ^ dovrà
risultare dlvt:5ibilé esattamente per «; supposto per- ciò
2^
ciò — j^ = f , sostituendo ottercemo r = —( a+ A ),
e finalmente — =^ i .
Da tutto questo sì ve jc , che se « è radice ra- 2ÌonaIe della (/), dovrà essa dividere esattamen* te non solo I' ultimò termine V , ma ancora le quantità C -+- 4 , B -H ^, A -h r, essendo , /» , ^, r, - i tutti i successivi quoti, che risultano da simili di- visioni. Ora questo discorso si applica egualmen* te ad un* Equazione qualunque. Dunque in ge- nerale essendo et radice razionale della x-^-A^T-'h-Ba^-* -f.....H-RA-» -+-SJc»■+. TJf^- V=o , ritenuto che sia- = /»,— -^ = i,
■"^ = ^ 9 ^ ' ■ = a ec.y tutte queste quantità
*,i, CyJ^ ec. saranno tanti numeri interine pe* rò ce dividerà esattamente T ultimo termine V, la somma del quoto a col coefficiente T del penul» timo termine , il risultato ^ che si à unendo insie- me il quoziente ^ , e il coefficiente S dei termine mtepenultimo , e così di seguito; onde in gene-- Tale X dovrà essere un divisore esatto di ciascun coefficiente della data sommato col quoto della di« visioQ^ precedente instituita nella esposta maniera^ e H quoto finalmente deir ultima divisione dovrà essere = — i •
Se V Equazione data sia la (C), ed d sia sua radice intera ^ e razionale ^ tutte $i verificheranno
le di<«
:2g6
le divisioni ora accennate, e dair ultima soltanto invece di ottenere il quoto - 1 otterremo TaUro-F. igó. Un metodo quindi si deduce elegante^ e spedito , onde determinare quei numeri , che sef« vono di radici razionali alla data Equazione •
Se i fattori deir ultimo termine non sono rool* ti , né molto elevati di valore , servendoci dell* strada del ( N.^ 294 ) , potremo ^ sostituendo cia^ cun d' essi in Juogo della incognita , osservare , qua* li sono quélli^'che fanno verificare Ja Equazione » e co^ì trovare le radici cercate : ma se tali fettori sono molti , e molto elevati ., riuscendo allora que* sto metodo di sostituzione incomodo troppo , e troppo prolisso ^,*si suol piuttosto far ricorso al sc« guente.
Determinati tutti i fattori dell* ultimo termine 9 scrivansi questi in una riga sotto i' Equazione da« ta , prendendoli sì positivamente , che negacivamen^i te; dividasi in seguito per ciascuno di essi T uN timo termine , e i quoti 9 che ne provengono , scn« vansi in una seconda fila, è questi poi sommati col coefficiente del penultimo; termine , si ponga^ no in una terza sotto i divisori corrispondenti • Ciascuno di questi risultati dividasi allora per quel fattore, che gli appartiene; se la divistone Qon riesce esatta , segno si è , che un; tal fattore non può essere radice della' data (N.^ipS ),e perciò si trascura, scrivendosi poi i quoti^ che pnoven* gono esatti in una quarta riga in corrispondenza dei proprii divisori : posti inoltre in una quinta i
«sul-
297 risultati, che si latino, unendo questi quozienti col coefficiente del termine antepenuitimo^ di vjdan* si essi nel modo medesimo pei fattori corrispon* demi 5 e trascurati quelli tra questi fattori, che producona una divisione inesatta ^ scrivansi nel modo istesso di prima in una sesta riga i quòzien* ti, che riescono esattile ciò per proseguire , co- tte •precedentemente, la operazione^ la quale si continui sempre in egual maniera , finché si giun- ca al coefi^ciente del secondo tetmine , e in allor la quei 'quozienti , che risulteranno =*— i , ^tV Equazione data sia la ( D) , ed = — F, se la da^ ta sia la ( C ) , xlimosjteratino^ che i divisori cor* rispondenti sono altrettante radici intere della ( C ), e razionali della ( D) ( Ni** 295 ) , e fuor di quc« ite la no^ra Equazione non ne potrìk aver altre • \ 297. Vogliansi per -esempio tutte le radici ra* zionah delia .r* - 3 jt^ - 4 x^* H- 1 2 x* -^yx - 9- o. Ritrovati tutri i fattori del 9, li scrivo sotto dell* Equazione data in ( 7/ ), prendendoli sì pò* sitivamente, che negativamente i ciò fatto divido il termine 9- per .ciascheduno di questi fattori; e iispongQ ì quoti — 9 > — ^ > -^ i » ec in una se* conda riga in corrispondenza de* proprii divisori • Sommo in seguito ciascuno di questi coefficienti col coefficiente 3 del penultimo termine , e scrit* ti i risultati — 5,0,2, ec. in una terza riga , li divido pei fattori corrispondenti , onde avere i quozienti - éf, o , ec., che pongo in una quarta fila; quivi vedendosi , che i numeri 2,4 non so*
p p ^ no di^
no divistbili pei fattori corrispondenti ^^ — 9, con- cludo , che tali fattori non ponno esser radici del* k data , e perciò li trascuro . Seguendo a tener conto degli altri , unisco ì numeri- —S, o , ce. col coefficiente if dell' antepenulrìmó termine ; colloco i risultati 6^ 12, ec. in una quinta fila ; divido questi pei fattori conrispondenti , e trascu- rato il IO, la cui divisione per 3 è inesatta, pon- go in una sesta riga i quoti 6 , 4, ec. : aggiunto a ciascuno di questi il coefficiente - 4 del termi- ne — 4^9 colloco in una settima i numeri 2 , o,^ ec. yche ne risultano ; instituisoe su quesd ul- timi la solita- divisione; ai quozienti 2 , o , ec. , che provengono, e che scrivo in una ottava fi4a, unisco il coefficiente - 3- del secondo- termine f divì- do i risultati — I , - it ec già' scritti in una nona riga pei rispettivi fattori ,e veggendo finalmente, che dalla divisione dei tre fattori i » 3, - 1 risulta, il quo^'ente , concludo pel ( N.* 295 ), che questi fattori sono tutti e tre radici razionali della data • < jfJ ~ jjp* - 4 jr» 4- 1 2\«* -f- 3j *" — 9 = o
» , 3 » 9 » - I > -^ 3 > —9
^-p*» — J'» — «> 9i 3» «
— 5, o, X, 12, &i 4
— 5, o, * —12, —2, * (H) 5, 12, o, 10,
5, 4', o, *
2j o, —4,
2> Oj 4»
— I > — 3 > » »
-- 1 , . — 1 1 — I , 299.
199
^^t. Determinate pei (N.^ prec.) le ladici razionali ^ella data (C), (D), chiamate queste «, /3,7, ec,e sottratte dalla x, i binomj x—- «, X - ^i X'-yy ec., che ne risultano , non saran> no^ che i fattori razionali della data Equazione . 299. Trovare i fattori razionali di secondo grado della -data Equazione . .
Dividasi il primo membro della nostra Eqoazio« ne per un fattore di secondo grado x* '^ax-\-b^ i cui coe£icienti a , b siano indeterminati . Eseguen- do simile operazione , è chiaro ,<be giungeremo fi« nalmente ^d un residuo-, in. cui la x non monte- rà, che al primo. grado, e sarà esso della forma M jr + N , essendo M , N funzioni delle a , h. Se questo residuo indipendentemente dalla x sia uguale allo zero, in allora sarà >* -\->iix +i uft fattore esatto del supposto primo membro, e lo dividerà quindi esattamente , ogniqualvolta le quan* tità ayh vengano determinate per modo, che ab- biasi M =; o , N = o . Sia il nostro fattore razio- nale, e siano perciò razionali i due coefficienti #, &; a£Sne di determinarli formo le due Equa« zioni M =0 , N=:o ; elimino da que«e la bi cer- co da quella , che nasce, ì valori razionali di a (N.^2p4, 2p5); sostituisco questi già ottenuti in una delle dueM = o,N = o, onde avere nel- la stessa maniera i corrispondenti valori razionali di ^ ; e sì gli uni , che gli altri so^ituiti oppor- tunamente nella supposta quantità *• -f- 4j * -f- 4 tutti ci daranno i fattori razionali di secondo gra-* do richiesti . P P 2 3®°*
300. Datt sia ad esempio I* Equaaioue X* — X* - 9»**— $JC — 3tf. = o.. Instituita la di- visione di questa' pel trinomio ** + 4 4r+*, e giunti al residuo ( lah-^h.— J.-+-94 — «• — 4> ). X '{•ii^-^^è— a^ b — M.lrr--ì6.) ,. dovendo, que- sto essere uguale allo zero indipendentemente dal* la Xi suppongo Tah + ù^ — ^-h-g^ét- — 4*' — a*- = o,, 4* ^gk— t&y—ait.— j5 = o^ Dalla prima di que»
ste Equarìont avremo b =^ -^ . ^ — » « o*»'
la. seconda h*' - ( «* -4- 4L— 9 ), fe— g<5 = o , ovve- ro facendo per semplicità «*=-+- tf - 9 =£ , avrema
^ = l£±i" i»:^»^-»5 = o: sciolgo r ultima
di queste. Equazioni ;: avujto. il valore:
h =. L-±. ^( — + 35 ) ,, formo 1* Equazione
£:!: l/( 1'-+. 55 ) = ^) tolgo, da questa le
frazioniV^e i radicali j; sosrituisco^ ìtì. luogo della f il suo valore >, e oneri òi finalmente T Equazione
U«^ j^S. — IJ>l^'— 35 4*H-20rtf*'-f-228il =o«
Ora da questa^col. metodo dei ( N.^ 294 , 296 ) ri- trovo, che la il- à. i due valóri razionali o, - I^ e
questi: sostituiti; nella fc= ^— -j- ci dan- no corcispoodfentemente trr j, fc= — 12 • Dun-. que riposti: suecesswamente nel fattore x* -h ax^b ì numeri o ,.— i in luogo della il, e i numeri 3, ~ia in luogo della k otterremo le duequantitàr
jr^-4- } , *•— I * - Ì2> le quali sannoo due fat* tori esatti razionali, della data..
jor. Determiiiare i £ittorì razionali di terzO) grado della^ data ( D ) •.
Si divida lì primo membro della (D) pel qua* drinomio ;ri +4>* + bx-^-Cy i cui coefSdenti a^ hy.c siano da determinarsi; il' residuo della, divi* none: sarì^t dèlia: forma M x^ + Nx+P^esé que* sto indipendèntemente dalla Jt si ridurrà allò ze« ro V il supposto quadrinomio sarà; un.fattore. esa^ to di terzo grado ^.fattor razionale >,mentre.sianoi razionali i coefficienti a^ ù\ e. SuppongHiamo M = o ,, R= o 5, P =o ,,col. mezzo della» elimina- zióne nducansi queste tre. Equazioni^ad una ^ in cui non- esista che la sola a ;. ottenuti! da questa me- diante- i. (.N.* 294 3. 295 ), i valori.' razionali di es» ta a\ sostituiscansi. successivamente nelle. altre, on« de abbiansi ,. come ncL ( N,^ prec. ) , ii valori cor» rispondenti di t\ e di e; se questi, si trovano ra« zinnali ', come razionali si sono supposti i valori della ir, la ( D ) avrà altrettanti fattori razionali di terzo, grado ,^ e gli avremo con questo metodo determinati..
^02; Ila strada: tenuta presentemente è affat* to la stessa ,. che quella, del ( N,? 299 ) per la ri» cerca dei. fattorii razionali:} dii secondo* grado, e questa medesima deve: egualmente; tenersi nella de» terminazione dei fattori 1 razionali^ del quarto , del quinto, ec. grado: supponendo difatti uguale allo zero ciascuno dei coefficienti del residuo , vedesi,
che
che avremo tante Equazioni ^tiuanti sono i coefiì« denti indeterminati del supposto fattore, ed ope- rando perciò ) come precedentemente , determmere- mo, mentre esistono, i valori commensurabili di tali coefficienti..
303. Sonovi dei casi particolari , ne' quali il metodo , onde determinare i fattori razionali , n* esce molto più semplice del metodo generale con- siderato fin ora: tali sono quelle Equazioni, che andremo considerando presentemente .
304. Ridotta, come nei ( N.* tfo, €i ) , la (.D^ alla mx"-' + (>w- i) Ajf"*-»-f-(««i— 2)Bx*-* + ec. = o, se la prima di queste Equazioni à un numero / di radici = « , la seconda avrà un su- mero p-— i di simili radici =«.
Supposte QguaH fra loro le f radici «, ^-y'Y» J , ec. ir , poiché pel ( N.® 60 ) abbiamo «!«-•-» + (w - i)A«*-*-+-(«r--2)B«"-Jec. = (« — ^)(«- yX« — ^)«* ••> poiché i fattori «— ^,4t-y,«- d'ec. «~ff sono.evidentemen- te di numero / - i , e poiché nella nostra ipote- si per ciascuno di questi fattori la quantità met"-^ + (m- i) Aa*"*-!- («» - 2 ) B a"»-» -h ce. diventa = zero ; quindi ne segue chiaramente , che la m x"^ -h i^— t ) A x"--* -\- (m -i)Bx^» 4 ec. = o avA un numero ^ — i di radici = a .
305. Se la (D) non à che una sola radice = «,la »Af*-'4-(>»-i)A;r"-* + (i«-2)B;r*-» H- ce. = o non ne avrà veruna = «.
305. Supposte nuovamente le quantità <x,/3.
fy^y ec. differenti tra- loro > se la ( D ) à un nQ« nero p di radici == «, un numero q di radici =:^, un numera r di radici =7 , ec. ed à le radici p , 0- , T , ec. replicate una volta sola y sarà tssa spezzabile in tre fattori razionali , il primo dei qua*
li sarà =( JT -«)^« (*-]?)*-'( Jt-y)-«
il secondo = (* - a)(jf— jSXx-— y).... , e il terzo =(jf — p)(\x — cX* — t)....
Ridotta la (D) alla m jf- « H- ( « — 1 ) A jp"^»4- («— 2) B *•*' -f ce. = o , questa ultima Equazione non avendo alcuna radice uguale alla- quantità p, 0-, T,ec.,ne avrà- un numero / — i uguali ad « » f *— x uguali alla ^,- r — I uguali alla 7 , ec. : dunque se troveremo il massimo comun divisore tra i due primi- mem- bri *• 4- A *-- 'H- B x^*'-^ ec. , w**-' -f-(i»— I ) A;c*-*+(>»— 2 )B>*-» 4- ce. sarà esso = ( X —«)*-»( X - jS )«-' (;tf~ 7 )'-«,,. , e se per questo divideremo il primo membro jr* -h Aa^^' -+-BAf*~* H-ec, il quoto, che ne viene , conterrà tutte le radici « , p , 7 , ec. , p , V y T , ec. replicate ciascuna una volta sola . Sup« ponghiamo ( r -«)'*« (x' — jS)*-' ( X— 7)'-*...
= X, ^ =X',e cerchisi il ma»»
«imo comun divisore tra le due quantità X^X';
chiamato questo X"; poiché' abbiamo.
X' =( X—» )( X— ^)( Jf~7 . . . ( jc— p X J^— ^ ^^-f)
ec, farà X' ;=(*-«X Jf — -yX*— ^^••••> «
sup-
J04
supposto finalmente ^ = X'" ^ otterremo
X'" = {;r — p)(jr-^)(jr — T),,.. Ora le tre quantità X, X", X'" essendosi ricavate dalle jc^H-A;r'"'*-4-Bx'— * + ec., i» jr*-« -f- ( « — i) A Jt*?^* -4- ec. con tante successive divisioni , non nonno che essere razionali 9 e inoltre il loro pro^^ dotto X X" X'" risulta ^{x-oc )/ (x-fi )* {x-^ y
(;r — p-)(jr — (r)(jr — T). ,•. = ;(:"• -HA Jf-«
-ri- Bx'^^-^ ec. TXinqucf -ec,
307. Dunque se la data (D) contiene delle radici uguali , potrà sempre spezzarsi nei ere fitto* ri razionali X, X'\ X'" eoa le semplici divisto* ni ( N.® prec. ) e perciò in un modo molto più semplice dell' accennato nei < N^ 298 » 1299 , 301 ^ 302). Inoltre se/sapremo risolvere le Equazioni X" = ò, X" 1=50, la prima di esserci darà le ra* dici uguali» e la seconda le disuguali della prò* posta (D).
308- Sh or* — 4 JrJ+Sjr^ — 4;r^:— iijc*+. 2^x-- i8:=zQ r Equazione proposta» in cui vo« gliasi determinare, se abbianvi delle radici egiiaii^ e quali €^e siano; ridotta perciò tale Equazione air altra 5 x"^ — 10 x^ + 32 jt.' — 22 jr -+-24 =0, cerco tra i loro primi membri il massimo comu« pe divisore: ora colla nota operazione troviamo èsser questo^ jr* — 2 jt + j , quantità corrisponden* te alla X del ( N.^ 306 ); durtque diremo , che la data à benissimo delle radid uguali, e però di« Vito* il suo primo membro per X, avremo il quo*
to;r^
1^5
to ;tf^— 2Jrt4-Jf* + 4 — ^ = X(R^ 305) Cer^ co nuovamente il massimo divisor comune fra le quantità X v X' , e trovandosi esser questo x^ — %x H- 3 — Jr" , formo , e sciolgo T Equazione X* — iJt-Hg =0; ma da questa abbiamo i due valori x=i-4-\/ — 2, x:=: 1 — |/— 2; dunque, giacché il prodotto X X" ascende al quarto grado, vedesi pel ( cit.^N.** 306), che la data dovrà ave- re due radici = i -h v^— 2 , ed altre due = i - ^— %. Affine poi di determinare le radici disuguali, di* vido X' per X"; è poiché ne risulta il quoto X* — 2 = X'" , tali radici disuguali saranno Je due •+-V^2, — */2. Da tutto questo finalmente appa- risce essere stato ih primo membro della proposta spezzato nei tre fattori razionali X=jr* — 2;^+-?, X" = Jr» — 2Jr-4-j, X'" = jr* — 2.
309. Abbiano le due quantità intere , e razio« nali A , B il massimo comun divisore K; se mol* tiplicheremo una di queste , per esempio la B per un numero f primo all' altra A , e in seguito se ne faremo la somma, il risultato A-+-/B, ayrl^ con ciascuna^ delle A , B lo stesso massimo divisor comune K«
Che il numero K sia divisor comune delle quantità A+/B, A,B,ciò è evidente ; che poi sia divisor massimo fra due qualunque di tali quan- tità , lo conosceremo facilmente dall' osservare » che, se ciò si negasse, e si volesse una quanti- tà/> K divisor comune di AH-/B, e di A , cosicché si avesse A+/B=/r, A=//sosti- q q tuen-
tuendo ne verrebbe //-Hj>B=/r, e perciò ^B=/(r — x);ma ii numero p essenda primo ad A , deve esser primo anche ad /; dunque es^ sendo la quantità pB ^f(r — /) divisibile esat- tamente per /, non potrà per questa /essere divisibile , che la B; e perciò le due quantità A, B avrebbero per loro massima misura co- mune non più K, ma /> K; il che è controia supposizione . Con più semplice raziocinio si ve* de ancora essere la K divisoc comune più grande delle quantità AH-^B, B.
310. Se tre, quattro , ec. fossero le quanti, tà intere , e razionali A , B , C , ec. aventi R per loro massimo comune divisore , e la seconda di tssQ si pfioltiplicasse per un numero p , la ter* za per un numero f » ec. tutti primi ad A; nel modo istesso si dimostra y che il medesimo nu« mero K sarà massimo comun divisore delle quaii* tira A-4-/B-f-^C-l-ec. A , B , ec. insieme con* siderate , o a tre a tre , o a quattro a quattro , ec. secondo che tre , quattro , ec. erano le quan* tìtà date A , B , C ec.
311. Se nel (N,® J09) supponghiamo/= i, bd = — I , ne verranno i due risultati A -h B > A — B , ciascuno di questi avrà pel (cit. N.® 309 ) còri le quantità A, B lo stesso massimo divisor comune K.
2.® Supponendo nel (N.^ prec. ) , che tre sia* no le quantità date, e che / ci esprima una qua* lunque delle radici cubiche dell' unità ^e sia q~ p*
307
(N.* 199 ), è chiaro , che nella ipotesi di A quan- tità razionale il risultato A -+-/ B +^* C avrà con due qualsi vogliano delle A3B9 C lo stesso K per massima comune misura •
j.^Se quattro siano le date A,B,C,D, se la-prima fra loro sia razionale , e se i numeri f ^ f^ ^ f^ tutte ci esprimano le radici quarte dell* u- nità ( N.^ 199 ) i vedremo in cgual modo pel ( N.^ 310 ), che K sarà il più grande divisor comuae fra il risultato A 4- / B •+ / C +/' D , e tre quali si vogliono delle quantità A>B|C,D.Lo stes* so si dice nella supposizione , che cinque , stì ec. : siano le quantità date-
312. Supposto A + B = i^,A — B = i, de- terminare il massimo comun divisore fra le due quantità ayb.
Il più grande divisor comune richiesto sarà lo stesso , che quello esistente fra le quantità a^ a-^b ( !.• N.® 311 ) , ma essendo K la massima comune misura tra A 4- B , ed A ( cit.^ N.° 3 1 1 ) , ed es- sendo A+B = ^,zA = i^+-i, vedesi , che se
— '^— = -^ risulta numero pari , allora il massi^
mo comun divisore tra A -t- B , e 2 A /ossia tra n^ ed 4 + ^ diviene 2 K, e resta lo stesso K^se
^^ — -==• -— risulta numero dispari • Dunque anche
il massimo divisor comune tra i^ , e ^ sarà iK^
oppur K 5 secondo che -^ uguaglia un numero
qq 2 pa-
pari, od un numero disparì *
313. Attribuito alla / ( z.» N.» 3 1 1 ) il valore
^t-f-/-3 ^ determinare il più grande divisor comune fra le tre quantità A4-B4-C,A+/B
Prima di procedere a simile dimostrazione » osservo , che il massimo divisor comune fra le tre quantità A , A + B + C, A4-/ B -H / C esser de- ve lo stesso K esìstente fra le tre A , B , C , e per- ciò fra leA,3,A-+-B4rC(N.<»3io):c difatrf se ciò si nega , volendosi per massima comune mi- sura delle esposte tre quantità un numero />Kj supposto A=/r, A + B+C=//, A+i>B-f^C=/^ con la eliminazione delle quantità A , C , otterre- mo {p^ — / ) B =/(/ X — / + ( I — ^*) r )-, onde si vede , che la quantità / dovrà dividere esatta- mente il prodotto (/»*.—/* ) B ; ma essendo/* —p^:=. — ^ — J > ed essendo / quantità razionale , perchè divisore esatto della quantità razionale A ( N ** 3 io), non può eseguirsi una tal divisione , quando non sia divisibile esattamente per la / la quantità B . Dunque riescendo essa / divisore esatto di tutte e tre le quantità A , B , A + B-f C , non sarebbe più loro massimo comun divisore la K contro della sup- posizione . Dunque ec.
Ciò posto , facciamo A 4- B + C=a , A-+- / B + /»C=*,A-f-/*B-h/^C = f ,la massima co- mune misura fra le <i,^,f la stessa sarà ,che quel- la fra le « + * + r , « , ^ C N." 3 IO ) ; ma essendo
#-|- ^-4-f = g A, e per quanto «i è ora detto, (1 massimo comun divisore delle quantità A , a,l essendo il numero K , è chiaro » che , se i risultati
Y"» ^ sono amendue multipli del j , allora il
massimo comun divisore delle a-^b -^ c'=.^ A, a , b diventa 3 K , e rimane il medesimo K , se
=• , rr non sono multipli del j . Dunque ezian*
dio le quantità a yb^e avranno per massimo co* mun divisore 3 K , ovvero K , secondo che sono,
a b-
o nò , divisibili per 3 i risultati —,•=-.
?i4* Se data alla/ (j.^'N.^jii) il valore
1/— I (N^^2i8), pongasiA+B4-C + D = ^, A+/B+JP» C^-/3 D =: i , A-4-/* B+/^ C + / D = r, A+z^B +/C+/ D = i/, e si domandi in seguito il massimo còmua divisore delle quan- tità a^ byCjd; con un raziocinio perfettamente simile a quello del ( N.*^ prec. ) troveremo esser
a b e questo 4 K , se i quoti "if > "jT ' "k" ^^^^^^"^ '^'^
ti multipli di 4; essere 2K, se tali quoti diven- gono tutti multipli di 2 ; ed essere finalmente K » se essi medesimi non sono multipli né del 4 » né del 2 «^ In egual modo , se attribuiscasi alla p il valore di una delle radici quinte della unità di« versa dall' unità medesima , e se supponghiamo AH-B4-C-f-DH-E^i^ , A-h/B+/»C+^*D^-/^E=*,
3 !0
A -f /» B -f-/< C +/ D + /»• E = r ,
A -1-^4 B + / C +/" D 4-/** E = tf , troveremo ,
che il massimo comun divisore delle quantità a,
K h, Cy </, * sarà— ,oppurK, secondo che i quo-i
zienti Y>T > T ' T ^°"° ' ° "° divisibili esat- tamente per $ . Così dando alla p il valore di una di quelle radici seste dell* unità , che elevate alle successive potenze ci somministrano tutte le radi- ci medesime (N.<'20(?), e chiamando a, B, r, </, e, fi risultati A-f-B -f-C-4- D 4- E 4- F , A H-/ B 4-/* C +/> DH-/ E-+-/ F , ec. , vedrei ino, che la loro massima misura comune deve es»
K K K
sere — * ovvero — , oppure — , o semplicemen-
a b e d e te K , secondo che la quantità i^ > "^^ > "j^ > Y" » "k"
riescono multiple del 6y oppure del j , oppure del 2 , o finalmente di niuno di questi numeri • L* istesso diremo dei casi ulteriori .
315. Mentre la data (D) abbia delle radici uguali, e contrarie di segno , sarà essa sempre do- tata di un fattor razionale , in cui tutte si conter- ranno simili radici.
Ponghiamo nella supposta (D) — x in luogo di X ; ÌQ radici dell' Equazione , che risulta , e che chiamerò E , altro non essendo , che quelle della data prese xon segno contrario, ne viene, che se
la
3"
la (D) à per radici le quantità 4- «, - a, +jS, — /^ » -H r 5 — r , ec. Tt , p , ec. ; la E avrà per radici le — « , + a , — /S, H-^ , — y, +y , ce- , •— ^ > — P j CC; 5 e però sì T una , che V altra di que- ste Equazioni avranna un comun divisore , il qua* le sarà
(x — x)(r + cc)(x -fi)(x + 0X^-7Xx + 7) = (^*— ^*)(^*-/3»)(;r» — 7»).... Dun- que se col noto metodo cercherò fra i primi mem- ori delle ( D ) , E la massima loro comune misu- ra , essa uguaglierà il prodotto ( a:* — «* )( jt* ~|S* ) (^» — 7*) ....; ma, per essère le (D), E razio- nali, questa loro ^massima comune misura non può che essere razionale . Dunque ec.
3 i6. Supposta la ( D ) , come nel ( N.*^ prec.)^ determinare il suo fattore (^» -flt» Xat* - /3» )( x^ —7* ) ... .
Avremo pel (N.^prec.)la soluzione di questo Problema , trovando attualmente il massimo comun divisore fra i primi membri delle (D), E. Affi- ne però di facilitare T operazione, chiamata M la somma di tutti i termini , che nella ( D ) anno per esponente dei numeri pari, compreso il termine cognito , N ^ la somma d'i tutti i termini di espo* nente dispari, ne verrà (D) = M4-Nx', ed è facile a vedersi che sarà E = M — N x . Ciò po- sto, facciamo la somma, e la sottrazione di que* ste due quantità , e suppoiighiamo (jr* — a» Xat» — |3» )(x» - 7* ).:-. = K;i risulta^ ti 2M, iHx essendo entrambi divisibili per 2 9
e non
e non essendo divisibile per 2 la quantità K , pel ( N-^ 312) essi due risultati 2 M , 2 N jc avranno il massimo comun divisore 2 K , e quindi K Io sa* rk dei due M , H x . Ciò dunque essendo , se nella data (D) raccoglierò da una parte tutti i termini di esponente pari > e dair altra quelli tut« ti di esponente dispari , e se fra queste due som- me troverò il più grande comun divisore , altro es- so non sarà che il fattor domandato.
Sia per esempio (D)=jr7-+-3;r* — gx^— px* 4- 4 X 4- 1 2 = o • Avendosi M = ja:^— 9x^-4-12, Nx = jr7 — 3x54-4^^, cerco il massimo divisor comune fra tali due quantità , e trovando esser questo x^ - 3 «*•"*-+- 4 > sarà esso il fattore , in cui tutte contengonsi le radici della ( D ) uguali fra loro 9 e contrarie di segno .
317. Se la data (D) contenga un fattore K = (x3 —ix3 X Ara —^3 )( ;fi _ yi)... ^ sarà que- sto sempre razionale , e determinabile con un me« todo più semplice dell' accennato nei (N.^joi^
302 ).
Chiamata nella ( D ) M la somma di tutti i tei> mini, ne' quali h x a per esponenti dei numeci multipli di 3 y compreso il termine cognito ; chia- Diato W.^ r aggregato di quei termini, ne' ^uali divisi per se V incognita monta ad un grado mul- tiplo di 3 , e chiamata P x^ la somma di tutti i termini , ne* quali h x è dotata di esponente mul- tiplo di 3 > mentre vengan divisi per x* , riducia- ino C05Ì la nostra Equazione all' espressione
B^3
M-fNjf-|-Pjf* = o, e sia quindi M+N;r + Pr» = (Af3-.«>)(A-5-^3X^'-y')....(jr-w) (jf — p)...=:K(Ar-w)(Ar — p)., . Ciò fatto, pongansi successivamente in luogo della x le quan« tità /r, /• r, essendo /, /» , i le tre radici cubi- che della unità: per simile sostituzione restando affatto le stesse le quantità M , N , p , K , la pre- cedente MH-Njr+P;^» =K( ;r—wX*—p)« •• si cambiei^ nelle
M+/N4r-h/»P;r»^KC^jr — «X/^— p)--M M4-/« N;r+/» Pr» =K (/» jf-»rX/ r- p).. ., e fra tatti e tre questi risultati vedesi, che esis- terà come massimo comun divisore la quantità K . Ora sommiamo insieme per tre volte i tre primi membri M-f-Njf-|-P;r*,M H-/N jrH-/ P x* , MH-/*N4rH-/^Pjf*^ prendendoli prima sempli- cemente come si trovano , poscia moltiplicando il secondo per /* , e il terzo per /^ , e finalmente moltiplicando H secondo per / , e il terzo per /• ; e otterremo con ciò i tre risultati 3 M , 3 N jf , 3 P ^ . Ma essendo essi moltiplicati per 3 , e non essendo per 3 divisibile K, il loro massimo comun divisore viene ^d essere jK (N.«3i3); dunque K lo sarà «lei tre M, Nr, Pjr*^ ora queste tre quantità M , N jf , P ** sono razionali , tale dun- que sarà anche K, e sarà esso determinabile col metodo di trovare il massimo comun divisore , me- todo assai più semplice degl* accennati nei ( N.' 301, 302).
318. Supposte in generale />/•>/*>/* ^c*» r r /•-*
3M /■"' tutte le radici nesime delJa unità ( N.' 199, 2o5 ) , sia K = ( ;c- — flc» )( ;r" — ^" )( AT" - 7" ) . . , e sia la data ( D ) = ( a:- - a» )(jf- — ^' )( a:- -7-)... (at— TrXjf-p)... =:iK(jf — 7r)(A: — p)... = o. Ridotta questa alla forma
MH-Nr+PAr»4- Q.J«r' 4- . -.T x"-^ = o, col sup>- porre,i:heM rappresenti la somma di tutti i ter- mini , nei quali la x sale ad un grado multiplo di n; cheNjr esprima la somma di tutti i. termini, che anno 1' esponente multiplo di n , mentre ven- gan divisi per x ; che P at* sia 1* aggregato di que* termini , che divisi per jc* restano di esponente mul- tiplo di », e cosi di seguito,* si scrivano succes- sivamente in luogo della x le quantità /Jf, /* *"» ^» jf , ec. /""■' X : restando perciò le medesime le quantità^ K , M , N , P , Q.» ec. , T , otterremo M+N;r + Px*-i- Qjei -f- . . . .
+ T AT—* = K ( A- — TT )( ;r — p ) . . .. M +/ N*+/ P:r»-f /»Q^jrJ -4- . . . .
M-4-Z»Na- +/^P;t»-H/Cl;c3-|-.. .-.
/»—» T ;r—* = K (/**►- w )(/* ;r-p )... .
M +/» N jf 4- / P Jf» -h/» Q.J^ -I- • . . .
/»J— J T jr— '=K (/> ;r-7r X/J ;«• -p ) .. .. , ec. ec-
i quali tutti avranno il massimo comun divisore K . Sommiamoli ora per un numero n di volte , col prenderli primieramente nello stato , in cui si trovano; moltiplicando poscia il secondo risultato
per
per /"-' , il terzo per ^•••* , il quarto per /^•"^ ec. ; in terzo luogo moltiplicando il risultato se- condo per /•'*, il terzo per />*""'^, il quarto per f^"^^ , ec. ; molriplicando in quarto luogo questi risultati successivi per p^"^ , f^'^ , /5*^^ , ec. ; e così in progresso . Coli* operare in tal modo è chiaro , che ne verranno i nuovi n risultati n M , ir N jr , » P :r* 5 n Qjc^ , ec. » T ;r"^* , i quali es- sendo tutti divisibili per n , avranno per loro mas- sima comune misura la quantità nìH (N.^314); e però K sarà massimo comun divisore delle quan» tità M, Njt, Pr*, Qjc^ ec. TAr*^';ma queste tutte sono razionali; dunque anche K sarà razio» naie, e sarà sempre determinabile col metodo di trovane il massimo comun divisore fra più quan- tità date: onde qualunque siasi la », potremo di- re, che avrà. luogo sempre il teorema del ( N.*
317)-
319. Col metodo dei (N.^315, 317,318)
vengonsi a determinare in una Equazione data ì fattori razionali della forma jr**+4-:tt*"')"'-+-^jrt*^*)" H-rx*<*"^>"-4-cc. Imperciocché supposte di nume- ro h le quantità x^* — a* ,^* — |S* , ^ — 7» , ec. dovrà essere il prodotto K = (Jt-— a-X^"— /3*X^— 7").... ^-x^^-a jrt*-')» + b A-t*-*)- + ec- . . . Nel ( N.^ 3 16), ove » = 2 , resta determinato un fattore della for- ma jr**-+-4Jr*t*-0 + ^;r3(^-*)+ec. ; e nel ( N.<^ 317), ove » 1= j , ne resta determinato un altro della forma x^^ + a a-3(^-0 4- b x-^t*-*) H-ec.
r r 2 Neir
Ii6
Ncir Equazione ;^»J - 1 x« 4- J ^" - (5 jt^ — 2 x^ + 4j(f^+3jirJ — 5=0, e servendoci del metodo accennato, troveremo il fattore jc**+3 x^ — ix^ ; 4-3> in cui sarà « = 4, 4 = 3.
CAPO DECIMOaUINTO.
Kìfiasiont generali intorno aW Equazioni algebraicht
determinate rìdncibili ad altre di
grado inferiore m
320. Xlbbiamo nel (N.^apr ) accennato, che una data Equazione quantunque di grado >4, può in varii casi particolari ammettere soluzione ^ quando cioè' per valori , o per rapporti particola- ri fra alcune , o tutte le radici può essa ridursi ad altra di grado < 5 , dalle radici della quale pos« sansi poi ricavare le radici della proposta • Ora af- fine di scoprire , quali siano questi casi , andremo prima considerando nel Capo presente in generale i casi , nei quali una data Equazione è capace di abbassamento , indicandone insieme il metodo ge<- nerale , onde ottenerlo. Nel Capo poi, che se« gue , esporremo alcune determinate Equazioni , le quali possonsi attualmente abbassare di grado con metodi particolari.
321. Supponghiamo pertanto la data (D) ta- le , che fra un numero X di sue radici esista un
certo
in
certo qualùnque sfasi rapporto particolare • Conos- ciutosi questo y o dalla forma della Equazione , o dalla natura del Problema, o in qualunque altra maniera: se cercheremo di esprimerlo, è chiaro, che ci condurrà ad un' Equazione fra le suppos- te X radici , che potrò rappresentare con la ( S ) (S)/(^')(^")(<")--(^<*>> = K:, essendo K una quantità cognita y oppure zero »
Nel caso per esempio del (N.^jij ) supposto a'=-x' j — X- jt" , le due radici x' , x' anno un tal rapporto particolare fra loro, che da esso risul* ta x'+x' z=zo: nel caso del ( N.® 317) fatto cc=:xypx-x'\p*x:=:x"^ ììt viene jc' + x"
3 2 1. Supposta la precedente Equazione ( S ) razionale , se la funzione /( x )( x" )( x'" ) • • . atW cangia sempre di valore a qualunque permutazio- ne fra le sue radici : io dico , che in tale supposi- aione le radici x , x" , jc'" , ec. xl^ì dovranno tut^ te essere razionali,
A cagione delle condizioni supposte dipenden- temente dal valore K già cognito ( N.^ prec ) pò* tremo determinare pei(N.* 1 56, 164, 144) cias* cuna delle x' , x" , x" , ec. , a^W col mezzo di tan- te Equazioni tutte di primo grado , e però razio- nalmente. Ma K per la ipotesi è quantità razio- nale • Dunque anche le nostre X radici saranno tutte razionali . Cd.d .
323. Se le x*yx'\x" y ec, xWi sono com- mensurabibili , tale sarà pur anche il prodotto
(^-
3i8
( J ) remo dilla forma x^'+a x^^^ -+- b x^^* -i-c jr^—5 ec; e quindi la ( D ) avrà nella nostra ipotesi un fat* tot razionale del grado X . Ma un simile fattore ^ allorché esiste, è sempre determinabile ( N.° 301 ), e se per esso già ritrovato dividasi il primo mem« bro della ( D ) , viene questa a ridursi al grada I» — X . Dunque nella ipotesi del ( N.® prec. ) sa- rà la ( D ) un* Equazione sempre riducibile a gra- do inferiore.
Neir Equazione x^ — ^ x^ — 4x^-^-11 r*-+-j x—^ = 0 supposta ad esempio nel (.N,® 297),aven-
X- — X'" 2
dosi ,, ■ = — , si sono ritrovati i tre fattori
^ i
razionali x — iyX — j^x+i ,e però tale Equa- zione divisa pel prodotto (^x—i(x — 3)(^-+- 1) riducesi alla x* — 3 =0 .
324. Se la nòstra Equazione di relazione (S) sia tale, che resti la medesima pel cangiamento re^i ciproco di due qualunque delle radici, per esera- pio di X in x" j e varii alle altre permutazioni , cosicché divenga della forma f(x\x" )( x"' ) . . • (;r(^) ) := K i in allora la determinazione delle x'\ x'\ ec. , x^'^) dipenderà , come nel caso proceden- te , da altrettante Equazioni razionali tutte del pri- mo grado; ma la determinazione della ^' , Jir'' di- penderà da un' Equazton razionale del grado se- condo ( N* 147 ),onde la (D) oltre i fattori ra^ zionali di primo grado x ~x'\ x—x^^ ec. x—x(^) ^ un altro ne conterrà >* + ^ jr-+^ razionale, e del
gra»
i^9
grado secondo ( cit. N.® 147 ) .
Abbiasi per esempio h x^ —^x^ — ^^ 4- 12 x^ + ' 5 -^^ — 4 -^ + I o =3 o, in cui d' altronde si sap- pia essere x'-h x'—x" = j .Pokhè questa Equa- zione di relazione è della forma/( x\ x" ){x" ) = j^ la data dovrà aver due fattori razionali uno del primo, e V altro del secondo grado ; e di fatti cer^ cati questi coi metodi dei (N.* 295, 299) , li tro» veremo essere i due :t-hi, x^—óx-hiOy dal primo dei quali ricavasi x" = — i , dal secon*
^? "" ;f3-+-y-i,^''=J-\/-i, e però
X +x —x =7.
325- Sia la (S) della forma/U', x\ x" )( ^") .... {x^^^ ) r=K ^ cosicché mantenga lo stesso va- lore al cangiarsi fra loro delle x\ jc", x*'" • Dipen- dendo in questo caso la determinazione delle x\ x\x'' da un' Equazion razionale della forma x^ -+ ^x'^+i^ + r^oCN.^ 147); la (D) con- terrà e i fattori razionali di primo grado x — x\ X — ^"^ , ec. x^)^ ed un altro ne conterrà ^i terzo. 2 ^ Se f{x\ x\ x\ Ar'0(;t^) . . . . (;r(X> )= K sia r Equazione di relazione; la (D) oltre dei soliti fattori di primo , sarà dotata di un altro fat*- tore razionale di quarto grado e così in progresso. 3*^ Che se finalmente abbiamo la (S) della for^ ma/(jr',Ar",x'",Ar'%....A:(X)) -Y^,\it x\x\x\ ec. x<^) saranno tutte radici di una sola Equazio- ne razionale r^H-i^;r^""' + ÌAf^"**-l- ec. = o ; e però la ( D ) avrà un solo fattore commensurabir bile del grado X.
325.
320
j2^. Poiché in tutti questi oasi il fattore (J) risulta razionale ; replicato quanto si disse nel ( N".* ì^i) 9 vedesi , che per esso la ( D ) sarà seni* pre abbassatile di grado . Merita però qualche ri* flessione il caso di X = i« : imperciocché j se qiie* sto succeda , la x^-^a x^"^ -\- b x'^^^ -+- 1/ = o ve- nendo ad aver per radici tutte le radici della da* ta, non potrà che essere identica affatto con es« sa; e perciò la divisione del (N.® 32}) non po« tra produrci T abbassacnento accennato ^ xisultando jr>^ 4- A x^"» + B jc*"-* 4- ec>
x^+a x^^' -^b x^^^ 4- ce. ~ ^ * Ora nel caso del ( N.® 3 24 ), e nel (i.® 2.* N.* 325) non solo è razionale la quantità ( / ) > ma essa stessa è dotata di fattori parimenti razionali; dun« que ritenuto X = w , se la ( D ) non é riducibile per mezzo del fattore ( I ) , lo sarà ciò nonostan- te per mezzo dei fattori razionali di esso (I) i onde se V Equazione di relazione sia fix'X x' )( at'" ) . • . ( ^H) zz: K , oppure / ( x\ x\ x'' )( x'){x)...i ;tW) = K , ovvero f(^x\x',x'')ixp{x)...i^^^^
fi x\ ^"j ^'"> y ) • . . ( ^W ) = K ec* : la suppo- sta (D) potrà anche allora abbassarsi di grado* Lo stesso non può dirsi nel caso terzo del ( N.* 3 2 5 ) ; imperciocché in allora la quantità ( / ) non à dipendentemente dalla supposta Equazio* ne di relazione fattore alcuno razionale • Dun« que se , essendo X = ^ , T Equazione di rela*
zio* .
3" ^
2Ìonc divenga/C x\ x\ ^ " , x'\ x\... atH ) = K , la (D) non potrà giammai per suo tnezzo ridur- ai a grado inferiore» Da ciò è che le proprietà generali dei coefficienti esposte nel ( Cap.^ 2«^ ) per se nulla giovano ad abbassare di grado T Equa- zione proposta.
g2 7. Supponghiamo la (S) quale si suppose nel (N.^3Z2),e tale inoltre » che non cambi di ?alòre per la sostituzione in luogo della x' di un^ altra radice diversa dalle x , x' , x" ce. Jttt), che chiameremo x(^-^^). In questa ipotesi potremo ben- sì determinare tutte le radici x" , x ec. jr(^^ col mezzo di tante Equazioni razionali di primo gra- do 9 ma la determinazione della x vedesi pel ( N.* 247 ) I che dipenderà da un* Equazione razionale del grado secondo • Così se la funzione supposta conservi il proprio valore non solo per la sosti* tuzione invece della jt' della Jt^^-^^)) ma anche per quella delle radici jr(*^-^»), xd^-^^ì ^ ec jr^P'^^-*) , le x\ jc(^-^0,x<*^-+-x)^j^(ix^-i)^ ec. -jr^f^^O andran- no necessariamente eollegate insieme in un' Equa* zione razionale di tanto grado quante ^sono le x , ;t(^-^i) , ce., cioè del grado p H- i .
J28. Quello, che è stato detto della Xy di- cesi egualmente delle x'\ x'\ ec. -x(^) . Pertanto se il valore della fix'Xx"){x") .... (jd*)) si conserva il medesimo , permutando tutte le x' , x'y x" j ec, jr(^> nelle corrispondenti xO^-^^ì ^ x'*--^*), jr^^-*^3), ce, x(^^^; tali radici dipeiideran- no da X Equazioni razionali di secondo grado ^
s s nel«
pelle quali a due a due si conterranno le x' ,
JfA+i^ X\ X^-^^ì X", X^+Ì}€C. *^>, x(*^). B-
gualmente se la nostra funzione resti costantemen* te = K > sostituendo in luogo della x' ciascuna del- le jf»+»), ;t(»^+i), jr(3^+»),ec. ;r<P^-^»); in luogo della jf" ciascuna delle *>i^+») , jf(»^+»J , jr'J^-t:»), ec. jf(f^-*-»); io luogo della x" ciascuna delle ;c(*^3), xi^^-*-ii), xO*-*-»), ec. *^(P*+5> , e cosi di se- guito; la determinazione di queste radici dipende» rà da X Equazioni razionali ciascuna del grado p-4-1 (N.-I47).
jzp. Sia ora la solita funzione della forma /(jf',A-"X*"')(Jt'^).... (x(^)), e conservi essa il primo valor- K pel cangiamento di tutte le x' ^ x" ix" ec. r^^> nelle corrispondenti ;r ^■*-») , * *-^*) , jf(^+3> , ;f(A.+4) , ce. jr(»^> ( N.» prec. ) . Si appliche- rà a questo caso relativamente alle x" , *•'" ec. atCA) quanto è stato detto nel ( N.* prec.)» e per^ le radici V", #(^+3>; r'% :r(^+4); ec. ;r(^>, 5<»^) ai uniranno a due a due in X — - 2 Equazioni razio- nali del secondo grado; ma applicandosi alle due f adici x , x" quanto abbiamo detto nel ( N.** 3 24 ), vedesi che queste dipenderanno da un' Equazione del grado secondo , i coefficienti della quale saran- no uguali alle quantità — ( *•' H- jr" ), x' x" . Ora conservando la /( y , x" X x" Xx'").,. *(*> = K }ì proprio valore pel cangiamento di x' in jft*-^') , e per quello di x" in x^-*-*^ , se vorremo deter* nare l* una o 1* altra di queste funzioni -^ ( x'-{-x")y x' x" y e in generale una funzione qualunque del- la
U forma f(x' , x" ). mediante la quantità K , è chia* ro che dovremo necessariamente cadere in un' E» quazione generale del secondo grado, le cui due . radici saranno/( x' , x'' ) ,/( jrC^^D, x(^^^) ) ( N> 147 ) • Se x^ + ax+b = o sia V Equazione , che à le radici x\ x'; il coefficiente per esempio a dipenderà da un' Equazione i»^ + « ^ + /3 = o , ra- cui «9 jS saranno razionali , onde chiamate a' \, a'' le radici di quest' ultima Equazione » e b' ^ b" j valori corrispondenti della b^ avremo le due Equa* zioni x*-^a'x + b' = o, jr»-f-4' jr-h*" =0, la prima delle quali conterrà le radici jf ^ x\t la seconda le ;t(^-*-0, jcc*-^»),
jjo. Se la funzione data sia della forma f(x\x\x'" )( x'Xx'').. . {xh^ ) = K , ritenu- ta la stessa supposizione del ( N.^ prec. ); pel N.^ 147 ) le x\ x\x" saranno necessariamente radi- ci di un' Equazione x^-^ax^-A-bx-^c^: o,in cui ciascuno dei coefficienti a^b ^c ^ essendo fun* zione della forma /( x yx'\ x" ), dipenderà da un' Equazione di secondo* grado razionale , di cui / ( x\ x\x'" ) y /( jr(^-^->>, jr^^-^»), jr^^-^3)) sanin le radici . Così se la detta funzione non cangi valo- re per la permutazione fra loro delle x\x'yx'\ x'^'j oppur delle x\ x\ x'\ x^ ^ x^ , oppure ec; la determinazione di queste radici * dipenderà corris- pondentemente da Equazioni del quano » del quin^ to ec. grado , i coefficienti delle quali saranno ra^ dici di Equazioni razionali del grado secondo. Supponghiamo, che la /(V , ;t " )( x'' )( ;r" )( x^ ) s s 2
• ••(4^^)) mantenga fi proprio valore cangiando -le x\ x'\ x\ x'\ ce. sì nelle xO^-^^), jr(^^*), jr(^-^3), x^^-4) co, come nelle jr(»^^'), jir<**-»-»>, jrdfc^i) , jrv*^^4) ce 5 applicando a questo caso quait» fio è stato detto precedentemente , apparisce che le ar' , x" saranno radici di un* Equazione Jr*-+ a x + ^ = 0, di cui i coefficienti 4, ^ dipenderanno da. equazioni razionali del terzo grado . Se ilv»* lore di detta funzione resti pure la stessa pel cam« btamento delle jc' , jc" , x"' , x^ ^ ce* nelle cor* f ispondcnti jr(3A-+-« , jr(3^-^») , x(3^-*-3> , x(3^+4) , ce. ; nelle jr<4X-hf) ^ j^'4Xh-i) , jf(4X-»-3) , jrf4X4-4) , ec, final- niente nelle ;r(f*x-^o,;f(fAX^*>, jt^aX^^), jrV*x-^4) ec.; i- coefficienti a , ^ dipenderanno da Equarioni ra« zionalì dei ^radó |ui+. i • Che se la funzione sup« posta abbia laforma /(a:', Ar'\x")( ^" )(*-") ••• (x(X)),ovvero la/C^r, x\x"\x"'){x')...ixiH) ec. , e in generale la forma /( x , x' , x" , jt""
.,•• A'(«)(jr<fl-»-'>)(jr('»-*-»))...(5(^0; la determina^ ztone delie x 'i x' y x" ^ x""' ec. dipenderà dalla x^ +4Jir*-4-ir-H-r = o, oppure dalla x^-h^ax^ 4- ^ X* H- // ^ o ce. , e in generale dalia (II) x^'+'ax^-^ + *rn-»-f-r;rr-5-+-ec. =0, Equa- zioni tutte , nelle quali ciascuno dei coefficienti sa« fa determinabile per un* Equazion razionale del grado M+'i.
$32. Dalla considerazione degli esposti casi vedcsi, che nel primo del (N.^ 317 ) la (D ) avrà X fattori razionali uno del secondo , e gli altri tut« ti del primo grado ^ e nel caso secondo dello stes«
50
so namero tra X fattori razionali uno ve ne sa- rk dei grado 9+ i . Niella ipotesi del (N.<* 328) i X fattori razionali della ( O ) saran tutti o del se- condo grado, o del grado f+i k
Facciamo nel ( N.<* 3 29 ) il prodotto dei due fettori *» -f-tf '*• + *', jf» -f- tf" X + h"; i coefficienti del risultato x* M a'^a" ) *» + ( h'-\-i"+a' m")x* {4'h"^a"b')x-\-y y\ essendo della forma / ( x\ x"y jrf*-^^», xO<-^*) ) j saranno tutti determina* bili razionalmente dal valor K;e però divenendo esso risultato razionale , la (D) nella supposizione dei (N.^ 329 ) avrà X — i fattori commensurabi* Ji, uno del quarto, e gli altri del grado secondo. Nella stessa maniera si vede,. che nella ipotesi dei ( N.*> 330) la ( D ) sarà dotata di un &ttoc razio- nale del sesto , o deli* ottavo , o del decimo ec« grado j e nella ipotesi del ( N.* 331 ) essa ( D) conterrà un fattore commensurabile , il cui grado verrii espresso da uno dei numeri a*3)2(jD(.+ i), 3 (fi 4- I ), 4 (ju+ I ),ec.>e in generale dal jiu« mero >;(ja-4-i)»
Dunque replicandosi qui pure quanto si' è'ac* cennato nei ( N.^ 323 , 326 ) , ne viene, che la (D> anche nelle supposizioni dei (N.* 327, 328, 3^9» %V^9 3 n ) potrà con la divisione de' ^itco* ri razionali abbassarsi di grado.
3 j j. Conviene qui pure , come nel ( M.* 3 16) , eccettuare il caso, in cui abbiasi >}(fx4- 1) = »} imperciocché in questa supporizione il fanor ra- 2Ìonale uguagliando il grado della (D>, e con*
tenen*
tenendo le sue medesime radici , ne uguaglierà peffettamcnte il suo primo membro , e quindi dal- la divisione non potrà succedere abbassamento ve- runo. Ciò non ostante poiché ciascun coefficien- te della ( //) ( N.« j3 1 ), per esempio il coefficiente a dipende da un* Equazione del grado f^ + 1 , { ni) cioè daUa 4»f*-^' +ctal^ + §af^-' -f-y <rf*-» -4- ec, = o, i cui coefficienti ùt^^iy^u, come si è ac- cennato nel ( N.* 3 j 2 ), sono tutti determinabili razionalmente dal valor K , e poiché a cagione di ^(iui4-j)=w, e di >7>i , abbiamo nx-4-i,<«» ( N.** 3 3 1 ) j ne segue che la ( D ) , quantunque non sia in questo caso abbassabiie immediatamente di grado con la divistone» pure sarà sempre riduci* bile ad un' altra Equazione (///) di grado al suo inferiore. Se questa Equazione si sappia risolve- re, conosciuti i valori delle radici 4',*", <»'", ec« potremo da cs?i pel ( N.* 144 ) determinare i valori corrisDondenti di ciascuno dei coefficienti ^ , r ec. • e^chianfati questi tf,p ,» fCCifiC^e ,ec.)ec. conosceremo i fattori *^-h a' x^-^ -4- *' x^-* ■+• ,' ^x^i 4- ec. , x^ + à" x^-^ -+■ y x*-»-+- f " x*-5 _,_ec.,-*^-i-<i"' Jt^-'-l-*"'*^-»+f"'A:>-J +«c., onde la (O) verrà in tal modo spezzata in tante Equazioni di UQ grado X inferipre al suo pro- prio. .
3J4. Se la nostra /(;c')(Jt")(^"')...(*(^>) restasse la medesima per altre permutazioni diver- se dall« considerate finora , come se si volesse questa funzione tale per esempio , che
3^7 /M(^'')(^''')--(Ar(X)) = /*(jr'')(y''X:r')../ ( x(^ì ) ; è facf}e a vedersi , che con dei raziócioii si- mili ai precedenti verremo a delle simili conseguen* ze • (testerebbe ora a considerarsi il caso della ( S ) irrazionale ; ma noi faremo ciò nel Capo seguente > dopo avere esposte alcune Equazioni particolari «a* paci di essere abbassate a grado inferiore»
, CAPO DECIMOSESTOt
Di alcune Equazioni f articolari riducibili ai altre
di grado inferiore , e del caso deW Equa^
Tbione di relatbione ( S ) irrazionale •
335-^ JVxc^fw viene proposto un Problema, non tare volte accade , che esista qualche relazione particolare fra le radici della Equazione , a cui es- so conduce, e in questo caso conosciuta simile relazione, o per la natura del Problema, o per la forma della Equazione, potremo sempre ridur questa a grado minore , servendoci o dei suoi fat* tori razionali , mentre essi esistono , o della solu- zione del Problema del ( N.^ 1 44") • Sonovi però dèi casi, nei quali possiamo esegufre tal riduzio- ne con metodi particc^ari , senza ricorrere al (un- go calcolò del suddetto Problema j e andremo pre« sentemente a riconoscerne alcuni.
33<5.
328 j3^' Abbiasi P Equazione . .
^Cc^^'-^x^ + B r*-* :r* + A^*"*-^ x + r»* = o . Conservando questa la stessa forma , mentre sos-
tituiscasi in luogo della x la quantità — , chia- mata X una delle sue radici ^ sarà pur anche ra« dice la quantità -r ^^ però , essendo secondo il sa- lito x' , x\ x\x' te. xM le radici tutte del- la data , avremo una di queste y per esempio la
y = -7, c però x' x' = r* . Applicando alle altre
radici x'! ^ x^'^ec., -^^^'^ il discorso ora fatto ri- guardo alle X , x' , vedremo facilmente che tsst tutte vanno ad unirsi a due a due in tante Equa* zioni x'' x^ — f* , AT' jr"" = r* , ec; e per conse- guenza che il valore della nostra funzione jt' x'' resterà lo stesso non solo pel cangiamento di x in x" ^ ma per quello eziandio simultaneo di a- mendue le x^ x" nelle jr'", Jt"', o nelle x^'^x'"' ec. Dunque pel (N*333) la ( T ) sarà fisolubi-
le nei — =: « fattori del secondo grada
x*+a"'x + r = o, jr* -i-4'^x>H-r = o, ec , in cui . le quantità a , a'\ a'" , a'" , ec. saranno ladkì della <" 4- « 4*-'-|- /S 4*"* ■+■ y «•-* -f- ec. = o. Equazione del grado » , i coefficienti delia quale
sono
3^9
sono deterrainabili razionalmente mediante il Pro« blema del ( N.® 144 ),- noi però affine di ottener- la , piuttosto che del citato Problema , farem uso più semplicemente del metodo , che siamo ora per esporre» pd quale converrà premettere la propo- sizione seguente.
•e* 357. Supposto X + — — J'jC supposto r un
numero intero , e positivo qualunque, avremo
\_.v.-o^,^__^
r(r — 4X''-5),*«.-*
» • J • 4 ^
Elevisi la jr = jr H successivamente a tutte le
potenze r, t — 1,>--4, r — tf,ec. fino inclusi- vamente ad r — r,se r èpari, cad?»— (r — ^^1), se r è dispari : avremo cosi tanti risultati , dai qua*. lì, congiungendo ri primo con f ultimo termine, il secondo col penultimo , il terzo con l' antepe- nultim^ risulterà
«•(*'-* 4-^^*) + ce. t t ^ /-=
y.z]^ • (Ar'-*;H-~).+ ('r7-0
u^-^ z=z
^ir- Il
ec. ec.
Si sommino insieme tutte queste Equazioni , dopo avere moltiplicata la seconda per- una indetermi- nata A , la terza per una^ B ,° k quarta per una C, ce. i e avremo f -h A j»"-* H- B^»-^ + cy-* H- P j>'-.« +.,ec.
* . . i • 3 • 4
'2-3 X
. - ' Cer-
J3^ Cerchiamo ora di determinare i coefficienti A , B, C, D,ec. in maniera, che nel secondò membro di questa Equazione non rimanga che la. quantità
Jf' + -7-; non avremo perciò che a supporre u-
li allo zero tutti i coefficienti ( r e* + A ) ,
(:±:^+(^,)A.'+B),(-^'-'y-i->
^ ^ • 5
■f^'^-"^^^'""'^^ Af4-t-(r-4)Bc'+C)ec.,e
ciò fatto otterremo A = — rf*,B = '^ — — — e*, n r(r^4Xr— 5) r(r—'ì)(r—6Xr—'j)
sostituisco questi valori nella ultima Equazion pre- cedente , e risultandone quindi la ( I ) , ne segue che ec. ^,
Se venga suppostoj» = ^ , sostituita nel- la (J) la — f% in luogo della r*, ne verrà 1* E» quazione
ili) X' H- -^ =/ H-.r f'ji'-»+-^-^ r'»/-4_i-
338. Ciò posto, sommiamo nella ( T) il pri- mo con i' ultimo termine , il secondo col penul- timo , il terzo con 1' ancepenultimo , e così in progresso > e dividiamo il tutto per x" ^ essa ( T ) tt 2 di-
33»
diverrà perciò della forma
(;r-H--^)-HAr(jf-'-i-— ^) +
^1 w - 4 ri *-6
ce. = o . Supponghiattio ora Jt H = J' > ^ ^^c*
damo nella ( J ) V esponente r successivamente = », n — 1, n — 2, a — Jj^c; risultando così
————— <■ » + ^
J . 3 -^ i- 3 -4
Ar(y-' -+-—■) = A fjC-«~(«-i) Ar»jf-» -+- (j»-iX«-4) ^ ^, -.,_ (i»^iX«»-5X»-<^)
Af^jf""^H-cc. B f « (;r-» + '-^4 ) = B ^"y""* - (-«-2 ) B ^/-^ -4-
2 -^ 2 . g •'
er>(jf-»+pll*)=CrJj(-i-(«-3)CrJj-J+ («~3X»~^)c,7y-.^ec.
2 "^
D.<(Ar-<+^)=Dfr-«-(«-4)Dt'/"'+ («-4)(.-7)p^ ._
Sii ,t» -I*
Ff'y '-hec.
ce. vedesi, che col sommare tutte queste Equazioni la data (T) verià trasformata neU* altra (li/)/ + A f/-«4-(B-.)!,)ry-*-f.(C — (»-i)A)
z 2.3
^ y^^ — ec. = 09 Equazione di un grado minore deJla metà da quello della proposta. Ponendo suc- cessivamente le radici y,y',y", ec. della (///)
nella supposta at H =jf , ossia nella x* -—y x
•+- f * = o , otterremo un numero di Equazioni di secondo grado , dalla soluzion delle qi/ali si avran* no le 2» radici della (T).
E' facile il vedere , che la posta y uguaglia la quantità <» dei ( N.* 333 , 33 1 ) presa negativamen- te»
3^4
te, e che la (JJJ) altro non è che U,/^*+«i^'-' ^- jS /a"** 4- ec. = o j prese però Je radici col se- gno contrario*
^39. Le Equazioni Algebraiche, che, come
la ( T ) , sono dotate della proprietà di non can«
e* giare di forma per la sostituzione di — in luogo
della X , diconsi conn)ertfbili , o reciproche . Venga ora ric;hiesto di determinarne le Formole generali • 340. Supponghiamo perciò, che la
x*»* -+- A r JC*"-' H- B r* Jt*''-* -+- C c5 a:— J -+- • . . . 4-
H r"- ' x"+» +1 r" Jt'' -f- K r"^' A*"-» •+ . . . H-
rappresenti un' Equazione convertibile qualunque d) grado pari : se essa deve conservarsi la mede*
e* sima per la sostituzione di — invece della jt, la
T S R "^
nuova jr»-^- -^ r jt*""' + -^ ^* a-*-* + y r' ^*'"* +
£^»"3;^3 +l^»-*;t* +~ t»-';r H- Y=o, che
oe risulta, dovrà essere identica con la suppos*-
T S R
ta, e quindi avremo — =:A, ~=B, -— = C,
ec. Y=H, — = 1,— =:K, ec.-Y=R>— =S;
Y" = T , -yT ^ V • Dall' ultima di queste Equazio- ni
S31
ni ricavo V = ± i , e però T = 3:A,S = :£B, R = :3:A,ec. K = :l:H,ed I=rI,seV=i, I — o , se V = — I ; sostituendo adunque tali va- lori, 1' Equazione supposta si dividerà nelle due
(T) x"-h A f r*-'H-B f» r*-*-l-Cf' x^'-i + h
H f"-' jr-+ '+J f" Jf" + H f"+* ;^— ' 4- +
C **-» *•' + B c*"-»r» -h A e"-' X -f- f" = o ^ (U) jf»»4- A r *•*"-» -h B r» r*»-»-|- C f» a:»»-J + . .. -f-
C c*"-3 jc's — B f*"-» r* - A f*"-« r - e»* = o le quali saranno due Formole generali di tutte le Equazioni convertibili di grado pari.
2.*> Sia la Equazion generale di grado disparì x*f^' + A.f x*f .-\- B f» x*f~^ + Cei x*f-* 4- . . • -Jr ''" HcKx^^-k-Kct-^'xf +. hRf*'-**»-+-
S r*^' x*-hTe*fx + V f*'*' = o . -Volendo in questa determinare i coefficienti , onde
xénderia cpriveytibi^e , pongo -- invece della x ,
-nrtovo ir-diiscorso, e il calcolo precedente, e ne véfi-attno le due Equazioni (V) ;cV^« -^-A e- x*f -h B <•» x^f-' +. C fJ x*^* -f- . . . . + tìcfx'^*-^Hef^^xf+,,,.-^ G ^^-* Jci '•+ B f»^» ;r* -+- A r»^;r H- fV^-« :t= o , {Z)x^f-^^ + Aex^f-hBc*x*f-'-hCc}x*f-*-^ ....-h H c^*':^»— H f*^' jr^ — ..... - C f*'-* X» — B **'-« X» = A ^^ ;c - c»/^" = o ,
le
J3^ le quali esprìmeranno le Formole generali delle Equazioni reciproche di grado dispari.
341. Veduto nel (N.ojjS ) come riducasi ad altra di grado inferiore la Equazione ( T ) , sia richiesto di ciò pure eseguire rapporto alle altre (U), (V), (Z).
Ridotte esse alla forma ( ;t»- - r*" )-f- A r* ( x»-»— r»*-" ) + Bc*x*
( **•-♦ — f »"-'♦ ) + C f » ;c» ( jc**-* - f **-* ) -H
.... . H- H e—* ;f"-' ( X» — r» )= o ,
( jf V-» + (*f-ì ) + CeixH x^f'i ■+■ e^f-i ) +
.... -f-Hf' Jf'(jr-t-f) = o, ( x^f^^ — f»/-»-* ) + A r Jf ( x*f-* — fM-«) H- B f* X»
( x*t-i ~ f»/-J ) 4- C tf» jc' ( je/-J - e**-» ) H-
• »*,~\-Hcf xf (x — r) = o, poiché tutti j binomj della prima di queste Equa* zioni cosi espresse sono divisibili esattamente per X* —^ ■, tutti i binomj della seconda sono divisi* bili per ar 4- 1 , e quelli della terza per x —t^ esf* guisco simili divisioni, e ne verranno i risulcad *"-» -h A f x**^» -f- ( 1 4- B ) f * ;r?'-* + ( A + r )
r»x*-J +.....+ Hf^'jt^^-h -+•
(A4-f ) c*''-J;e3 H-(r 4- B )#*--♦ jr* H-Ar«— »;t
;e*'4-CA— i)f;e'-'-*-(B — A + f ) f*xV-«-4-
-hXB- A+i)(*f-*x* +
(A'-i)c*'-'jr+r*'=o, *•*
- 4-CB+AH-i)r*^-*;f* +
ma queste non sono che tre Equazioni reciproche della forma istessa della (T); dunque saranno ri- ducibili col metodo medesimo del ( N.® 338 ) ad altre di 4in grado minore d^Ila metà ; e tutte per conseguenza le Equazioni convertibili sono capa* ci di un cimile abbassamento.
342. L* Equazione x"^ — i =0 essendo del genere delle convertibili , quali sono le ( U) , ( Z ),
potrà ridursi ad altra del grado , se m è pa«
ri, o del grado, , se )» è dispari •
343. Ridurre a grado inferiore l'Equazione ilV) j^» + A ;r(«-^)« -+- B jct'"-*)" -t- C xt--^)» 4- ec. =0
Suppongo x" =^u y sostituisco , e ne verrà la Trasformata 1^-4- A ìj^— ' + B ù'^^ -HC ^— ' ^- ec. =:: o 9 il cui grado ^ <mn. Ponendo successiva* Biente i valori u ^ u ^u" ,ec* i^^"^ nella x* = iir; dalla soluzione di questa tutte otterremo le radi- ci della proposta.
344* Sciogliere V Equazione
jf« — we ^^ « H- .^^ r* jf"*** — ^
•^ 2.3.4 -7
Supposto f = f» i ed jf = r H — , ia data pel u u ( N.»
33«
( N * 337 ) si cangerà nella *"H — s = V , ossia
**"• — V a:* +.**•=;: o . Ora la /ctrma di questa Equazione è simile a quella della ( IP") , e htto però jf* = «r , è riducibile alla ** — V* +•«*• = o- Dunque rappresentando « una delle radici meti^
me della unità, poiché abbianto «= — 4- |/(^«.^«.),sarà;r=«|7'(l+j/(^-r«-)).
4-
X
Conoscendo le radici della »• — 1 = 0, tutti co- nosceremo i valbri della jf, e per la somiglianza del precedente valore con la radice della Equazione generale del terzo grado determinata nel (N." 213 ) si dà, ad ^Ipo il nome di Formala Cardanica . : : 34$. Prendiamo ora a considerare il caso del* la ( S } ( N.** 321) irrazionale . Se sia irrazionale soltanto la quantità cognita K, e non la forma della supposta funzione, è chiaro che potremo sem- pre , come si è accennato nei ( N.' 3 2 2 , 3 24 , 3 2 5 , 327, 328, 32^, 330, 331), mediante il Proble- ma
N^
339
ma del ( N.* 144 ) da essa K determinare , quan* tunque irrazionalmente , ciascuna delle x\ x" ^ x" 9 ce. ^f^), oppure ciascuno dei coefficienti del* k 4**-^' H-«ij^H-/Jii*^-» H-7tfM-*H-ec. = o,e ciò per mezzo di tante Equazioni del primo, o del secondo , o dd terzo , ec. o del Xetima grado. Dun« que in questo caso potremo sempre , o con la di-^ visione , come àel ( N.^ 3 23 ) > o con la riduzio* ne ad altra Equazione, come nel ( N.® 333 ), ren* dèr la data (D) di grado inferiore. / 345. Sia in secondo luogo incommensurabile
la forma della funzione. Posto in tale ipotesi '^" fi^')(<x")ix"')....(xi^))=y, libero questa E- quazione dagli irrazionali > e pel ( N.^ 121) la ri« duco così alla
( D / -f- Gy ' 4- Hy-* -h ly-^ + ec. = o .
In ciascuno dei coefficiemi G,Hvl9ec. non pon« no evidentemente entrare altre radici della data, dhe le x\ r", jr'", ce x^^ì; ciascuno d' essi a* dunque uguaglierà una funzion razionale delle stes« se x , x' , X " , ec. x(^) , cosicché avremo {^)G = F' (xXx")(ix'")....(x^>), H = F"(;t')(x")(;t"')....(A-(^>), I =:V"'ix')ix")ix'")....(xl^ì), ec.. Ora abbiasi ciascuna delle funzioni (F7), quale si suppose la < T ) nel ( N.® 3 Z2 ) i in tale ipotesi 1, se vorremo esprimere per G il valore della x ^ lo potremo eseguire razionalmente mediarne la (M )» servendoci della prima delle Equazioni (f7), e ne verrà x' uguale ad una funzione della a razto« u u 2 naie:
340
naie : nella maniera medesima venendo richiesto di esprimere la x per KT, dalla seconda delle (T/) Equazioni otterremo x' uguale ad una funzione razionale della H: dalla terza ricaveremo egual* mente x' uguale ad una funzion della (!))€ cosi in progresso. Supponghiamo eseguite simili deter-* minazioni rapporto a tutti t f coefficienti della ( F) , e le corrispondenti Equazioni siano le
(rfI)Jt' = ^'(G), y = (J)"(H),.Ar' = (p'"(I), ec.
Poiché a cagione della Equazione (T)la quanti^ tk K è una delle radici della (V)> ponghiamo essa in luogo della y j e ne venga perciò il risultato
{Vin)YiP H- GK^-' + HK'^*-4- IK^-^-hec = o .
Avendosi ora nelle {VII) ^ (Vili) un numero /^+i di Equazioni contenenti un numeco / di quantità G, H , Ì, ec^ vcdesi che potremo da es- se eliminar queste^ tutte y^ e in simile guisa gìun« geremo ad una Equazione finale priva afFatcodel« le G,- H, I , ec. , non contenente che. la x' y e quantità cognite, e la quale potremo per conse* guenza suppor della forma x'^ +g x'^^ + bx^^ + ix""-^ -4- ec. = o , ossia
iIX)x'-hgx'-' + bx'-^'^ix'-^-{^ec. r=o, di cui sia la radice la x' .
Le due Equazioni adunque ( D), (/X) avran*
. no la radice comune x[ ; e quindi se fra ì loro
primi due membri cercheremo il massimo comun
divisore , dovrà questo contenere il binomio x-—x.
j 47'. Nel modo medesimo , come abbiamo es«
pressa col mezzo dei coefficienti G , H , I , ec. la ra*
dice
34? dice x , potremo col loro mezzo esprimere an« Cora ciascuna delie altre r", jf " , ec. ;^i^),eciò eseguendo V avremo tante Equazioni della forma x" =(J)'(G), x" =n,"CH), ;r"=^ ^'"(I), ce. (X)Ar"'=(p'(G),.A-"' = (^"(H), Ar"'=:(p"'(I), ec.
ec. *(A) = (})'(G),;t'» = (j)"(H),*-:^) = (p"'(I),ec.; onde combinando successivamente primo quelle del- la prima fila, poscia quelle della seconda , e così di seguito con la medesima Equazione ( Vili) , come nel ( N.* precO)CÌ risulteranno tante Equazioni finali x* ^g' X'-' -h b' *'-• -^ i jr^-J -h ec. = o , .
(17) *' + ì' *'"' + '^" *'"* + '" ^"' + ec. = o ,
ec. x'-^-g (^-») ;r"-« -I- A(^-0 *"-»-+-/ (*-0 ;t— 3 -h ec. = o, la prima delle quali avrà per radice la x\ la seconda avrà la x'\ ec. , e T ultima xO^)'^ e perciò se determineremo il massimo divisor comune fra il primo membro di ciascuna di esse, e quello della (D),nei varii risultati si conterranno ì fat* tori X — x" y X— jf'", ec. x—x^^),-
348. Suppongbiamo , che il coefficiente G ri- sulti = F ( /, x" )( x'" )( *'0 . . . . ;r(^> . Volendo in questa, ipotesi da G determinare U x , pel (N.* 324 ) caderemo in una Equazione jf*H-<» i x-\-hx = o , di cui X , x" saranno le radici , e i cui coeffi- cienti tf I , hi. saranno funzioni razionali della G, Che se anche H = F" (^ , x" )( x" )( V" ) . . . ( xO^) , I = F'" e*' , x" )( x" )( y ' ) . . . . ;f(» , ec. , trovere- mo in egual modo corrispondentemente a ciascu*'
no
34*
no di questi coefficienti tante Equazioni iXIl)x* ^aix + b i = o, jr*H-4 2x + ^ 2 = 0,
jr* H- 4 3 j(f -f- i 3 =: o , ec. , nelle quali saranno ra- dici le sole X ) x' , e nelle quali i coefficienti a i^ h I saranno funzioni razionali della G » i coeffici* enti ai ^ bi funzioni razionali della H » gli altri ^ìy ^i della 'I| e cosi di seguito. Ciò posto ^ combinando le Equazioni ( XII ) con la ( I^III ) si eliminino da esse ^ come nel ( N.^ 346 )> i coeffi- cienti G , H , 1 9 ec. e giungeremo così ad un' £« quazione finale (IX) priva di tutte queste quan* \ tira G, H, I^ec.^e di cui saranno radici amen*, due le X y x* . Se dunque cercheremo il comun divisore massimo fra il primo membro delia ( D ) , e quello della (IX) ultimamente risultato , questo dovrà contenere il prodotto (x--x )(x--x' ). Se sia iXni)G = JB'(x\ x\ x'')(x"')....(x^)),
H=r(;r', x\ x")(x"')....(x(^)), 1 = F'" ( x, x\ x'^ X V^ ). .. • ( xOs) ), ec. ovvero G = F'(y, x\ x" , ;c").w(a-(»)), H = F"(y, x" , x'\ y^)....(;rW),
I = F'"(jr', x\ x"\ Ar'^)....(;r{>^)),ec., op- pure ec- ; trovate , come nel ( caso precedente ) , dalle Equazioni della prima fila corrispondente^ mente ai vani coefficienti tante Equazioni x^ -^ ai x^ -\-bi JT-t-ri =0, x^ +a2X^ -^ bi X +^i^=Oy jfi + 4 3 ^* + ^ 3 x + ^ 3 = o , ec. , (XIV)o da quelle della seconda le altre
x^^
343
x^ -^ a i xi +hix* -^c ^ X + d^ =o, ce. ,se combineremo simili Equazioni con la ( Fili ), eli- minati , come precedentemente , i coefficienti G , H, I, ec.^ otterremo in egual modo un' Equa^zione finale ( IX ), tra le cui radici esisteranno le quan- tità jr' , x" , x'" , oppure le x' , x" , x'" , x'" , oppure , ec. secondo che anno avuto luogo le pri- me , o le seconde, ec. delle (X7JJ) Equaziom', e quindi secondo che con la (VIII) sonosi com» binate le primevo le seconde , ec. delle Equazio*. ni ( XIV) . In questa supposizione adunque il miS" Simo' comun divisore tra la ( D ) , e la corrispon- dente CIV) ascenderà al terzo, o al quarto, ec* grado .
J49. Nella maniera medesima si ritrova , che se ciascuno dei coefficienti (^Z) essendo della for- ma del (N.*^!!! ), non cangia di valore per la permutazione di x in jf(^**-«) ( N.«>32 7), o per quel- la di *' in ciascuna delle due radici xl^^^'ì , jf(*^:*-»),o in ciascuna delle tre jr(^-*-«) , x(*^+») , r^s^+D , ec, la corrispondente ( /X ) , e la ( D ) avranno rispettiva- mente il divisore comune (x—x'Xx - jf <*-*-»)), ovvero r. altro (jr — jr-)(JK'-Jt'^-^»))(*'-*'(»^+»)),oil terzo (;^ _ x')(x— xl*--*-^) )(x- ;c(»^-*-i) Xx — *(J^+») ) , ec. 3;o. Ciò, che si è detto della radice x',è chia- ro che dicesi egualmente delle altre x" , x'" , ce. jir(X) , onde se rapporto ad esse si verifichi in cias- cuno dei coefficienti ( VI ) qualcuna delle Suppo*
sizio-
344
sizioni fatte della (T) sei ( N.* 324, 31$ > 327); istituito il solito calcolo , verranno così ad otte* ncrsit^nte Equazioni finali simili alle (XI ) , ciascu- na delle -quali avrà Con la D altrettanti .fattorino- muni., o del secondo, o del terzo, o del quar- to ec. grado*
351. Supponghìamo, come nel (N.^ 3^9)1 che ciascuno dei coefficienti G , H , I , ec. sia una funzione della forma T ( x\ at" )( -r'" )( ^ ) . . •• • x^>') y la quale inoltre non cambi di valore per la permutazione òì ,x' in x^^-^^ì^e per quella di x" in r(^^»>,- vedremo qui pure ," siccome nel ( cit. N.® 329), che volendosi determinare da ciascuno dei coefficienti le radici x\ x'\ cadremo in tante Equazioni delle forme jr*-h4;r + ^ = o, nelle quali ciascun coefficiente, per esempio 4, sarà ra- dice di un* Equazion razionale 4* -+-«' tf 4- /2 = o, e vedrertio pur anche, come nel (N.® 33 2), che chiamati i^', isr' i due valori ddh a; b\l" i due corrispondenti della é, potremo ottenere tante E^ quaziòni di quarto grado x^ ^(a-ha" )x^ -\- Ch'^b'^^a a'^')x'^(a' h" -^a" h') x+i' b'=o, le cui radici «ranno le x^x'^x^^-^^^j x(^'^^)y€ i coefficienti saranno funzioni razionali delle rispet- tive quantità G , H , I ec. . Dunque se col mezzo di tutte queste Equazioni di quarto grado già ot-* tenute, e col mezzo della {Vili) fafemo U so- lita eliminazione dei coefficienti G , H , I > ec , giungeremo, siccome in passato, ad una Equazione finale avente con la ( D ) il comun divisore di quai>
to
341
to grado (;r — x )( x—x'X x—xO^'^^))i x—x^^^-^^) ). Se ciascuna delle quantità Q » H » I » ec. ugua« g]i una funzione delle radici simile a qualche* duna delie .supposte iier( K^ ggo » 33 1 ) , T Equa- zione finale in allora , come può facilmente dedur- si dai ( N.* J32 , prccv),avrà con la (D ) un fatto- re comune del grado sesto » o dell' ottavo ^ o del decimo , ec. , oppure del grado 2.j,2(/A"f-i), 3 ( M -H I ) , 4 (M H- O » «e. , e in generale del grado >7(/ui + i) R^ 332) •
l%i. Òa quanto si è detto fin qui , vedesi adunque, che anche nella ipotesi della (T) irra* zionale , potrà sempre la ( D ) abbassarsi di gra- do • Imperciocché determinati attualmente i comu- ni massimi divisori tra le Equazioni finali (IX) ^ (XI), e la (D), verremo in tale maniera nel- la supposizione del (N.^346) a determinare X fattori della (0)di primo grado (N.V 3 4(5,34 7), e nei casi dei XN.*348 , 349 ,350, 351 ) ne ver* remo a determinare od uno , o più di grado su« periore al primo ; fattori , pei quali essa ( D) po- trà sempre dividersi attualmente #
353* Conviene aggiungere a tutto questo al« cune riflessioni , e
i.^ Affinchè r Equazióne finale ottenuta nei (R* 348, 349, 3 50, 351 ) abbia con la (D) un fattore comune, quale si è colà determinato ^ non è difficile il vedere, che i coefficienti G,H, I, cc« dovranno tutti , niuno eccettuato , essere quali li abbiamo supposti nei (citati N»^) .
X X 2.^
34*
2. •'Può qui pure succedere, che nelìa ipotesi del ( N.» j 5 1 ) risuhj , come nel ( N •'^3 ) »7 ( i»+0 = jw, e perocché il comune divisore fra la Equa- zione finale, e la (D) uguagli il primo membro della stessa (D): in allora l' Equazione data non- sarà capace dì abbassamento con la divisione . Ci^ non ostante potremo ancora quivi , come si disse Bel citato ( N.* 33^)» abbassare di- grado essa dai» ta , nducendola ad un' altra ^fA+ 1 + a ^ _l_ jj ^M-i + y ^jf*^* 4i ec. = o , in cui jiA-4^ I < » ( N.* j3 1 , j5 1 ) . Di fatti ricor- dandoci altro non essere la 4, che il coefficien- te secondo della x^-h a Af»»-» -4- h a:"—* 4 ec» = a ( N.* 3 3 1 , 3 5 1 ) , ed essere perciò* = — ( jf' + jf" + x'" H- . , . . -h Jf•^) , cerchiamo di esprfmere ih suo valóre mediante ciascuno dei coefficienti G , IT, I , ec . Dal ( N.» 3 3 3 ) vedesi che per questo otterremo le /, Equazioni atx+i-\- »a(^ -h ^' ai*~^ +y' i*M~» -H co. = a ,
/»f*+ 1 H-* " i/«* -h §' " al^-' H- x" at^-^-h ec. = a ,
ec. y.
nelle quali i coefficienti a', fi\.y',.ec. risultennt^ Bo tante funzioni razionali della G>i coeffiden- ti <x"y ^"y 7", ec. tante funzioni razionali della H , gli altri *'", /S'", 7"', ec. della 1, ce. Com- binando queste ( XV) Equazioni giàr ricavate con la (Vili) i si eliminino al solito le quantità G, H , I , ec. affine di giungere ad una Equazione
finale ^, ,
a 4-
347 (Xr/) cT H- g 4'-« H- h a*-* -h ; «•■-*4- ec. = o , i cui coef- ficienti ^, &, /, ec. siano cogniti^ e di cui «i« fattore un prodotto
( a —a Ka — a" )( a - a"' ) . . . . (« —4(^+») ) ra|>- presentando a', 'a\ a'", ec. a^-*-i) i diversi valori della a ( N.» 529,351).
Ciò fatto cerchiamo dì determinare pel < N.* 105 ) immediatamente dalla (D) una Trasforma* ta , di cui sia radice la funzione — ( y 4- x" -4- r" 4- . . . H- xm) . Chiamata a 1* in- cognita di una simile Trasformata , sia essa la Wir)a^ +.^a*-'-hra*-*-\-€c,=o: fra le sue radici è evidente., che esisteranno tutte le precedenti 4', a"j a" , ec, a(f^-*-^)^ Dunque se fra i primi membri delle due (.XVI)y (XFIJ) troveremo il mas»mocomun divisore, altro questo non sarà che ii • prodotto (tf -a' )( a — a")(a- «'") ...(a- atf^-^-o ), il quale in seguito effettuato, eid uguagliato allo Ze^o , ci darà un' Equazione della forma prai) ^(M+i; ^gaf*--^ h «M-i H- i 4^-» 4- ec = 0 , in cui /i* 4- i < m. Dunque ec.
3.** Finalmente osservo, che il valor della K (N.*>34($) può essere razionale, e non esserlo;: s^e esso sia razionale, divenendo perciò razionale 1' Equazione < Vili ) , ed essendo già tali anche le iVII), (X), (iCi/), X/r), (Xr), dovran- no evidentemente diventare commensurabih' anco- ra le Equazioni finali (IX), (XI), (Xr/), e tali per conseguenza saran pure i fattori ultimi ac- cennati nei ( N.» 34<^ > 347 > 348 j 3 49» 3 50 > 3 5 » )* XX 2 eta<
34« e tale sitò, la precèdente Equazione (XFIII), Dunque ogni qualvolta K sia commensurabile, quan- tunque sia incommensurabile la /(jf')(Af")(jf"') .. .. ( *<^)) , Ir dererminazione degli espressi fatto- ri della ( D ) potrà sempre aversi dalla ( D ) me- desima, e la ( Xnil) potrà aversi dalla sola (XriJ) semplicemente col mezzo del (Cap.^14.*) senza servirci del laborioso calcolo indicato nei ( N.» 34«?, 347, 348, 349 , 350» 351» i'\?tes. )• Che se K sia incommensurabile, diventando perciò ir- razionale la ( WI/ ), risulteranno irrazionali anco- ra le Equazioni finali (IX), (XI), (XW), e però i fattori della ( D ) , e della ( XVII ) ; onde in questo caso tali- fattori non si potranno già de- terminare mediante il (Capo 14*) > "a conver- rà ricorrere al calcolo accennato dei sovra espres- si ( N.» 345, ec. )'
CAPO DECIMOSETTIMO.
Defla ^eterìntnazione^ ielle' raditi reali fer
approssimazione nelle- Equazioni
numeriche,
3$4*- X er la impossibilità di ottenere la soluzio- ne generale delie Equazioni di grado superiore al quarto , i Matematici sonosi rivolti a cercare il va- lore delle radici per approssimazione * Fra i varii
mero-
S49
metodi d tal fine proposti noi esporremo i due che seguono 5 il primo riguardante le radici rea* ]i per le Equazioni numeriche , e. V altro per le Algebraiche. Prima però di accingerci a questo ^ egli è necessario il premettere qualche nozione in* tprno alle frazioni continue»
355* Una frazione, quale si è
a' la / + -— -, , in cui il primo denominatore
#-4-cc. è formato in parte dell' intero j^, e in parte del
rotto — r 9 il denominatore secondo è formato r+ec' r
del intero r , e del rotto — - , e così di segui- ' j + ce. ^
te > dicesi Frazione continua •
3)5. Le frazioni continue , nelle quali cias- cun termine è positivo , e ciascun numeratore è = I, quelle sono, che apportano maggiore van- taggio , che a noi presentemente riescano necessa* rie, e quelle per conseguenza, di cui faremo in adesso parola*
3 ; 7. Data una qualunque quantità non inte- ra X ridurla in frazione continua •
Determino il numero intero più grande , che si contiene in X , e chiamato questo f , è chiaro che
avremo X— ^<i, e perciò— —>i. Suppon-
ghiamo tt— = X' ; poiché X' > i , cerco il mas*
Simo
J50 Simo numero intero, che sta entro X', e deno-
minatolo q , sarà X' — q< i , e quindi -., > i.
Facciasi ^7— mX" , e pacche X" >.i » si chiami
r il numero intero pfù grande, che contienesi in
X", onde risulti X"— r<i, e supposto—;; —
=:X'", abbiasi X'">i. Sia / il numero intero
più grande, che sta in X '', e sia -pr^T ^ ^'^ •
risultando qui pure X"' > i , potremo proseguire ìnnaitci il discorso medesimo • Ciò fatto , dalle supposte Equazioni
X", ce. ricavo i valori
X=^-t- 2^>X = f + Tp,X =;'-4-^, ,
X'" = X 4- -rrr» , ec. ; li sostituisco nei luoghi cor- rispondenti , e ne verià X = alla frazione conti«*^ ^+1
nua
^-*-i
r-f»
358. Se sia X= ad un rotto razionale r^,
divido M per N , e chiamati / il quoto , « 1' ««
__ M et .
vanzO) avremo ^^fr^^+jT» ^"«c essendo
X-/
5$»
tf N
X— /=r:,, è evidènte, clw sari' — >i , ed
— = X' ( N.» prec. ) . Divido H per « ,..denoimno f il quoto, ^ il residuo , risulterà quindi X=~ = f-f--^, X-^ = -^,c però j>ii
•^ = X" . Proseguo col dividere « per j?, col- chianiare r il. quoto, 7 I* avanzo, e avendosi con ciò X*' = '§'"''''+"«'» *** ^*"* y >* f Y= X^'i ónde potrò nel modo medesimo segui-^
tare I* operazione. Pongo ora in luogo delle quan-*
ot s y s '^^ N"' « » J» "^ » *^ * rispettivi valori
^. ^^ ^> *c., e ci risulterà,
M__ 1- -
N ""•^- 7^
L* operazione ora accennata, affine di getta*
re in frazione continua il rotto --- , vedesi altro
non essere che quella stessa , di cui ci serviamo per determinare il massimo comun divisore fra le quantità M , N , e i numeri ^ , f i r, / , ec. altro
non
?5» .
non sono che i successivi, quozienti . Ora sappia- mo dall* Algebra, che questa operazione, essendo M, N due numeri interi, è sempre, finita. Dun- que una fcazion razioqaje potA sempre svolger- si in una continua di un numero finito di termi- ni ; il che non può dirsi delle altre quantità non intere .X (N.* precedente).
359, Gettare in frazione contìnue il rotto
-^,c il decimale, 3 , 1415925. 7545
Opero in (/I) riguardo al primo rotto, come se cercassi il massimo comun divisore fra i due numeri 69, 7545; e riguardo al decimale, con-
Ì1415925 siderandò questo, còme un rotto f^^^^Soo'^P*"
ro su di esso nella maniera tcedesima , e per tal
modo otterremo 69
— — = o-t-i ,|>i4iJP»^ -?■+•«_
7J4J ■ ■ — "™
'"' Jt^+J 7+'
*-»-t 15-*-'
7 M>^»
i-f-i
9+i
X-»-I
4
Kel primo di questi risultati, a cagione di ^9 < 7$45><Jcvc essere / = o , ossia deve manca- re la
3J3
re la parte intera ; e ciò sempre succedere selle fra- zioni vere.
7j4Sltf9|o
6x1
21 I 24 1 1 . iJ
3 I"l7 21
" * • '
3 60. Dalla -precedente Frazione X ( N.* j j 5 ) prendiamo le quantitSi successive .
e coi princìpii della aritmetica ridotte queste alle frazioni ordinarie (ir)iL tlÈl Ì211UI fqrs+rs+ps+pq+i
chiamiamo successivamente A , B , C ^D , E , ec. i loro numeratori, ed A',B',C', D',E'> ec.i deno-
y y mina^
354
^ minatori corrispondenti, onde tali frazioni venga* no rappresentate dalle A B C* D E
( ^) T * "F ' "e ' "d' ' "f * ^^' • ^^^ ^^"^ * ^^^^^ ^^^"
ma delle (IV) è evidente che avremo A =^, B=^A + i,C = rB4-A, \ D=/C + B, E =/DH-C,ec.
(?7)A'=i, B' = ^A', C' = rB' + A', - D' = xCh-B', E' =/D' + C', ec. 35f. In conseguenza di questa proprietà po« tremo assai semplicemente ridurre una data fra* zion continua finita X a frazione ordinaria.
Scritte perciò in ( VII) k quantità y^yf^r^Sy r,èc. in una prima rigale pbsta in una seconda in primo luogo la f con al di sotto V unità ) si moU tiplichi sì la / y che la unità per f , e al prodotto / éf aumentato di i sottoscrivasi nel secondo luogo la ^.In seguito si moltiplichino per r il numeratotele
il denominatore della frazipn risultata -^^ , si au-
mentino corrispondentemente del numeratore ^ e
del denominatore della — \ene verrà così la ter-
za delle frazioni ( ir) , che colloco nel terzo luo- go. Moltiplico poscia per / il dividendole il di- visore di questa terza frazione y aumento questi prodotti del dividendo, e del divisore della fra- zione seconda , e risultando in - tal modo la quar- ta delle {VI) frazioni, la pongo nel quarto luo- go. Proseguo a moltiplicare per f il numeratore,
e il
/
;
35S
e il denomjnatore della frazion quarta » sommo coi risultati il dividendo ^ e il divisore della fra* zion terza 9 e risultandoci da ciò la quint^i delle frazioni .( IF) ^ la scrivo nel quinto luogo ; e in tale maniera seguitando sempre ad operare finché si giunga air ultima lettera contenuta in X^^ ve« desi dalle (T) ,(rj), che otterremo tutti i suc- cessivi valori ( IV) delle ( IH) , e però anche il va* lor domandato delia K* t % q y t ■ , / 1
t
^6t. Vogliasi per esempio ridurre la terza delle frazioni continue esposte nel (N.^jsp). Opero in (f^III)^ giusta il metodo precedente , e r ultimo dei risultati sarà appunto il valore ri« chiesto , poiché moltiplicato il suo numeratore^ ed il denominatore per lo stesso numero 2 y ne viene
5000000 10000000 3 » -T *^
3 » 7> »5 > » » 24J , I » « » (niDl- £i ili i55 86598 8(5953 17^551 I ' 7 » loó » 113* 27565» 27678» 55243 '
16^912 1822463 3471375 J72225L 524865 ' 580108 * 1104973 ' 5000000
yy 2 3<^3«
35<^
3 Si . Poiché te. quantità ^ , f , r , / , / , ec. vo« glionsi tutte positive (^.^356)» dai valori delle quantità À ,B)C , ec. A',B' , C', ec. espressi in (FI) vedest che dovrà essere A < B , B < C , C < D , D < E, ec. A' = , oppure < B', B'< C, C'<D',D'<E',ec.-
Dai valori medesimi (VI) vedesi ancora, che dovrà essere B A — B' A = i ,CB'. — C'B = — 1, DC'-D'C=i , ED'-^E'D=r-i, ec
364. Le frazioni (r)saraiì. sempre tali, che
•j . <X,-^,>X,-^<X,— >X,^<X,ec.
Ciò si deduce agevolmente dal paragonarele parti fratte dei valori (///) con la parte rotta della X .
3^5. Le frazioni sono tutte ridotte al mini* mi termini.-
Se ciò non fosse, e si volesse» che per esem*
pio nella 77; le quantità C , C avessero un comu«
ne divisore K > r, per Io stesso numero K dovreb* be essere divisibile anche la quantità D C — D' C; ma a cagione di D'C— D'C= i (N.^jtfj ) que- sto è impossibile» Dunque ec>
Quindi si vede il perchè riducendo la terza delle frazioni continue del (N.<*359) non ritor- na la i-l-i^ , da cui essa è nataj ma bensì la I 0000000 ' '
VJoJto^ ( N.« 3<52 ) , non essendo quest* ultima ,
che
357
che la fraziofi prrtna ridotta ai mìnimi termini. ^66, Le differenze tra le frazioni ( T) van* Bo sempre impiccolendosi »•
Sottraendo tali frazioni consecutivamente 1* u*- na dair akra , pei ( N. 35).) ci risulta
B_ A __ r
B' A' A' B'
C ^ i_^
C B' ~ B' C
E — S. — ^'
D' C "" CD'
JE^ D i__
t' D' "" D' E' , ec.
Ma pel citato (M.« 363 ) abbiamo A'B' < B' C» . B'C* <C'D', CD'< DE', ec. Dunque sarà
"ìTT B' C ' B' e' ^C D' * C D' ^ U' t' * **^* ' * però ec.
357. La differenza tra la X , ed una qualun- que delle frazioni ( V)' è sempre minore della u- hità divisa pel quadrato del denominatore spettan* te alla frazione supposta»-
Essendo 4 - "X^ = ~r, dd ( N.' 3^4) , * chiaro che sarà X • — -r, > -77^ , ma a cagione di A' = , oppur < B' ( N.* 3^3 ) abbiamo 77=7 = >
oppur < rrj;; dunque sarà ancora X—— < — ;
B ' I
Nella maniera medesima troveremo — — X<g;j,
/ X-^<^..§--X<^.,ec.Dan^eec.
Perciò la differenza tra il numero 3 , i4i592tf> e la secondatola quarta ec. delle frazioni (T///)
sarà corrispondentemente < -r > < TTJ;» ec, ossia
< — , < — -^ • Ora esso numero 3 , 141592^
altro non ci esprime che assai prossimamente il rapporto della drconferenz^a al diametro; vedesi
adunque quando le frazioni — , ìj}^ ^^^ jj ^^^
1 m
costano ad un simil rapporto.
3 58* Dai (N?g53, 3/57) apparisce , che . le frazioni ( V) vanno sempre più accostandosi al v»* lor della X .
3^9. Nelle solite frazioni {V) la differenza fra due di esse qualsivogliono consecutive è picr , cola in maniera y che fra di loro non può esiste- re alcun' altra frazione , il cui denominatore non sia più grande dei denominatori delle due frazio« ni supposte. ;
Prendiamo a considerare per esempio le ^ue
CD * m
^ , — , ed esprima — una qualunque delle frazio- ni collocate fra di esse. Dovrà essere
D
359 D C w C. .1 «C' — j»C,,, ^
^5^): ma qualunque valore intero abbiansi U w, Hy è chiaro che non può giammai. essere mO—nC I j . II
e per conseguenza C'»>CD', e dividendo per C, avremo ».>D';raa a cagione di D'>C'(N.^ jtfj ) abbiamo ancora »>C'. Dunque ec.
370. Pei ( N.^ 354, 359) è chiaro potersi asserire » che ciascuna delle frazioni ( V) si accosta al valore della X) quanto è mai possibile ^ cioè, per modo , che nessun' altra frazione avente un di« videndo non maggiore del dividendo della frazio^ ne supposta potrà mai egualmente 9 o più di essa accostarsi alla X.
Nel ( N.^ 3^2 ) la quarta per esempio delle frar zioni ( Vili) si avvicina tanto al valore 3 , 1415925, eh' egli, è impossibile trovare alcun altra rotto ad esso più prossimo , il cui denominatore non sia >ii3.
371. Prendansi nelle frazioni (T) separata* mente i termini , che si alternano^e forminsi con questi le due serie ^ C E
B D F > 7v> "ET i C^«
La prima di tarli serie sarà pel ( N,* 3^4 ) crescen- te verso X^ decrescente la seconda^ e dai valori
(VI)
(ri) è facile a vedersi, che avremo
C ^_J1. J._£ = J— G A'^^A'^* 11' C C'h'^ B D _ ^£_ P F _ <^
372. In conseguenza di ciò, se. fosse r= i , col raziocinio jstesso del (N.^ 359) vedremmo
A C non poter esistere tra ^^ T7j 77 alcun altro rot- to , il cui denominatore non sia > A', e >C'; ma se r > 1 , allora tra esse-^ , -^ potranno aver luo- go r— X di simili rotti, e tali saranno quei > che
C
risultano , ponendo, nel valore di — ricavato dai
r B .^ A
valori (^l),cioè in ., , .successivamente in luo* ' ' r b + A
go del numero r ì numeri i, 2, 3, ec. r — 1 ;
onde i risultati . B+ A 2B + A 3B + A (r-^i)B+ A
^^''.B'+A'VzB'+A'' gB'+A'^ ^^ (r-i)B' + A'
non saranno che altrettante frazioni esistenti tra le
-r; , -tt; f i denominatori delle quali saran lutti <C' .
Difatti presii una qualunque di queste frazioni
( X) , e chiamata |^g, ~ , essendo fA< r ; avremo
primieramente il denominatore /u B' + A' <r B' + A', e però < C , poiché C = r B' + A' ( N.o 350 ) • Inoltre avendosi
fxB
ju B4- A A ___^ fi.
. ji*B+A A e
JUr+lì' ^ a' ' * "* ti' » * P*' conseguenza la uB-HKA . ,.
nostra T§'-Ijtrr » * <!"»""> tutte Jc frazioni (X ) ,
nd mentre che hanno un denominatore < C , so-
AC no tutte contenute fra le -— , — .
A' 'C. '
J73. Fra due qualunque 3elle frazioni (IX) consecutive non può esistere alcun* altra frazione , il cui denominatore non sia maggiore dei denomi- natori di tali frazioni.
Poiché MB+A. .(fX~i)B+A _
(,*B'4.A'X(M-*)B'+~) ' ^* dimostrazione è la stessa che quella de! ( N.* jiJp ) , . , .JU1B4-A B, , r
maniera medesima del ( N.* 3^9 ) si ritrova che fra ciascuna delle (X), e la — notili luogo al- cuna frazione —, fn cui non sia »:>B', e> j* B'.+ A'.
374. Ciòcche abbiamo dimostrato n«i ( N.^ - n»> 373 ) delle r—i frazioni (X) intermedie
z z .tra
701
AC tra le^ , -^ , dicesi cgu»lm^edellc altre / — i,
che, come n'el(N**372 ), si dimostrane esistenti
CE " i
fra ^^ -Qi ~c}» ^*1^* ^^^^^ ^"~' > le quali anno
B D ■ '
luogo fra le -g;, -gj, delle altre u — t ,che ritro-
D .F vansì tra le -^ » •^, e così di seguita .
375. Affine di distinguere le frazioni (X) dal- le altre accennate nei (N.* 372 , 374 ) chiamere- mo le prime frhcifàli^ intermedie le seconde > e scrìvendole tutte in (XJ) secondo il loro valore, ne verranno due serie , V una di quantità tutte minori , e crescenti , la seconda di quantità tutte maggiori , e decrescenti verso la X . Tutte queste quantità poi pel ( N.® 373 ) si dimostrano, come nei ( N.* 3*9 > 370 )» approssimantisi al valore del- la'X quanto è mai possibile ^ BH" A 2BH- A jB-f- A « (r~i)B4-A {XI) f^'i B'H-A'* 2B;h.A'» 3F4-A" "•(r-ijB'-f-A^»
£: E±£ ^'P+c 3D+ ic (f~i)D-f.c
È A 4-1 2A + 1 gA+j (^~i)A-f-i
T.'**^* A^ » 2 A' » 3A' »**^'(7trr)À' »
C-t-B 2C-f.B 3C-t-B (/-:-i)C-f-B
F
F»^^-- 376.
116. Data una quantità qualunque non inte> rà X trovare tutte le frazioni , li quali si avvici* nano alla X quanto %i può mai , cioè per modo , che fra tali frazioni , e la X non abbia luogo al- cun altro rotto più prossimo, il cui denominato- le non sia maggiore del denominatore di tssc.
Riduco pel (N* 357) la X in frazione con- tinua/quindi determino pel (K.'^^ò) le frazio- ni ( F") , ed esse tutte pel ( N.* 370 ) scioglieranno il Problema . Formo in seguito le due serie ( IX ), determino pei (N.^ 3 71, 3 74) tutte le frazioni ini' cermedie,e le due serie (X/) così trovate ci da» ranno la soluzione totale; e di fatti se esistesse qualche altra frazione differente dalle ( XI) capa- ce di sciogliere il Problema., questa dovrebbe e- vidememente trovarsi in mezzo alla prima , o al- la seconda delle due serie ( X/) ; ma ciò i im'. possibile. Dunque ec.
377. Se sia X = 3 , I4i$p25 , eseguite, sicco- me nef(N.» 359» 3^2, J72, 374)» le operazionf accennate nel ( N.^ prec. ) , otterremo le due serie
± ii 12 ^ €L iiL 'il iil '79 i » 8 »i5 '22' 29* 3<5 ' '43 ' 50 ' TT'
201 , 223 245 2(57 289 gli 333
(54 ' 71 » 78 » 8j • 92 » 99 ' 106 ' *^V 4 7 IO 13 i6 19 22 355
TV 2» 3 '7* 5* "^* 7 * ni"»**^->
la prima delle quali ci esprìmerà i numeri tutti minori > e prossimi quanto è possibile al 3,141592 5,
« 2 a 1* al-
1* altra i maggiori;, e sì Y una per conseguenza, che la seconda si avvicineranno vieppiù ad eapri- mere esattamente il rapporto della circonferenza , al diametro.
Ciò basti delle frazioni continue .
378. Trovare un numero più grande di tut- te le radici reali della (C)Fa:*+ Ox— »4-Hjr*^'-l-I;t*~» 4-.ec,= o, ef sendo il coefl5ciente F positivo . Supposto x =y + r, trasformo pel (N,« So) la (C) nell'altra ( F r"+ G /••-' -+- H r— * -4- 1 r*-3 rt- ec.) + ( «bF r—' 4- ( jw - I ) Gr—» ■+- ( w — 2 )
Hr"-'-»-ec. )^ +
2.3, ^-^
ce.
Ora se la r a un valor tale , che renda positivi tutti i coefficienti della Trasformata ; tal Trasforma* ta dovrà avere tutte le sue radici reali negative ; e però essendo negativi tutti i valori reali della y^ qualunque delle radici reali della ( G ). pongasi in luogo della x , ci darà sempre jr — r < o ^e per* ciò avremo r > jt • Scioglieremo dunque il pro- blema, sostituendo nelU (XIl) in vece della r un numero capace di rendere positivi tutti i suoi coefficienti , e questo numero a cagione del coef-
ficien*
= 0
5«$
ficiente F positivo » è facile a vederti , che si de- terminerà, colloc^^ndo succestivaniente i numera o >-i > .2 > 3 > ee» in luogo j^della r .
Siaperesempiopjr^ -24V» + idx^ —14*4-7 = 0 r Equazione data; fattoi .rF^j>H-'*> avendosi - ( pr* — 24r>-+- i5r*.— i4r-t-7)^- (3tfr»— 72 r*H-3ir — •24)Jf-+• (i6r —24) jf» +
9^^ -■■. •■ ■;•■ ■
Suppongo successivamente r= o , t ^ 2 ^ ec. • Ora allorché faccjo r = j y la .Trasformata diviene 9y^ -+- 84^ H- 28ÌJ^* -4- 39^^ + 160 = o , Equa- zione ) in cui tutti i poe$cienti sono positivi • Dijq« que il 3 . sarà un namero maggiore di tutte le rar dici reali della data , e vedesi di fatti esser ciò
vero, poiché — , -^ sono le siie radici reali.
379. Determinare un numero minore di tut* te le differenze fra le radici reali , e disuguali del«
Tolte pel (N-^jo5) dalia (C) le radici ugua- li, se pur ve ne anno, determino pel (N.^85) dair Equazion,che risulta, T Equazione delle dif- ferenze, e supposto che tale Equazione delle dif- ferenze ci venga rappresentata dalla ji* -+ ay^'^ -+-
*jf*^^-+- ec. -4- /^ + « = o , faccio y — -j onde a*
vere la Trasformata « a* -+- / »*-» + / »*-* + ec. + 4»+i =0 (N-^ 82 ). . De* -
^66 -
Determino or» (ilei ( N.* prec.) un numero mag* gioredi tutte le ladici re^lidi quest* ultima Equa- zione, e chiamato esso K) giacché abbiamo K>»,
sarà s7-< — , e però 'ir< y • Ma la y non fa che
rappresentarci il quadrato della differenza fra due quali si vogliano delle radici reali , e disuguali del*
la (ti) (N/*85): dunque essendo-^ minore di
un simile quadrato, la quantità ~t9 quella sarà»
che somministra k soluzione del * Problema •
Sia per esempio x* — %x — 4 = 01* Equazio* ne data . Non aviendo questa radici uguali , trovo immediatamente la sua Equazione delle differenze^ e determinata così la j>> — j o ji* -t-ii^jf — d8 = o,
suppongo j» = — , onde avere li
58*» — 2 2j»* 4-30» — I =0. Cerco presente- mente in quest' ultima Equazione un numero mag» giore di rutte le sue radici reali , e supposto per- ciò pel (N.*378) 2>z=.M-^rry la trasrormo nelle
( tfSr» — lijr^-f-aor— 1)-4- ( 204 r* — 450 r -t- 30 ) • + (i04r — «5 )**-+-
e poiché collocando quivi successivamente ìa Iuo> go della r i numeri e » i , 2 , 3 , ec. , trovo che alla sostituzione del 4 , ti^ Tras£)nnaa diviene
«71
= 0
S71 r+- 1494*-+- 591 «*H-^j «'^=0 con tutti i suoi termini positivi , dirò che il 4 è un numero maggiore di tutti J valori reali della x, e quindi
i' 1 r ■
<^^e -r:=:---« è un numero minore di tutte le
V4 -2 "
differenze fra le raidici reali della jr>^-r 5 *• — 4 =©. 380. Chiamate «, /S,7 ec« le radici reali, e f*> V» f > P»€C. le radici immaginarie della (D); se porremo in essa(P) in luogo della x> due nu- meri f , q tali , ch«{ / >« , ^ < « j e tali , che la dif- ferenza tra lorp . sja minore della differenza tra «, ed un* altra qualunque delle jS ,7 , ec. , ne verran- no sempre due' risultati di segno fra loro contrarli • Supponghiamo «>|S, cosicché « — /S>o. Poi- ché per la ipotesi /--f<«—jS, trasportando av- remo ^ — «<^-^,e sommando queste due quantità con le altre «</, otterremo |S-t-« -«< ^^P—f* §<q, e però ^— jS>o. Ma a cagione di />«, e di «>/5 abbiamo ancora ^>^,e quindi /-^.^ > o . Dunque in questo caso i due binomii f '— jj , f - jS saranno amendue positivi. Che se «< ^ ; a- vendosi allora jS-«>o, ej>-^<jS— «, som- mando queste quantità con le altre ^<a, ne ver- rà/<^, e perciò / — jS<o; ma a cagione di f < «, anche f -—«< o ; dunque in questa secon* da ipotesi / — ^ , f - |S saranno quantità amendue negative, e per conseguenza in qualunque suppo- sizione i due binomii p — 13, ^— 13 saran sempre del medesimo segno . Ora lo stesso si dimostra rappòrto ai due p — y > f ~ 7 > a» dpc / "" *>
f -^ d* , ec. , e di *pià - i àtt prodotti .
(./ -*f«.)(.^ 4 >-)(./-^«K/— f)' ••• » (f ■* /*Xf'~" *X'f '*• w Xf-'P') ••••"• '"-woo .en*> ttaraU.reaii , e p&sitiv.i ( N.? 59 )? I>jinquej;lì alr^ tri due prodotti (> — 13)(/— >)t/-s-^).i.V
. . ; ; ( f — ju )( f — V )( f — w) V- 1 ; «iranno adicndue dtllo stesso segno , e però a cagione^dj ^ -r» « > o , ^— «<:o-, 1 tèrzi ■•• •" / •■ '
sacaoido-dì segQo contrajcfot Ma; questi ultimi due. prodotti pon sono ,s(^.noa se cii^ ,che diventa il Plinio YD^nib^o della i D ) per la sostituzione dell^ quantità /,, .^4n L^ogo .della at . Dunque, ec.
jRk Se la differenza tra le due quantità /,. q sia minore della differenza fra due qualunque del-
le radici della (D) , come se / — ^ = --^, (N.*
379 )j e se ìpoUocarido in (D) in luogo della x tali quantità 9 he vengano due risultati di segno con* trario^ io dico ^ che tra. esse / , ^ esìstcrì^ tem* pre una sola delle radici della, data •
Che fra le /, pesista nella nostra supposizione almeno una radice della (D ) , questo li sappia.* mo dal ( N.^ ) I ) ; che poi pon ne esista che una so* Uy ciò $i dimostra facilmente; poiché se ne esi*
StCf*
3^9 ^stessero due, per esempio le due a, /S^ allora Ja differenza fra queste «> ^ sarebbe evidentemente minore della differenza tra \t fy q contro delia supposizione. Dunque te.
j82. Determinare ì numeri interi prossima- mente inferiori a tutte le radici reali della ( D ) • Comincio dal togliere nella (D) le radici u« guali (N.® 3 06), determino poscia pel {^.^ ^-^g)
la quantità -j^ minore di tutte le differenze tra le
sue radici reali , e disuguali , e se v^K non è numero intero , pongo in suo luogo il numero ad esso pros« simamente maggiore ,che chiamo n y onde in vece di
-TT^ avere il rotto razionale — < -7? ; e trovo lì'-
Dalmente pel ( N.^378) il numero r maggiore di tutte le radici della (D). Ciò fatto colloco successivamente nel primo membro della (D)in luogo della x i numeri
"w 'y ^ A
{Zlll)o , — •■, — - , — , — , ec. , e ciò fino ad un numero
H ti n ti
b .
— = , ovvero prossimamente > r ,• osservo i n-
ti
sultati, che alternansi nel segno , e poiché pei ( N * 380 , 381 ) fra i diversi termini della nostra serie (X/Ì/) capaci di produrre simili risultati al^ ternantisi nel segno tutte sì contengono ad una ad una le radici reali e positive della (D)^ tutti prendo i numeri interi , che scino prossimamente inferiori a questi termini ^ e tali numeri faranno
a a a ^ tutti
37^ tutti gì' interi inferiormente pitì vicini alle doman- date radici reali positive* Passando in seguito al- la ricerca dei numeri interi prossimamente infe* noti alle radici negative ; colloco' nella ( D ) — jr in luogo della x ; cerco, come precedentemente nella Equazion y che risulta y gV interi prossima* mente maggiori a tutte le sue radici reali positi- ve 9 e tali numeri cangiati di segnò saranno i pros« simamente minori alle radici reali negative della data •
Vogliansi i nuttieri interi prossimamente infe- riori alle radici reali della jc^ — 5^ — 4 = 0. Poi"- che quivi non esistono radici uguali , poiché ab« biamo \/K=z;(N.* 379), e perciò razionale, e poiché pel (N.^378) il 3 è il numero mag- giore di tutte le radici della data, onde ne vie* ne^ = 5, colloco in luogo della x quantità
Avendosi quindi i risultati
osservo che fra questi esistono i soli due ~^, 8,
i quali si alternano nel segno « Dunque la data non avrà che una sola radice reale positiva , e que«
sta esistendo tra i numeri -^ , 3 , dai quali essi
risultari sono prodotti, il numero 2 sarà V inte* ro a tal radice prossimamente inferiore.
Affi-
37»
Affine ora di determinare i numeri inferìormen* te minori alle radici reali negative, ponendo— ;ir in luogo della x , riduciamo la data alla x* — j at 4-4 = 0. Trovandosi pei ( N.® 378) essere 2 il nùmero maggiore di tutte le radici di quest' ulti- ma Equazione, sostituiscansi in essa successivamen"
te 1 numeri o, — , x, -^, 2 , e yengansi cosi a
2r et
IX • I
determinare i risultati 4 > -^j 05— Y' ^•^^'^^^
il terzo di questi è zero , e fra i due T^ ^
si ìl un* alternazione di segno, ne segue, che il terzo numero sostituito, cioè il numero i,sarà una radice della x^ — 5x4-4=0, ed un* altra ne esi*
scerai fra i due -^ , 2 , della quale per conseguen-
xa r intero prossimamente maggiore sarà il secbn* do di essi, cioè il i . Ciò dunque determinato,
— I sarà una radice negativa della data Jt' — 5 x
— 4=0, e la terza delle sue radici avrà per in« tero prossimamente inferiore il numero — 2 •
383. Vedesi facilmente che le sostituzioni da farsi delle quantità {XIII) nella (D) non sono giammff in numero '>nr+ i ^t però, che un tal numero è sempre limitato. Vedesi inoltre che il calcolo di queste sostituzioni potrà facilitarsi , se invece di eseguirle , come nel ( N.^ prec. ) ^ pon- ghiamo primieramente in luogo della x la quanti*
tà — , ossia se moltiplichiamo nella ( D ) il se-
a a a 2 con*
37» condo termine per « , il terzo per »• -, il quarto per »' , e cosi di seguito , e poscia trascurato il comufi divisore «*, poiché non si cerca che 1' al- ternazione dei segni, se nella quantità, che risul- ta , coUochiama successivamente in vece della x i numeri o , i , i , j , 4 , ce. Finalmente il nostro calcolo potrà agevolarsi ancora di più coli' ajuto delle serie , e ciò vedremo nell* esempio , che se- gue.
384. Determinare gì* interi prossimamente ia- feriori alle radici delia jc'— 28x-t-5<5 = o.
Essendo — un numero minore di tutte le.dif'
2
fetenze fra le radici reali , e disuguali della data ; dovremo per isciogliere il Problema sostituire in
luogo della x i numeri successivi,©, — , i,-^,
ce. , ovvero pel ( N,® prec. ) moltiplicato il — 28 per 4, e il 55 per 8, dovremo sostituire nel ri- (X/r)sultato x^ — 111 JiT -1-448 invece della x ì numeri 09 I9 2> 39 49 ce. Ora per vieppiù facilitare il calcolo^ osservo che la quantità {XIV) altro non è che il termine generale di una serie a differen^ ze terze costami; dunque se cercherò le differen* ze i.^ 5 le 2.^ , e le 3/ » e se col mezzo di que« ste determinerò i termini successivi di detta serie; tali termini saranno appunto i risultati diversi y che verrebbero dalle sostituzioni sovraccennate • Sup« pongo pertanto successivamente ;r = ai quattro nu* meri 0^1^2,3, sostituisco in ( XIV) ^ e avutine i
risul-
573
risultati (XV) 448, 3^7, ìJì > 1J9» determinò da questi le differenze prime — 1 1 1 j — 105 , — pj, le seconde H- 5, + i2,c la terza H-, 6; scrivo po- scia in (XVI) in una prima linea la differenza 3.* costante -+ 6 y replicandola quante volte si vuole; colloco sotto del primo -h 6 in una colonna ver-* ticale la prima delle differenze 2.* , cioè iH-6> la prima delle differenze i/>cioè il -^iii^ e il primo dei risultati (XV) ^ cioè il 448. Ciò fat- to y formo nella seconda riga la serie delle difi*e« renze 2/, e la formo sommando ciascun suo ter» mine precedente con il numero ad esso immedia- tamente superiore ; formo col metodo istesso nel- la terza riga la serie delle differenze 1/ ; e repli« cando nella quarta V operazione medesima , otter- remo finalmente i termini successivi della serie prin« cipale, ossia i risultati , che verrebbero dalla ( XIV)^ facendo successivamente ^x=zóy i , 2 , 3 9 4 9 ec« Poiché la i^ differenza 6 è positiva > e positivi so- no tutti i termini della ottava colonna y vedesi che ì termini y i quali si otterrebbero oltre questa^ sareb* bero tutti positivi, e perciò sarà inutile protrarre innanzi le serie. Ora nella quarta riga abbiamo due alternazioni di segno ^ e queste tra il sesto ri- sultato + IJ ) e il settimo — 8 , t^a il settimo — 8 , e r ottavo -4- 7 . Dunque dalla sostituzione dei numeri $ , ^ > 7 nella ( XIV) , ossia dei nu-
meri -^ , 3 , ~ nel primo membro della data
jr* — 28jf+55 = o ottenendosi tre risultati pros- simi
374
simi alternantisi nel segno; ne viene, che essa da» ta avrà due radici reali positive , e una di queste
esistente fra i numeri —, 3 , e 1' alrra fra i due
3 , — , onde i , 3 sarannno gli interi ad esse prosi /
simamente inferiori.
Per trovare V intero più prossimo air altra ra- dice reale negativa , porrei — x* in luogo della x^ e opererei sulla x^ — iS x + %6 =0 9Come prc* cedentemente ( N.® 382 ) •
(XVT)
-h 6 |
,-+-. |
6 |
,4" |
6 |
,H- |
<J |
,4- <5, |
► 4- 6, |
+ |
6 |
,4- |
6 |
,4- |
6, |
,4- ec. |
||
-h 6 |
,-H |
I2l |
► 4- |
1% |
»4- |
24. |
4-30, |
+ l6* |
•* |
-f- |
4*1 |
,4- |
48: |
,4- |
54j |
4- ec. |
|
— III, |
. — ] |
tOJ j |
,— |
93 5 |
^_. |
75» |
-51, |
— 21, |
- |
+ |
M |
»4- |
57j |
4-1 |
105, |
ec. |
|
4-448 |
►+ |
jn. |
4-: |
^32, |
+ |
«39i |
.4-<J4» |
+ 13. |
— |
8, |
4- |
li |
.4- |
64, |
ec. |
385. Dopo la determinazione dei primi quat* tro risultati {XV) ^ affin di trovare gli altri non impiegandosi nella operazion precedente che del* le semplici addizioni , vedesi quanto esso possa fa«> cilitare il calcolo. Che se V Equazione data s\^ la (D); rappresentando il suo primo membro il termine generale di una serie a differenze mesi^ me costanti; supposto successivamente r=o ,z, 2 ) 3 >4 > ec. , w, e trovati dalla (D) gli «r4- i risultati corrispondenti i da questi determinerei le differenze 1/ ^ le 2/ 9 le 3/ ec. fino alla mcsima;
poscia
US
poscia, come nel (N.^prec.)) formerei tutte le se* rie delle differenze tnesìme , delle m — i esime ^ delle m — 2 esime ; e V ultima di tali serie queN la sarà , che ci somministra tutti i risultati y che verrebbero col sostituire nella ( D ) i numeri suc« cessivi o, i, 2, j, 4) ec. Allorché poi giun« geremo ad una colonna di numeri tutti positivi , potremo qui pure ^ come si è deflo di sopra , ar* restarci , poiché inutili diverrebbero tutti gli altri termini successivi •
385. Determinare per approssimazione il vt« lore delle radici reali della ( D ) •
Tolte dalla ( D ) le radici uguali , e chiamata ùc una delle sue radici reali, trovo pel ( N.^ 382 ) r intero prossimamente inferiore ad essa «, e de*
nominatolo f ^ suppongo x z=z p ^ — ^ sosti- tuisco nella (D), e mi verrà pel (N,^8i ) una Trasformata della forma (XFIO A' y'^ H- B' y'^'^ -h C ji«*"* + ec. = o . Poiché et é reale , e poiché / < « ,^H- 1 > « ( N,* 382 ) , è
chiaro dalla ;r = ^ 4 — y che per lo meno anche
una radice della {XVII) dovrà essere reale, e maggiore della unità • Cerco in essa ( XVII ) V in* tero prossimamente inferiore a tal radice reale,
lo chiamo q , e fatto ji = ^ + — , sostituisco nel*
la ( XVII) y onde ne venga mu) A" H"^ ^ B" u'^-\ + C'-fT-^ + ec. = o • Avendo
qui
37^- <]u) pure la u almtno un valore reale , e > i , determino , come sopra , 1' intero inferiormente più vicino ad esso^ lo denomino r , e sostituisco
nella (XFUI) invece della u la quantità rH ;
mi verrà ancor quivi un' Equazione (X/X}A'"»^+B'";6— '-hC"z,*- *4- ce- = o , in cui esistendo almeno una radice reale , e > i , cerco rimerò prossimamente ad esso minore , Io chiamo X, e proseguo ad operare sempre nella maniera medesima* Ciò fatto 9 sostituisco successivamente nelle E-
quazioni ^ =;>-+- — -, ji = ^ + _^^ = r + — ,
ec. in luogo della x^y^u^z^cc. i valori cor* rispondenti , e ci risulterà prossimamente
1
q^l
r + I
— r-^ valore da ridursi in fine
/^CC.
pel ( N,* 3^1 ) a frazione ordinaria .
387. Se oc è razionale, la frazione continua (XX) dovrà essere finita, e quindi uno dei nu* meri /, f ) /• » ^jec. dovrà essere radice esatta della Equazione , che gli corrisponde . Ma se ce è irrazionale , la (XX) andrà air infinito^ e nessuna delle Equazioni {XVII), {XVIII), (XIX), ce. avrà per radice esatta un temerò intero.
3 88. Tra i due valori/^, ^-f-i od esiste la fola radice <x, o he esistono due, tre , éc. diverse .
Nel
"A
S77
Mei primo di quetti c»si io dico » che la < XVII ) aoQ^ potrà avere, che una fola rtdke rcab fMsi« civa • Imperciocché se ne tvQsse per esempio due^ e tali fossero le jr! ^ y" ; sostituite queste, nella ,
Jir = ^ H ( N.® 38<J ) , ne verrebbero i risultati
^ H — 7y P-^ -rr; esprimenti amendue un valore
reale delia x;t per /coosegtienaiai tra i duenune^ ^ fy ì + ^ ^^n esisterebbe già iìm sola raddce reale della (D), ma ne esiscerebbero due contro la supposizione.
g8p. QuiQdi ne segue 9 che per determinare il numero q^ basterà io iquest' ultimo caso sostituì* re. soltanto nel primo membro della iXFtJ) i nu« meri i , 2 , j , 4 , ec. fino a quelli >che ci . damio consecutivamente due risultati di segno contrario • Lo stesso si dice rapporto alle Equazioni {XVIU)^ iXIX), ec.
3 90. Che se fra /, / + I anno luogo le due radici reali ^y fi: allora la. (JCF//) avrà due ra« dici reali positive y\ y/y e per determinace gì* m* teri q y q ad esse inferiormente più prossimi con» verrà ricorrere al metodo dei ( N.^ 382, 384). Ora q yq o sono due numeri fra lor disuguali ^
o nò: se Io sono^ le due supposizioni jf = *^^H — ^
jf = f" H condurranno a due Equazioni (XFIII)
diverse ) ciascuna dèlie, quali avrà una sola radice b b b reale .
J7« imIc positiva ( R" 38S ) , e tt» ciascuna di esse potrìt per conseguenza agevolarsi il calcolo , come nel < N,* prec. ) . Ma se ^ = f" , 1* ipotesi allora
ài y=-q -\—^ dandoci una sòia E<jùaziope (XFirj),
quest* ultima Equazione avrà due radici reali po- sitive, e quindi la.determinazioné.dei due nume- ri r , r" non potrà ricevere quell' abbreviamento di calcolo del < N.® pnc. ). Shnile aMMKviamenio però xomincierìr sempre ad aver luogo, e si pro- seguirà sempre , ogniqualvolta gì' interi / , r" , /' , t" , ec. risultano disuguali . . Lo stesso si dice, se fra le ^, j^+t esistono tre , quattro , o più radici reali della ( D ) .
^i^i. Sciogliere per approssimazione V IBqua- (XX/)Mone *•* — 2 ;if ^ j =r o .
Determinato pel ( N." 37^ ) essere 1^ unità il numero minore di tutte le differenze tra le radi- ci reali della data , cerco pei ( N.^ 383 , 384 ) gì*. interi prossimamente inferiori alle sue radici rea- li positive. Trovando, che la (XXI) non à che una sola radice reale positiva, e che 1* intero à questa inferiormente più prossimo si è il 2 , sup- pongo jf = 2 •+.-—, sostituisco, e ridotta così la
( XXI) alla.jf' — loji» —6y - 1 = 0, cerco i* in-; tero inferiormente più vicino al valore real posi- tivo della y (N.» 38^), trovo essere questo il io;
faccio dunque y = io-i ,e avuta la Tjrasfor-
... mata
I
119 nita ^1 «» — 94 «* •*— 76 « — I =:© , decennino r intero prossimamente inferiore alla sua radice real positiva . Trovandosi tal intero ==i , sùppon"'
go nuovaaaeote «= x h — 9 onde stoprìre nel
modo istesso I* intiero minore, e più prossimo al' valoce reale positivo della », e proseguire poscia il calcolo medésimo quanto a me piace . Ora da si- nili operazioni troviamo , che )» «erie di tali |iu» meri interi è la seguente
s , IO , I» 1 , 2 , t , 3 , I , X , 12 , ec. Dunque la radice real positiva della (XX/) «arìk prossimamente
10+1
i+i
2+1
i-H
3+f .
H-i
i2 + ec.; e da questa frazione continua determinate pel ( N.* %6x ) le successive frazioni ordinarie , avremo i rotti.
xxm* " li 44 III. 155 i7^ 731 1307
1 » IO » li ' 21 5g ' 74 275 J49> 624 » —^ , ec. i 9uali vieppiù si accosuno al ve- bbb 2 xo
ro valore delta nostra ttSct ( Nfc^ J«8 ) . H rotto
!^1L^ difffttirà dal valore vero di essa radice meno 7837 ^
della quantità ^,;= Sr7,8l35=^> ^«'""^ '^^
(N.*3tf7). ■
392. Nella maniera; medesima cercneremo fmw» sim»incme il valore delle tadici «alt negative del- la (XX/>( N» ìSz) j Giacché poi ciascuiio del* le frazioni {XXII) s'accolta al vero valore dell» nostra radice, ^quanto è mai possibite ( Ni 370)» quindi si vede che il nostro metodo di approsama- zione è preferibile agli altri tutti .
CAPO DECIMOrFÀVÒ.
Della Soluzione per Serie delle EqHa%tont im/eterminate .
in
D
?93* JL^^ta' Whi serie finita
ove le quantità w , m"y fn"\ m'\ ec formino una serie decrescente , le altrt h\ n\ n'\ n^\ ec. abbia* no un valore qualunque ) e la « sia ufi humtto ineò« ghfto; sì domanda dì deterhlinaré: questa flf p« niodo che due > o più termiìicl dell* aafó serie sia^ no fra lóro uguali , e maggiori degli altfi . - Affine di sciojgliere questo Problema ^ paoragono il
3»« primo termine m et -Arti con ciascuno degli altri,
fi!* ^^ n' **'" - n'
e ricavatine i valori ^ = --r r,= -, -— - .
ce. 5 e supposto poscia il primo termine tn «-f »' =7r, riduco la nostra serie alla forma {//) 7r,7r+(«f"-w')(a-jc i),7r4-(i»'"-i»'X«— «2),
Ciò fatto supponghiamo a = alla più grande deN le quantità .^ 1 9 ^ 2 9 «3 9 ec. , e collochiamo que« sto valore nella serie ( / ) ; è chiaro dalla serie ridotta (/r ).9 che il termine corrispondente a questa quan- tità più grande diverrà =:7r; gli altri tutti poi di« vérlrannò < w ; imperciocché a cagione di ot aven« te per la ijpotcsi il valor massimo , e di W >i»", m" y ni" , ec. le quantità (i«" — i«')(a — ai) , * («r"— w'Xfl^ — ^ 2 ), (w'' — w'Xoj— 0^3 >j ec. sono tutte negative • Scioglieremo dunque ii Pro* blèma , attribuendo ad filmassimo dei valori «i, « 2 , ^ 3 ec. . ""
Che ^ due , o più delle fl^ i , oc 2 , a j , ec so- no uguaK fra loro^ e maggiori delle altre ; si Ot* terranno altrettanti termini uguali al primo ^, e maggiori degli altri . * ,
3^4; Sia per esempio 9^ — i , 70^ + 2 >3«— 4i 2 « + 5 la serie -^ata • Paragonando questa con la (/> , poiché abbiamo
«' ::=:--•, ,. )»" =2, »"=: — 4, »'^ = 5 , ««^
« I =
3«2
« i> = ^^— ^A; = — • Ora essendo x i zz ^ il
massimo de' risultati ^ x 5 « 2 , « 3 » suppongo
« = — , e metto questo valore nella serie propos* *
ta : risultando esso perciò , — , — 3 "T ^ T jsciol*
' . z 2 2 2
to avremo il Problema , poiché col supporre aj = y,
abbiamo ridotta la serie ad avere i primi due ter* mini uguali > e maggiori degli altri • Se la serie data sia la
t)rovandosi^i=^39as 2 = io,a j= , 0^4= io ^
col £irc4= IO , risulteranno fra loro uguali ^ e maggiori degli altri il primo y il terzo , e il quin* ;o termine 9 come infatti si vede nei risultati 47^ 40, 47, i5, 47,
3 9 S • L' incogn ita ^ , oltre il valore precèdente ^ altri 'aver ne potrebbe capaci di sciogliere il no- stro Problema; cerchiamo ora di determinarli.
Attribuendo nella ( //) ad <« un valore più gran* de di tutte le quantità .^.| ^ « 2 , « 3 ^ ec« 9 i termi* qì della serie diverranno tutu <:7ty e per con- seguenza non potrà esistere alcun numero roag^^ giore di ciascuna delle p^ty^iycc^ycc.^il quale renda due > o più termini della ( i ) uguali fra lo-
- . . ro ,
ro I e maggiori àegli altri • Se dunque esistono aK tri valori della » atti a sciogliere il nostro Proble* ma , ouesti dovranno essere tutti minori della mas* sima delle quantità ^ i $ ^i >«} » ec.
Sia per esempio ct6 questa massima quantità , 6 se due , o più delle oci ^oùz ^x^ ^ec. sono maggio* ri delle altre , e = («6, sia ^xtf l'ultima fra queste, e sia TT + ( i»"^" — «r' )( jt — flt tf ) il termine ad essa corrispondente • Ciò presupposto , se si attribuisca- no ad « dei valori <x 6y a cagion della serie m' — i»', »'" — w' ,!«."'— m' ,ec. sempre decrescente, è fa» Cile a vedersi , che tutti ì termini , i quali prece- dono iltermine7rH-(«?''"— !»')(« — 0^(5), risulta- no minori di esso • Dunque potremo trascurarli , e tener conto solamente di quei , che Io seguono.
Ora il termine ^ ■+■ ( ^'"' — mXcù-- ci6) nella CI), altro none che fn^^'oc-^n'^ e quei, che se- guono ,sono f9Ì"" (x-\- »""" , i«'*(X+ »'*, ec. : do- vendosi adunque pet: le ulteriori soluzioni del Pro* blema Considerare soltanto questi termini , repliche- xò prima su di essi quanto si è operato nel ( N.^ B9Ì )$ ^ ^vfò cosi una seconda soluzione* Per avere poi tutte le altre , ripeterò sempre su i ter- mini, che restano successivamente, le operazioni medesime sino alla fine della serie.
395. Pertanto la soluzione completa del pre- sente Problema K N.^ i9i) riducesi al metodo se« guente. Si uguaglia successivamente il primo ter« mine della serie con ciascuno dei susseguenti , e fra i valóri, che acquista ^ , il maggióre sciorrVil
Pro'
3«4 Problemi. Qiiiiidi partendo dair ultimo dei ter* mini y che divengon rqassiini » uguagliasi questo a ciascuno di qveiJii chexseguonp;^ e ,tra i valori ^ che acquista perciò «> il più grande scioglierà quo«. vamcnte il Problema «Cominciando in seguito dall' ultimo di questi termini , che divengono in secon* do luogo uguali fra lóro , e maggiori degli altri , uguaglio questo con gli ulteriori ^ e ritengo il va- lore più grande V che da ciòottienesì per «, poi- ché questo pure soddisfarai Poblemai e cosi 4% seguito «
Abbiasi per esempio la serie
Dal paragone del primo coti gli altri termini sì
ricavano pel valore di « i numeri 7 , 7 , — — ,
4
I , -^ , ~ , e fra questi il 7 risultato dal para*
gonàre il primo col secondo , e col terzo termi* me, è il più grande. Posq^uo' adunque , trascu* rati i primi termini ,a paragonare il terzo 5^+9 con gli ulteriori; e per oc ottenendosi i numeri
•r- ^, — 3, — -1, — X, il penultimo — ~" *
maggiore degli altri: paragono pertanto il penula timo termine 0^ + 4 con V ultimo, e per 0 final* mente ci risulta il solo valore ^ 4 . Dunque oc per la soluzione del nostro Problema potrà avere tre
valpri diversi , cioè i tre 7 , — — ,- 4 , e ne ver-
.4
ran*
/
385
ranno quindi tre soluzioni , come in realtà n ve- de dai risultati , che seguono provenienti dalle sos- tituzioni successive dei numeri trovati in luogo della «
!•• 44 > 44> 44» >5> I4> »» >. <>
55 22 II Z9 IO II
3*- 33>—»»>-i»» — «8, — 8, o, o
397. Se al contrario nella data serie X^) n volesse determinare la » per modo , che due o più dei termini di essa divenissero uguali fra loro , e minori degli altri ; converrebbe operare affatto » come nei ( N.* prec* ) » attribuendo però ad « i più pìccoli fra i valori , che vengono per essa suo* cessivamente determinati.
Nella serie dell* esempio precedente vedesi ,
che fra i primi risultati è il più piccolo, e
4 che questo corrisponde al quarto termine 3 « — tf«
Paragono adunque questo quarto termine con i seguenti , e fra i numeri , che ne vengano , 6 , 5,2,1* ultimo 2 essendo il minore , il nostro Pro- blema avrìt due soluzioni , mentre cioè si faccia
« = , oppure = 2 , diventando la serie nel caso
4 4 4 4 4 .4
2.' 9» '4» >9» o, 4, <J, o.
398. Che se finalmente nella (J) le quantità
m , m" , m" 1 m" , ec. formano una serie crescen**
e e e te
^85
te per modo che m < m < w'" < «"' < ec. ; da quan» to si è detto, è facile a vedersi, che in allora fra I successivi valori della «i più piccoli quelli sono, che sciolgono il Problema del ( N.^ 393 ), e i più grandi T altro del ( N.^ 397O •
li^g. Suppongo già noto, che le quantità rà« finitamente, piccole svaniscono rapporto alle fini- te, che le infinitesime, le finite, e le infinite di grado inferiore scompariscono rapporto alle^infi* nite di grado superiore , e che finalmente le infi« nitamente piccole di grado superiore svaniscono riguardo alle infinitesime di grado inferiore • Il car- ratiere 00 ci rappresenti T infinito.
400. Si domanda quale divenga un* Equazio- ne algebraica indeterminata Z = / ( ;r \y ) = o nella supposizione di x infinita.
Qualunque siasi la supposta /( x )(y ) = o , è fa- cile a vedersi , che si può sempre ridurre alla forma (A' x^ 4-B' xf' +G x^ ^ecO^f**'
^ ( A'" ;r•'''^- B'"x/'" H-C" x^'" + ec. )/
( A" ;r-"^ H- B'^ ;r/'^ + G'^ xt'^ + ce. )^*' ' 4- ■ ec. , in cui gli esponenti m y m y m ,1», ec
^' ^ f % q ^ ec. » > ? . f » ec.
/// /// ni
* > f^ 9 f ' y ec. sian tutti positivi, e formino tante serie decrescenti. Ciò
^=^0
38? Ciò dunque eseguito facciamo x infinita . A ta** le supposizione dovendo pel ( N.° prec. ) rappor- to ad A' a:"' svanire i tèrmini B' xf' , C x* , ec. rapporto ad A".*-*" svanire i termini B"a?'", C" x^' ec. , e così di seguito, la (Y) si cangierà nella* (/I/)A' Ar-'^*'+A";f'y" + A"';c-"'_y-»"'-hA";r-'^j,-'v 4. ec = o .
Sia j> = L Jf* , essendo L , « due quantità da de- terminarsi; .sostituendo, otterremo (ir) A' L»' ;f'»'«-*-»'-+- A" L*" ;f«»"«+«" -f- A'" L"" #""*+»"' 4-A"'L'»"'jr?''*-^'»"-t-ec. = o. Ora anche nel- le due Equazioni (///O» (J^^) non devono resta- re, che i termini, i quali contengono gì' infiniti dello stesso massimo grado ( b^." prcc.)i conver- rà dunque determinare, quali essi siano.
Rifletto primieramente , che nella (///) non po-
A' jf"' j>"' = o , e quindi , prescindendo dai segni , il suo massimo termine ( N." prec. ) sarebbe zero , il che evidentemente è un assurdo . Dovendone dun- que rimanere in essa più di uno , ne dovrà rima- nere più d'uno anche nella (/F); e quelli è chia- ro, che rimarranno, nei quali gli esponenti della X sono uguali fra loro, e maggiori degli altri.
Rifletto in. secondo luogo, che in conseguenza della supposizione dij^^L^r" due sono le inde- terminate nuove introdotte nella (/r), cioè le due L , «; e che alle ..condizioni delia y soddisfacendo
e e e 2 la
388 h prima di esse, la seconda può sembrare deter* minabile ad arbitrio; ma entrando questa secon* da nella formazione degli esponenti w'^-h»', «r"«4-»", m'oi + u'\ m'U^n\ ec. , e per quanto abbiamo ora detto ^ due per lo meno di questi dovendo essere uguali fra loro , e maggiori degli altri, non potrà essa oc già avere un valore qualunque , ma dovrà avere quello soltanto^ il qua« le soddisfa a quest' ultima condizione.
Cerco pertanto pei ( N.* 393 , 35^5 ) quel vaio* re della or, il quale è capace ài rendere due o più termini della serie «i'«-4-» , «"«-+-»" , w" « + jir"' , ce. fra loro uguali, e più grandi de» gli altri, e questo ci condurrà alla soluzione del nostro Problema. Imperciocché chiamato » un si- mil valore, e supposto, che per mezzo di esso gli esponenti , per esempio «r' «e + «' , w " oc -+- 1?'" , m'* x + n'* y quei siano , che divengono uguali fra loro , e maggiori degli altri; sostituendo , la ( IV) diventerà A' L^' jr«>'-*--'+ A"' L'»'"Jr«"«'-*■«"-4- A-; \m^- ^m^- ci'^ m-' == o ; ma^anche la jr = L ;t^ diviene y = Lx^. Dunque se porrò in quest' uU rima Equazione in luogo di L^r^ la indeterminata y\ essa cangiandosi nella A' x^' y^' -h A'" jf'" /•'" -+- A"^" jf*"^" y*»'" = o , avremo cotì ottenuta un' E- quazione fra le x , ^ , in cui tutti i termini sono infiniti dello stesso grado , e quella per conseguen- za , a cui per la ipotesi ^ xzzzoo riducesi la data Z = o •.
401» I valori della OS esser ponnopiù di uno
= o,
3«P
(N.** J95 ): dunque replicando su dascuno di es- si quanto si è ora detto rapporto ad « , vedesi , che saranno eziandio più di una le Equazioni , che per la fatta supposizione nascono da Z = o ; e tan* te queste saranno» quanti sono i valori acceuBati della «.
Sia per esempio
^ 5 jf' ^^ = o r Equazione data . Per determinare quale essa diventi per la supposizione di r = oo » la scrivo primieramente, come qu) sotto
( x*H-4x)jl^ +
ax^y
e svanendo in esso i term'ini ax , ^t^ x ,-—^i^i*
rapporto ai corrispondenti x* , - s *' » — 3 " ** »
la riduco quindi alla
AT* jf* — j r* y -4- 4 jr4 jp — } il jr» = o .
Suppongo jr =r L *« , sostituisco , e ottenuta la
L4jif4«+*— 5 Lixif+i+aLx^-^^-ìaxi^zOy
cerco pei ( N.* 393 , 395 ) quei valori della « , i
quali sono atti a rendere uguali fra loro , e mag*
giori degli altri , due o più degli esponenti
4«-+-i, J« + 3 , «-+-4» 5»
Ora trovo essere due questi valori , e aversi per>
ciò «' = !,«"=: — , sostituendo pertanto, e can- cellando i termini di grado inferiore, dalla pre- cedente otterrò le due Equazioni
L-» X* — 5 L» ;f* - o , — 5 L» Jf» — 3 « Jf» = p; ma dalla ^ = L Jf* ottengo ancora . in corrispon- denza jr = L r , ^ = L Jfl ; dunque sostituendo nel- le rispettive Equazioni, ricaveremo x*y^ ^ 5 ;cJ^j = o , — 5 x>y» - ^axi = o, ossia y_5jr = o, 5j» + 3<»** = o;c queste saranno le Equazioni, a cui convertesi la data per la sup- posizione di Jr = 00 . . , n r» _
402. Si domanda quali termini della Z — o divengono infiniti dello stesso grado sotto un de- terminato valore della «.
Supponghìamo che si ritrovi « = -^j e sia que- sta frazione già ridotta alla sua espressione più semplice : ciò posto , i termini , che sì domanda- no, iodico esser quelli, i quali formano la serie
+ ec.,- e qualunque altro in essa non compreso dovrà nella nostra ipotesi diventare un infinito di grado diverso . Imperciocché sostituendo nella ( F)
invece della y il valore Lat*, tal serie diviene
ia'V + y L»-» + e V-^ + / L*-i* 4- ec. ) * *"^' , e in questo risultato tutti i termini sono eviden-
temente dello stesso grado -r + ^ •
Ci esprima Px-'yun altro termine della Z = o non contenuto oeila serie {F)'
(• . Poi*
Ì9X
I
Poiché per la ipotesi di jf = L at* , esso diven*
-r-hf
M PL^x. , se fosse un infinito dei grado is- tesso dei precedenti ^ dovrebbe risultare
•j -f.^ = j + f ,e quindi avendosi J^= y >
le due quantità f — S^^^'P dovrebbero essere equimultiple delje due /, i, e perciò avrebbesi q -^g^^nl ^ h — fzznk j rappresentando n un nu- mero intero qualunque • Ora da queste due' Èqua* zioni ricavo qz=zg'\-nl^ / = ^ — ^^- Dunque ri» sultando con la sostituzione Fx^ y = p jfi-*-*'y-**, verrebbe questo termine ad essere compreso nella serie precedente ; ma ciò è contro la suppposizio* ne • Dunque ec.
40 j. Determinare nella nostra ipotesi il valo- re del coefficiente L.
Supposto X- j yQ quindi pei ( N,* prec* ) con- vertitasi la Z = o nella ( T) = o , pongo in quesc'
ultima Equazione La:* in luogo della ^. Diven* tando essa perciò if^-
= o , la divido per '-x , e avrò così la (n)ii'L*-+-i'L* *-f-f'L*-**+/L*-3* + ec- = o, Equazione in L , da cui potrò avere evidentemen* te la soluzione del Problema. Poiché i è il gra«
do
39* do di quest'ultima Equazione , il^ saranno i vaio- ri della L.
Neil* esempio del ( N.«4oi ) , allorché «= i , dalla jf — 5 * = o si ricava L — 5 = o , e però
L = 5 , e mentre « = ^ , dalia 5 jf » + 3 rfx» = o
ottienesi 5 L» +34 = 0, e quindi L = - f* K y»
rappresentando (i una qualunque delle tre radici cubiche della unità.
404. Sciogliere il Problema del ( N/» 400 ) nella supposizione di x infinitamente piccola.
Ridotta, come nel numero accennato , la Z = o alla (Y), ove gli esponenti w, «", *»'", m\ ce, formino bensì una serie decrescente , ma gli altri
« > / » * • ce»
ec.
farmino tante serie crescenti, suppongo Jir infinitesi- mo; essa Z= o pel ( N."» 399) si cangierà nella illl), e fatto ^ = L Jf« , xjtterrò la ilV). Anche in que- sto caso quantunque nelle (I//), (/f^) vadano a. svanire altri termini, pure ne dovrà sempre ri*
manere più di uno ; imperciocché supposto jf = — ,
e sostituito nella Z = o, e nella ( JI/), queste diven- tano due Equazioni fra le jr , « , venendo la secon- da da essere derivata dalla prima per la ipotesi di £ = «0 . Ora, mentre » = 00 , T ultima Equazione
sul-
Ì9Ì
sultantc deve sempre contener più di un termi- ne ( N.^420 ): dunque la supposizione di z in«; finita equivalendo perfettamente air alrra di x infinitesima , anche in quest' ultima supposizione dovrà nella Equazion, che risulta , e però nella no« stra ( /// ) sussistere più di un termine • Ciò dun que essendo » pel ( N«^ 397 ) cerco quei valori del la ùù ^ i quali sono atti a rendere due^o più ter- mini della serie (/) uguali fra loro, e minori de« gli altri, e questi sostituiti opportunamente ci con* durranho,come nel (cìt. N.^ 400), e nel ( N«^ 401), alla soluzion del Problema.
Se la Z = o altro non sia che V Equazione pro- posta ad esempio nel ( N.^ 401 ); scrìtta essa » co* me qui sotto
(ax +x^ )y-+
(3 «*^— 5 ■^*)y H
a x^y +
— 5 4*^^ — 3 ax^
e per la ipotesi di x infinitesima ridotta in seguito alla
a xy^ +3 ^* ^y +4 jt^jf- 54*^4=0, e quindi alla
determino quei valori di et , che sono capaci di fa« re uguali fra loro , e minori degli altri due o più termini della serie 4 « + i , j «-+- 1 , «+4 , o . Ora pel (N.® 397. ) ritrovo avere ot il solo valore a ciò
opportuno — — . Dunque con la sostituzione avrò
4^ L^ a:® — 5 4* ^^ = o , e tornando a sostituire in luogo di L A-^ la ^ ci verrà V Equazione
d d d 4 X ^
= 0,
394 ^ jf y __ 5 4» ^4 — o, ovvero xy^ — j i< i< = o , e ♦questa sarà la richiesta dal Problema.
405. Nella ipotesi di x infinitamente piccola gì* infinitesimi dello stesso grado sì dimostra af- fatto, come nel ( N« 40 2), che restano tutti com- presi nella serie a x'y' -+■ h x'^'y"-* -4- * Jf '^* 'jf*"*' -^dxt+3*y^-3* 4-ec.i e il Problema 4el ( N." 403) viene scielto qui pure , come nello stesso ( N.» 403 ) .
406. Determinare quale diventi la funzione (T) per la supposizione di jf = L *« -t- *, essen- do « = -r •
Supposto L;c* =r pongo nella (r)Jn luo- go della y la quantità rH-*, e avremo il risul-
(a xt r* -irhxt^'r^'*'\'cxt**^ r*-**4-^Jf'+» V"»* 4-<r>:'-^*'r*-**-f-CC.) H-
e x'^^ ' f *-* *-' + (b—ik)J xt^i ' r*-J *-' + ec.) « +
/M*-i) , .-. ■ (b-k)(b-k-.iy ^(b^zkXb^^ik-i) ^,,., ^,_.,_.^ ^^y ^
(bXb-i)(b--\)^^, ^>,. , {b-k)(b-h-iXb-k-r) \ • 2. 3 i-3
> ;r'-^'/'*- *- » -f- ce. ^ *» 4-
> ec.
Col.
395 Colloco ora invece di r la quantità L^r", e a ca- gione di « = -r vedremo facilmente , che la ( J^)
si cangierà cosi nella
(tfL*4-iL*^* + fL*-*'+//L*-»»+rL*-'»»-f-ec.)
-+- ( i — 3 ifc ) i L*-» *-»+ ec. ) ;c(*-') *+/* +
(
i-3 x.g
* L*-*-» -t- €C. ) x( » - » ) « -^ < «» -f
cc.
e perciò , chiamati F , G , H , I , ec. questi coef- ficienti 9 essa (T) diventerà
F Jt* *+' -4- G *< *-' )*-^« « -hH *( *-» ) *-*■' «* H-
I;c(*-J )*+•'«» -+-ec.
407.^ 5iualunque siasi la Z = o ( N.' 400 ) , e qualunque le due quantità i, /, vedesi facil- mente, che può essa sempre ridussi alla forma
ddd 2
— o .
39^
^"' ;^"+*/y'-»»4 /" x«"*-^5'y"-'3*4- ec.
éc.
Per tal modo se a xf -^hf - f r*/ + dxf H-
sia l' Equazione data ; avendosi / = » » *' = 3 »
^'^ = o , i" = 1 , ^^ = o , A" = o , essa si ridurrà alla forma
Ora se venga richiesto di sostituire nella ( T/f) in luogo della « la quantità L x" + « , essendo
« = ■7-, fatta r operazione del ( N.® 4o5) , è
chiaro che otterremo T Equazione
=:o
(F*
= »»
397
(G' x(i'~ i)« +«' 4-G" x-{A"- 1)«-+-/-|-
( r r(*- J)*-^i' -f- I" ;r(* - Sì-^x" +
I"'x(A"'-J^«+r4-ec.)«»4- ec. in cui , apponendo gli apici opportuni , sarà
F = tfL*'-hJL*-»H-fL*-»*-+-i/L*-J»4-rL*-'»» {IX) rL»-»»-»+(A_3ifc)^L*-J»-«H-ec.
-H ^ * L* ' • -4- ce.
ce. , e se facciamo
b' X -H/ = ,r' , A" « -4- /' = n" ,V"ct +/" = «'",• ec. , la precedente ( Vili) diverrà
Ì99
(F';t'''+F";c»"4F (G'*»'"^-f-G"Ar»"-«+G"'
'" A-»"
)4-
III
+cc.)«'+-
— 1« ,
( X ) ( H' x^-^ « + H" a:^ -* * + H'" a:^'
ossia , chiamati Pi, Q^i , Ri, Si, ce. questi coefficienti della Uy diverrà (X) Pi + Q.1 i5^+Ri** + S i^^ + ec, = o.
408. Qualunque esponente della jt in P i , prescindendo dagli apici , vedesi che viene espres* so da tt; qualunque esponente della x in Q^i rap* presentato da 7r — <«; qualunque esponente in Ri^ S 1 , ec. viene rispettivamente espresso da ^ — 2 oc, 7r — 3 ^ , ec. , e in generale gli esponenti della x in tutti i coefficienti della (X) vengono indicati da w — /a, nascendo essi da tal formola,col fa* re successivamente /i = o , i , 2 , 3 , ec. , e col porre in luogo della tt i valori tt' , ir" , tt" , ec.
409. Facciasi nella (X) ^ = M;tP-h«j so$« tituendo ne verrà la Trasformata
(P 1 4- Q.I M jr? + R I M* Wh-S i Ms xi^
(X7) (Ctl^-2 R 1 M A-? 4-3 S I M* ;f»?+ ce.) » +
( R I + j S 1 M A-^ 4. ec. ) ** + (S i-f €C.)»»-^ ec.,
ovvero chiamati P 2 , Q^i , R 2 , S 2 , ec. questi diversi coefficienti avremo
Pi
= 0
399
(X/) P 2 + 0^2 « 4- R 2 2i* -+- S 2 »^ -+- ce. = O .
Poiché P 2 = P 1 -4- M Q^i ;tp + M* R I x^> ^- , M3 S 1 Jt?? 4- ec, dal ( N.^ 408 ) è chiaro , che r cspression generale dell* esponente della x in p2 sarà TT —fix-hft j3; e quando /i = o , da questa formola nascono gli esponenti della x iti Pi; quando /i = i , ottengonsi gli esponenti del- la X ih MCLijr?; e così in progresso. \.
Essendo CI2 = Q^i +2 M R i r<» H- 3 M* S iJf»^ + ec. ) in egual modo vedremo, che in questo coefficiente la x viene generalmente elevata ad un grado Tt — ifi -+- 1 )a-f-/i jS, Così in R 2 sì tro* vera essa x innalzata ad un grado 7t—s(ft + 2) cù-h-fi j3, in S 2 ad un grado 7r — (/i H- 3 )^-h fi^; e in generale in uno qualunque dei coefS* cienti della (X) T espressione del grado della x sarà TT — (fi +/ 2 ) a -^f i ^ ^ espressione , nella quale dovran porsi successivamente , e separatamene te in luogo di amendue le lettere fi^fi > nu- meri o , 1 , 2 , 3 5 ec. , t in luogo della it le quantità tt ^ tt , tt , ec.
410. Ponghiamo nuovamente nella ( X/ ) r=NAr'y 4-/; avremo la Trasformata .
(P 2 + CL2 N jtir 4-R 2 N» JT^Y + S 2 N5 jcS'V
H- ec. ) +
lll){Qj. 4-2R2NA-7 -4-382 N» ;r*7H-cc.) ^-
(R24-3 S2N;r7H-ec.)/* (S2-4-ec.V5 +
ec. ossia, espressi per P3, Q^j , Rjj Sj, ec. i
eoeffi*
:^ o
400
coefficienti diversi, si otterrà (X/I)P3+ClJ^-+-J^3^*+S3^*-4-ec. = o.
Cercando qui pure di determinare V esponen- te della X in uno qualsivoglia dei coefficienti : con raziocinio simile ai passati ( N.^ 408, 409) non diffi- cilmente vedremo , che V esponente della jt in P 3 viene indicato da tt — (fi -^-fi ) « +/ 1 |S +/a y , che un tale esponente in Qj è rappresentato da
w — (/iH-/2 + i)«4-/i /S + Zzy, in R3 da ^ — (/i-+-/i + 2)«+/i|J+/2y, in Sj da ^ — (/i+/2 + 3)« + fi|J+/2y, e general- mente in un coefficiente qualunque da ir— {fi -^fi +/3 ) aH-/c ^ +/2 y 5 attribuen- do, come alle lettere fi , /z { N.^ 408 , 409 ) , così alla/3 successivamente i valori o , i , 2 , 3 , ec« 411. Proseguendo in modo uguale a supporr re / = P x^ H- S , troveremo neir istessa guisa , che nella Equazion risultante (X/ÌÌ3P4 + Q.4S + R4S* +S4S3 4-ec.= o
i coefficienti conterranno la x generalmente ad un
grado TT - (/i +/2 +/i +/4)«-f-/i ì3H-/2 y + /3 ^ > essendo in P 4 /4 - o , in Q^4 /4 = i , in R4 /4 = 2 5 in S4 /4 = Ji ec.
411. Se proseguiamo a fare ulteriori suppo« sizioni simili alle precedenti, ne verranno sempre delle Trasformate nuove affatto somiglianti alle passate, in ciascuna delle quali gli esponenti del« la X potran sempre in eguai maniera determinar- ti , e avendo essi un andamento costante , verran
tutti
40I tutti rappresentati dalla forinola generale
(XJDw - (/i -^-fi-^fi -^fA-^fs + )« +/i |J
-h/2 7 H-/} J +/4 « 4- ce.
41 j. Sciogliere per serie 1* Equazione inde- terminata Z =/( r )( jf ) = o .
Liberata tale Equazione dalie radici uguali ( N.* jo6),supponghiamo,che sia prossimamente
{rr)J' = L** + Mjr(»H-NAnr + Pjf* -+-Q.#»-Hec. , e sia «>|S, ^>y, y>^,cc.. Se determineremo opponunamentÉ il valore degli esponenti « , /J , y , ^, « , ec, e quello dei eoeflScienti L , M , N , P, Q., ec, avremo allora sciolto il Problema. Poiché, qualunque siasi la x, qufsti coe£Scienti, ed esponenti devono evidentemente esser sempre gli stessi , se noi 4i determineremo in un caso par* ticolare della x, nel caso per esempio di x infi- nita ; è chiaro , che essi saranno ancora i medesi- mi in tutte le altre supposizioni anche mentre la X abbia valori finiti . Fatto pertanto at = 00 , e la • Z = o cangiatasi perciò nella (JI/), e la {XV) nella jr = L ** , cerco, siccome nei ( N.* 400, 401 ),
il valore di «, e supposto, che si trovi « =-7-,
e così la (///) si riduca ad una Equazione, il cui primo membro abbia la forma della ( F) , de* termino col mezzo jdi essa, come nel (N.**403 ), r Equazione iVI)i e quindi il valore della L^ ^ che chiamerò L' . Avremo io tal modo il primo
•teimine Lx^^L'x^^ e resteranno nella iXF)à'
e e e C9-
40» conoscersi 'i coefficienti , e gli esponenti degli al- tri termini M r?, N xT^ » Px', ec.
414. Determinate le quantità «, / riduco la • Z = o alla ( ni ) ( N.» 407 ) , in modo che posto Lx« in luogo delli ¥ risulti b' »-^g'>b" x-^g" , b"et-hg" >V"k+g" , ce. , e supposto iXVt) M xf -hN;rlf + P x* -4- ec. = « , onde la ( XV) divenga ^==L:r*-l-*, colloco questo valore in- vece dell* y nella (ni) . A cagione di «= -p
essa ( n/ ) per questa sostituzione si cangierà nel- la {Vili) (N.*'407), e però nella (X),ove itt
luogo di L, e di » dovran porsi i valori L' , y ,
ed ove a cagione di L' radice della ( n ) ( N.» . prec. ) , e di F' = «' L'*' 4- h' L * "» -+- .' L'»'" *» -t- / L* -3» _l_ ec. (N.« 407) dovrà mancate il ter- mine F' jc*'*"^* = F' ** . ^ ^^
415. Supponghiamo per ora che la ( FI ) non abbia che una sola radice = L' . In questa ipotesi non potendo pél ( N.^goj ) essere j'a' L'*'-. ^_ (i'- jfc )t' L'*'-*- x^- ih' -il) eX'b--% *- 1 -f. ( *'— j i ) / L'*'- » *-' 4-ec. = o , vedesi che' nella (FI li), e nella (X) dovA ne- cessariamente sussistere il termine G'x(*~*J*-^« = G' **"•*■; non possiamo dire lo stesso de|^i altri termini , potendo benissimo uno qualunque, o più di essi svanire dalle Equazioni . Avvertad
* però , che mentre non sia esattamente j = L' *• -jf f
non
non possono tutti tnanctre in una tolta i termi, ni, che nella ^X) compongono il coefficiente PI; imperciocché, se ciò fosse, il primo membro di esl «a(X)ri$ultan(ip divisibile esattamente per *,an« che il primo membro della data (,P7/) sarebbe di- visìbile esattamente per j> -L' at *, e quindi avrem-
# I
mo y =>perfettamente ad V x *.(N.» ai);]! che presentemente supponghiamo che non sia.
4 16. Venendo pertanto alla determinazione del- le quantità jJ , M , y , N ,^ , P , ec. , e primieramen- te a quella di jS ; facciamo di nuovo x infinita . A cagione di ir' > w", w" > w"',ec. (N.* 414,407), stando nella prima fila deJla {X) i\ solo termi- ne F'' *»' ( N.« 399 ) , nella seconda il solo G' A-*-**, nella terza il solo H' ;«•»'-*««», ec. / tale Equazione ^jliventerà F" ;if»"-|- G' x»-« * + H' jf»'-»* «» H-IV-J « «» 4-ec.=o; ma per la fat- ta supposizione la ( Xri ) diviene m=:Mx^; dun- que sostituendo otterremo (XnO F" X*" + G' M x*'-* + # -f H' M* A^-* « + 1 ? 4. 1' M» x^'-i « * > ^ H- ce. = o . Ora col paragonare tecordo il (N.«»g9j) gli esponenti di quest* ul- tima Equazione , per |S trovansi i risultati »"— ir'-H* «"— ■jf r' — w .
-»-_ ^. a j — _ j_ ^^ ^c. , dei quali per ei-
•ere ir > tt ee. , il minore. di tutti si è il pri- mo . Dunque pei ( Numero 398 ) dovrà essere
^=w" — jr'-4-«.
ece a 4,7.
40*
417* P*' vedete se fi può ivèrc altri valo- ri , paragono il secondo esponente «* - « + /S con gli altri, che seguono (N.«»j95 ). Ora o sussi- ste il tennine'H'M*;r»'-»«^*f , a no; se sussi- ste , pel valore più piccolo si trova ^ = «; se no, sussistendo per esempio 1* altro , che segue H" M* ;r*"--**-^»P, si trova pel valor minimo
^ = ■ + X • Dunque jS non potrà avere al*
2
trt) valore che il precedente w" — ir' -+■ oc, poiché se ne avesse qualche altro , questo dovrebbe es* sere od =:(X9 come nel primo C9so, oppure pel (N.*4i4 ) >at> come nel caso secondo ^ e fiat* tanto deve essere sempre ^ <»{ N.® 41 3 ) .
418. Nella ipote^^ di x infinita la precedere
te ( XVil) diviene F ' x^'' ^G'fAx^'-o ( N •
i99): dunque dividendo per Jt*% avremo F"H-
p" G' M = o, e però M = — — , onde sarà
419. Se nelk (r///), (X) oltre F' = o (N.* 414) fosse aneora F" = o, F" = o,ec. ^e il pri- mo termine , che sussiste ^ fosse per esempio F"" x^""^ kk egual modo, come nel ( N.^ 41^)» troverebbesi § avere il solo valore tt"" — tt' + oc , e troverebbesi
420. Passiamo alla determinazione delle quan- tità 7> N nel termine NxYjC prendiamo perciò
V E-
4^1 r Equazione. (X/). Dati alU M,ecl alla fi i lo- ro valori determinati nei ( N.^ prec.* ), nel cocflS- dente Pt si elideranno tosto oel ( N.® 418 ) i due termini F' x^'+ G' M x^'-^+P; e' gli altri , che res-' tano y o Sì distruggono tutti ^ cosicché risulta P f = 0, o no. Nel primo di quésti casi divenendo la (Xf) divisibile esattamente per z^, la ( X) lo sarà esattamente per u—fAx^^ e avendosi quin- di u=Mx9^ dovrà essere esattamente jr = L x* 4-Mx^ » terminando la serie con questi soli dve termini . Che se non risalta P 2 = o , supponghia- mo ) che in esso P 2 il primo termine , che sus« aiste, abbia rapporto alla x V esponente tt'" -/i' oc ^fi^ (N.^40^), e chiamiamo questo q)'. Iti Q^2 essendo G' x^''^ il primo termine ( N*** 415 ), 7t\ — X sarà il primo esponente ; e per considerare la cosa in generale » il primo esponente in R 2 sia tt" — (/i"-+-2)«+/i"|J, in S2 sia 7r^'-(/i'"-h3)«^/i'"/5. ec- (aVN.<>409). Ciò posto , facciamo x* = 00 , e pongasi quindi in luogo della % il valor, che risulta NyY: daf termini , che per questa supposizione , e sostitu- zione rimangono nella (XI) ^ vedesi che otterrò*^ B10 la sene di esponenri (p' , tt' — « + y,
ir"-(/i"+2)«+/i"^+2 7,^'^-(/r+3;^ «-+-/! "|3 + 3 y, ec. . Ora da quesri pel valore di y ottcngonsi pel ( N.«> gpj ) i risultati
2 z ^2
4* '^ \ 4-«, ec^^e fra essi a cagione del*
5 la
40jf
la serie tt' , ^r'^VV, ce. decrescènte, e di «>/J ( N-* 414, 413 ) il minore di tutti è il primo: dunque sark y =«?>' — '^^ + Jt • Come poi nel ( N.* 417), si dimostra, che 7 non pu5 avere, che il solo valore ^' - -tt' -h^a .
42 1« Attribuito alla 7 il valore ora trovato ^ nella solita ipotesi di x infinita la ( X/)5Ì- ridur- rà alla Bx-f' -V G'Njrf' = o, chiamatoB il coeffi- ciente del primo termine , che rimane in P 2 , e
però avendosi B -f G' N = o , sarà N = — — , e
B . I per conseguenza N 4fif = — — ^t -» "^*.
422 .Portandoci al termine P jr*, colloco nel^ Is (X//) in luogo della N, y i loro valori ( N.' 420, 421 ): nel coefficiente Pj svaniranno per- do i termini B xi 4- G' N x^-^^ ( N,* 42 1 ) , e gli altri, come si è detto nei ( N.* 415 , 420), o renderanno P 3 = o , o no • Nel primo di questi casi la' (X//) potrà dividersi con esattezza per/^ e pfrò anche la (XJ) per i& — N;rT, onde aven- dosi j6 = N jrY , sarà esattamente ^ = L Ar« H- M jc^ + N;rTr-
Che se P j non diventa zero; T esponente def^ primo termine , che sussiste in P } , %\% per esem« piotr'^-(/i'+/2')«+/i'^+/2'y(N^4io), che per brevità chiamerò 9'' . Io Qj il primo ef« ponente già sappiamo essere 7r' -^ « ,* in R 3 sia ^'"-(/i"4-/2"H-2)«+/i"/S4-/2>,inSj
407
ec. Ponendo x infinita,© però / = p4f', dalla {XII) avremo la serie d* esponenti
+/i"|S4-/2"y-4-2d',ir'^-(/i"'+/2"'+3) t+ft"'^-^fi"y-\- 3 ^, ec.,e quindi per i" ri- cavandosi i valori
»".-ir"- ^ fi>-(o^-.^) ^ fi"'{x^y) ^ ^^ ^^
dovrà essere d" = (p" — w' + «, poiché tutti gli al- tri valori sono maggiori di questo . Come poi nel ( N.» 41 7 ) , si dimostra che ^ non può avere che questo solo valore . *
423. Chiamato C il coefficiente del termine , che nella ( XII ) contiene jf< ( N.* 422 ) , in con- seguenza della supposizione ora fatta, essa iXtt) si ridurrà alla C *?"+ G' P ;ff' = o , e però aven- dosi P = — §;, sarìiP*' = --Q;*«^-''^'»v
424. Proseguendo lo stesso raziocinio potran- no cosi determinarsi tutti i coefficienti, e gli es- MMienti ulteriori; e ciò fatto, la serie degli espoj Snti sarà la seguente «,/3=w" — w'-h«,
y ^' — «'+«, ^ = ^"-w'4-« ec., essendo
^" = w"-(/i'+/2')« + /i'^-4-/2'y,ec. Col sMUtuire pf rtanto questi valori , avf ndosi la serie
.4ot /
y = «-r Jr') -h/i''(7r"-w') 4-~.
^ = (»"'-w')-h/i'(»r"-n')+/i'(ir"'-»r')
ec. Tedesi , che » dalla formoU generale
-!-/''(«'' — w') + ec. aver potremo fl valore tdi tutti gli esp/bnenti «, jS , 7, ^, ec. coli* attrt- buire successivamente alle quantità/'-, /",/''',/'*» ec. ì valori 0,1,2,3, ec
425. Data pertanto i* Equauoqe Z = o, e con la sostituzione di jr = Lr* determinati i valo- ri dir de, e di L (N* 413 i 414)» e quello per conseguenza delle quantità »r',>?r",'»f*">w'%ec. (N.* 407, 414), trovo le differenze it' — w", ir' — w'", ff' — ir'" , ec. sottraendo dal massimo esponente ir' gli altri tutti ir", ir"', ir'% ec; quindi dalla quai^ ' tità « sottraggo la prima differenza ir' — ir", repli^ candola successivamente le volte 1,2 ,3, ec. d« questi risultati compresavi oc levo in seguito la dif- ferenza ir'— ir'" ripetendola succetfìvamente lestes* •e volte 1 , 2 , 3 , ec ; proseguo dà questi ultimi ter- mini a togliere la differenza cer^ «-'— >9r"conre-
pli-
4^9 plicarU in egual modo le volte x , 2 , 3 » ec, e co- si operando in progresso vedesi dai (N.* prec.)f che verremo a determinare la serie di tutti gli es* ponenti iS,^ , J* , ec.
^ Affine poi di conoscere i coefficienti della (XF),
o ci -serviremo dei metodi esposti nei ( N.* 418, 4>x«4Z3 )»dat quali apparisce , che nella nostra supposizione (N.*4i5 ) tali coefficienti non sono mai che tante funzioni razionali dei coefficiente L'> e perciò tante quantità reali, o immaginarie» secondocchè essa V è reale , o immaginaria : op- pure ci serviremo del metodo dei coefficienti in- de«urminati col sostituire nella Z = o la quantità LA«-t-Mjr^-+-Njft-l-Pjr»H-ec in luogo deUa f nella seguente maniera.
(XJJf) . 4x6, Sia *y + x^y 4- ««^ — i» =: o 1* Equa- 2Ìone data a sciogliersi per Serie. Ridotta questa pel ( N.*> 400 ) alla
— *i
C colla ipotesi di xrzco, avutane la x^ -\' x* y-~h} ^= o , suppongo jf = L ** ( N." 41^), sostituisco, e dalla L* *>»«-*-» H- L ;r«+* — i» = o ricavati gli es- ponenti 2« + i>« + 2,ocol loro mezzo ritro- vo pei ( N.* 4904 401 ) avere la » i due valori 1 , — 2, onde SI à «' = i , «" = — 1 • Teniaro con- to per ora del primo oc' = 1 . Avendosi quindi
fff T
= o
410
I y
-— = I ( K.» 402 ) , e però /= 1 , i= I , ed es- tendo xy*-^x*y i termini della data, che per qiiesto primo valore della » diveiigonQ irifìnfti di maggior grado essendo «*j>, — ^' gli altri succes- sivi , scrivo pei ( N.* 407 , 4>4 ) ««sa data, come qui sotto ■ * (
— i»
facendo / = 1 , i' = 2 ,/' = © >*" = " >/" = <>» 4" =0. Avremo dunque V = /&' «-t-^'= i+2«g, ,r" = i" « 4-/' = I , ^w'" = y"»-^-g" = o ; e poi- diè ne viene t' — w" = 3 — 1 = 2 , »r' — w'" — j — o = 3 , ed abbiamo «' = i , pel ( N • prcced. ) la serie degli esponenti verrà compresa nei nu- meri ,
I, — I, — 3» - 5>'ec.
— 2,-4, — 6i — 8 , «e.
— 5» — 7» — 9» --'« > «•
— 8, —IO, — i2y — 14, ec
ec. ec. ,
e quindi, scrivendo pel (N.**4i3 ) tali esponenti secondo 1' ordine della, loro grandezza , sarà ^ = L ;r -+■ M ;r-'H- hJ ;«•-* -4- P A--5 -^ Q.Jf-'* + R :if-5 + ec. . Ripongo ora nella {XIX) invece della jr questo valore > e risultandoci
41»
jt/ = L* ;c» -f- 2 L M Jt + 2 L N H- 2 L P;f-' 4-
2 L Q.;r-* -f- 2 L R *•-' + ec.
+ M* ;c-'-t- 2 M N 4r-*-t- 2 L P *-J + eq,
+ N»x-34-cc. x^y=Lxi+ M Jf -4- N H- P *-»4-
4»_y = ha*x-h 4-M<i»jf-'4-
N tf • x-»+ P <i* V-» + ec. — *»= —il
pel metodo dei coefficienti indeterminati ricaverem
fé i£quazioni
L* + L = o , 2 L M + M 4- L** = o ,
2LN + N-*»=o,
(IX) 2LP-^-M*^-p^-M4•=o,
% LQ.+ 2MN + Ct4- N <«* = o ,
2LR + 2LP4-N'-f-RH-P<»*=o, ec
Ora da queste si ottiene
L =— 1 , M=i— 4» ,N = - *» ,P =o f 0.= <»* *» » R = i«, ec.
Dunque sostituencìo avremo prossimamente a* hi a^bi b*
-^ X X* *^ X»
427* Passiamo ali* altro valore «" = —14 In questo secondo caso avremo -j- = —- 2 ; e pe- rò /=-*,*= i, e la (XJX) dovrà pel (N.* 414) disporsi, come qui sotto
fff 2 x*y
/
O i
4^1
«*^
avendosi / ^ 2 , ft' = i ,/' = i ,*'' = » > g^^'" =0, ik"=:i . Poiché dunque si ricava w'=i'«4-jr' = -24-2 = o,w"=r«-+.^" = -44- i = -3, 7r"'=Ì"'«+/"=-2 , e però V - w" = g , ir' - w" = 1 , la serie degli esponenti in questo secondo caso sarà
— 2, — 5, — 8 , — 1|» ec. • —4, — 7, -^ IO, — i3,.ec.
-6, - 9, — 12, — 15 ,ec.
— 8 , -.* 1 1 , — 14 » — 17 > «e»
ec.j
e fMlà «vreino
y =rL*-* -H M *-♦+ N AT» + P Jf-*-h Q.*-» -4-
R*-« 4- ec, sostituisco nella data in luogo della y questo va- lore , rinnovo il calcolo precedente , e ottenendosi L = *«,M=i — «•*»iN=-**,P = 4^^»,
0.= 3 4» ^* , R = 2 ^ — 4*ì^» , ce. sarà prossimaménte
-^ "~ X» X* "" xT ■*■ "x«" "^ x^ "^ X*
-t--ec. -i*
428. I due valori ora trovati ci daranno per
serie i due valori , che aver deve la y nella ( XIX ).
Osservando fra le ( XX ) la L* -h L = o , veggo
che da quesu si à non solo L = — i > nia anche
L =
^ fc
4'3.
L=o; a che dunque servirà questo stcondo va- lore? Io sostituisco nelle stesse (XX), e aveodosi" quindi L=o,M = o,N=** , P = o, Q,=i - 4» *», R = - ^ , ec. , il valore della y «uppotfo nel ( N.*
415 ) diverrà = -j^ — ^"*" !^'*' "'» "* ^"«to non è che il valor della jf ottenuto nel ( N.* prec.)* Dunque il valore zero della L -equivale air altro di «"= - a (N* prec).
439. Passiamo presentemente alla flupposizio* ne , che \z{Vl) abbia due radici =: L' ( N.* 41$)* In questa ipotesi è chiaro dalle (IX), che avre- mo tanto- F' = o , quanto C = o , ma non essen* do tal radice L' ripetuta nella ( TI ) ^e solo due volte, non potrà già essere H' = o. Ciò posto» e fatta x= 00 , sostisuiscasi nella (X) la ^utAiiti» M x^ in luogo Mella «: mancando nei coefficienti Pi , 0,1 ( N.» 407 ) i termini Fap**, G' *»'-«, non si potranno dalla sostituzione aver gli espo- nenti ir', 9r' - « + ^; roa nel coefficiente Ri » esistendo necessariamente il termine H' jr»'— •*' , vm sulte rà da esso 1* ^ponente n' — 2«4-2^» Sup- ponghiamo pertanto, come nei ( N.^ 419» 420» 41 2 ) , che là serie dei primi esponenti , cioè degli esponenti di questi termini, che sussistono nella ;^ (X) alla ipotesi di «=00, sia la seguente TOir',V"~« + ^,ir'- 2«4-aiJ,w"-3« + 3lJ> «" — 4« +4 ^ , ec. Ora ricavandosi da questi per
evalori jr''-w"'+«,Ì-Il^ + «,T-~^+.«
4M • •
-f « j ec; veggo che il secondo 1-«
è minore di tutti i susseguenti ; e può essere iosie* me , o minore , o maggiore , od uguale al primo r^ — ir'" 4- d( . Dunque la presente supposizione dìL' radice doppia della (VI) ci conduce a del- le conseguenze diverse dalle ottenute nel ( N.<* 417), e quindi meritava d* essere distinta dall' ipotesi del (N.°4ij).
430. Sia primieramente ' +«<7r -w +«,
pel ( N.* 398) avremo ^ = ■ + « . Paragooan*
do poi in C^^^) il terzo esponente eoo i sus* seguenti » veggo , come nel ( N.<* 417 ) , che per |S iKyi si ricava pi^ alcun valore opportuno.
■~ tt' tt'
2.* Abbiasi — — ^ — h « > w" - w'" + « , ne ver-
ri ^ = tt'' ~ ir'" 4- « ( N.«» 3 98) ; ma paragonandoli secondo degli esponenti ( XXI) con gli altri , che se- guono, ottengonsi per /3 i risultati ir'"—- »'+«« ^/''—Tr*^ .
-r-^ h « , « , ec. . Dunque'^avtndòsi il primo
di questi < «, potià essere ancora ^ = ir'"— »'-+-« ( N.** 395 ). Anche in questo secondo caso si ve* de, come nel ( N.« 417 ) ,clv ^ non può avere al- tro Viilore fuorché i due ritrovati.
ir*— ir' 3 .' Sia finalmente — — . h- « = ir"— ir"'-f-«, ri- sulterà /S=3ot^-."'h-«, e troveremo col solito
cai»
.415
calcolo (M.<*4i7) non potersi ^àce alIa/Soppoi> tunamente altro vajlore .
■4U« Cercando ora di determinare il coeffi- ciente M ; osservo che fatta la sostituzione di M x9 in vece di u in tutti e tre i casi precedenti la ( X ) si convertire infine nella
Vilt)r Jc'V G'" M x'"-^^^ + W M» *'^"*-^P= o .
Ma allorquando ^— -{-et ( i.*caso), la
( XXII ) diviene F' x*" -t- H' M^x*" = o , e quin-
di si àF'+H'M*=o,M = ±V' — ^.Dunque ntl
primo caso la quantità M avrà un doppio valore,
»'— »' _
e perciò essendo M jtp = 3i x .* v' — u» "'^
— ' * \/ — -jp^-V — gr , potrà
essere M jf^ tanto = 1/ ■ — ^ , come =
i.® Facciamo successivamente j8= w" ** «'" 4- «,
(S = «'"--«' H-« ( 2.0 caso N.» prec.'5 i dalla( XX/I)
ri otterranno in corrispondenza le due Equazioni
F'-+G"'M = o, G'"H-H'M = o. Dunque rica-
F^ C"
vandosi M= — ^, M = — |jr> pot» essere
M;r>
3.0 Abbiasfihfiìic jJ = w"- 7r"'+«= — —: + «
{ j.» caso N» prcc); dalla iXXII) tisHÌtnnào E:%- G'" M 4- H' M* = o , la M avrà i due valo- .rì, che si ricavano datfa sol uaionc di questa Equa- zione: dunque, chiamati questi M', M", i due tisultati M'*»-»"-^«, M" jr»'^-»'"-^* quelli ^ran* no, che ottiene M x* nell' ultimo dei aosui tre
casi*
432. I due precedenti valori M',M" posso- no essere disuguali, ed uguali fra loro. Se sofie disuguali , saranno ancora disuguali fra loro i due risultati M'jr*-»''-^*, M" *«-»"'+« i ma se quel» li sono uguali, riesciranno tra loro uguali anche questi, e pet Mx^ non si otterrà che un solova-
h>re .
433. Il valore, o i valori della ^, che str- vono al presente caso , sono diversi dall' accenna* to nel ( N,<».4itf ): dunque neppure gli espòhen- ti ulteriori r> ^» «e. avranno pqL(N.» 420,412, 424) i valori , che dipendono dalla formola gcne- lale ( XVIII ) , e per conseguenza non potrò for- mare la serie Ljf«+M;r^H-N jfYH- ec. , e sos-
. tkuenèola nella Z:=o ipvece della jr , determina- re, come nel ( N.** 4x5), con l'ajuto dei coeflfi- cienti indeterminati il valore delle quantità M, N , P , ce.
434. Dovendo pertanto ricocrere ad altro mez*
*
zo y supponghiamo , che col metodo dei ( K/ 416 y 418 ) siasi già conosciuto il valore della L » e dell* it; e supponqhiaino che siasi trovato accader^* sul termine Ma? il primole il secondo dei due ca- si precedenti ( N**^ 43 1 ) » od anche il terzo nella prima supposizione ( N.^ 432 ). Acquistando per- ciò M jrC due valori , chiamiamo M' x^' uno di es- si , e giacché quello y che di uno si dice , dicesi pur anche dell' altro , fermiam T attenzione sul valore M'xf. Avendosi >^- M''jr(*'-4-N jrtr + P;r' -H^ec, potrò rapporto alla (X), ed alla (XVI) fare gli stessi raziocini! , che si fecero nei ( N.^ 4079 4139 414) rapporto alla Z== o, ed alla (XF'), mentre la {VI) non aveva che una sola radice = L'^ e quindi scritta la ( X ) , come giu- sta il (N.^ 4M) si ^scrisse in (F//) là Z = o, sostituisco in essa M'x^'-{'Z in vece della Uy e nella Equazion, che risulta , chiamo 9'» 9", f'\ ec. i successivi esponenti della x y siccome tali es- ponenti nelle (T///), (X) chiamaronsi tt', n\ ^"', ec; e rinovati gli stessi discorsi dei (N.* 416 y 410 y 422 , 424), troveremo, che
^iiiD^-H/ (p"-p')-+-^"(r-p')+r (r- ?')+•
ec. ci esprime la forinola generale degli esponenti ^' , 7« ^, ec. , e troveremo , che i coefficienti N , P , ec. si determinano dalla M' per tante Equa- zioni del primo, ^rado •
Ciò dunque essendo , determino , come nel ( N.* 415 ), dalla iXXIII) il valore dei successivi es- ponenti §' y y, ^ , ec, sostituisco nella (X)/in luo* g g g go
= o
4it •
go della u ]a quantiU M' r?'4-N *y + P** + ce, e operando, come nel ( N.*» 425) ,col metodo dei coefficienti indeterminati avrò il valore cercato del- le quandti-M, N, P ,'eci
4)5. Venga ^ta i* Equazione:
Ridotta essa pel (N.<*4oo) alla
col supporre x:=.vì ^ ne formo la x^ ^ — ^^y 4-'9 jf» =0 , e ponendo /= L *« , lai L* ^**'*'* — tf L ;c*-*'* -4- 9 -^^ = o , da dove ottenendosi « = x, ricavo la L* — 6L4-9=o. Ora amendue i va- lori della L , che si ^nno da quest* ultima Equa» zione , sono = 3 ; dunque , onde determinare le quantità M , |3 , N , y , ec. , non potendo pel ( N.« 4J3 ) servire almeno per ora il metodo del ( N.« 416 ) , pongo «ella data L Af* 4- « = 3 * + * in luo- go della y ( N.« 434 ) , e avuto pel ( N.« 407 ) il risultato
(— i7Jf4 + i5 4f*--<»4)
(XXn (— I8;f»-+-x*•)«-4- ( x\^ 3 ;?• ) »* faccio qui nuovamente .x'=r: eo, e nella Equazione
— 17 ;t4 — 18 Jf' «-f- *3 «* = o , che se ne ottiene, sostituisco M x^ invece della u . Avendosi perciò
— 27;^* — 18M JT? ■*-' + M» x*fi-*-i = o , trovere-
mo
=r o
= o.
419
mo essere /? = — » ed M* — ■ 27 = 0 , onde
Accadendo quivi il primo dei casi del ( M.* 4^0 )
ricorro pel (N.** 4^4) ai coefiicieati indecenoina-
ti, cercando di trovare in prima il valore degli
esponenti 7 , ^ , ec. Ridotta perciò la ( XXF) alla
jf 3 «» — 2 7 jf *
•— 3 jf • «* H- 1 j jf > -+• j**#
e fatto su di questa Equazione un calcolo somi> gliante agli esposti ( N.' 407,414), troveremo
che deve essere p' = 4 , p" =— , p'" = 3, p'** = -^
f ^=0 ( N.* 407 ) , e quindi riponendo nella (XXIIO gli opportuni valori, troveremo, come nei (N> Hió 9 427 ) j che la serie degli c^onenti domandati è
la seguente -L,q,-Ì.,- ,,-.1,-2,-1^
— 3 9 ec< . Colloco pertanto in luogo della u la
L * _JL " _L
quantità M **-f-N-+-P;r * + Qjc" +Kx''* ■+- S X-* -+■ ec. nella ( XXF) , e trovate, come nel ( N.» 426) , le Equazioni M*- 27— o, 2M N- 18 M = 0, 2 MPH-Ì^* — 3M»^i8N ^- 15=0, 2 M Q.-f- 2 N P - 6 M N — 18 P-4^ j M = 0 , 2MR + 2NQ+P»-5MP-3N»~i8Q.-f jN = 0 ,2MjH-2NR+iPQ.— 6MQ.^<?NP —
ggg2 I«
4»o i8 R-4- 5 P=; o , €C. ;da queste ricavo M =3: j \^j.
Dunque sarà « = it 3 y^ 3 Jf 4- 9 ± T^fT "*"
j^=^Ì7^3-;-t-^=tee., e per conseguenza le radici della (XXIF) saranno
435. Si verifichi la seconda supposizione del terzo caso (H.'*43t ): accadendo in allora evi- dentemente alla M , ed alla C-^ ) quanto nella i« potesi del (N.*429) si è asserito riguardo mila L, ed alla Z=o; non potremo per la determi- nazione delle quamidk 7 > M , j" , P , ec. servirci del metodo indicato nel (N.'*434); ma con ver» là sostituire nella (X> invece della u la quantità Nx'y +s, e dalla (X/) determinar prima 9 come si è indicato , 1' esponente 7 , e gli altri poscia
J, ec. Egualmente rapporto ad Nx'^ o trovere* mo due valori diversi , come nei casi i.* , e 1.* del ( N.** 43 1 ) a e nella prima supposizione del caso
421
j.^ ( N.® 432 ) 5 o troveremo, come nella supposi- rione seconda dello stesso caso j*^ sUn valor solo.
Se troviamo pel termine N x^ due valori diversi, determinati dalla (X/) riguardo a ciascuno d' es« ti ,come nei ( N.* 425 , 434 ),gli esponenti succes- sivi ^ , ec, potremo per la determinazione dei coef* ficienti P , ec, usar nuovamente il metodo dei coef- ficienti indeterminati , ponendo nella {XI) inluo^
ga della % la quantità P Ar'-h ec. : che se troviamo
per N x^ un valor solo , allora bisognerà di nuo* vo riporre ncUa (X/) in. luogo della % la quan*
tità ìix^'+tj e proseguire avanti sempre il me* desimo raziocinio*
437. La jF nella ipotesi del (N.^4?^) cor- rispondentemente al doppio valore della L è chia« ro, che deve aver due valori « Ora supponendo la Z = o liberata pel ( N."* 413 ) dalie radici ugua- li > questi due va tori devono . essere disuguali fra loro ; dunque anche la serie L:r^-+-Mxf-+-Nx'7 4-Pjt*-hec. dovrà avere due differenti valori, e dovrà per conseguenza p presto 9 o tardi vbiforcar- si. Dunque la seconda supposisdone del caso 3.^ (N^ 432 ) non potrà già aver luogo rapporto a tutti i termini successivi Mjt?, NjtY, P^', ec. ;, ma dovrà avere un limite , e supponendo che si fermi al termine per esempio P x^* , gli esponen- ti, e i coefficienti dei termini, a questo ulteriori si potranno sempre decenninaj»| come nei ( N»^ 425 , 42^ > 427, 434) •
42 2-
43^* Supposta L' reale I vedesi, che nel 2.* caso del ( N.^ 4go ) i valori di M x? sono amen* due reali, e quindi pel ( N*^ 434 ) sono reali tur* ti i termini di amendue le sene , che ne deriva* no • Ma nel i.^ , e nella prima sapposizione del ' 3.^ caso possano i due valori di M x? essere im* maginarii, e allora pel cìt.^ ( N-^ 434 ) i termini del» le due sene diverranno immaginani . Nella suppo- sizione seconda poi del 3.® caso ( N.^ 43 2 ) vede- si /che il termine M;rf sari reale , e vedesf^ che non potremo giudicare , se le serie , che ne ver- ranno,(siano per avere dei termini immaginarli, se non al punto della biforcazione (N.® 437 )♦ Finalmente chiamata temimmaginaria una quan«
tità, come la \/ — ax^ ^ la quale è immaginarìa, mentre si prende la x con uno dei segni , nel nò- atro esempio col segno + , e diventa reale, quan* do la X si prende col segno contrario, nella no* stra ipotesi col segno — ,- apparisce dal ( N.^ 43 1 ), che nel i.® soltanto dei nostri casi (N.^ 430) può il termine M x9 essere semimmaginario , e che per conseguenza la nostra serie può contenere tali ter* mini soltanto nel caso i.*^, e nella seconda sUp* posizione del 3.** ( N,^ 432 ). L* esempio del ( N.* 435 ) ci dà due serie con^ termini semiromaginarii • 439. Abbia la ( K/) trie radici = L' ; risultane do perciò nella (X) F':=:io, G' = o, H' = o, e non già* r = o ( N«^ 154); supponghìamo ^ che , fatto x^:z 00, e posto nella ( JC) Mx^ invece di u ci risulti
42?
= o. Dai].^ serie degli esponenti
\nni)n'\ tt"' --ìx-H|3, tt" — 2 ^ + 2/3, tt' — 3 (t+3 /J, ;r'' — 4 a H- 4)3/^. risultando^ pei- valori della § le quantità
'■ + 0^ ^ ec. , supponghiamo in i.^ luogo , che
la prima tt"' — 7r'"4-at sia minore di tutte le al- tre; proseguendo in tal caso a paragonare il se- condo degli esponenti {XXVI) con i successivi 9 troveremo, che |3, oltre il valore w"" — y 4- « potrà avere anche gli altri due 'n'" ^—'n* H-of ,
tt" — ir' + flj , oppure il solo ■ " h ot .Sia in
2.^ luogo tra le quantità ( XXFIII) minima la se* \ conda — — -+- « ; in tal caso oltre questo va-
\ lore troveremo dagH esponenti { XXVII )y che J non può avere che T altro n" — Tr'-i-at, 3.^ se &•
nalmente ' -+- a sia minore di tutte le al- tre quantità ( XXF7/I ), vedremo dalle (XXFI/), che ^ non potrìl avere, che questo solo valore « 440* Nella prima supposizione del i.^ di que- sti tre casi , è chiaro , che la ( XXVI ) si cangie* là in corrispondenza nelle tre Equazioni F''^^'''
4M
= o , H" M* ;r3»'-^ + l' M^ ;r3^W = o , e quindi per M avendosi le tre Equazioni F'' -f G" M = o, G"4- H" M = o , H"H- r M = o , il termine M jtP avjà tre valori differenti fra loro, e tutti reali •
Nella supposizione seconda del i.^ caso dalla ( XXP"! ) otterremo nella stessa n^aniera per M le due Equazioni F"^+ G'" M = o , G'" -4- V M* =o, dalle quali sr vede , che W ;tP otterrà tre valori diversi, il primo sempre reale, e gli altri due o reali , o immaginarii, o semimmaginarii «
Nel caso 2 *^ ottenendosi per M le due Equa- zìoni F"+ H" M* = o , H" H- r M = o , verremo alle stesse conseguenze della seconda supposizio- ne del caso i.^ .
Nel caso g.^ finalmente T Equazione in M sa« rà F"' -f r M^ = o , e per conseguenza dei tre va* lori di Mx? uno sarà reale, e due immaginarii. 441. Può succeder qui pure, come nel ( j.* N.<>432), che i primi due dei iXXVllI) valori siano tra loro uguah'; in allora oltre il valore nf" -- 7t'" -\-x Otterremo per /5 V altro w" — ir'" H-a, e quindi la (XX^i) riducendosi alle due F" AT^'^ + G'" M jc'"' + H" M* ;r'" = o , H" M* ;r3T''-i^'+ j' m^ xs^"-^^' = o , avremo per M le due Equazioni F"H-G'"M +H"M* = o, H" H- 1 M = o . Così nel primo caso del ( N.* 439 ) P^tfcbbe darsi , che fosse tt'" — it" -+■ «
= h « j e allora per M si avrebbero le
due
4*J
due Equazioni F'^-G" M = o , G"' + H" M H- r M* = o . Fioalmeme potendo essere tra loro u- guali tutti e tre i primi ( XXVIII) valori , in tal caso la ^ non avrà che un solo valore y e si avrà per MI' Equazione F" + G"' M-4-H"M» +1 M»
= o •
Nei prìnti due di questi casi, è chiaro, che due dei valori della M possono essere uguali fra loro , e ciò se le F'"+ G'" M -1-H "M*= o G'" + H" M -f- r M* = o sono corrispondentemen- te due quadrati perfetti ,* e nel terzo , se la F"'H-G"'M-I-H" M*+ r M» = o sia un cubo, al- lora saranno uguali fra loro tutti e tre i valori della M.
442. In tutti gli accidenti considerati finora dipendentemente dalla supposizione fatta nel ( N." 439), vedesi che si applica sempre quanto si è detto nei(N.» 433 » 434» 43<^*43 7 > 43» ); «per- ciò che, se i valori della M sono differenti fra loro, gli esponenti 7,^,ec. si determinano , me- diante la {XXIII), e le quantità N,P,ec., col mezzo dei coefficienti indeterminati (N. 43 4). Ma se due dei valori della M , oppure tutti e tre sono fra loro uguali , allora replicando quanto si disse nel ( N.<>43<5) vedremo in egual modo, che non potremo ricorrere per la determinazione delle quan- tità 7, N, ^ , P , ec. né alle formole simili alle (XVIII), (XX///),nè ai coefficienti indetermi- nati , se non dopo il triplice spezzamento della «crie(Xr). .
hhh Se
42^
Se ;f»jp» +.jf jr»/4-3c»^»jf + tf»^— f»4fjF — t* *• H- f* = o sia 1* Equazione data; fatti gli op- portuni calcoli » come dai ( N.^ prec. ) , otterremo per y i tie valori
128 X» X
•^ X >tf* x^ X^ X? •
44 j . Che se la ( FI ) à quattro , cinque €€• ra- dici = L'j replicandosi sempre gli stessi raziò* cinii, si potranno sempre determinare nella ma- niera medesima le serie corrispondenti.
444. Supponghiamo ora , che nella (XF) gli esponenti successivi della x vadan crescendo > Co- sicché et <^ y ^ <y^y <^ y ce. , e vogliasi de- terminare la nostra serie in questa nuova suppo* sizione •
Il metodo a seguirsi , onde far ciò 5 vedrà ch gnuno facilmente da se medesimo non essere di- verso dair esposto fin* ora, mentre però alla x^ allorquando nel primo caso attribuivasi un valo- re infinitamente grande , quivi se ne attribuisca uno infinitamente piccolo ( N.** 399) • Per conse- guenza
I
Cer-
4^7 i.^ Cercando di conoscere , quale divenga la Z=o nel caso di jr infinitesima, seguiremo ben* si il calcolo dei (N.^ 400 , 401 ), ma dovremo te« ner conto non dei massimi , ma dei termini mi« nimi della Equazion data ( N.^ Ì99) l quindi seri* veremo la Y in modo , che gli esponenti della X formino tante serie crescenti, e poscia determi« nando la ce in maniera , che due , o più termini della serie (/) divengano ugualrfra loro, e mi» nori degli altri, dovremo tra i valori ui^ a 2^ « j ^ te. tener conto dei minimi , e non dei mas« simi ( N-® 404 ) •
2.^ La Z - o deve in seguito, come nel (N,^ 407 ) ridursi alla ( F//), ma in mòdo , che b' oc^
^<&"^-+-^",r^+^"<r'«+/',ec(N.04i4), e però nella ( X ) avremo tt' < tt", tt" < rr'", ec.
3.® Per la determinazione degli esponenti ^ , y, d", ce. , a cagione del (N.® 398 ), dovremo nei (N.^ 415) 420, 422 ,424,430 ,439 ) tener conto non dei risultati più piccoli , ma dei maggiori , e quin« di per essere w' < tt" , 7r"<: 7r"%ec. , le stesse for* mole {Xnil)y [XXIII) ci daranno tutti glies- ponenti, che si ricercano.
Avute queste poche riflessioni, le operazioni, che rimangono a farsi pel nostro intento, sono af- fatto simili alle passate; e ciò vedremo negli c« sempj, che seguono.
445. L* Equazion data sia la (XJX).Ridu co questa pel ( i.^ N*^ prec. ) alia
h h h 2 xy^
428
(tf» + x*)y
STO
faccio X = -i- , e nel risultato ar ji* + «* Jf — *»
00
= o suppongo _y = L jr« , onde avere L *•»« + « ■4- <i* L ;r« - *» = o . Dalla serie degli esponenti 1 a-4- I , a , o pel ( 1.° N.» prec.) ricavo « = — *» «" = o; tenendo conto del primo di questi valo- ri , osservo , che abbiamo -j. = - 1, e per^/= — i,
i = 1 , e ridotta pel ( 2.« N.» prec. ) h ( XiX) alla xy*-{-a*y — hi + x*y
abbiamo /=i,^'= 2, /' = o,r = o,f;"==i, i6'" = r(N.»407),7r'=A'«-4-^'=->,w -b ci -f-/'= o, it"'=zb"'x -f-/" = I . Risultando a- dunque w' ~ w" = — i , w' — w'" = - 2 , cerco di determinare la serie dei nostri esponenti > e pei (3,«N.'» prec, N.« 425 ) verrà questa ad essere contenuta fra i numeri
— 1 , o , 1 , 2 , 3 , ec.
1 > 2 , 3 , 4 , 5 , ec.
, ' 3 » 4 > 5 » <5 , 7 , ec.
5 » <5 » 7 > 8 , 9 j €C.
ec,
onde la nostra serie diverrà
y=Lx'' -i-M ;c« -4- N AT -h P;e* +. Qx^ + R Af* •+- S xf rh ec. Ora per la determinazione dei coeÉfi-
cien-
4i9
d'enti mi servo del metodo istesso dèi ( N.^ 425, 427), e otterrò finalmente per la serie richiesta la
( 21^. l_)^j4.ec.
Passando ali* altro valore «" = o , col calcolo istesso troveremo
( jn- ^-- ) ^' + ec-
Se r Equazione data sia la seguente S x*y* -^^ly* +8x^y-{-64xy-x^ +32 jf*=o. Trovandosi, che in essa la L à entrambi i suoi valori uguali fra loro, si applica qu) pure quanto si disse nel ( N.** 433 ), e dovremo perciò ese- guire il calcolo, come nel (N.®434)i onde per y troveremo i due valori
-* 4 8 1(5 32 04
*^ xS 2x* 4x'
ec.
•' S 16 iz 6^
445. Queste ultime serie, nelle quali gli es- ponenti delja X vanno sempre aumentandosi, si di* cono ascendenti , e le prime , nelle quali gli espo- nenti
nenti della x vati decrescendo , <]icon5Ì disttnitn^ ti. Per la natura delle potenza le discendenti \rk^ no la proprietà di convergere tanto più verso il vero valore della y ^ quanto è più grande il valo^ re, che attributscesi alla x\ ma allorché alla jirsi dà un valor troppo piccolo, le nostre serie di« vengono necessariamente divergenti » e divengono quindi inutili , onde avere per approssimazione i valori corrispondenti della ^. Allorquando però mancano le serie discendenti , ricorrer possiamo alle ascendenti; queste al contrario delie prime can« to più son convergenti, quanto è più piccolo il valor della x^ e divengono poi divergenti, men« tre alla x attribuisconsi dei valori troppo grandi « Sì le une adunque, che le altre son necessarie a trovarsi, affine di avere la soluzione, che si ri^ chiede della 2 = o*
CAPO DECIMONONO.
Htìla Soluzione fer serie delle Equazioni algelraicbe determinate .
447« X rovare una formola generale , ed un me* todo spedito, onde elevare ad una qualunque po- tenza h la quantità (I)^= hx^-\-Mx^-^ + Hx^-^ 4-P;r^5 4-Q^Jc«'"*
Alla
43 X
Alla soluzione di questo Problema conviene pre» mettere le riflessioni seguenti.
Elevando ad una qualunque potenza b la quan* tità L ** -4- M jf# -H NrT -H Px* 4- Q:^^' + «e. , sappiamo , che un qualsivoglia termine del risulta- to vkae espresso dal termine generale (II) Tavo- la A ('*'), in cui gli esfponenti 4, i,c,ti,fi ec» sono tutti numeri interi positivi, e la loro som- ma è<=zb. Ora nel nostro caso abbiamo /S=:«-i, y=« — 2 , «J'^ « — j , € = « — 4 ,ec.. Dunque sostituendo ne verrà T esponente act-hb^+cy •^d$ -hre -f- ec. = <»«4-*(«-— i)4-f(« — *) 4-i/(« — 3)-f-#(«~-4) +ec. =
(A-+-2^^-3rf■4'4*-f-ec.); e per conseguenza, |(/f/) supposto ^ -h 2 f -f- 3 (i-\- 4# + ce. =^, in un ter- mine qualunque della nostra potenza l' esponente delU X dovrà essere della forma hot — g, 44S. Supponghiam le Equazioni 4 +■ * +. r -h iZ-h r -f-/+ ec. = A ^ -f- f -f. //-f. tf -f-/+ ec. = ^ r + </•+ # -t-/-H ec. = r (ir) i/-f <r + /+ec.=/ e H-/+ ec. = / /H-ec. = « ec. La prima di queste Equazioni non è che l' accen- nata nel ( N.** prec. ) . Sottraendo poi la seconda
dalla (*) Vedi la Tavola posta io fine del Capo.
43* dalla prima , la tèrza dalla seconda,.!^ quarw ^. la terza, e<?.> ne vengono i risultati a=.br—q^ h =^:q,^r , r=: r~ s^,d.- *. ~ * , # = /-;*, ec: dunque >— f > f — »•» '• -■'.-j-f r ^, t-r»^ ce. altro non sono , che g}ì esponenti delje successi- ve quantità L > M , N , P , Qìj PC' > e per conse- guenza 1' esponente della L nop potrà essere > ir, V esponente della M non potrà essere > q , quel* la della K con potrà essere > r» «e»
449. Corrispondentemente a, un dato espo«
«ente koi-^S" ^«l** *^ ^•*' 447 ) > «ssend© A r f l' esponente della L (,N.*» precOa non potrà gianjmai risultare f >^« -
Allorché nella nostra potenza si eleva il tergi- ne Ljc^alla podestà iJ — f ^suppenghiamo che ire- sti moltiplicato col termine T**^ efevato alla po- tenza r , con 1*' altro T' a**""* alla podestà /, col terzo T" jf*~** alla podestà r", ec. : ciò èssendo , 1' esponente della x nel risultato sarà (ib-^)«-+r(«-i)-+-r'(«-r) + /'(«-i") -1- ec. = ( A — ^ 4- r 4- ;•' + r"-f- ec.) ot — ( r * -f- r' *' -4- r" i" + ec. ) , e però avendosi ( A — ^ + r -{- r' -h /' -1-ec. ) « -{rk + r *'-+- r" *"-|-ec. ) =i5«— ^, otter* remo A — fl' + r + r' + r"-|- ec. =A, r^J-l-r'/è' -+- r * -+ ec. =^5 e quindi ^ = r + r-hr+-r 4- cc. Ora per essere r , r' , r" , ec. , ^ > *' 5 *" > ^c. tutti numeri interi > e positivi , non può mai riescile rk^r k* ^ r" ^" < r + r' + r"H- ec. : dunque
non
43J
non potA essere ncpputt f:>g.
450. Essendo T esponente is = é — ^ , il sos* seguente b o sarà =f > o minore ( N.^ 448 ); se gli è uguale 9 allora tutH gli altri esponenti > ^ ^/^ ^,/, ec. uguaglrefaflno io zero j se poi gli è mi- npre , allora avendosi ^ = ^ — r ( N-* 448 ), dovrà risultare r=:r, oppure c<r; se r = r5 ne verrà /= 0 ^ ^ = o , /= o ^ ec. > che se r< r , risultane do t^^^r-T-s^ nuovamente sarà d =: / , ovvero d<r; hcl primo caso avremo ^ = o , /= ò , ec., nel se* condo 1/ = /—/, e quindi 1' esponente ^, o si vuole = , oppure <t; se ^ = / , ne viene /= o , ec. ,e se ^</, potremo proseguire innanzi ieme« desime riflessioni «
Inoltre nel caso, che sia ^=: ^, dalla (III) ve- desi che. dovrai risultare b^=£; allorquando poi i<f, se. si vuole r=r, per la stessa (I7/)do« vrà essere ^-4- 2c=^g; che se r< r , e ^= / , dovrà venirne ^H-ir + j^- ^;^nel caso che ^</, se sia e —t y avremo b + ic + 3^ + 4^=^; così nella ipotesi della fzzu^ne verrà ^-1-2^ + 3// + ^^^ $f— g i e così in progresso •
Dùnque i.^ non potrà essere ^ = ^,che quan« do ^—g.
2.^ Nel caso che i<^, e c = r ci risulta b+ 1 c=gj b + c:=^q\ moltiplico ora la seconda di queste Equazioni per 2 , sottraggo da essa la
_g
prima, e otterremo b-^i q—g; mar=:
dunque sostituendo sarà ^=f — f«
i i i l
b
2
o
434
j.® Allorquando r<r, se »i vuole d^=:ty avre- mo ^ + f4-^ = f. Ora sottraendo questa Equazio- ne moltiplicata per 3 dall* abra ^+2^+3 d=g X N»«* prec. ) , ottiensi 2 ^ 4- f = j.^ - ^ ; dunque essendo h^q- r ( N." 448 ) , ne verrà c = q—g
j. » g—b—ze + 2 r , e a cagione d» rf= — » ricavere-
mo d:=ig—q - r.
4.® Nella ipotesi della i<syt della * = /, ri- sultando ^ + f +</+ ^ -^, ^ +?<-*- 3 '^"*" 4 * =^> ci verrà ih-¥ic'¥ i —^q- g't.ra^ b—q—r^ r = r — /(N.' 448); dunque </=±^ -^ + r+»/;
» — é — ic — ^à e avendosi g= , -9 otterreao
4 e=^g'-q-—r—s,
-) 5»Quando *< if, ed /=«, dalle i + f4-i/ +
g4■/=f , b-^-ic + 3 d+^e+%f=g avremo 4^ + 3^4-2^4-^=: 5-^—^, e quindi pel (N,* 448 ) ci risulterà e-q—g-^ r+z 4- 2 / ,
f-i—q-r — s-t.
Lo stesso si dice in seguito.
4J2. Supposto g—q = <f' yg-q- r = p" , g — q - r — f = (p'" , g — q — r- f — t=^Cp ,eC., da quanto si è detto finora vedesi , che nel coef- ficiente di jf**-* le potenze , e i prodotti dei coef- cienti M, N, P, Q., R, èc, che moltiplicano L*"* non ponno che essere i seguenti
M*-''N'-'P'-'Q.*'-1'"r*"'~% ec. . Dunque ttaf-
cura-
4M
curati per ora a maggior comodo i coefficienti , e i divisori numerici , ^quella porzione di esso coefficiente , che moltiplica L*^* % sarà espressa in generale dalla Formola
j^r-r ^r-x p/^/ ^t^f- R^ -^4- ec- ) , Formola , nella quale i.^gli esponenti debbono es« sere tutti numeri interi , e positivi ( N.® 447 ) . *'i.^ Il termine secondo deve necessariamente con-- tenere il coefficiente. N <N.* 450, 4JI ),il terzo deve contenere il coefficiente P 5 il quarto il coef- Sciente Qj, il quinto il coefficiente R , ec.
j.® Finalmente non tutti i termini della Formo- la sussistono in una volta ^ ma di essi ora sussi-. tono gli uni ^ ed ora gli altri giusta i valori di- versi <[elle f j Tf ^5 ^ > ^^'i secondo poi la di ver* sita di tali valori da un solo tetmine della ( T) possono derivarne varii.
. 45 j. Dunque se dando aHe ouantità f ^ r, / , t j ec. certi valori ^ qualcuno degli esponenti ^— r, r — Syf— /,ec. diventa negativo', e,qual« cuno dei g — 5^ , <J)' — r , (p" — / , cp'" - / , co di* venta zero ; allora nella Formola non esiste né il termine, net quale esso esponente diviene rispet* tivamente negativo^o zero,nè i susseguenti • Che se diventa negativa qualcheduna deHe quantità 2f—£y ir^tf'j xs—ip'\ 2/ - <p''';ec., intal cas^ manchcil bensì il termine » in cui questa quan* i i i a tità
43<^
tità si fa negativa , ma possono sussistere alcuni dei termini, che seguono. Tutto (Juesto apparis- ce dalla Formola stessa ( l^) 'y e d* quanto sì è detto nel ( N.* prec. )
454. Attribuiscansi successivamente alla f i valori esposti in (^/) nella prima .colonna verri- cale fino inclusivamente allo zero . Poiché le quan* tità r , s ^ f y ec. non sono legate ad altra con- dizione , che a quella di essere interi , e 'di ren- dere ciascuno degli esponenn'^'- r, /•-/,/ — /, ec, i f — l", 2 r-q)', 2 / — (p,", 2t—(f"',tc. ce > — i , e ciascuno degli aitri ^ — f» ^' - '•, 9" — •»"> ^"' — /, ec. >o , attribuisco, successivamente ad es- se r, ;,/, ec. i valori a ciò opportuni , avendo sempre in vista quanto si ,è detto nei ( N.* prec* ), e specialmente nel (N.<'45j)'; è coti tali opera- zioni troveremo non difficilmente risultarci dalla formola (T) le quantitJl esposte in (^T) nelle li- nee corrispondenti ai successivi valori della f .
' ^ ■ ( >/)
qx: f -7 4 i L**--<r-4 ) ( Mx-^ NiV M'^' N» P -h
f =
437
M*-«N P» -1- M^-« N» d+M'-' P Q4-
f =^ - 6 , L*- (*-< ) ( M'-" N« 4- M*-" N4 P -+-
Mr-MN* P»-4-M'-"N» Q.-4- M'-i'P» 4- M*- " N P Q,H-M'-* N» R + M'"* Qf-+- M*-^» P R + M*-» N S H- M'-^ T )
f =^ — 7 , L*- ('-')( M^'-» N7 H- M'-»J NJ P +
M«- " N» P*-+-M*-" N-» Q.-f M'-"N pJ +- M«-" N* P CI+ M*-" N» R + M'-" p*Cl+ M«-» N Qf 4- M'-'* N P R H_ M'-"N»S4-M«-*' Q_R+M'-'PS + M'-» N T4- M^~« U )
gr =^ -.8 , L'- U-7) ( M«-»*N« + M'-»J N« P H-
M'-»^ N<P*+ M'-»'» N J Q+ M'-MN» P» 4- M«-»* N' P Q^-H M'^'* N-» R -4- M'-"P» + M'-'" NPQ.4- M'-» N» Qf + ]V1*-"N* PR4-M^-"N3 S4-M'-"PQ^ + M'-" P* R H- M'-" N Q,R + M*-" N P S + M«-" N» T 4- M*-" R« + M'-"Q.S-i- M«-"PT+M'-"N U
•ec ec. ce.
455. Volendosi raccogliere tutti questi risul* tati (r/), osservo procedere essi con una certa regola, per cui potremo non di£Gcilniente unirli tutti insieme, proseguendoli fino alla supposizio*
ne
438
jìt dì q — o, indipendentemente dalla fornola ( V) nella maniera, che segue.
Scrìtto prìmieratnente in ( FU) Tavola A il pri- mo termine -L^~' M' , pongo ai dissotto in una pri* ma riga tutti i termini L*-<*-MM'-*N, JJ^U-*) M'-'iP, L*-<'-»m«-i»Cbec.,chein (F7) occupano 1' ultimo luogo dei risultati suc- cessivi; ma per maggiore semplicità scrivo questi termini collocando fra due parentesi le quantità N , L M~ * P , L* M- • Q^, ec. , e apponendoal prin- cipio, come fattor comune, H termine L*r <*-«>M«-% e al fine la unità* , <
Accresco in seguito nell* accennato L*~ ^*~' * M'^* di I r esponente della L , diminuisco di 2 l' espo» nente della M , e scrìtto il risultato L*-^""*> M'-* in una seconda riga , pongo presso di qucisto fra due parentesi 1 termini esistenri fra le parentesi del- la riga precedente : finalmente moltiplicata per N la unità posta alla destra della linea prima , col- loco il risultato N nel fine della riga seconda . Per- chè poj ira le parentesi di questa seconda riga non tornerei che a scrivere gli stessi termini della pri- ma , lascierò vuoto il luogo compreso fra tali pa- rentesi , intendendo , «he debba questo venire oc- cupato dai termini, che vi «tanno sopra; e per distinguere le due righe turerò fi» esse una linea punteggiata.
Aumentato nuòvamente in L*-^-*> M'~* di t < V. esponente della X , e diminuito di 2 1' espoiten» te della M , ripongo U termine L*-^-»> M^"* itt
una
439
ana terza riga , i/i scrìvo appresso fra due paren* tesi gli stessi termini della figa prìma , o per me» glie dire intendo che tali termini debbansi com* prendere fra le parentesi della riga terza lasciate esser pur Vbote , come le precedenti , e *tiro fra la seconda ^ e la terza riga una linea punteggiata i In seguito moltiplicata per N la quantità N y che è posta al fine della riga seconda, moltiplicata per M P la unità posta alla destra della riga prima , moltiplico per N^ tutti i termini della terza riga^ e moltipKco per M P i termini stessi y toltone il primo N • Affine poi d' indicare con brevità i ter* mini , che moltiplicaao M P ^ senza scriverli di nuo* VO) ò poste, seguendo T accennata regola , aldis^ sotto delle terze parentesi altre due parentesi , la prima dtUe quali escluda il primo termine N; e intendo che entro delle medesime vengano oppure tunamente comprese le quantità, che nella prima riga esistonvi sopra. Perchè poi tanto le quantità apparteoenri alle terze parentesi , come quelle, le quali spettano alle quarte , si devono moltiplicare per L*-^^--^) M^-^ , perciò^ considero , che tutte queste inseme formino una sola riga divisa in due parti , e segno la linea punt^giata sotto delle pa« rentesi quarte • .
Proseguendo col metodo istesso , s* immaginino scritti fra due parentesi opportunamente collocate in una quarta riga i termini esistenti fra le paren« tesi della prima , e pongasi innanzi , come prece* dentementey il termine L*--^"-'^) M^-* . Ciò fatto,
si
440
si moltiplichi per N la quantità N* apposta alla prima parte della riga terza, per MP la quantità N apposta alla riga seconda , e per M* Q, la quan- tità /i apposta alla riga prima , e avuti i tre risul* tati N> , M N P , M* Q^, si moltiplichi pel prinoo tutta la riga quarta , pel secondo la stessa riga di« minuita del primo termine N , e pel terzo essa medesima diminuita dei primi due tennini N, L M"* P . Per brevità poi di scrivere indicheremo simili moltiplicazioni , come precedentemente . Os* servando poi , che la riga quarta è formata di tre parti , e che ciascuna di queste deve moltiplicarsi per L*~<'~^>M'~' , perciò tiro al dissotto delle iil« time parentesi la solita linea punteggiata.
Formo nella solita guisa la quinta riga, ma la formo , componendola di cinque partii possia rool« tipiico per N la quanrità N* apposta alia parte prima della riga quarta, per M P le due N*., MP sbiettanti alla riga terza , per M* Q^ la N spettante alla riga seconda , e per W R i' amfk appartenente alla riga prima; e ottenuti i prodotti N^ , MN'P -f-M» P* , M» N Q_, M» R , moltiplico pel primo di essi la prima parte della riga quinta , moltipli- co pel secondo la parte seconda, pel terzo la ter* za , f pel quarto la quarta .
Passando a formare la riga sesta , scrivo questa secondo la solita regola , componendola di cinqiic parti : in seguito moltiplicata per N la quantità N^ annessa alla parte prima della riga quinta , mol* ripHcate per M P le due N> , M N P spettanu alle
pri'
441
prime due parri della qntrtt linea , per M' Q^. le N* , MP apposte alia riga terza > per M' R la N appartenente aHa riga seconda, e finalmente per M4 s i2< unità della: riga prima, porrò "il primo di questi prodotti nella riga sesta al fine della prima patte, il prodotto mxmdo al fine della -parte se* conda , il terzo al fine della tersa, e coti di seguito •
In gentttde , seguendo sempre lo atesso meto- do, otterrò una riga qoalunqne, per esempio la mesìma, A tal- fine non avrò che a comporre ca- sa in primo luogo di m — r parti; poscia molti- plicherò tutta la medesima per L*^(r-») Lr-^ j e finalmente moldpUcata ^et N la ìquantitV apposM alia prima parte della riga «r^i rr/Vms, moltipli- caée per M P le due quantità esistenri alla destra delle prime due parti della m—'X ttima riga , per M* Q. le tre quanritk appartenenti alle tre prime parti della m — 3 tìhna riga, per M' R le quan- tità spetnnti alle quattro {orti prime della riga m — ^etima^ e così in progresso , collocherò tuD> ti questi prodotti al fine della nostra riga nicsimay ponendo il primo al fine della parte prima , il se- condo atia destra della seconda, il terzo ai fine della terza, e così di seguito.
Col proseguire ad operare in tal guisa fino in- clusi varaente alla riga gcfimat verremo a scrivere il complesso di tutti i termini (VI), e la ragio- ■e di questa operazione deducesi dall' osservare attentamente 4' andamento dei termini medesimi « Conviene però avvenire , che nell* effettuare in
44» ( F7/) U indicate moltiplicazioni , dovremo pel ( I.* N.*» 45 1 ) tener conto in ciascuna riga non già di tutti i termini , ma di quei soltanto , nei quali gli esponenti della M risultano non negati* vi. Perciò tra le parentesi delU prima riga esten* deremo i termini N , L M-' P , ec. fino a quello inclusivamente , in cui 1* esponente della M divie- De -^(g^z). Entro le parentesi d^ riga se« conda non oltrepasseremo il termjne , m cui 1' e»< ponente della M diven» — (^ - 4 )• I termini fta le parentesi della riga terza a proseguiranno nella prima parte fino ali* esponente - (g — 6) della M, e nella parte seconda fino all' esponente — (^—5). Così nella riga quarta gli accennati tepmini si estenderanno nella prima parte fino all' esponente — (^— 8 ) > nella parte seconda fino all' esponente -—(g— 7 > > e nella terza fino all' espo- nente — (g'—6)» La riga quinta conterrà tali termini fino a quello nella prima parte , che à 1' esponente — (g— io ) i li conterrà nella parte se- conda fino al termine , il cui esponente è — . (g—^), allorché essa parte si moltiplica per M N* P ^ e & no al termine di esponente — (g — 8), quando tal parte viene a moltiplicarsi per M* P' ; essi ter- mini poi nella parte terza si proseguiranno sino all' esponente — (g" — 8 ) , e sino all' altro — (^ — 7 ) nella parte quarta. Le stesse riflessioni (Jevonsi sempre eseguire rapporto alle righe susseguenti*
4$^. Chiamiamo n tutta la quantità espres- sa in (TiO Tavola A, e chiamati n',n",n",n'%
ec.
44J éc. i risultati, che da iquesta si Sthno pet U suc- cessiva supposizione dìg = o,x,2|t, ec., otterrò II' = L*
n" =l»^''m, '
^ n"' = t»-J M5 4- L*-» M N -+- L»-« P , n'" = L*^J M» >hV-^M» N H- L*-» M» P-|-
l»-*mcl+l*-'rh-l'^-»mn* +l»-»np,
V-i M» Ojt-L*-»!!!! R+ L*-'S-i- L'-'^M'hT.
n""'= L*-7 M' 4- L*-*MJ N + L^J M-» P 4- L*--» M» 0,4- L*-» M» R -h L*-» M S H- L*-»T 4- L*-J M» N» 4- L«-'»M» N P 4-. L*-3 M N Ci4 7-*-»N R r^L*--»-!^ N» 4- L*-3 N» ^ 4- L*-' M P». 4- L*^»P Q^
n"= L*-"M«'4- L*-.^M*->J4-T*-.<M^P4- L*-> iW.Q4. L*-:4 MJ'R4'L*-» M» S 4- L*-* M"T 4- L*-« U4- L*-^ M* N* 4- L*-»' MJ'NP-lrL'^^ M» NÌ3,+-'L*-'» M N^R4- . L*-» N S 4- L*-» ,M» NJ 4- L*-^M N* P 4-
L»-* PR4-L*-'»N'»f L*^»KP» +L*-»Q! , ' fec» " ec. ec.
' ^ kkkz 4S7*
? <
444
457* CbiamÌ5Ì ora TTt cìb, che divieoe II. aggiungendovi giusta la formula ( // ) Tavola A gli opportuni coefficienti , e divisori numerici ( N.* 4j 2 ) , Ciò fatto , n I 4f**-'non sari che un ter- mine generale della potenza y (N.® 4(2) . Dun« que la formola (m) Tavola A quella suk , che sdoglie per lo meno la prima parte del Problema del ( K.* 447 ) ; imperdocchè , determinate col mez- zo di tal formola le quantità iPJU)y aggiungo in ciascuna d* esse giusta k </i) i dovuti divi- tori , e coe£Scienti numerici , e i risultati , che ne vengono , chiamati n' i , H" i ,n"* i ,0'" i ,ec. altro non saranno che i rispettivi coefficienti del- le potenze***, ;if**-"*, *'*"', ***~»,ec.; onde avendosi
n'i = ''^•?---^ n-L>
n", ^\'\'\'"'\ , L*-'M=:^L*-'M
X .2* 3.*.«( 0 — I^. I
1.2. 3. ...A i;,*-«N =
I.2.3....(ib— >!).! hth"- l'i
IH ) n" . = *< *-X* - O L«-. M» +
*(*-x)L*-*MN + AL*-»P,
iTi
44J
X • z
i(Ì-i)L*-(MQ.+NP)+ÌI.'-' R, n~ , - *(*-iX*->)-(*-0 L,^ jj, .
A (i— I ) w.( i — 4V ^-
*(*-i)(*-»Kfr- j)L'-»
. <rxi+rrr:?>+»(*-«x*-o
4(*— i)L*-»(Mil-4-NQ:+-!l) +
X ' • 2
Sia
44*
Sarit ; ' ~
+ R ««^«ff- S iC*-^-F ce. )* = L* AT** +
* ( i& - 1 ) L*-» M N" + '&^?f P.0 ***-» -4-
+^ ( kr-t %b^t > L*l» (|U rt. i^ ) +
-j-^r i.l .g -KS 1^' ^'. -J- ^^^ ;«-*«>*• 3 • 4
'^. ce. ce.
447
Se sia h=;.iy occeriemo
y = ( L *« + M *«-» 4* N jf*-* -4- P x«-5 -i-
L» #J* + j L» M *««-» + ( 3 L M» -Hj L» N) xi «-» + ( M» + ^ L M N + 3 L* P ) :^3 *-34-
(3M»N-l-<5L(MP:h^)+3L*a)*s«-4
f M* P M N* + (<j(^4-Z^)-f*<5L(MQr<-NP) +
tfL(MR4-Na+~)-H3L*S)jr3«-<-f.cc.
458. Osservando ran^mento della quantità ( Vili) , ( IX ) , potremo , senza ricorrere alla Ta- vola A determinar le medesime assai semplicemen- te . ImpercioccKè nella ( Vili ) veggo sussistere cos- tantemente tal regola , che una qualunque di quel- le quantità per. esempio la nt"*) resta determinata col moltiplicare tutta la m*-») per L-'M; mol- tiplicando tutti i termini della nt*~*>, che son pri- vi di M , per L~' N ; moltiplicando tutti i termi- ni della nt*^') mancanti e della M» e della N per L~"* P ; moltiplicando per L~* Q. tutti ì termini del- la !!<•" •♦), che son privi delle tre quantità M, N, P , e cosi di seguito fino alla IT'., e. poi col •sommare insieme tutti i risultati , che ne proven- |ono . Quindi scritta la II' = L^ otterremo n" , moltiplicando essaper L~^M^ct risulterì^ lall'",
col
44J
col moltiplicare la n*' per L-«M, e per L~»N la fi'; ricavcrwpo la IT" , moltiplicando per L-' M tutta la n",.c fct L-'P la H'; si avA la H' col moltiplicare tutu it TI'" per L~' M , il termine della n" mancante di M per L^'N, la n" per L~*P, e la n' per L"*Q,, e cosi in progresso.
In quanto p#i alle <uiantità (IX) esse ottengon* siccome le (ri/I), con questo di più, che nella formazione di ciascun termine » deve questa divi* deni per gli esponenti , che in esso acquistano le qqantid^ M, H, P,ec.; e deve moltiplicarsi per 1* esponente della L nel termine, da cui deriva. Così mentre dal termine iV-'P in. n'^i ricavo giusta la regola precedente il suo corrispondente in n*" I , nel moltiplicare per.L"* P , moltiplico an« Cora per i — I esponente della L in h L*-* P,e divi- do per 2 esponente della P nel termine , che risulta.
In conseguenza di questa regola semplicissima vedesi pel (N.^ 457 ) , che noi possiamo con som* ma facilità innalzare alla potenza $la quantità (i), e che quindi per essa resta risoluta la seconda par> te del Problema propostoci nel (N.°447).
459. Nella ipotesi, che la (/) sia mancante di qualche termine, considero la quantità, come se i termini mancanti vi fossero , opero come pre> cedentemente, e nel risultato, che ottiensi, pon< go lo zero in luogo di quei coefficienti , che cor- rispondono ai termini non esistenti . Se sia per e< sempio^ = L ;r«-f- M x*~' + P *«-J 4- R **-« -t- SAf«-*+ec., ed *=3, dall' esempio precedente
avrc-
44^
avremo 7? = L? jrJ«+ 3 L* M ;r J«-« -h 3 L M" ;c3«-» + (M» + 3L*P);rS«-3+<5LMpjt3«-4+ (3 M*P 4- 3 L» R) ;c3«-s + (<JLMR4-3 LP*•^• 3L•S)r3«-«^-cc.
4^0. Se la (/) abbia la forma jf = L4f« + M;^-^* 4-N*«-^JH-Q.jr«+4 + ec., troveremo > come nei ( numeri precedenti ) , che le vkrie potenze della x< nella y sono le jr*«, **«-+•', *#«-^*, jf*«-»-J, ce, e che gli stessi coefficienti (IX) Sono i coefficienti rispettivi di queste diverse po- tenze , essendo IT i x'^-^i il termine generale di ji* ( N.** 457 )> e deducendosi tal quantità n i, come nel ( citato N.** 457 ), dalla II , ossia dalla Formo- k(r//) Tavola A.
45 1. Mc^tiplìcando il termine IT 1 x**-^ (N.* 457) per Ft/)jf/, avremo il prodotto Ft'>n 1 jf*-«+^~i. Ora eleviamo la (i) ad una podestà >=^d:^, « del risultato, che viene /pre- so un termine qualunque, che chiamerò 0 1 x-"^~', vogliasi determinare la / per modo , che moltipli« cato 0 1 x**""' per F^ ^^ , ne venga un termi- ne, il cui esponente uguagli 1* esponente di FWlli***-*-/-! . Suppongo perciò ict + f—l = bof^-p—g^ t troveremo dover essere l=iq—f *^g d: A « • Volendo poi determinare in corrispon* denza il coefficiente 0 x , ci serviremo delle stes- te formole (HI), (//) Tavola A collocando i in
' luogo di hy ed l invece delia g,
452. Sia q=p 5: « «— ■ ) e pero
III * / =
450 V k(k±t) i=g : : quindi ci risulta L'~' M' = ^
L ,a. M X =L M XL — I""
— i(tai) , <-(* — «) i-s
M — l — ^, e iiKcgual modo ritrovasi L M
= L M- XL ; M a )
L M=L M XL» M » *
ec. ec.
Dunque chiamato © ciò , che diviene TI ( N.°^ j5 ) , ponendo /', / corrispondentemente in vece della
t(t a?) -i(tat) *,^,sara0 = nL — ì — M — : ..Ora scri- vendo i termini di II i ( N.*457 ) giusta la for- mola ( //), Tavola A , deve ciascuno di essi ve- nir molriplicato per i . 2 . 3 * . . i& , e così cias- cun termine di 0 i ( N.» 4^1 ) deve moltiplicarsi per 1.2.3..../= x.2.3.w.(iS'3ri), Dun- que se nelle quantità n i , 0 i trascureremo i divisori numerici , vedesi , che sarà 111 = 1.2 .3... MI, 01 = 1.2 .3...(i&d:*)0,
eperò0i = i.2.3...(A±iJ)nL-4-^M — i"" ^
453. Attribuiscansi nella presente ipotesi al*-
la I ì successivi valori i ,2,3 , 4 , ec. , chiaman-
ec. i risultati rispettivi di F ^^0 i , otterremo (XII) F^'^n i-|-F^*'^0 t'-f F*'*"^0 i"+ F^*"^0 ,'" +
F^'"* 0 i-4-cc.;= n ( I .-2 . 3 .... * F^'^ ^
i.a.3
45'
(«') (i^)) — (x3i)
1 .2.3...(/&:2:3)F'' L — i— M ; — +
1.2 .3 ... (i»:£4) L ; — M "~-; — H-ec.y, e scrivendo più esattamente, e più distesamente col tener separati i doppj valori della / , e però della /, e della ^,col porre F' in luogo diF('),e col chiamare F ' , F 1 i due valori del coefficiente F< »'> corrispondenti ai due della i , chiamando F'", F 2 i due della F(*");F'% Fj i due della F<«"'),ecosl di seguito , avremo il primo membro della (XI/) 'uguale alla Fórmola {VII) Tavola A moltiplica- ta in tutte le sue parti per la quantità ( XIIl ) Tavola À.
454. Eseguite le moltiplicazioni ora accenna- te, conservinsi nel risultato {XII) i termini so^ lamente di «sponente non negativo ( i.«» N.* 452 ), e si aggiungano giusta la Formola ( II) i dovuta divisori numerici, die abbiamo finor trascurati ( N.** 4|52 ) . Dopo simili operazioni chiamato "ir un tal risultato , non ^ difficile a vedersi , che '*"Af*«-*-^~* esprime il complesso di tutti i tef- minr, i quali , contenendo una inedesima potenza ygbm-^-p—g^ risultano dall' elevarsi la quantità (i) a tutte le successive 4>otenze i& , A -+- 1 , A — i , ' fc-f- 2,A-2,ec& + ifc, h — ki e dal moltipli- carsi tali potenze corrispondentemente* per le quan- tità F' xf ,• F" ^.Vxx', F'" y" , F 2 x"' , F'^ ;r"", IU2 Fj
F 3 *"" , ce. , Ft*-*-*^ x'^*^ ,V(k)x'^\ essendo pel precedente valor della f(N.o ^6i )/=/-(«+ 1), /=:^ + «,r"=/ — (2«H-3),/'=/ + (2«-i), r"'=/-(3« + tf),/"=/ + (3«-3), ec.
455. Facciamo successivamente ^=0,1,2, 3 , 4 , ec, e chiamiamo *' , "ir" , 'i''" , -*-'% ec. i risultati corrispondenti della 'ir. Rappresentata per ^ la quantità espressa in ( XIII ) Tavola A, se eseguisco il prodotto II ^ , e aggiunti in esso i dovuti divisori numerici, se ritengo i termini so- lamente di esponente non negativo, pei ( N.* 453, 454 ) mi risulta in generale "iF = n 4> . Dunque fa- cendo simili operazioni TÌsuIterà ancora 'i^'=: II' ^ ,
•i^" = n"<&, iE-'=n '4>, ^^"'rin' *,cc., e
quindi pel (N.*»455) avremo
^ = V (iiiil^^P' + i:±±i:^F , L-' )
VI.2.3...0 I.2.3...(0 — 1} '
= FL>H-FiL»-S
**•" = L*~' M ( ^•^•^•••^ p' I i-2'3 ««(^ — I ) 1.2.3.6— I 1 .2.3 ...(!>— 2)
F . L-M'-^-^-^*:ti2 p" L' M- +
I •! • g • • • t«^T- I j
1.2 3...(é — 2) '^^^ ** )-~ (AF'L*-« + (J&-i)FiL'-*)M + , (F"L*+'+FaL*-»)>
453
T>3
^ i.z i .z
+ ( b+i) F" L* M-'4- ( b-ì) Fi L-»M-»)+ •L*-»NUF'-f(i-i)FiL"') =
^1.2 r ^2 '
M» + ((i+i)F"L» + (.-&-? )F a L'-J) MH-(;&"F'L*-'4-(&-i3Fi L*-* )N,
.1.2.3 ' • *
F" L» M-'+^^^^^^'^^F' L-'M-' -t- 1.2
i F"'L*M-34-F3M-3)+L*-*MN
I (i&Cit-i)F'-4-(£-iX/&~2)FiL-'+
' (iH-i ) F" L» M-'+ (i-2) F» L -'M-' }+
! L*-'(Pi&F'4-(i&— -i)FiL-0 =
V 1.2.3 I •* «3
1.2 / ^^
JXID ^ (i(i&-i)F'L»-*H-(J-i)(A-2)FiL*-0 MN-f((J+i)F"L*+(i&-2)F*L*-0N +
(ìF' L*-* + (* - I )F I L*-»)P + (f"'L*^* + F3L»-5), •*•'-
iXlV)
454
^ 1.2 '3 1.2.5
F 2 L»-5) MJ+ ( H*~0(*-^)f> l*-3 +
X , • z ((.&4-i')'&F"L*-'+(*-2)(i&~3)F2L*-4) MN+(ì(ì-i)FL*-»4-(&-iXj&-2) FiL*-J)mP4-((ì&+2)F"'L*+' +
(A~3 )F3 L*-4) M4-{Ì^'-lr L*-« +
((44-i)F"L* + (è-2)F2L*-0P + (iF'L'-' + (&-i)]^iL*-*)Q..
I • 2 • g • 4 /
(
*■• 3
/
(*-iX*-0-.(*-4)- „ . ■*"
mri: — ^P'I-'-O m'n+
P7~ ^ F I L*-*) M« P 4-
' • * 1.2
TT"^ — : FiL*-'«)MN» +
(( W-i)éF "L*-V+(A-2)(A-.3 )F j L*--») MP4-(A(A-,)F'L*-»4-(é-0(A-2) F I L*-0 M a+ ( ^-^-i-i^ F" L*-' +
P77— ^ F 2 L*--» ) N* 4-
(*(A-i)F'L*-*+(ifr-O(*-»)FiL'-0 *
NP+((H-2)F*"L*-^'-f-(A-3)F3L*-4)
N+((i4-i)F"'L*4-(À~2)F2l;*-0o-i. (AF'L^-4-(A-,)FiL*--)R, ^
I • 2 • • t O
'X.2...6- ^F.L*-r)M*+
(H-
45<5
I .2 . ..^5 '
i . z . .. . 4- '
f f* +» ) ^ ( & — » ) p» L»_j _^
1.2.3 y
1.2.3 f
(i-3X^-4X^-5) p L*-« ) MJ 4-
1 . 2 . .1 . 2
I . Z . I . 2 -^
(
(ft+0&(&-i) p. j^j^ , ^
I . 2
(6-
V I . Z .1.2 """""""
F2L*-0MN*4- (*(&— i)(i-2)F'L*-J
((i&+2Xi+i)F'"L* + (*-3)(^-4(F3L*-0 MNH-((Ì4-i)èF"L'-*4-(i-2)(i&-3)F2L*-0
MQj4-(é(A-i)F'L*-*+(*-i)(;&-2)FiL'-0 MR + (^i^^F'L*-^ +
1.2.3 ( (fc -h 1 ) i&F"L'-« -f- (i- 2 X6 -3 ) F 2 L*-4 ) NPH-(i(A-i)F'L*-*+(A-iX'&-2)FiL*-0 Na4(^i^-^F'L^-»+^'^'-^^F,L*-3)
^* ^ I . 2 1.2 ^
((ì+i)F"L* + (ì&-2)F2L*-0R+ (i&F'L*-'
4^(i-i)FiL*-0s +( F'^L*^^+-F4L*-0, ce. ec.
455. Considerando queste quantità ( XIV) , e la ( XIII) Tav. A veggio esistere in esse un an- damento costante 9 per « cui indipendentemente dal- la Tavola potremo con facilità determinarle nell' m m m istes*
45« istesso modo successivo $ come accennammo nel (N,«>4j8) determinarsi le quantità (/X) con que- sto di più solamente , che laddove in "^ il nu«
mero degli apici sia - — H i , devcsi a ca- gione della (XIII) Tav. A sull'ultimo del risul* tato aggiungere la quantità
^ --PL(»tO*-K»_f-F(*H-OL*-t»-^').Perciònon tutte le ( XIF) vengono a contenere una quanti- tà corrispondente alla ( XF), ma quelle la conter-
ranno solamente , che ricavansi dalla **• C * "+" ') con la successiva supposizione di il = o , i , 2 , g , 4, ce. onde la conterranno le '*'',■*'", '4'"', '*'''"> "Ir^' ec. , e noa le altre .
Ottenuta pertanto dalla ( X^) con la suppo- sizione di k = o la prima quantità '{^'«nioltiplico amendue i termini di questa per.L""*M, e per gli esponenti rispettivi della L in essi contenu- ta, aggiungo al prodotto la quantità F't^*'*'*^ 4-F2L*-* ricavata dalla (XP^) facendo k=i , e mi verrà la "ir" . In seguito moltiplico ciascun termine dalla "ir" per L"«'M, e per 1* esponen- te in esso della L , moltiplico i due termini del- la "¥' per L~* N , e per i rispettivi esponenti del- la L, divido i termini, che mi derivano per gli esponenti delie M , N risultati^ e ne verrà la quan* tità "ir"' , In -generale ricaveremo \a. •*•("') mol-
tipli"
1
459 tiplicando primieramente tutta la i^(*-x) «c^
L-'M, tutta la •i't»-*)- ( per i N.' 4j8, g ) per L-» N , tutta la ^^<"— »>— «gj l-i p i
** "■ ' per L-'Peci poscia moltiplicando dascun termine , che risulta per V esponente del- la L nel termine, da cui deriva,- e dividendo esso per gli esponenti della M, N, P,ec. nel mede- simo contenuti ; e finalmente , se m sia uno dei
numeri i , 2 , 4 , 7 , i x , ec. ■— -h 1 , ag^
giungendo al risultato la quantità , che corrìspon« dentemente proviene dalla (XF),. 457. Se sia data V Equazione
i{t^ I),
e se in essa in luogo della y sostituiscasi la quantità
Lx" +M**~'-4-Nr*~'H-P;r*~'+cc., è facile a vedersi da quanto si è detto fin qui, che ne verrà il risultato
mmm 2 Se
Se avendosi i& = 2 , l* Equazione data sia la
le quantità (XIV) diventeranno
•ir" = (2F'L-l-i)M + (F"LJ + F2), •*•'"= F'M* +3F'L»M-f-(2F'LH-Fi)N •i-"'= 3F"LM»4-2F'MN4-3F"L»NH-
(2F'm-Fx)P •i-" = F"M3+6F"LMN+2F'MP^- F'N»^-3F"L*P^-(2F'L+F^)Q. -ìr"= 3F"M»NH-6F"LMP+ 2F'MQ.-+- 3rLN» + 2F'NP4-3F"L'Qj+- (2FL + Fi)R
ec. ec. ec.
468. Ritrovare per serie il valore delle radi« ci di un' Equazione determinata , che pel ( K.° 306 ) supporrò già libera dalle radici uguali ixmi) Ay'" 4 B^"*-' •+■ C^*-* + ... .F^"'-^"-*) 4- Qym-{»-i) ^ H»'"~"H-Iy'"~ (»+i)4. Ky*-< *■*■•> 4-. • . . 4- V = 0,
Chiamo perciò x uno qualunque dei suoi coefficienti , per esempio il secondo , e la riduco così alla (X/X)Aj>-»-hrjf«-«-f.Cji--»4-cc. =0. Ciò (atto , essendo quest' ultima un' Equazione indetermina- ta, la risolvo secondo il metodo del (Capopre«
ce-
4^1
fedente), pongo nelle serie, che multano, B in luogo della x , e da esse si avranno per serie le radici della (XFIII).
Ponghiamo giusta il (^.0400) nella (XIX) « = L jr« ; nella ipotesi di x =00 risulteranno per x
i due valori ce' z=z i x' = , e avremo in
corrispondenza per L le due Equazioni LH-i = o, L««x4-v— o. Dalla seconda di queste , allorché i«— I è dispari , vedesi che per Lsi ricava un valo- re reale , e glialtri tutti immaginari; e quando i«— i è pari , per la stessa L di valori reali non se ne ritraggono che due soli , o nessuno ; ma nella no* sera ipotesi ciò deve sempre succedere necessaria- mente • Dunque od un numero m — 2 , od un nu- merò m — 3,0 tutte le serie 3 che troveremo , saran- no involte di quantità immaginarie , quantunque i valori corrispondenti della y possano essere reali. Sostituiscasi nella ( X/III) la x in luogo non della B, ma della C, ne verrà la A^'* + B^'»-* 4- xy'^^^-h ec. +- V = o , e supposto y=:L x^ ,
;r =: 00 troveremo per oc i due valori «' = — , «' — , e per L le due Equazioni L* + 1=0,
L'"^*^- V = o . Poiché qui pure i valori della L sono o tutti , od in numero di 1»— 1,0 dii» — i, odi I» — 4 im TI agi nari , verremo air inconvenien* te medesimo dell' altro caso . Lo stesso si dice ^ se pongasi la x in luogo del coefficiente D ,0 deir
al»
4^2
altro E, ec, giacché per L risultano in comV pondenza le Equazioni L^ ■+ i = o , L'"-^ + V = o , oppure L^ + i = o , L*"""^ -f- V == o , ce-
469. Dunque la soluzione, the abbiamo ac« eennata » del nostro Problema ( N.® 4^8 ) è molto inopportuna. Di più le Equazioni in L possono esser tali y che noi non sappiamo risolvere , e in tal caso il nostro metodo di soluzione è impra* ticabile. Dunque converrà abbandonarlo , e ricor- rendo ad altro migHore, ponghiamo la x j^lla ( XVIII ) in modo , che gh' m valori della L vetì* j^ano a dipendere da m Equazioni tutte del pri- mo grado «
Suppongasi perciò la (XVIil) ridotta alla
^ ^^f^\ + f'^^f^^ -4-.... + *A:^=o,e sup- pongasi in questa x = oo,jf=L,jr«: avremo la serie di esponenti (XX/) ma^(^ m— i ) oc ■+• ^ , ( m— 2 ) « + y , ( «1—3 ) « -h ^, (i« — 4)ac+5 ,(w— j )fl^ + <,ec. ,u;: Affinchè i valori della L contengansi in m Equazioni tutte del primo grado , anche la a dovrà in corrispon* denza avere m valori diversi , e questi dovranno evidentemente esser tali , che col loro mezzo gli esponenti (XXJ)debbofto risultare tra loro suc- cessivamente uguali soltanto a due a due , e mag- giori degli altri » quindi pel primo valore della <x il primo esponente deve diventare uguale al se- condo , e maggiore dei susseguenti , in seguito T esponente secondo per un nuovo valore della a(
dc^
4^3 deve risultare uguale al terzo, e più grande de- gli altri, e così in progresso. Ora paragonando giusta il ( N.® g93 ) il primo dei (XX/) espo- nenti con quei, che seguono , abbiamo per « i va* lori
"^fl <2 ,— 5 -7 > "7 ' T" ' ^*^' 17 ' Paragonando pel
( N.^ 39^ ) il secondo esponente con gli ulteriori , annosi i risultati
KiiDr-^, — 7^> ~ > ^^ >cc.^;-^iDalpa.
ragone deir esponente terzo si ottengono j. valori
uiF)i^y, — -, ^~,ec. ^3:7; Dal paragone
del quarto derivano le, quantità r — $ ^ — ^ \XXF) e — S ^ — - — , ce. , ec* • Dunque , acciocché
succeda rapporto ai valori della » quanto è stato ora accennato, converrà che in ciascuna delle se- rie (XXII), ( XXIII )yiXXIV), (XXr),ec. il primo valore sia maggiore dei susseguenti, e pe- rò che si abbia dalla (XX//) y< 2 ^, ^ < 3 ^, «<4jS,^<5jS,ec. w<»8^, dalla ( XXIII)
< — ^<4(7-^),ec.,w- ^<(«-iXr-/^), dalla(XX/r)«-y<2(^-y),<-y<3(^-y), ec. ,w — y<(»!i— i )(^— y ) , e così di seguito . Pertanto sarà necessario attribuire alla y un valore < 2 ^ , alla ^ un Valore 3 ^ $ ed insieme
< 2
4<54
< 2 7 — jS, alla £ un valore minore di ciascuna delle tre quantità 4/3, 37 — 2j3, 2J--7,alla^ un valor minore delle quattro 5 ^ , 4 7-^3^, 3 tf — 27,2 « — jS,ec.;masesiay<2^,J<2 7— 13, É< 2 J — 7 ,<<2«— ^,cc., è facile a vedersi, che queste quantità 7 , ^ > « j < > ce. risultano corris- pondentemente minori ancora delle altre quantità so- vraccennate • Dunque pel nostro intento dato alla ^ un valore qualunque, basterà determinare le 7, ^ , j, <, ec. in modo che 7 < i ^ »^ < » 7" /3> f<2^ — 7, K<t £ — J, ec.
470. Valendosi questi esponenti tutti i nu- meri interi, il massimo valore, che possa attri- buirsi alla 7 sarà 2^—1, il massimo da attri- buirsi alla S sarà 27 — ^— 1 , il massiinoìta dar- si alla f sarà 2 J — 7 — r , e così in progresso . Dunque supponendo 7=2 ^— i , J= 2 7— /2'-i , « qS:2 ^-7 — i,< = 2fi— ^ — I, ec, avremo con la sostituzione la serie |S,7=2^— i, ^ = 3 ^—3 , É = 4 jS — 5,^ = j^— 'io,ec. Ora i numeri , che in questa si sottraggono , formano una serie a differenze seconde costanti , di cui il termine gè-
nerale è ■ Dunque uno qualunque di quc* sti esponenti verrà espresso da »j3 — 2 H =
2
471* In conseguenza dei valori ora determi- nati delle ^, y, cT, « , <, ec. la (-XX) diverta
(» — tK *^— »•♦•«) .
sx » ^•-(»-«)H-.
» ( xfj — n-i-r )
• X » ^•-<»+i) 4-
(i»-f->K«f --»~i) tox ' '* ^•-(■+») ^
(»-t. })(tf — «-'») -w
e gli esponenti liTJÌCi) diventando
M«, (W— l)«-f-/S, <«— 2)<X-|-(2^— I ) , («-»)« 4- =—; ^,
(iw — (»-M))«4- ^--S—^i— i^ ^, ec.
la oc acquisterà i valori «'=:/S ,«"= |S — i > «'"= jS—i ec. at*> = /5— (»- 1), «<*'^'» = |S — », ec. 472. Stipponghiamo « = «<•■*■* =^— »,e nnn sosti»
^66
sostituiscasi questo valore negli espooemi ( XXP7J) ;
esci diverranno
»^ — » « , «1^ — . ( «r- 1 ) » , i»i5— ((«— 2) »4-i)>
wjS— ((« — ») vH 1 — ) ,
( n f T ^ li
»jJ'-((Mr-(»H-i ))»+'— j ,edaf-
cuno di questi vedesÌ9 che verrà espresso dalla forinola
ttxix)w |3 — ((«r-^)»-^^ ^~'' )» <3alla quale na-
scerà l* esponente primo > allorché |^=o, il se- condo , quando ^ == i > il terzo, mentre^ = 2 9 ec« Ridotta la formola ( XX/X ) alla w ( /J — » ) -+-
^ ^ , e trascurata per ora la parte «i ( ^— »)
diamo successivamente alla g prima i valori n , »— I , »— 1 ,»— 3 ,cc.« — r, poi gli altri »4-i » » 4-1 » « +3, » + 4 , ec. » -h / . Per Ja sostituzio'
ne dei valori primi avremo dalla C-i2 — ' ""^ *
i risultati esposti in (XXX) nella prima colonna verticale, dalla sostituzione dei secondi avremo gli esposti nella colonna seconda . Ora ogni due ri- sultati di ciascuna linea sono uguali fra loro, e di più vanno essi via via decrescendo , quanto più
dali'
4^7
dair alto discendesi al basso , cosicché i due pri- mi sono maggiori di tutti > i secondi son minori dei primi y e maggiori di quei, che seguono, j terzi più piccoli di quei , che li precedono , e mag« giori dei susseguenti, e così in progresso. Dun- que aggiungendo a cilscuno dei risultati ( XXX ) la quantità m(^ — zr) ne viene, che gli esponen- ti nesfmOj ed »-+-! esimo ^ gli altri n — i esmo ed » H- z esmo , i terzi « — 2 csmo , ed » + 3 I esimo , ec* saran tali , che uguagliandosi tutti fra loro corrispondentemente a due a due , i primi due saranno i massimi , i secondi due quelli , che ai primi maggiormente si accostano , i terzi quel- li , che immediatamente succedano ai secondi , e così di seguito
( XXX )
! «*-+-« — 2 ir*-+-if — 2
^=:»-i, j , ^=«+2,
g=M—l, , ^=»4-3> 1
»*+« — 12 »»-+-» — I* g=^—Ì3 1 » ^=»+4> j—
ec# -^ ce. ce. ec.
g^n-r, -^—
. . n^+H^s(s^i ) I , ^ i-^+^f — £
474. Avvertasi, che supposto!* + / = M) «e
I nnn z r=ny
I i
4^8 r = » , / = 1*4. 4 , e però m aumero dispari , ed n = — -^ , ;iIIora esisteranno in dascuna co»
nv I r
lonna — termini , e però fra gli esponenti
( XXVllI ) 1 primi liguaglieranno rispetti-
M I I
vamente i secondi . Che se restando r-f-/
= m, i numeri » , r, / S^nno valori diversi dagli accennati, allora 1' una delle colonne sarà più lun*
f;a dell' altra, e i termini, che nella colonna più unga sopravvanzano , e però gli esponenti cor- rispondenti non avranno nell' altra colónna ter- mini , od esponenti rispettivamente eguali. Ancor essi però anseranno vieppiù decrescendo , quanto più la colonna discende*
47 S* Vogliansi gli esponenti della serie y=- L Jf" -+- ec. ( N.® 413 ) essendo *" , j> le variabili del- la ( XXr/) , ed essendo x^aS'^*) =^— »(N.»
470»
Poiché nella ipotesi di (x=/S — » abbiamo gli esponenri (XXVIIl), i quali procedano nella lo- ro grandezza giusta 1* ordine delle quantità (XXX), ne segue pei (N.* 407 , 414 ), the sarà
7r = »(^-»)H ^_-,w'=iw(/S-,)-4 — ,
W =:i«(/S-.«)H ,
n^ + n'^iZ
= «(p — »)-4 , ec.
469
»«'■»• ») =*i.(/5 - ») + ̱!L:l!±i2. Ora «ot.
2
traendo giusta il (N.O425) dalla n le quantità ^",ff'",ir'^ ec. ?r<'-^0 , ci risulta ^'--n'' =: r.
Dunque eseguita T operazione citata del ( N.®4i j) , troveremo , che la serie degli esponenti richiesta sarà la seguente ^m^oc— i,ac— 2,« — J, éc., on- de essendo a = jj — » , la <ixxi)jf = LJt«H-M^«- «-+-N;t*-*4-PJt«-5 + ec. ci esprimerà una qualunque delle radici della iXXFl).
47^. Volendo ora conoscere il valore delle quantità L , M , N , ec » non avremo che a ser« virct del metodo dei coefficienti indeterminati (N.042J); ma perchè, troppo lungo sarebbe il sostituire la quantità L x^ + ec« in luogo della y ^ come nel (N.^426)) noi ci serviremo piuttosto del metodo esposto al ( N.o ^66 ) nel modo se* guente •
Prendo nella Equazione iXXVI) il tèrmine
f Jt— ;— - «•-" corrispondente alla ipo*
tesi di et = « <•+») = ^ - » ( N.* 472 ) . Suppongo io esso r esponftite della y ; cioè m—fi — b, e
suppongo r* — ^=/; risultando perciò
470
_- -/ + (*« ;
i '»
avremo gli esponenti — — —
(«-gX^^-''-f-4)^^ (3 * + <?), ec. e gli altri ^JLìÀìtzlì^jf ^^.C«4.z)(»^^-«-x)
=/+(2«-i), j
" ^H-Cj*"— 3)»cc.. Ciò essendo , scrivo la nostra, Equazione , col porre a principio il termine / jt' j>* , poscia al dissopra in una linea orizzontale tutti i termini , che lo precedono , in un* altra al dissotto tutti quei, die succedono: essa con ciò acquisti la forma
Dunque , supposto / = F' , / = F" , r = F" , ec , »= Fi, 'i> = F2, a = F3, ec, diverrà essa i- demica con la {XVI)» Ora dalia (Xr/) per la sostituzione di L x* 4- M *^^' + ec in luogo del»
iajr
47»
la y si ottiene la (XFII) (N.»4tf7 ); dunque 1* Equazione medesima si otterrà per la medesima sostituzione dalla ( XXXIì ) . Ma per la determina* xìone dei coefficienti L, M, N, ec. col metodo dei coefficienti indeterminati» ritrovate le quanti- Ùi *•' , "ir" , -i-'" , ec. ,. non abbiamo che ad u- guagliare ciascuna di queste allo zero • Dunque pel nostro intento non avrò che a cercare giusta il ^-N^465) le accennate 'f'',^",'i'"', ec., poscia a supporre "ir' = a, 'i'" = o , *'" = o , ec i e dalla soluzione di queste Equazioni ci risulterà il valor domandato dei. coefficienti L, M, N, ec.
477. Ciò di fatti eseguito , poiché ci risulta Fi F 2 F'9 Fi' V'
r ' *- — j,. > ^^* — * bit'* •
-_ (»Fi»F"-f.FzF'J)(F2 F'3-f.Fi'F") .,
N = — pj^^ , ec., il va.
I lore della y nella ( XXXII).; os»a nelU ( XXFI) I 8àA in generale
(2Fi*F"4-F2F'JXF2F'J-Fi'F") -_^.
FrTT5 *P-^*^-ec,
e supponendo quiv^ successivamente xr = o, 1,2, 3 , ec. , nt^i, e sostituendo in luogo delle F' , F I ,F", F 2 , ec. i rispettivi coefficienti ,' otterremo un numero m di serie esprimentici le m radici della iXXVI),
478. Ma noi vogliamo la soluzione della ( XVm ) ( «.• 4^8 ) .Se la ( XX), e però la
(XX^)
47* (XXrr)è provenuta, come è stato supposto nel < N.* 459 , 470 ) , dalla (XViII ) , converrà che ì coefficiènti di quella a , b y x ^ ec. , i quali colà lasciammo indeterminati « dipendano dai cocfficien* ti A , B , C , ec. di questa , e dalla x • Suppon-
ghiamo pertanto nella (XXPl) rf = A,é = -j , __ C • F *'
X X
G H
X Z X Z
I__^ K
X Z X z
( N.^ 469 } 471 ) : con questa ipotesi , qualunque siasi la r, le due (XFIIl)^ {XXVI) sono iden- tiche fra di loro. Dunque, se porremo le quantità H i G
»( X p— w ->- iT* (» -f- !)(>■# — *j* (»~i .11 ^ — n-*- x\ ^ X Z X z X z
,— ^ , ec. nei valori ( XXXIII) in
luogo delle F' = /, Fi=*, F" = /,Fa=«r, ec. (N*'47tf), i risultati, che ne vengono, col- locati nella ( XXXI ) ci daranno il valor genera- le della y nella ( XVIIl ) ; valore, da cui ritrarre- mo per sctk tutte k radici di questa £quazioncs
col
4 7i col supporre «uccessivamente » = o, i , i , 3 , cc« (»— 1) (N.*477). Ora eseguendo le accenna^ te sostituzioni, col porre per maggiore sempli-
cita, come nel ( N.« 475 ), <^^-''+'^ ^^ , ^c. ,
ci risulta
■ , _ (2i'G-f-H3K(KH* — GU)
^ HsiJx*— * «c-> onde la
(XXXI) diventa
frry.^ — I K H» — G P
(xr)jr=_ + — hTi— +,
(zGl>4-H?KXKH> — Gp/ . "— jjj ^3 — -f- ce. , .
scomparendo la x da se medesima . Dunque qua» lunque valore si dia a questa x, sempre dalla ( XXXl ) si otterrà la medesima ( XXXr) j e per conseguenza^ a maggiore semplicità potremo pel no- I stro intento supporre, che la x abbia il valore I , e però che <? = A , i^ = B , <■ = C , ec.
479. Tutte le proprietà esposte finora, e que- sta ultima specialmente, per cui abbiamo alla x attribuito il valore i , e 1* altra del ( N- ® ^66 ) , per cui dipendentemente dalla sola formola
corrispondente al termine "^^ % ) ^ possia«
mo trovare tutte le quantità ( XIV) , ci servi- ' ranno non difficilmente alla immediata soluzione per I ODO se*
474
serie della (.XF/Jf), senza ricorrere alla soluzio- ne della (XX^/); come vedremo nella operazio* ne seguente , operazione , che applicherò in pri- mo luogo alle Equazioni particolari
ixxxni) A^J + By* + C^ + D = o ,
per poi passare alia generale (XFIII), e opera- zione, di cui ognuno potrà agevolmente dedur la ragione da quanto finora si e deno.
480. Prendendo la prima delle Equazioni da« te , suppongo nella ( XF) /& = a , onde avete la formola P<*-»-0 L*+ » + F(/è-M ) L»-<»+'>, seri* vola nostra Equazione come segue o = A j»» + B jf -h C , a norma cioè della ( XFI ), e supponendo, che fatto x'=i, questa (X^^si riduca alla ( XXXr) , pongo F' = A , F 1 = B , F" = o, F2=C, F"' = o, Fj=o, ec. Ciò eseguito , col fare successivamente K=o,i,2, 3 , ec. , e collocando in luogo delle lettere F' > Pi ,-^F", Fa , che ci risultano, i loro valori, de- termino pel C N.» 466 ) dalla F**'*'»)L«-^* 4- F(* + i)L*-<* + Oje quantità -ir' = AL*-t-BL, -*•"= (2AL+B)M4-C, •*•'"= AMh- (2AL + B)N, *'''=» AMN-4-(2AL + B)P, '**'=2AMP 4-AN»-f-(2AL+B)Qf, * =2 AMQ.-+-2ANP-t-(2AL-f-B)R,
ec. suppongo ciascuna di queste = o , sciolgo le E-
qua-
475 quazioni corrispondenti > e ritrovando con ciò
^ 5A3C4 ^ X4Q4O
Cl=^-y— >R= Bp > ce, la sene
'— B C AC» » A'O 5A»C4 J''~"'aBB>- B» B' "^-
— g; h «c. > ci darà una delle radici della
iXXXFi),
Affine di avere per serie la radice seconda , scrivo nuovamente qui sotto la( XXXVI) , ma. la scrivo ponendo' prima il termine Bjr, poscia nel- la linea superiore il termine Ay*, e nella infe- riore il terzo C: o^^By"^ q^ . Ciò fatto , dal
paragone di questa con la ( Xr7) avendosi 6= x,
F'=B, Fi = C, F" = A,F2 = o, F "=o,ec.
riduco la (XV) alla F<*-*-'> L«**4- F(*-4-i)
L« -(»+»), e quindi giusta il ( N.» ^66 ) trovando
essere
•*•' = BL + C,
-ir" =BM4-AL»,
*"'=2ALMH-BN,
*"'=AM» + 2ALN-f.BP,
*^ =2AMN+2 ALPh-BQ.,
*"' = 2AMP + AN»+2AL 0.4- B R ,
ec. uguaglio ciascuna di queste quantità allo zero « 000 a de*
4^6
determino da esse L = ^ -j* » M = p"
«— BJ"»*^~ B7~»^~ li»"" »
R - — ^ , ec. , e avremo la seconda radice
" — _-— AC» ìA*0 5A3C-* I4A4 0 J' "■ B B» "* B» B' B»
B" *
481. Passiamo a sciogliere I' Equazione ( XXXVII ) . Prendendo in essa in primo luogo il termine «' come corrispondente al termine FV (XFI), faccio i&=3,F' = A,Fi = B,F"=o, F2=C,F"' = o,F3=D,e converto la (XV) nella F(*+«)L»*» -4- F(* +i) LJ-<**') .Ciòpo- sto , determino col solito metodo le quantità -*" = A U -f- B L» , *"=(3AL« + 2BL) MH-CL, '«'"' = ( jAL-f-B)M' -HCM-i-
(jAL»4-2BL)N, *'* = AM» + (<5ALh-2B)MN4-CN +
(3AL*-h2BL)P+D, *'= 3AM»N4-(5AL + 2B)MP +
(3AL + B)N«+CP-f-(3AL»+2B)Q., ec. uguaglio queste allo zero, e trovati, come sopra i valori delle quantità L , M , N , P, Q. , ec. avremo •'=——-1-— El A«C?+3AB(:>+AB»D . ' A "*" B " B* li *"
477 2 AB»G^ — (5A»BC4— 3A3C*-gA*.BJCD
ce.
B'
Venendo alla determinazione della seconda ra« dice f prendo nella ( XXXVII ) come primo li termine Bji* , e in vece di scrivere nuovamen« te questa Equazione giustala (Xr/), come ò fat- to nella { XXXVI )y la lascio per maggiore sem- plicità come si trova , faccio Y esponente del By* , cioè il i = i&, il coefficiente B = F, chiamo F", F", ec. ì coefficienti dei termini , che precedono questo, chiamo Fi ,F2., F, Fj , ec. i coefficienti dei termini, che gli succedano , onde sia F" = A, F"' = o,Fi=C,F2 = D,F3=o,edaIIa(Xr) determinata F<*-»-»>L»-^» + F()fc4-i ) L*-<*-^*> , istituisco il calcolo, come negli esempi precedenti;
"' __ Q E' D A C
e da questo otterrcwo j>"= — g- -H ^^^ h
B* D' -f A B> O D — a A»C<
" B»C'
2 B» 09^, ^ A» B> C<^ P ~ 5 A? C»
57c5 ^ *^' •
Finalmente per determinare la radice terza,
preso il termine C y , faccio i= i , F' = C , F" = B,
F"'= A,Fi =D, riduco la (XO alla F**"*"'^ L»"^»
+ F(*4-i)L'-t*-^»), e fatto il solit» calcolo
. ,„ D BD» 2B*DJ CI verrà jr =-~ _.-__,
<B5n4--AC9DJ i4B^D^~5 ABOD4
— -^ -^ ec.
482.
47»
4^2. In generale volendo per serie una del* le-tAdicì della (XVIlI), mi formo là' sene jf = L+ M-+-N-I-P-I- Q.H-R + ec. , e preso un termine qualunque dell* Equazione data, per~è^ seropio il termine Hjp*~* , liccio 1 * esponente m — n^byiì coefficiente H = F', chiamo F", F'", ec. i coefficienti dei termini a questo precedenti , chiamo Fi, F i , ec. i coefficienti dei termini ul» teriori , cosicché F " = G , F" = F , ec. , F i = I , F2=K,ec. , e dalla (XF) deduco la
In seguito col mezzo di questa fbrmola servendo- mi del metodo accennato nel ( N.*> 455) determi- no le quantità •*"',"*•", "i^'", ec, avendo sempre presente , che solamente nei risultati compresi dal*
Ja "^^ » ■*'*^ devonsi aggiungere i valori » che si !inno corrispondentemente dalla ( XXXIX ) ( N.* ^66 ) ; formo le quantità -i^' = o , "Ir" = o, •*'"' = o , ec. ; determino da queste i valori delle quantità L , M, N, P, ec. , il che sempre ot» terremo senza ricorrere ad Equazioni di grado su- periore al primo ( N> 459, 4:5 ) , e tali valori sosrituiri nella (XXXVIII) ci daranno il valore domandato della radice.
Questo in generale è il metodo da tenersi per una radice qualunque della ( Xr/I/) ; supponendo poi successivamenre » = o, 1,2, 3 , ec. m — '» e però in corrispondenza
> = «!
419
h =M } |
m — |
t» |
«1— 1» |
2 1 |
« — J, ec. |
I , |
F =A, |
B |
9 |
C |
D , ce. , |
u. |
|
F"=o, |
A |
9 |
B |
C , ce. , |
T, |
|
F'" = o , |
o |
9 |
A |
B , ce.. |
s, |
|
F = o. |
o |
9 |
o |
A , ec. |
R, |
|
ec. |
ec. |
|||||
Fi = B, |
C |
9 |
D |
E , ec. |
V, |
|
F2=C, |
D |
9 |
E |
F , ec. |
o , |
|
F3=D, |
E |
y |
F |
G , ec , |
o » |
|
ec. |
ec. |
Essendo A,B,C=,ec«,T,U,Vi coefficienti tutti della (Xr//i);sc convertitemo la (XXXIX) cor- rispondentemente nelle F< *-^*> L"-^* -h F (il + 1 ) L— (*-^'), Iì(» + OL* + (*-*) -|-F/è + r L"'"<*-*-*» t pi* + 1) L-*<»-«)H-F(t^_,)L—(*-*-3), pi+O L"-^t»-3)4-F(*+ i)L— <»■*•*) ec F<*-*-*> U* + «> + FUH-i)L-*,e se repliche- remo sempre il medesimo calcolo (N.^455) d risulteranno così, come nel due esempi preceden* ti, tutte le m radici della (XVIII),
483. Merita riflessione il caso, in cui qual- cuno dei coefficienti A, B, C ec. sia zero. Se sia per esempio zero il coefficiente H , potremo bensì trovare le m — 2 radici della ( XFIIJ) , che corrispondono alle supposizioni di h^m,nt — i, w— 2,ec «» — »-+■ 2,» — » — i,ec, i;roale due radici corrispondenti alle ipotesi dih=tu- »+i , M — » , non restano col nostro metodo detcrminate dalle ( XXXIF) , XXXr ) si vede , che «el primo
di
48o di. questi due casi ottiensi
y*^== -ttH 1 h ce. e nel secondo
y»+i)_ ^_ ^gc. espressioni amen- due, delle quali non conosciamo il valore.
Affine di togliere un simile inconveniente, al* lorchè qualcbeduno dei coefficienti della (X^///) è zero , sqppongo y = u + r, sostituisco , e invece di sciogliere 1* Equazione proposta , risolvo laTras- iermatt , ponendo in seguito y — r invece della Uy e dando alla r quel valore , che nelle diverse circostanze vedesi piiì opportuno a rendere lese*- rie più convergenti .
Se sia per esempio Aj>*-+-C=:o 1* Equazio- ne data; con la ipotesi di y=:*-i-r Ri trasformo nella <*«* + ^« +rr=o,in cui rf = A,è = »Ar, ^ = A r* + C , ottengo pel ( N.« 480 )
a b i^ ^ by -^ b7
- "■ b • bi ^T ^7- *^*' sostituendo in luogo delle quantità « , »" , tf ^^ > e i valori corrispondenti , e otterremo y'^, i^r I Ar'+C A(Ar«4-C) •f A ^ 2 A r 8 A3 r* ^
2A'( Ar«yt-C)i 5 A3 (A r»H-C)^ .
gZAir, "^ i28.A7r' "*"^*^*
•^ '-^ 2Ar " 8A^r3
a A*
\
\ '5
• • • • ^
«« -t-t^-f-^lf + rf*
[-1. >---■
r'
K)L— T—
M"
»(*-x)
N/7
. Vi-
or
>Af,(Ar*4-C)» 5A»(Ar»4-C^4
32A»r« 128 A? y' ■" *^'
Facendo quivi r = i , ne verrà
. A4-C . (A-hC)* . 2(A4-C)» .
iz8A* •'- A + C (A4-CÌ» 2(A4-C)» J'""' xA 8a» *" 32A9 ""
Ìii±^-ec.. 128 A*
CAPO VENTESIMO.
Della solmione per serie delle Equazioni Algehraìeie
gol tneztsio delle fra%ioni continue , e Rijlessiotti
ulteriori intorno alte Equazioni ridueibili
a grado inferiofe •
4S4. V ogliasi risolvere la Z = o ( N.* 41^/) hducendo il valor della jr in una frazione continua Suppongo perciò il) jr = X'i_i
X"
X"'-+i
X'^i
X' + i
' ' X"' + ec. , PPP w
4Sì in cui X'=L ^, X" = M x^ X"'=N ;rY , X' r=p^» ,
X' = Q ;r« , X'' = R xt , ec. Avendosi— = -^
==-^ x-t, ed X'-^YT- 0.** ^' "r *"" ^ » ** sia — ^ < f ; fatto x= oo , àovA ttt; svanire rap- porto ad X' . Così svanirà -^ riguardò ad X'*
nel caso che sif/— «<J; scomparirà ^ra^por»
to ad X'", se — ^<y, e così di seguito. Dun- que se porremo gli esponenti « , jS , y ,^ , é , ec. tali che (//)«> -I?, /S>— y, r> -3', ^>.-«, ec.,- nella ipotesi di ^ = oo la quantità X' H- r si
''■■'■'..•.., .■:.,-5F+ec cangierà nella X'., la X" H- 1_ .nella X" , la
•^^^ X"'-f.ec. X'" H-i nella X'"; e così in progresso. • • X'^-t- ce- si verffichino in reakà {rapporti (JJ)j e' ciò presupposto , cerchiamo ih primo luogo di deter- minare r esponente <x , ed il coefficiente L di L x" . Faccio perciò x = oo , colloco nella Z = o in luo- go della y il termine L^t*,, é come nel (N.* 413 ) troverò i due valori-^ che si domandano .
4S$. Passando, in seguito alla determinazione delle H^M, rà?cjo X;' + r =* , onde la
?•■••■ '• ' X"'H-fC.
48? (7 ) divenga y = X' H-i ; sostituisco nella Z = o ;
« eia Trasformata , che ne viene , pel ( N.<» 8i ) sarà la
{UT) p r »» H- Q^i **-« -t- R !.**'• + S 1 «*-» + ec. = o , essendo i coefficienti Pi, Q.i , R i , Si, ec. gli stessi afiFatto ,che quei della Equazione (X)
' nel (Capo i8.»).
-Suppongo ora che la L non abbia che un so- lo valore — L', come nel (N.'»4i5), onde in Q.I la quantità G' (X) capo i8.*»non possa es- sere zero , e faccio jr = <» , la nostra Trasforma» ta diventando perciò
W) F" x^'u'' -4- G' Jf»'-« «*-' + H' x'^-»««*-* 4- I';r»'-3««*-}H-cc.=o(N.*4i(5),ela*=X'jfj_ ^
. .X"'+ec. convertendosi nella u-=Lx^ ( N. prec. ) , avremo dalla sostituzione la serie di esponenti h^ + ^" ,
(*-0^-+-7r'-3«^ec.
Da questa ricavo per |S i valori
7t - 7t —«,———«,—--«, ec. ; ma
il massimo fra questi deve essere il vero valore di /S(N.«> 393): dunque sarik /S = ff' — w" — «; ed essendo ìT'>7r"(N.* 4i4,407)-^jS=:«-f t"— «■'> avremo difatti «> — jS. Vedremo poi, come nel (N.**4i7), cheacagione di (S > — «, essa fi non può avere altro valore-, che il ritrovato."
In quanto al coefficiente M h( TV) divenendo F'M*;r*^+»"-+-G'M*--«;c*tf+»"ii:o ci darà ppp 2 M —
4*4 G'
485. Colloco nella ( lil )#=M^4-— >nc verrà 1* Equazione ( ^)P2 »* 4-0.* »*"*-t-R i »*-• +S 2 »*->-*- cc. = o essendo
R 1 M*-»*^*-*^<* + S 1 M*"5 jff*-J)f H- ec.
4- ( & — 2 ) R I M*-5 :r(*-5 )f -+- ec
2 2
(t^lX^~2) Q^^ j^^j ^j^_j j^ ^ ^^
2. g ec. «e.
e gli esponenti della ;ir in P 2 vedesi^che verran* no espressi « generale dalia forma w — / 1 » •+• (^h—fi)^) dando successivamente alia ir , ed alla /igli stessi valori del (N.» 408). Così vedremo, che gli esponenti della x in Q.2 vengono rap- presentati dalla forma n —fi « + ( A —fi — 1 ) ^ , gii esponenti istessi in R 2 si esprìmono dalla tt— /i « -+- ( * -/i — a )<S , in S 2 dalla w - /« « + ( h —f 1 7- 3 ) |3 , in generale in uno qualunque di questi cocfiScienti dalla it —fi « -H ( i --/ ì — / 2) j5
(N«»409)-
487. Ponghiamo nella (T) Ar=: 00 , e pef
cìò^^NjcY. Poiché in P 2 i due termini
F"M'
48S
(FI)p"M*x»"-»-*P + G'M*-»jr»'-«^<*-Of pel va- lore determinalo della fi elidonsì fra di loro (N.®485 ), e poiché pel valore di «abbiamo co* stantementc F' = o (N.®4i4); suppongasi che il primo termine , il quale per la ipòtesi di ;ir = oo re* sta in P 2, sia tt"' — /i'« +-(i^ — /i') fi ,c chia* miam qnesto cp' ( N, 420 ) . Per determinare in se- guito quale sia V esponente , che nella nostra sup- posizione sussiste in Q^i ^ osservo ^ che i due ter- mini ( VI) del coefficiente P 2 per la natura del- la Trasformata in Qj, divengono
*F" M*-« x»*-*-(*"0(l + (ifc-i ) G' M*^» jifw'-^-f-cA-»)? j tna gli accennati termini (VI) si distruggono fra loro; dunque gli altri due diQ^2 si ridurranno al solò — G' M*^* ;r^'""*f"*-t*^*JP ^ Ora l'esponente w" + A(S = ^'— «-h(A — 1 )lS in Pi era il massimo (N-^ 485 ); dunque anche r altro 7r"-+(i— i)|S=7r' — « + (A-2)^ sarà il massimo in Q^2 , e quello per conseguenza , che sussiste. In conseguenza di questo , e per T in- dole della Trasformazione vedesi poscia che V es- ponente massimo in R 2 sarà 7r"4- (b—i ) jS=7r'— x -+-(i^— 3)1^5ÌnS2sarà7r" + (& — 3)/J = 7r — « •+ (i — 4)|5, e così in progresso.
Sostituisco presentemente NjtY in luogo della *, ed avremo la serie di esponenti ^' + ty^w'— ^ H-(i&-2)^ + (&-i)y,7r'-«4-(6-3)lJ4- (6-2)7, 7r'-(X+(&-4)^-H(A-3)7, ec- Faccio il solito paragone , e trovo per 7 i va- lori
ir' — (J)
485
^-».^.4-(*-.4Ìg , „. o„ pel( N.« 485 ) do.
vendo essere $' <z^"+b |S, ossia (f>' <7r' — «+( b—i)^^ supponghiamo (t)'=?r' — a-4-(A-i)/S — "Ì!^; si collochi nelle quantità (r/) in luogo della (^'que-
sto valore^ e avremo i risultati •*• — /S, ^,
4^ 2
/3 , ec. j ma il primo di tutti questi a ca*
gione di 'i;>o è'maggiore degli altri > dunque anche il primo dei risultati ( VII) sarà più gran- de dei susseguenti ; e perciò avremo y=:w'— (p' — oc H- ( A — 2 ) jS . Dovendo poi essere ^ > — y ( N.^ 484 ) 9 troverem facilmente non potersi per la y ottenere altro valore.
Dato alla 7 N dovuto valore , chiamato B il coefficiente j che in P 2 corrisponde all' esponen* te (f' ( N.o 421) e fatto jr==.oo, »=:Njr7, la iV) sì ridurrà alla B N^ jrf'-^*Y-^ G'M*-» N*-^
• - G' M*"» '
^^•^^7=0, e però avremo N= — r — •
I 488. Facciamo » = N jtY + - , onde dalla ( V)
abbiasi la Trasformata (ni/)p.3 ^*^Q^3^*-«-+-R3/*-*4-S3**-i+ec.=o supposto ' '. *
Pj =P2 N*;r*7H-Q^2N*-i;r(*T»)y 4-
R 2 N*-* jr(*--*>l^-^ S 2 N*^3 ;r(*-5 )1f -+- ec.
di
r
4*7
.2 / ■ Z
\ •Q.iN*-» jtrfA-))^ +ec. ,
*• 3 ec. ce.
Giascun' ebollente della x in P j verrà espresso dalla'formola w'— /i<x-|-(A — /i — /2)/S 4- ( b — / 2 ) y , ciascun esponente in Q^j verrà rap- presentato dalla n —fi at-{-{h —fi —fi ) /2 + {^b—fi—'i)y^ in R 3 dalla w — /i«4- (A -/i--/2)/3-f-(^— /2 — 2)7,- e in generale in uno qualunque dei nostri coefficienti 1* espo- nente della jf verrà espresso dalla formola f-/i«4-(i&~/i-/2)^-f(A-/2 -/3)7. 489. Ciò posto , distruggendosi fra loro i due termini- /X ) B K* xf'-^h—G'Uh-*- N*-» x»-«+(*-») ? +(*-i) y, ne' quali If esponente <|)'-f-i&y=w'— « + (6— 2)|3 -+-(À — 1^7 è il massimo esponente della jr nella (FI//) supponghiamò che il termine, il quale in P3 à l'esponente prossimamente inferiore airac-r cennato sia Cxf" ^ essendo (j)"= it'" — f i ot +
<p(:b^f" t-f" ly^ + ib-f" i)y (N.^prec): Nella trasformazione i due termini (IX ) in Q.3 divengono j^.BN*— » ^fii»'-^- (*— 1)7 — (Ir - 1 ) G' M*-* N*-* x^'-^Mb^x ; ^ + (*-») Y =
G'M
. 488
Q' j^*-iN*-»;f»'-«-v( *-i)^ + (*-*) -y, e quindi "abbiamo in R 3 un termine con Y esponente ir' -« + ( i— 2 ) ^ + ( i — 3 )y > »n S 3 uno con l* es- ponente w'-<x + (& — i)^+('B'-4)r.ecv, e frattanto in P i , e però in P 3 , Q.3 , R 3 > «e. i due teimini (TI) mancano sempre (^«487). Dunque posto ;^= 00, * = PAf*' U serie degli
esponenti massimi sarà a)"-+-i^,ff'-«4-(fc-2)^+(6-Or-+-(&-0^,
^'_- « 4. ( i_2 ) (J-H ( J&-4 ) 7 + ( 6-3) «T , ce- e avendosi da quesu i risultati
3 troveremo, come nel (N.«487), dover e«ere d = 7r'— <»)" — «+ (i — 2)^-h(&— 2)y . Cosi dovendo risultare y > — J ( N ® 484 ) troveremo » che S non può avere altri valori.
Pel valore determinato della $ rìdotM la ( Vili) alla C P* x?"+* » + G' M*-» N*-» P*-* ;r1»"+» '= o
G' M*-»N*-* ne verA P = — q
490. Pongasi * = Pjr' -4- -^, è si crasfonni
la (Vili) nella ex ) p 4 /* -h Cl4x*-' + R 4 f*-*-4-S 4^*-» 4- e& = o. Detcrminato , come nei ( N.» 485 , 488 ) , il valore
dei
4»^
dei CoefSciemi P 4 , Q.4 > R4 » ec. vedremo » co* me precedentemente, che gli esponenti della x in P4 sono 'della forma «r— /i «-+- (A-^/i — /i) /54-(ft-/»-/3)y + (*-/|)^, in 0.4 della forma w-/i «H- ( *-/'-/0 |S+ (^-^2-/3 ) yH-(iJr— /j — i)J,inR4 della forma it—fi «-+•
e in generale anno essi )a forma t — /i« 4-
Se fatto successivamente sz^Qjc' 4 j** =
R *?H — ,ec.,qx>vassimo le successive Trasformate q
P 5 r* -f Q.S r»-'-f- R 5 r*-*H- S ; >•*-»+ ec. =0 , P 6 f * -+- QjJ f *-* + R <5 f *-* -+- S 5 f »-J-h ec. = o,
ec.' eC' si vedrebbe sempre nella maniera medesima , che la formola generale dell* esponente della x nella prima delle nostre Trasformate sarebbe la «-/i «+(*-/! -/2 )^ + (b-fi -/3 )y +
(*-/3-/4)^-H(*--/4-/j)«> nella seconda sarebbe '
,r-/i« + (A~/i-/0/M-(*-/2-/3)y-+
(*-/3-/4)<J'-+-(A-/4-/x)«-+- (*~/5 — f^)K» e così in progresso. 491. Supposto nella (X) (j)"^=w"— /'"i«
H-(A-;/"l~/"2)/SH-(i-/"'2-/'"j)y +
( b — /" 3 ) J , sia D 4f1» il primo termine, che sus- siste in P4, essendosi gi3^ eliminati i precedenti. Gli esponenti massimi nel Q,4 , R 4 » S 4 , ec. tro- q q q ve-
490
veremo, come nei ( N.» 4*7 , 4^9 ) , esswe rìspec- tivamente i seguenti w' — «+(A — 2)^-4-( *— » )
y + (i — 2)J*, w'-«-h(A-2)(2-f.((tr— »)
7-f-(i&— 4)^>ec. Posto dun<}ue 4r= «6 ,e però / = Qjf* 9 vedremo risultare
«=«'-<|)"'-»-(A-2)^ + <*-2)yH-(&-2)^,e
a= 5 •
Cesi supposto
(i,-==«--/ -, «+(j -/ ^1-/^2) is-i-(i -ri-ri)
7'H-(*-r3-/"4)'J'-*-(*-/"4)«,ed E ;r(p" il termine, che resta in P 5, troveremo essere
5" -H ( * — 2 ) « , ed
_ G'M*-*N*-*P*-»Q*-* R = g ii-.
Lo stesso in seguito 4P 2. Ritrovato nell' esposta maniera il vft« lore degli esponenti «, ^,7 , d* , e , { ,«c. , e quel- lo dei coefficienti L»M,^T, PyQ» ^«ec., a- vremo quindi la dovuta determinazione delle quan- tità X'=L*«,X" = M*? , X"= N xy, ec, < queste in seguito sostituite nella' frazione (/) ci daranno uno dei valori della jr nella Z =: o . Quan* to si è detto finora riguardo al valore L' delia L supposto nel (N.*485 ) y dicesi egualmente rap- porto agli altri L", L", C , ec. , perchè siano questi tutti disuguali fra loro. Dunque replican- do sempre Io stesso calcolo, determiaecemo per
la
4^
k y altrettanti vaiorìcorrispondeiiti.Clie se due* tre » o più dei valori della L sono uguali fra loro^ ripetendosi qu) pure quanto si è detto ntì ( N^* 4>9 > seguenti ) troveremo nell' ìsttsist guisa, che il calcolo medesimo ci somministretSt bcns) tutti i corrispondenti valori delia y , ma nelle rispettive determinazioni delle M, N, P, ec« converH^ di sovente in quest* ultimo caso cadere per un cer- to numero di volte a risolvere delle Equazioni di grado superiore al primo : e questo accidente non accaderà mai nel caso considerato da prima.
49^. La precedente frazione ( Z) tanto sarà più convergente al vero valore della y ^ essendo questa reale, quanto la jr è più grande. Suppo- nendo al contrario x infinitesima , potremo de- terminare le quantità X' , X" , X" , ec. ,come pre- cedentemente , col supporre però «;<— ^,/3<~y, y < ■— ^ , ec*, e avremo così un' altra frazione conti* una tanto più approssimantesi al vero valore del» la nostra jr, quanto la x* ^ miooce. Trovate poi rapporto a ciascun valore della y si I* una che 1' altra di queste due fraiioni , vedesi , cbe in tal modo verremo ad ottenere completamente la so- luzione del Problema propostoci nel (N."484).
494. Dimandali di risolvere per frazioni con- tinue V Equazione (Xr/IJ) del (Cap.« i9.'')sup- ppita come nel ( H.* 458 ),.
Riduco r Equazione data alla (JCXFTX Gap. 19) (N.^459, 470, 471), effettuo su di quest* ultima ii calcolo preccdtme, £iccio nei risuluti qqq 2 ulti-
49* oldmi jrrrt, e però ir = A»^=:B, tf = C,ec., ed in tal modo avremo la soluzione domandata. Ora nella ( XXVI) trovasi risultare /J = i— «, y=«, ^:=i — «, «=«, <=i - «,ec*9onde la (/) di- viene
Vfx*+ 1
P;r«-*-hi
Q^x«-
R;if»-«-i-ec. Dunque in questo caso non restando più a de- terminarsi, che i coefficienti L,M,N,P,Q,, R, ec. ,e questi inoltre dipendendo da tasieÉquazio- ni tutte del primo grado, potremo per la loro de- terminazione servirci , se più ci piace , del meto- do dei coefficienti indeterminati , col ridurre cioè pel ( N.*35i ) la frazione continua a frazione or- dinaria, col sostituire quest'ultima nella (XXVI) ( Gap. ip.**) in luogo della jr, e con uguaglia- re allo zero i coeffidenti che ci risultano delle di- verse potenze della jr . Se la { XVIII) (Gap.* 19.** ) mancasse di qualche termine , ridurrei pri- ma questa, come nel (N.<'48j ) ad un' altra E- quazione non mancante di termine alcuno, suppo- nendo j»=«+t> sciogIi«rei posda quest' ultima Equazione , nei valori risultari , porrei jf — r in luo- gdo della «, e finalmente darei alla r il valore» che troverei più opportuno.
495'
493
495* Sia é^ -f. ^jf 4- r = o T Equazione data. Fatto per semplicità ncJ]a(XXF7) (Cap.« 19.*) (5 = 1, riduco questa alla 4 jf* -4- ^ Jif jr 4- f i* = oj ttovo quindi «'=19 «" = o ; e corrispondente* mente ^' t= o , /S" = i ; eseguisco finalmente i cai* coli precedenti , e fatto ^ = i troveremo
*^i
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a* -4*' . I
<i«* g .
"^^+«.
Poiché abbiamo e però '
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494
w"-t-i
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i»"'-»-x |
|
N |
|
(»»*—»)-«-« _ i-«-« |
i dueprcceaemi vaioli dell* jf si ridurranno ai se- guenti
il X-4-I
(» — O — fC.
y=.
49J
<^*L.
i-*-i
valori , nei quali tutti i successivi denominatori sono ridotti a forma positiva •
495. Mi sia permesso V aggiungere fioalmen* te alcune riflessioni sulle Equazioni capaci di ri* duzione . Quantunque siasi dimostrata impossibile la soluzione generale delle Equazioni Algeoraiche di grado superiore al qnarto; pure l'Equazioni pattico- Tari) di qualunque grado esse siansi ^ meritano una speciale considerazione. La dimostrazione del ( Gap. t^*^)^rctssL solamente intorno alle Equazioni gene- raJi^Equazioni^nelle quali si prescinde essenzialmen« te da qualsivoglia valore determinato» e da qualsivo- glia privato rapporto fra alcune» o tutte le radici del* la data; ma in una Equazione particolare , appunto perchè è particolare » le sue radici anno necessa* riamente certi valori determinati » e alcune fra lo«
ro.
A9^
ro, o tutte sono dotate di qualche particolar re- lazione. Dunque per questa relazione, perquan^- to si è detto nei ( Capi 15.®, i^>**)» la nostn Equazione doviÀ essere capace di abbasnroento , e quindi di soluzione. Prendiamo a considerare quest' ultima proposizione: sebbene potesse que« sta esser vera in tutta la sua estensione, scbbe<* bene qualsivoglia Equazione particolare potes- se per quanto abbiamo detto , essere capace di soluzione; pure da questa non risulta contfadi- zione alcuna con la proposizione del ( Numero 290 ) • Colà si parla delle Equazioni generali , e saA sempre vero, che nella Equazion generale per esempio dei quinto grado è impossibile il trova- re una formola , la quale ci rappresentt tutte le sue radici indipendentemente dal loro particolare valpre ; quivi al contrario tenghiam conto dei va- lori particolari, e dipendentemente da questi cer- chiamo le radici della data per dir così ad usa ad una.
497. Sia
( D) X» 4- A x'^-' -f B **-*+ ec. = o la data Equazio- ne particolare, e chiamata al solito V, x yx"\ ec. le sue radici , sìa F ( x' )( *" )(*'")...( *<*) ) =H r espressioa del rapporto, che particolarmente e- siste fra le X radici x\ x" jx"j,cc, , x^^i della (D) ( N.*^ j 2 1 ) . Se questa Equazion di rapporto con- tiene dei rotti , e dei radicali , la libeA» si dagli uni , che. dagli altri , e chiamo
(S)/(Ar'X*"X;c"')...(r)(*; = K 1* Equazione, ck
luo-
497
fbnzione interA , e razionale , che da ciò mi iisul« ta. Ora la nostra (S) od è una iunzione, quale si suppose la (S) del ( N.® jzi ) nei ( N.* 322 , 324, !.•, e a.*325,3.«32y mentre >i<«,327» 3*8, 329,330, jji, mentre *?(f*+i)<«), od è funzione qual fò supposta essa (iS') nel ( ^.^Vl,* 325 avendosi :k s^w) , o quale nei ( N.^ 328, 329, 330, 331 essendo 17 (/ut 4-1 )=:»)• Nella prima di queste supposizioni il primo membro della nostra (D) sari sempre dotato di un fattor ranonale (N.* 323, 32^, 332 ); nella supposizione terza sarik la (D) abbassabile ad un* Equazione del gra- do fi -hi (N.*333); ma nella seconda la nostra Equazione né è dotata di fattore alcuno raziona* le, né è ridudbile ad altra di grado minore (N.*
Dunque non possiam dire che la nostra ( D ) , quantunque Equazione particolare, sia sempre capa- ce di abbassamento, e però di soluzione: essa lo saia , ogni qualvolta su della sua Equazione di rap- porto ridotu razionale , ed intera ri verifichi la prima, o la terza delle nostre supposizioni , e non mai quando n verifichi la seconda*
498. Avvi un caso , in cui la ( ^) sembra com- presa nella terza supposizione, ma essendolo solo •ppaiememente , vkne poi in sostanza a compren- dersi dalla seconda. Un esempio ce lo dimostre- A chiaramente • Supponghiamo mt = 3 , onde la ( D ) divenga *»H-A4f»-4-Bjr-*-C =0; aven- doci jr'4-*"H-;r"' = ~A, *'jr"y"=:--C,coUa
t r r eli-
49t eliminazione della x*" otterremo x'*x"'^x'x"* H- Ajr'x"=-4-C. Sembra questa ultima essere un'Equazione di relazione delia fafma/( *', * ' ) = K; ma restando essa ancor la medesima col correla *'" tanto in luogo della x',che in quello Sella ;r", cosicché abbiamo*'» x"'-^xx"'*'^rAx x =+C , ed x"* x"'+ x" x'"* -h A x'.x'" =-f- C : m lealà è delU forma/( x, x\ x'" ) = K . Dunque questo caso verA realmente compreso nella sup- posizione seconda , e non pouà però darci abbassi- meato veruno della (D).
499. Data la ( D ) sarebbe desidefabile , che potessimo determinare tutti i casi jN^teibili , in cui essa può ridursi ad altra di grado inferiore , e di assegnare i metodi , onde ottenere attualmente un simile abbassamento.
Se noi conoscessimo la (5*) , mediante i( Ca- pi 15.^, 16.**) otterremmo subito la soluzione di questo importantissimo Problema, ma essendoci tal funzione ignota, osservo primieramente, che se nella (.f) si verificasse la prima delle nostre ipotesi (N.*497>, «Ilo^a il primo membro della (D) sarebbe dotato di un fattor razionale; 0(^ mincierò dunque coi metodi del (Capo 14.^ )^ a provare, se esistono in realtà simÙi nitori razto*
nali dal primo inclusivamente fino al grado y eti- mo^ ut alcuno di questi à luc^o , col suo mezz» otterremo l'abbassamento richiesto, se nò, suppoc- femo che nella (5") si verifichi 1* ipotesi ttrza ,
e ciò
499 e ciò presupposto non avremo che a cercare qual sia la ( S ) medesima ; imperciocché conosciuta que- sta il (Capo 15.*) ci dàtk poi la soluzione del Problema .
500. Data la forma di una Equazione di xe» lazionc (.S) qualunque razionale , determinare ^ se quesM à luogo fra le radici della dau ( D ) , e se sì > determinare essa medesima •
Cominciamo dal supporre 1' esponente m del- la (D)numero pari,X = >7 =1, efA + is —
(N.*^Si). Poiché le (Xl)f(x',x")=zK,chc ci risulta, è funzione dellajr', x" intera, e razionale (N.*497)» essa non po- ca avere che una delle forme seguenti s(x' + x')^K
^d x'x"'i'eix''¥x") =K ec, in cui i coefficienti 4 , £ , r , 4^, ec. , K siano tanti numeri per ora indeterminati , ed interi , e dovrà aon cambiar di valore per la permutazione di a- mendue le or', at" corrispondentemente nelle x'" , 4f" ; jf % jf "' ; ec. *<"•-"'>,*<"•*. Prendasi ora una qualunque delie (X/i ): espressa questa con la (Xi) , e cambiata la x nella ;ir, colloco nella (D) la V io luogo della x, e col mezzo delle due Equa- zioni /( *,jr ")-K=o,x' -H-A x'—'^Bx'^* -4- e& =i o elimino la x'\ ne verrà un' Equazione r r 1 a x*
50O
(X/fl) ;r* + A' jr— « + B'x"-^ + C *"-» -4- ec = o ,
in cui la x' è radice, e nella quale i coefficien- ti A',B',C', ec. sono Funzioni razionali delle a, byc^d^ ec. K . Per la natura della ( XI) ciocché si è detto della x , dicest egualmente di tutte le altee radici della ( D )/ dunque nella (X/7J)non solo è radice la ir' , ma tali sono ancora tutte le x" , x"ytc, *<*> , e 11 suo primo membro per con^ cons^uenza è divisibile esattamente per ( x- x ) ( ;r — * " )( r — y ) . .i .. . ( Jc - *<*> ) . Dunque se dividerò il primo membro della (XI/I ) pel pri- mo della (Z>), e in seguito, trascurato 1' avan* zo , ^ quale deve essere zeoo , se moltiplicherò quest* ultimo primo membro pei quoto, che ci è risultato , il prodotto, che ne viene, sarà identico col primo membro della (XIII), e perciò para* gonando fra loro ì coefficienti omologhi, otter* remo un nomerò u di Equazioni » in cui le in- cognite saranno le quantità tf, h, r, 4/, ec. K. Ora chiamando q il grado delia x in/( x,x" ) — K = o , abbiamo pel (N." ijo )m =:m^ , ese jT è numero dispari, concchè q=-ip -i , il nu* mero delle éyh^c^d, ec. K vedesi dalle (X/I) essere /(/H-i)e se fé pari, avendosi ^qzutfy il numero delle stesse à,è,e,J, ec. K diviene (p+i)*. Dunque 1' accennata operazione d à date ( 2 / — I ) I» , oppure 2 / tm Equazioni con /(/-hi), ovvero (/4-i)* incognite corrispon- denti. SecfiKlo il diverso valore della / il nume- ro delle Equazioni può esseie uguale, maggiore,
e mi-
SOI
e min.ore di quello delle iadetermioace .
Primo . Supponghiamo , che gU sia uguale : in questa ipotest elimino dalle n Equazioni trovate te incognite ^ ,r ,</ , ec. K , ed avuta un' Equazione ' con la sola tf» cerco le radici intere, e razionali di questa. Sia s' una di tali radici » sostituisco que- sta nelle altre Equazioni , e col metodo istesso cer- co i corrispondenti valori interi, e razionali del- le altre indeterminate^, r, ^,ecK. Se la a , o qualcuna delle altre ^ , ^ , i , eC. K non à questo valore intero, e razionale, allora pel (N.*>497) concbiudo » che neppure la O è dotata della sup- posta Equazione di relazione. Che se ciascuna delle accennate 4,^,c,^,ec.,K2iun simile va- lore, allora diremo, che esiste tale Equazione di rapporto, e ci verrà questa determinata coi 8<y- stituire nella (XJ) i ritrovati valori.
Secondo. Il numero delle Equazióni superi quello delle incognite ; in questa supposizione scuo- priremo nella maniera medesima e il valore delle 4> b, r, J, ec. ,e la determinazione della (Xi): acciocché però in questo caso possiam dire, che la (D) gode della supposta Equazion di rappor- to, converrà non solo, che le 4,^,c,J,ec.,K abbiano dei valori interf, e razionali cotrisponden* ti , ma converrìi di pia che questi valori sostitui- ti opportunamente £icciano rettificare tutte le » Equazioni »
Terzo. Finalmente il numero ddèf incogni- te sia maggióre di quello delle Equazioni; in que*
sto
J02
Sto caso le incognite, che vi soiio di pid, non 90« no già arbitrarie, ma dovendo essere numeri in« teri , e razionali ( N.* 497 ) , converrà detenni* narii a norma di questa condizione, cioè coi me- todi , che si espongono neli* Algebra degli inde- terminati . Supposto per esempio , che essendo le Equazioni di numero « , le incogm'te siano di nu-* mero «-Hi , e supposto che fatte le dovute elimint> zioni , giungasi ad un* Equazione finale/ (tf)(^) = o , trovo seguendo le opportune vie , i valori interi e razionalr delle 4 , ^ , sostituisco quesri nel- le altre Equazioni , e avremo cosi la richiesa E* quazione di relazione, seppure esistano tutti i do- vuti valori interi, e razionali. 501. Sia (X/D*< - 8 *» -Mo jf» — itf jc + } = o r Equazion d«- ta, e cercasi, se fra le sue radici esiste la pcimt' delle Equazioni di relazione iXH) , doè la éi(x-+-x")=K. Riduco perciò la iXIF)^ eU éi(x'-^x")=K alle *"-♦-«*"• + io *"• — itf^'-hj =o,4s(«'-h4r")= K, elimino da queste la x",e avuu la
*< -H( 8 j4 — 4 K <»») *J-4-( »o #♦- 24 K 4» -♦- tf K»4* ) *•-*-( i5«*— 40K4» 4- 24K*«* ->4K>4) x-h 3 4<-*-t6K4»-+-2oK»«*— «K»4 4-K* = o, di- vido il primo membro di questa pel primo della (X/r), giacché il quoto è i, paragonando i coef- ficienti omologhi , avremo le Equazioni 8 4* — 4 Ks«» = ~8, to 4* -24 K tf> -t-tf K* «* =ao, itf «4 -^,40 K «I + a4&* 4* — 4 K> 4 =— 16,
3^
dalle prime due di queste Equazioni ricavo «=x, K = 4 , e questi valori sostituiti nelle altre le fan- no verificar tutte. Dunque nella (XIV) esiste la supposta Equazion di rapporto , e dividendo es- sa x'-{^'x" = 4 > col Ino mezzo potremo pel (N.* 333) ridurre la iXìV) ad altra di minor grado .
$02. Se r esponente m della (D) sia dispari ( N.o 500); allora le radici, che sostituite nella fix, r") = K conservano sempre Io stesso valore della funzione giungeranno fino alle jf<*~*> , jt^*"'*, e quindi col loro mezzo ia ( D) avendo pel ( N.^j 3 2 ) un fattor razionale del grado m — i, ne avrà un altro pur anche razionale del grado primo ; e que- sto già determinato (N»<* 499) avendoci ridotta con la divisione la ( D ) al grado m — i , pratichere- mo su quest' ultima il calcolo precedente.
50J. Potrebbe la nostra/ (jc' ,*") esser tale, che rapporto a un certo numero delle radici , per es. rapporto alle prime /ut avessimo /(4r',y) = /( jt", x'" )^f{ x"\ x"')= . . .=/( X f*-», ;«• f*-«) ) =/( ;r^"-«) , jH^) ) = K , e rapporto alle susseguenti risultasse /( ;r^f*+«), x'^+»0=/( x^-*-^), Ar**-^4)) -
/( *<**-^i) ,*«*-»•«)) = = /( *•<—»>, x<— *))=
/(*♦•-*> , x<»)) =K. In questo caso i primi valori della nostra funzione cosrantemente =K essendo in numero di jut — i , e i secondi in nu-
mero di —^ 1^(0) mx3i riducibile , come nei
2
( N.* 93 1 > 3 H ), ad un* Equazione dcLgrado /m - 1
504
+ !Lz:JÌ = !L±iÌri . Nello sciogliere poi H
Problema del ( N.* joo ) volendosi conoscere quan* do quest* accidente sacceda , converrà fiir atten- zione air Equazione ( XIIl) : imperciocché , quan- do questo abbia luogo, non difficilmente si vede, che tale Equazione aver devele radici V,*' ",*'", ec. , xtf*-*) , xf'"*), ripetute ciascuna due volte, e le altre x\ x^ì^ Af.'/*^o , Ap'f*+»),ec.,Jf<*> re- plicate una volta soia . Dunque osserverò da prima se abbiasi » non < w -f- n* 7- 2 essendo fi > t , e se sì, determinati i coefficienti A', B' ,C',ec.osser' vero pel ( N.» 3 06 ), se nella ( XIIl ) si contengono IX-* t radici uguali ad altre f* — 1 • Ciò succeden- do la nostra funzione sa^ appunto tale quale oh la consideriamo; altrimenti , non Io sari^«
504. Avendosi X>»j(N.» jji ), se It sup- posta Equazione sia della forma /(*•', x")( x'" )( x ") =:K; cambiata la x nella at, eliminerei le trer", x'^x'" mediante le Equazioni /( x\ x" )( *'")( x'" ) — K = o, y*-+-Ajr"'^»-l-B;r"— »H-ec. = 0, x'"* -f A *'"-« + B *'"-* +ec^o, x"" -t-A r" -• *+-Br' **"•-!- ec. =o,e in seguito proseguirei il calcolo, come precedentemente, avvertendo, che in questo caso il numero delle indeterminata tf, hy r , 4/ , ec. , K , sarà maggiore • -
505. Ponghiamo 1* esponente m molt^odel
gliasi sciogliere il Problema del ( N.* 500 ) ioque-
su
sta supposizione , essendo la /( x\x*\x"'yz=: k funzione intera, e razionale. E' chiaro, che tssi dovrk avere la forma d(*' -+- «•"-+- *"') = K , oppure la tf(;r'»-f.Jr"*-4-Jr"'')H-KJ^'*"-f-W"+V':»r"') •+• r ( Jr' -f- Jt" + x'" ) = K , oppure ec, in cui i co- efficienti tf, hy r,ec. ,K siano tutti numeri in* terì . Dunque la soluzione del nostro Problema in questo caso sarà simile affatto alla precedente , eli* minando le due jt" , x'" dalle tre Equazioni /( X , x% x'" ) — K=o , *"- -f- A x"'^^ + B x""^* ^-ec.=o,*"'-4-A*"'— '-l-B:r"'— »+ec.o;
Se la M non fesse molteplice del j , la ( D ) avrebbe inoltre un £ittor razionale del primo, o del secondo grado , il quale verrebbe determina* to mediante il (Capo 14), e pel cui mezzo TE- quazionedata ridurrebbesi al grado 1»- i , oppu- re m — 2 . Se qui pure la funzione proposta fosse dotata di qualcuna delle variazioni accennate nei (N.^ joj , 504), non avremmo affare che delle riflessioni , e dei cangiamenti di calcolo simili ai precedenti .
505. Lo stesso si dice, e si pratica nella so- luzione del nostro Problema, se ì' Equazione di relazione proposta sia della forma/( x' , jf", x", x"') = K , ovvero /( x'.x", x",x'\ x^ ) = K , ovve* ro ec; e lo stesso ancora cornee nel (N.<'504), se nella data funzione entrano altre radici oltre le comprese fra le prime due parentesi.
S07. Potrebbe succedere , che la funzione da* 8 s s ta
5etf
tu fosse compresa nel caso del (M-^ 498) . In «I« lora noi > opecando come precedentemente , dopo la determinazione delle <f , ^ , <^, </ , ec. »£ rìcaverem" mo una funzione esprimente solo un rapporto gè* serale fra tutte le radici della data (N.°498), e quindi un rapporto inutile al suo abbassamento ( N.<> 497)« Converrà dunque cercar di conoscere simili funzio- ni , ed a tal fine basterà porre nella ( D ) in luogo dei coefficienti cogniti tanti coefficienti indeterminati, in seguito operare come nei ( N.^ prec* ) ; e ciò fatto» se pei valori delie a, h, r, dy ec. , K ci risultano del* le funzioni intere, e razionali tra i coefficienti , che abbiam posti indeterminati della ( D ), allora dire« mo, che la funzione supposta è fra le comprese dal ( N.» 498 ) , e perciò deve trascurarsi : che se per le a,bt f* d, ec, K non si ottengono fun« zioni intere , e razionali degli accennati coefficieii« ti, allora la funzione proposta non viene ad in- cludersi nell'esposto caso. In quest'ultima ipotesi poi ponendo net risultati ottenuti in luogo de' coef- ficienti indeterminati i suoi veri valori, vedesi , che verremo a risolvere il Problema del ( N.» joo ) senza rinovare il calcolo dei ( N.* precedenti ) .
j 08. Ecco sciolto il problema del ( N." 500), avendo però sempre considerata i' Equazione di relazione data intel-a , e razionale ; che se quesu non fosse tale , la libererei prima come è stato accennato nel ( N» 497 ) dai rotti , e dagl* irrazio- nali, e poscia opererei sulla Equazione ottenuta nella sovra esposta maniera •
50^.
$07
50^. Quanto abbiamo detto finora ci serve a dare delle soluzioni particolari adì Problema del (H.*499); ma per iscioglierlo pienamente , converrebbe poter determinare , se tra le radici della(D) à luogo non una data, come nel (N.* joo) , ma una qualunque delle Equazioni espo* ste nei ( K.^ prec. ) » e in caso che sì , determi- nare in segpito la sua forma • Sarebbe puf anche assai vantaggioso il trovare le formole generali del- le Equazioni, tra le radici delle quali si verifica la prima delle Equazioni iXII) , quelle, tra le cui radici à luogo la seconda , le altre corris- pondenti alla terza, ec. , ecosì riguardo alle altre Equazioni di rapporto dipendenti dalle Equazioni generali dei (N.^ 504 ,505 » $o5, 507) , determi- nare le formole delle Equazioni, le radici delle qua- li ammettono la relazione da esse rappresentata* Le Equazioni convertibili (N.* 335 ) ci esprìmono un esempio particolare di queste formole. La lo- ro determinazione poi vedesi,che sì otterrà, pò* nendo nel calcolo dei (N.^ 500,504 ,507) i co- efficienti della ^(£>) indeterminati, e cercando in seguito la loro determinazione dalle Equazioni fta i Coefficienti omologhi (N.«507); in questa gui- sa si determinò nel ( N.» 340 ) la forma delle E- quazioni convertibili; ma per non allungarmi di più in questa Teoria già di troppo prolissa , ces- serò per ora da somiglianti ricerche*
FIN E. s s s 2 'N'
jo8 -
INDICE
D E 1 e A P I.
Cap» L Delle funzioni in generale • pag# i
Gap. Il* Proprietà generali delle Equazioni. .12 Gap. III. Altre frofrietà generali delle Equa^
zioni . 5$
Gap* IV. Delle Trasformazioni in particolare . 75 Gap. V- Delle Trasformazioni Jn generale • 92 Gap. VI. Della Eliminazione , e del modo di
togliere i Radicali da una data Equazione . 1 1 x Gap. VII. Altro metodo di Eliminazione^ e deU la Trasformatone relativa alle funzioni irrazionali. 123
Gap. VIIL Della determinazione delle funzioni tra le radici di una data Equazione Alge- braica dìfendentemente da altre funzioni frof oste fra le radici medesime . 138
Gap. IX. Alcune frofrietà delle radici reali ed
immaginarie nelle Equazioni Algebraiche . 175 Gap. X. Proprietà delle radici delle Unità. 197 Gap. XI. Soluzioni delle Equazioni Algebraiche^
determinate di terzo ^ e quarto grado ^ 207 Gap. XIL Della soluzione Algebraica rica^a^ ta a priori delle Equazioni determinate di terzo y e quarto grado. 219
Gap.
S09
Gap. XÌII. R Hess toni intorno Ulta soluzione
generale delle Equazioni . 243
Gap. XIV. Del modo dì ritrovare i Fattori ra^ ' ^fonali di una data Equazione Jlgebrai- ca determinata. ^$1
Gap. XV. Riflessioni generali intorno alle E- quazioni Algebraiche determinate riducibili ad altre di grado inferiore. 31^
Gap. XVI. Di alcune Equazioni particolari ri- ducibili ad altre dt grado inferiore ^ e del caso deir Equazione di relazione ( iS* ) ir- razionale * 3*7
Gap. XV Ih Della determinazione delle radici rea* li fer approssimazione nelle Equazioni nu^ nitriche . 348
Gap. XVI II. Della soluzione per serie delle
Equazioni algebraiche indeterminate . 3 80
Gap. XIX. Della soluzione per serie delle E-
quazioni algebraiche determinate. 43^
Gap. XX. Della soluzione per serie delle Equa- zioni algebraiche col mezzo delle frazioni continue ^e Riflessióni ulteriori intorno al- le Equazioni riducibili a grado inferiore . ^ i
sss i
fag. Unte Errori
r.i |
19 12 |
217 219 |
II 21 |
220 |
29 |
22J |
5 |
«3 224 227 |
24 *7 |
2JO
2ÌO 3>4 — r
sostituzione
per ft
B*
(Capi 17, 18)
127
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x"
pel ( N.^iog)
c
4
Comsiinù itila Torti U, soluzione
(Capi 17, 18, l9)2o)
227
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«»Z'
« + «• c*
2J2
4 8,17
z
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22
133 |
19 "3 20 |
»35 »37 |
4 20 |
238 |
$ |
•_ |
8 |
— IO
soluzione (N) la 2.» = 5 • , la
2.» =<$.» (N.»20I)
119
2.* = 5.» = 4.» , la 3 • = 6.* = 5.» Conducendosi <N*258) qualità 208 (N.»227)
6
6 «
* K>
» »
soluzione dena.(N) Ia2.*=(5.»,la3.»s= 5.»
(N.0 202)
199
2.» = (5.» = 5.« , la j.« =5.«
= 4-*. conducendooi
(N.» 158)
quantità
209
(N.0 2I3) « xV— s
» J
»>«
fàg, Umà Errori
2j8 17 ajo 239 3 Z, = «
24] 8, p » fc 9t' x" tt'" x^^ptte entro U fa- 15,1^ renuti VMtmo temfre 9gm due
fr»mmtaMt ton un» wiriola .
a4» 18 o(x"4-x'*) ©(x'^+x'")
248 4 x* in x' x' in te'''
(x^'Xx^ ) cooiposu p<r una permuuzfOM composta
— 12 ((x',x") /((x',x") 251 2j dalla ^ (T4.»92 ) dcUa y ( N.'pj )
255 li If lexVx",x'-,x",x*.V«desi
questo oell* CMOipio seguente
258 13 . competenti componenti
26z 17 saranno nano
2^4 1 /(x^x'^x"^x'') /(x',x"',x'"X*''X^)
2tf4 18 ( N.« 266} ( N.' 166 , 2^7 )
267 ultima 2.**. Ma questo pie* g.^ Ma questo pieccdcntt }.*
cedente 2.*
268 2 il terzo il quinto
— } casi 2.% e a.* casi $.•,« 5.*
<~ 19 di una 61a delle prime di una delle prime
^7» 4 237- i73«
— ij esse / esso
279 3 ciascuna e ciascuna
— 22 {HA 262^^6i,^6^^ (N.» 262, 253,1^)0^5, 270,
271 } 271 )
— jo 5* S
275 9 questa questo
27<5 t Z» T'
^Ti 27 Mi— M I =
285 13 =9 =0
285 16 (XW) (Xir)
28^ 19 sin della su delle
ì96 21 < 4 > 4
287
290
Z9l
298
295 298
3,50
304 305
308 309 31Ì 314 315 319 319 gzo
32Z,
323
linea II 8
«5
8.
■ Errori della Trasfornali esso • - - -
• • - Corre:6Ìout delle TrasforAÀ(t esie -
6 dimostrazione '
ultima f* D
26 per se
20 ( Af — Tf )
28 ix3(*-«)
3 4-10
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20 /(x',*", *'")
la"- x^+-i;xX+* x^+3,
5 le
— • ultima. Supponghiama 3i<5 8 « 327 20
331 16
332 8
— 14
(N.«M4) r t" y-»
•(»-j> »(.-<$)( .-7)
— Jf
210 «*
52X>— 12*5**— 422 W'
. '—■■V'
r»- 4X- I = X '
X"
determiriazione f j D per X
*xM*-»>
— IO '
x-x(X)
•f ec. .
f(x',x")(x"') •
xt»->-i),x(*+»), x(A+3>
Dunque 'se
33i.Suppongtnamo
ec.
(N.-I42)
.^:-
3)»
pag. Unte
ili "
— penalt.
— ulciioa
339 i<5
340 10
344 I
345 ij.
339 ultima
340 5
343 15
344 9
— '7. 34T io
£rr«rt
«(* — 4)
posta ±A
= Af*/x (N.'»i44)
353 i<5
354 »<5
355 14 35<5 ^Z 355 uluiDa
35Ó 21
357 18'
-. xp
300 iz
3<5i 3<52
3
363 24 — ) —
j68 23 — 26
369 ultima
370 17 375 3
(T)
a
(I)
T
et'
-f- ec. = o (N.«35<5)
terza
57079<^'3 D'C-D'G
del
> r — z
nx)
(X)
Corrcziciù (a — tyii — 4)
nostra
±C
— A f«/ jtf
(N.«242)
(8)
G I
(TX) F
X
(N''357)
un
seconda
dal
7 "5
radici radice faranno quantità M — 2 f/lm
(X) (JX)
— , ce. —
radici reali
radice reale
saranno
le quantità
m — z Mme p ec#
ST«
S88 395
li 20
.1
I
2 22 28
Errm
3«5
70» ,
A'L"' - 5*«i* da
soltantc (N.»4io)
«4 1.4 K«
— 2
394 395 397 398
399
402
403
405 407
413 414
40T
408 41 S
419
420
425 427
433 434
8
IO
13 18
16
16
13
2 13 ^5 o
4)8
1,18 22
5
ultima
X
6
23
2
3
scielto
Q^i rappresentato (X)
PI
stando
/»"
H'M» *»-« + ? 2M5
P — ± ^>
Y
JDunqoe
sottraendo questa dall' altra
CorretSom 382
20 0 xm'^'m + m"'
A'L-
- <A*i*
ad
risultante
(N.«'4oo)
«L4x4«+«
«L4x»
z
Lx~T
sciolto
4L*
Q.I è npprefMtaco /i « X/)
Pi restando
^
/»'
H'M»x»'-»« + »j{ 2MS
P = ±^
«Jx* (Y)
451. Dunque sottraendo da questa r altra
4}*
^
JEffori CetTexht$i
interi interi ponnvi
V-U-7) L* -(*-»)
esset esse
Ni K»
(A-) (6-1)
della delle
L*-«(PiF' L*--«P(F'
i(*-n') *(>■»• i)
F(»+i) — I — F(»+OL — r~*
pi^(ft^.i)k-Hi F(* + OL*-^» •
L-«P L-«<i
Fix(*-*-> Fix(/-***)
(2FiL-hi) (zFiL + Fi)
jF'L»M 3F"L»M
^ ^ ma mtt ,
463 ultima valore % ^ valoxe < J ^ 4^4 12 Valeodosi questi espo- Volendosi quctficspoocilti tin- nenti tutti! numeri ti numeri
/«• |
7Mr« |
43<5 |
9 |
437 |
14 |
439 |
5 |
443 |
12 |
444 |
21 |
447 |
IO |
450 |
3 |
453 |
13 |
458 |
i |
459 |
4 |
460 |
1 |
4Ó0 |
6 |
— |
7 |
461 |
19 |
4^ »
4<58 I «' + 4 r-l-i
460 4 w' = w'* ^' — -jt"*
Li 1$ -f-Fi»F" — Fi3F"
473 9 (^^) (XXXr)
474 12 L»-('+«) L«-<» + ') ^ 25 A M A M«
475 20 (3AL«4-B) (jAL»+BL) 479 II A,B,C=:,ec. A,B,C,CG*
— 15 F-H-i F(iH-i)
— pcnul. determinate determinate.
AfAr«4-C) A(Ar»-i-C)«
480 21
485 «4
484 l
9 Airi i\3rì
aSx 14 L X I «^
4*4
* *,
4
400.-' 2Ó perchè poccbe . -
495 uUioia r EqujiZiooe ) t la V Eqtiai&ioat ^ .0 la
498 27 ■ — » f/faic I -r-i e/iinf :
499 II ' Poicbo le Poiché la
500 2 } ' avendosi j 9 r= 2 ^ avendosi q^szif
y>l II ^ fariiiont gmnge* funzione) giungeranno ranno
504 24 ìadeternioau kidetcìiDinatc
*^